Livro do 8º ano

Esse livro tem 288 páginas, das quais 262 divididas em dez capítulos e as restantes são referentes às partes do glossário, respostas dos exercícios propostos, leituras complementares sugeridas e referências utilizadas. Há ainda 64 páginas que correspondem ao Manual do professor e que não estão presentes nos exemplares dos alunos.

O primeiro capítulo deste livro (p. 7) tem como título Revendo o que aprendemos. Na página 12, é apresentado o micrômetro como sendo a milionésima parte do metro.

A atividade 28 (p. 13) traz a seguinte proposta: “Calcule esta soma de números inteiros: 1+ (51) +2+ (52) +3+ (53) +...+50.”. As reticências indicam que a soma continua até o número 50. Interessante ressaltar que na página 19 aparece a expressão “e assim por diante” indicando que algo pode continuar indefinidamente.

O capítulo 2 (p. 25) traz como título Conjuntos numéricos: dos naturais aos reais. São retomados os conjuntos estudados anteriormente: naturais, inteiros e racionais nas formas fracionária, decimal e de porcentagem.

Na página 26, é ressaltado que quando comparamos uma grandeza com uma unidade, obtemos um número. Se essa grandeza é discreta, tal comparação é uma contagem que tem como resultado um número natural. Se a grandeza é contínua, a comparação é uma medição e o resultado um número real.

O autor cita a frase de Kronecker: “Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens”. Ele retoma a ideia de que o primeiro elemento do conjunto dos naturais é o zero. A partir dele todo natural tem seu sucessor, sendo o conjunto dos naturais infinito, e tal infinitude representada pelas reticências. Esse é outro exemplo em que a noção de infinito aparece explicitamente.

Em seguida são propostas diversas perguntas para que o aluno responda sim ou não, dentre elas: “Todo número natural tem um único sucessor?”; “Entre um número natural e seu sucessor existe sempre outro número natural?”; “Existe um número que é maior do que todos os outros números naturais?”. Tais perguntas podem levar o aluno a construir a ideia de que o conjunto dos naturais é discreto.

Na página 27, são apresentados alguns subconjuntos dos naturais. Dentre eles, o conjunto dos naturais pares que o autor cita como uma parte própria de N:

Figura 50

O conjunto dos números inteiros é retomado a partir da página 28 como sendo ampliação dos números naturais. O conjunto N é um subconjunto de Z ou ainda, N está contido em Z. Aqui também é proposta a questão: “Entre dois números inteiros há sempre outro inteiro?”.

Na página 30, são apresentados alguns números que, embora escritos em diferentes formas de representação, todos são resultados da divisão de dois números inteiros. É definido: “O conjunto Q dos números racionais é formado por os números que podem ser escritos na forma de fração com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero”.

Na página 31, é indicado que toda dízima periódica indica um número racional, pois pode ser transformado em fração. Na página 33, temos: “Fixando um ponto de origem para o zero (0), uma unidade para o 1 e um sentido para ser o positivo, podemos localizar na reta qualquer número racional”.

Na página 34, o autor aborda a densidade dos números naturais, visto que entre dois números racionais sempre existe outro número racional que seria, por exemplo, a média aritmética entre eles. Dessa forma, o conjunto dos números racionais é denso.

Essa característica de ser denso não é válida nem para os naturais nem para os inteiros. O autor acrescenta que isso significa que há “vazios” entre os pontos que correspondem a números inteiros. Na página 266, o autor define densidade de um conjunto de números como sendo a “Propriedade segundo a qual entre dois números do conjunto existe sempre um número do conjunto. Dizemos nesse caso que o conjunto é denso”. Ele acrescenta ainda, como já ressaltado, que o conjunto dos racionais é denso, e dos naturais não é denso.

Na página 36, são dados exemplos de números que são decimais infinitas e não periódicas e que formam o conjunto dos números irracionais. Nessa coleção, tal conjunto será indicado por Ir. Em seguida, são dados como exemplos de irracionais importantes o π e a .

O número resulta da divisão do comprimento de uma circunferência por seu diâmetro. Para que esse número fosse um racional, seria necessário que tanto o comprimento quanto o diâmetro fossem números inteiros e isso nem sempre acontece. O número π já foi calculado,

utilizando um computador, chegando a 1,3 trilhão de casas decimais, sendo que nos cálculos são usadas aproximações tais como 3, 3,1, 3,14, etc.

A medida do comprimento da diagonal de um quadrado de lado 1 tem como resultado o irracional e tal fato, como visto no capítulo 1 desta dissertação, gerou a crise dos incomensuráveis, visto que para os pitagóricos tudo era número e esse era sempre racional. Temos: = 1,414213562... sendo que as reticências indicam que as casas decimais continuam indefinidamente.

Na página 40 é apresentado o conjunto dos números reais (R) como sendo a união entre o conjunto dos racionais com o conjunto dos irracionais. É destacada a ideia de que um número não pode ao mesmo tempo ser racional e irracional. A seguir, são relacionados os conjuntos numéricos:

Figura 51

No manual do professor (p. 52), o autor destaca que, ao se introduzir os irracionais, uma equação do tipo x²=a sempre terá solução e não mais apenas quando a for um número quadrado perfeito.

Na página 41, temos:

Essa correspondência não ocorre com os racionais, visto que o ponto correspondente a não tem como correspondente nenhum racional, pois é irracional. O mesmo é válido para todas as raízes quadradas de números não quadrados perfeitos. Segundo o autor, ressalta no manual do professor (p. 52): “Em outras palavras, a ‘reta racional’ apresenta ‘furos’ ou ‘vazio’”.

Como ressaltado na figura, os números reais ocupam todos os pontos da reta numerada. Tal reta é denominada reta real e o conjunto dos números reais (R) é completo.

O autor ressalta ainda no manual do professor que é importante que o aluno saiba colocar corretamente números reais na reta real. Além disso, o professor evita passar a ideia errônea de que há poucos irracionais e, segundo sugestão do autor (p. 53), isso é possível ao explorar números que tenham a forma, por exemplo, de a+b , com a e b racionais. Como existem infinitos racionais, podem dessa forma escrever infinitos irracionais. Foi usada a mas poderíamos usar √3, √5,..., reforçando que há infinitos irracionais.

É trabalhada ainda nesse capítulo a comparação de números reais, operações com reais, inequações em reais e generalizações. Na página 47, é citado ainda o número de ouro dos gregos, que vale aproximadamente 1, 6 e é representado pela letra grega

φ

φ

O capítulo 3 (p. 49) traz como título Expressões algébricas. Nas sequências abordadas nesse capítulo, o último termo é n, passando a ideia de que este é o último termo, visto que vem após as reticências e essa, até esse momento, indica que a sequência não tem fim. Nesse capítulo, o aluno começa a ter contato com a generalização, utilizando letras (p. 62). Na página 67, três números consecutivos são representados por n91, n e n+1. O processo de generalização é definido no glossário (p. 267) como “Estender para todos os casos uma propriedade observada em alguns casos particulares”.

O capítulo 4 (p. 70) tem como título Representação de figuras geométricas no plano; e o capítulo 5, Cálculo algébrico. Na página 115, a generalização é usada para mostrar ao aluno a ideia de demonstração em Matemática: vale para um determinado número, para outro número, será que vale para todos? O cálculo algébrico permite fazer generalizações. Na página 116, é ressaltado que não podemos generalizar mesmo baseando5se apenas em casos particulares. Na página 122, é citado o exemplo da generalização errônea de Pierre de Fermat (160151665) a respeito dos números conhecidos por “números de Fermat”.

A ideia de “todos os números” nos leva a supor que esse todo pode ser alcançado. De acordo com o autor, é enfatizada a Álgebra como “[...] aritmética generalizada, usando as letras como generalizações de modelos e padrões aritméticos”. (Manual do professor, p. 53).

O capítulo 6 (p. 123), Equações e sistemas de equações, aborda, entre outras idéias, a solução de um sistema linear. O autor ressalta que “[...] os pontos correspondentes às soluções de uma equação do 1º grau com duas incógnitas formam sempre uma reta” (p. 130), em vez de usar a ideia de que a equação x + 2y = 5 possui infinitas soluções. Na página 141, ao discutir as possíveis soluções de um sistema linear, o autor ressalta que o mesmo pode ter uma solução, não ter solução ou ter infinitas soluções. Esse último é chamado de possível e indeterminado e ressaltado que as retas que representam cada uma das equações são coincidentes. Tais equações são equivalentes.

O capítulo 7 traz Ângulos e triângulos como título e, na página 148, aborda a ideia da necessidade da generalização na Matemática:

Figura 53

Na página 159 é apresentada uma sequência em que primeiro aparece um triângulo (três lados), um quadrado (quatro lados), um pentágono (cinco lados), e os três pontinhos indicando que a sequência continua infinitamente. É proposta a seguinte questão: “À medida que o número de lados vai aumentando, o polígono regular tende a ficar parecido com que figura geométrica?”. Espera5se que o aluno responda que tende a ficar parecido com a circunferência.

No capítulo 8 (p. 188), Quadrilátero e circunferências, novamente é feito referência a respeito de “todos os pontos da circunferência”. Na atividade abaixo, é destacada a ideia de que uma circunferência de 128 lados “aparentemente” é um círculo:

Figura 54

Na página 223 é mostrada uma forma de calcular áreas utilizando papel pontilhado e a quantidade de pontos no interior delas. Tal atividade pode induzir no aluno a ideia de que a quantidade de pontos de uma determinada região é finita.

O capítulo 9 (p. 216) tem como título Perímetros, áreas e volumes. O capítulo 10 (p. 249) tem como título Equações e sistemas de equações fracionárias.