Lei de Hooke generalizada

propriedades relevantes ao estudo das discordâncias, entre elas a energia de uma discordância, a energia de interação entre duas discordâncias e a energia de interação entre as discordâncias e defeitos pontuais [6365]. Antes de chegar em uma relação entre a energia elástica de uma discordância e o vetor de Burgers é preciso denir algumas grandezas que serão abordadas na subseção seguinte.

3.4.1

Lei de Hooke generalizada

A tensão e a deformação em um material são descritas por uma linguagem tensorial e a lei de Hooke generalizada relaciona o tensor da tensão aplicada com o tensor de deformação [64, 65, 100, 101, 111]. Para apresentar esta lei primeiro será necessário mostrar como são calculados os elementos dos tensores de deformação e tensão. Para calcular os elementos do tensor da deformação denimos um vetor deslocamento ~u, que descreve a diferença de posição de um ponto do material antes e depois de ser deformado. Este vetor será representado como

~

u = [ux, uy, uz], (3.3)

onde as componentes ux, uy e uz representam projeções de ~u nos eixos x, y e z como mostrado

na Figura (3.19). De acordo com a teoria elástica linear as nove componentes do tensor defor- mação são obtidas a partir das primeiras derivadas parciais em relação a estas componentes. As componentes diagonais, conhecidas como deformação normal, são denidas como

exx = ∂ux ∂x eyy = ∂uy ∂y (3.4) ezz = ∂uz ∂z ,

3.4.1 Lei de Hooke generalizada 56

Figura 3.19: Vetor deslocamento ~u, onde P é a posição de um ponto arbitrário no material antes da deformação e P0 é a posição deste mesmo ponto após a deformação. Figura retirada da referência [65].

em cada uma das direções x, y e z respectivamente. Ainda restam as 6 componentes eyz = ezy = 1 2  ∂uy ∂z + ∂uz ∂y  ezx = exz = 1 2  ∂uz ∂x + ∂ux ∂z  (3.5) exy = eyx= 1 2  ∂ux ∂y + ∂uy ∂x 

conhecidas como deformações de cisalhamento. A Figura (3.20) mostra uma representação gráca para as componentes exy e eyx. Ela mostra um pequeno elemento de área ABCD no

plano xy que foi deformando para uma nova forma AB0_C0_D0 _{sem alterar a área. O ângulo}

entre os lados AB e AD inicialmente paralelos a x e y respectivamente foi diminuído de 2exy.

Este ângulo pode ser facilmente observado se for aplicada uma rotação no novo elemento de área sem deforma-lo como mostra a Figura (3.20(b)).

A partir do tensor de deformação é possível determinar a variação de um pequeno elemento de volume devido ao processo de deformação. Esta alteração é dada pela seguinte equação:

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Figura 3.20: Em (a) mostra que para deslocamentos infinitesimais as componentes exy = eyxpode

ser dado pelos ângulos como descrito na Figura e em (b) mosta que a deformação resultante pode ser dada pela soma dos dois ângulos. Figura retirada da referência [65].

A razão entre a variação do volume ∆V e o volume inicial V denotada simplesmente por ∆ é conhecida como dilatação volumétrica. Considerando apenas deformações innitesimais a dilatação é dada por

∆ = ∆V

V = (exx+ eyy+ ezz). (3.7)

Do ponto de vista da teoria elástica, um elemento de volume no material está sobre a ação de forças aplicadas à superfície que o limita. A tensão mecânica é denida como a força por unidade de área desta superfície. Para ter uma completa descrição da tensão mecânica são necessários não somente o módulo e a orientação da força mas também de uma orientação da superfície. Como consequência disso, para descrever a tensão aplicada a um elemento de volume como mostrado na Figura (3.21) é preciso de um tensor com 9 componentes. As componentes do tensor são dadas pelos os elementos σij, onde i e j podem ser x, y e z. Cada

elemento σij é denido como sendo a força por unidade de área na direção +i aplicada à uma

superfície cujo vetor normal aponta na direção +j. O vetor normal à superfície é escolhido como sendo apontado de dentro do volume para fora. Desta forma, para uma face com o vetor normal na direção −j o elemento σij é a força por unidade de área exercida na direção −i

3.4.1 Lei de Hooke generalizada 58

Figura 3.21: Componentes do tensor tensão. Figura retirada da referência [65].

como mostrado na Figura (3.21(b)).

As 6 componentes com i 6= j são conhecidas como tensões de cisalhamento. Do ponto de vista da teoria elástica para meios contínuos e isotrópicos e sem torque interno tem-se que a condição de equilíbrio:

σxy = σyx

σxz = σzx (3.8)

σyz = σzy

As 3 outras componentes σxx, σyy e σzz são conhecidas como tensão normal. Da maneira como

o tensor tensão foi denido acima, a pressão hidrostática agindo em um elemento de volume é dada por

p = 1

3(σxx+ σyy+ σzz) . (3.9)

Agora que já foram denidos os tensores de deformação e da tensão podemos estabelecer uma relação entre eles. Em um regime de elasticidade linear a lei de Hooke generalizada diz que a cada componente do tensor tensão é linearmente proporcional a cada componente do tensor deformação. Para sólidos isotrópicos somente duas constantes de proporcionalidade são

3.4.1 Lei de Hooke generalizada 59

necessárias e a lei de Hooke generalizada pode ser escrita da seguinte forma: σxx = 2Gexx+ λ(exx+ eyy+ ezz)

σyy = 2Geyy + λ(exx+ eyy+ ezz)

σzz = 2Gezz + λ(exx+ eyy+ ezz)

σxy = 2Gexy σyz= 2Geyz σzx = 2Gezx (3.10)

onde λ e G recebem o nome de constantes Lamé [65]. G é mais conhecido com módulo de cisalhamento. Outras constantes elásticas também são úteis e frequentemente usadas. Algumas delas são: O módulo de Young, E, a razão de Poisson, ν e módulo volumétrico, K. E é denido como sendo a razão entre uma tensão normal aplicada ao longo de um eixo e a deformação provocada ao longo deste mesmo eixo. Já a razão de Poisson ν é denida como o negativo da razão entre deformação provocada lateralmente e a deformação da direção da tensão aplicada. K é denido como sendo o negativo da razão entre a pressão innitesimal aplicada pela variação de volume. De acordo com a lei de Hooke dada em (3.10) podemos relacionar estas constantes entre elas, por exemplo temos:

E = 2G(1 + ν) (3.11)

ν = λ

2(λ + G) (3.12)

K = E

3(1 − 2ν). (3.13)

Um material submetido a deformação armazena energia elástica. Isso ocorre porque em um material deformado os átomos estão fora das suas posições de equilíbrio. Desde que a energia é a soma de todos os deslocamentos multiplicado pela força necessária para produzir cada deslocamento então temos que a energia elástica por volume pode ser escrita por:

dEel = 1 2dV X i=x,y,z X j=x,y,z σijeij. (3.14)