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RESUMO
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ABSTRACT
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SUMÁRIO
I TRODUÇÃO ...08
CAPÍTULO 1 " UM POUCO DE HISTÓRIA DO I FI ITO ... 13
CAPÍTULO 2 " LEVA TAME TO BIBLIOGRÁFICO ... 35
2.1 O artigo de Sampaio ... 35
2.2 A dissertação de mestrado de Amadei ... 39
2.3 A tese de doutorado de Santos ... 44
CAPÍTULO 3 " FU DAME TAÇÃO TEÓRICA E METODOLÓGICA ... 56
3.1 A Teoria dos Campos Conceituais ... 56
3.2 Análise de conteúdo ... 79
3.3 Procedimentos metodológicos ... 85
CAPÍTULO 4 " A ÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS ... 87
4.1 Livros da Educação Infantil ... 87
4.1.1 Três anos... 88
4.1.2 Quatro anos... 94
4.1.3 Cinco anos...97
4.2 Livros do Ensino Fundamental I ... 101
4.2.1 Livro do 1º ano ... 103
4.2.2 Livro do 2º ano ... 111
4.2.3 Livro do 3º ano ... 117
4.2.4 Livro do 4º ano ... 121
4.2.5 Livro do 5º ano ... 126
4.3 Livros do Ensino Fundamental II ... 132
4.3.1 Livro do 6º ano ... 134
4.3.2 Livro do 7º ano ... 138
4.3.3 Livro do 8º ano ... 144
4.3.4 Livro do 9º ano ... 149
4.4 Livro do Ensino Médio ... 153
CO CLUSÕES ... 174
I TRODUÇÃO
Este trabalho tem como proposta analisar livros didáticos e verificar, nas situações apresentadas, e consequentemente nos conceitos, indícios da abordagem da noção de infinito, seja de forma implícita ou explícita.
A motivação para a realização do mesmo partiu da minha prática docente, na qual surgiram questões relacionadas ao infinito. Percebi em tais questões que as ideias dos alunos em relação à noção de infinito eram extremamente ligadas aos números naturais e aos números inteiros, pensando sempre em grandezas discretas e dificilmente, ou praticamente nunca, em grandezas contínuas. Os processos ligados a grandezas contínuas são “[...] abandonados no ensino ou são enfatizados aspectos particulares que resultam numa ideia truncada de infinito [...]” (SANTOS, 1995, p. 112).
Até o sexto ano (antiga quinta série), os alunos têm contato com números naturais, e, portanto para eles o conceito de número está intrinsecamente relacionado ao processo de contagem. Ao trabalhar com o conjunto dos naturais (ou dos inteiros, se considerarmos o sétimo ano) a criança, é colocada frente à noção de infinito potencial, ligada à ideia de somar mais um e mais um... No caso das frações, essas são apresentadas como relação parte5todo e só posteriormente são apresentadas aos alunos como números racionais.
As dificuldades de aceitação da noção do infinito são apresentadas na história e também na aprendizagem dessa na sala de aula. Tomemos um exemplo que se configura um obstáculo para a aprendizagem: um segmento de reta é infinito considerando o conjunto de seus pontos. Porém esse mesmo segmento é limitado se considerarmos que seja determinado por suas extremidades (AMADEI, 2005, p. 60).
Pude perceber no comportamento de alunos do 7º ano, ao serem apresentados aos
números racionais, uma mistura de descrença e espanto ao saber que entre dois números racionais quaisquer, há infinitos outros números racionais. Afirmações do tipo: “Mas esse espaço tem começo e fim, como pode ter infinitos números? Não cabe professor”, me levaram a perceber que, mesmo tendo contato com vários conceitos ligados ao infinito, essa noção não foi trabalhada de forma direta ou indireta, ou ainda não tinha sido nem discutida.
dos alunos é uma reprodução do que se encontra na história da Matemática, visto que o infinito potencial sempre foi mais facilmente aceito, pois está ligado à ideia de contagem. Segundo Caraça (1951, p. 3),
Toda a gente sabe como as necessidades da vida corrente exigem que, a cada momento, se façam contagens – o pastor para saber se não perdeu alguma cabeça do seu rebanho, o operário para saber se recebeu todo o salário que lhe é devido, a dona de casa ao regular as suas despesas pelo dinheiro de que dispõe, o homem de laboratório ao determinar o número exacto de segundos que deve durar uma experiência – a todos se impõe constantemente, nas mais variadas circunstâncias, a realização de contagens.
A ideia é que podemos contar objetos e continuar a contar, acrescentando uma unidade. Mas a pergunta é até quando podemos efetuar esse processo? E a resposta pode ser: infinitamente, ou melhor, até quando quisermos ou pudermos.
Ressaltamos, porém, que chegará um momento em que a quantidade não terá referencial físico que a comporte. E essa é uma ideia muito forte e que, no nosso entender, dificulta a aprendizagem da noção de infinito: vivemos num mundo finito, espaços finitos... Como imaginar algo que não tenha fim?
O infinito atual, ou também chamado infinito completo, não é, em geral, aceito por contrariar o senso comum, visto que, na nossa realidade, não temos modelo de algo que seja infinito atual. Apenas na matemática encontramos tais modelos. Como ressaltou Galileu, estamos acostumados a pensar com nossa mente finita sobre coisas do infinito.
Ao nos depararmos com as questões expostas até aqui, decidimos investigar quais as condições que são oferecidas aos alunos para que o mesmo construísse a noção de infinito. Quais conteúdos estão ligados a essa noção? Quais situações poderiam se configurar como oportunidades para trabalhar essa ideia?
Para termos uma visão geral das condições apresentadas aos alunos, decidimos fazer a análise de livros didáticos referentes ao período da Educação Infantil ao Ensino Médio que estivessem de acordo com os PCN. Pretendemos verificar nas situações apresentadas, e consequentemente nos conceitos, indícios da abordagem da noção de infinito. Buscaremos quais são os elementos que, numa forma implícita, ou explícita, favorecem a constituição dessa noção, uma vez que na Educação Básica, que compreende o período da Educação Infantil até o Ensino Médio, essa noção não é objeto de estudo.
limite visto no primeiro ano do Ensino Médio. Tal tema é gerador de obstáculos na aprendizagem da Matemática em inúmeras situações, como as citadas anteriormente, relacionadas à densidade dos racionais que causaram estranheza tanto nos alunos quanto nos matemáticos ao longo da história.
Santos (1995, p. 8) reconhece que as dificuldades conceituais envolvidas na construção da noção de infinito pelo aluno não se constituem razões impeditivas para que experiências com processos infinitos possam ser vivenciadas na escola de primeiro grau com maior intensidade do que aquela que os programas de ensino lhes reservam.
Ele considera ainda que
Há um abismo considerável entre admitir o infinito como uma noção abrangente, diversificada, e que por isso se constitui em fértil campo para o trabalho pedagógico, e o que verdadeiramente se observa no ensino de primeiro grau. Mesmo não sendo reconhecidas como tal há várias situações em que o infinito se impõe como questão importante (SANTOS, 1995, p. 109).
Utilizamos como fundamentação teórica a Teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud, tendo a escolha desse referencial a justificativa da abrangência dos componentes que constituem a noção de infinito. Essa é uma teoria cognitiva e como tal, no tripé aluno5 saber5conhecimento, está mais voltada para o aluno. No entanto concebemos que tal teoria possibilita a análise de material didático na medida em que sua utilização é destinada à aprendizagem do aluno. Verificamos neste trabalho situações1, pois são essas e não os conceitos que constituem a principal entrada de um Campo Conceitual (VERGNAUD, 1996b, p. 156).
E para tanto optamos pela metodologia de Análise de Conteúdo, segundo a qual uma determinada mensagem pode ser analisada tanto do ponto do emissor quanto do receptor. Neste estudo, a proposta foi a de enfrentar os seguintes questionamentos: Há traços da noção de infinito em livros didáticos da Escola Básica? Quais são eles? E em que momento? De que forma aparecem? De forma aleatória ou sistematizada? Aparecem explicitamente ou de forma subjacente? A proposta do estudo é se apoiar na Teoria dos Campos Conceituais para a análise dos dados encontrados.
Com a análise das atividades que abordam a noção de infinito pontuamos a importância da noção de infinito na formação do pensamento matemático do indivíduo e também indicamos as possibilidades de incluí5lo como conteúdo nos diversos níveis de ensino
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1 Como melhor descreveremos no capítulo 3, o conceito de situação empregada por Vergnaud é diferente da de
da matemática, de modo compatível com as necessidades do desenvolvimento cognitivo dos sujeitos de cada nível escolar. A análise foi feita considerando quais atividades, ou “situações”, são apresentadas nos livros, de modo que favoreçam a compreensão da noção de infinito.
O infinito é uma noção presente em todos os anos da vida escolar, tanto na Educação Básica e mais ainda na Educação Superior, e que é construída em diversas etapas e por meio de várias situações, pois,
[...] a operacionalidade de um conceito deve ser experimentada por meio de situações variadas, e o investigador deve analisar uma grande variedade de condutas e de esquemas para compreender em que consiste do ponto de vista cognitivo, este ou aquele conceito. (VERGNAUD, 1996b, p. 165).
O objeto desta pesquisa é o material didático, e por isso não analisamos esquemas e nem condutas, mas sim, a partir das situações apresentadas em livros, utilizamos a ferramenta mais forte da Análise de Conteúdo que é a inferência para analisar quais condições estão sendo oferecidas aos alunos para que esses construam a noção de infinito.
Ressaltamos que os livros compreendem um período de escolarização de pelo menos quinze anos e isto vai ao encontro de nossa fundamentação teórica, visto que, segundo Vergnaud (2003, p. 53), a duração da aprendizagem é necessariamente longa. Ainda:
A Teoria dos Campos Conceituais aponta essencialmente no sentido de definir um objeto que seja de um tamanho razoável e de compreender como se desenvolvem os processos de conceitualização ao longo de vários anos. Pensa5se em processos a longo prazo, porque, mesmo quando se trabalha numa classe de criança de oito anos, por exemplo, nessa mesma classe há crianças muito mais rápidas e outras mais lentas. E, acontece que o professor não é capaz de propor a seus alunos a variedade de situações necessárias, nem de levar a ajuda necessária a cada um deles. Isso quer dizer que é necessário ter uma visão bastante ampla do processo de conceitualização. (VERGNAUD, 1998, p. 25).
Vergnaud (1998, p. 24) ressalta que, mesmo que ultimamente a Didática da Matemática se interesse por fenômenos os quais não tem relação direta com a Psicologia, esta tem ainda um papel interessante no processo de ensino5aprendizagem da matemática, pois segundo ele “[...] não se pode estudar matemática sem compreender o processo cognitivo da criança, do adolescente e também do professor”.
situações; se certas verdades, que constituem Teoremas em ato2, são delimitadas, ou são apresentadas com validade universal. E que a noção de infinito atual deve ser trabalhada antes de ser apresentada formalmente. Há conteúdos indicados nos livros didáticos que preparam a aprendizagem da noção de infinito atual, anteriormente à apresentação dos números racionais no sétimo ano.
Indicamos que são fornecidas possibilidades para que a noção de infinito seja construída no decorrer dos tempos, apoiando5se no que o aluno já conhece. Pois, semelhantemente a Piaget, Vergnaud parte da premissa de que devem existir desequilíbrios para que o aprendiz busque em seu repertório soluções para a situação ou, através das inferências, reelabore suas ações para agir de modo eficaz. Porém se ele não tem conhecimentos prévios, ou se estes não forem trabalhados, o que era para ser um desequilíbrio temporário, passa a ser uma ruptura na aprendizagem.
Para alcançar os objetivos aqui descritos, o trabalho está dividido em quatro capítulos descritos a seguir.
No primeiro capítulo é feito um levantamento histórico relativo à noção de infinito, visto que, como já ressaltado, dificuldades presentes na história de um determinado conceito podem remeter a dificuldades no ensino e na aprendizagem do mesmo (SANTOS, 1995, p. 203; AMADEI, 2005, p. 12; VERGNAUD, 1993b, p. 82).
No segundo capítulo foi feita uma revisão bibliográfica com alguns estudos que abordam a noção de infinito na Educação Básica, foco do nosso trabalho e cujos resultados foram levados em conta em nossas análises.
No terceiro capítulo apresentamos a fundamentação teórica, metodologia e também os processos metodológicos utilizados neste trabalho.
No quarto capítulo fazemos a descrição das análises dos livros.
Por último foram feitas as considerações finais e as referências utilizadas no trabalho.
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2 Teorema5em5ato não é equivalente a um teorema matemático; visto que tem validade local, não é explicitado,
CAPÍTULO 1 – UM POUCO DA HISTÓRIA DO I FI ITO
O estudo da noção do infinito com vistas ao ensino e aprendizagem da Matemática nos remete a fazer uma retomada de ideias presentes na História da Matemática, levando5se em conta constatações de que dificuldades presentes na história de um determinado conceito podem remeter em dificuldades no ensino e na aprendizagem do mesmo (SANTOS, 1995, p. 203; AMADEI, 2005, p. 12; VERGNAUD, 1993b, p. 82).
Os matemáticos de hoje fazem uso dos conjuntos infinitos a todo o momento, isso porque eles fazem parte de quase todos os assuntos da Matemática. No entanto não foi sempre assim, na realidade tais conjuntos tornaram5se conceitualmente consistentes na Matemática há menos de um século, pois para que a noção de infinito pudesse compor o conjunto de noções que constituem a Matemática teve de percorrer um longo percurso, cheio de dificuldades e de controvérsias. Uma possível razão para isso é que a noção de infinito não encontra modelos no mundo real, que é finito.
Neste capítulo pretendemos fornecer uma breve descrição desse percurso ao longo da história, cientes de que não o faremos de forma completa, pois nem é mesmo possível descrever todos os seus aspectos, que são muitos. Além do ponto de vista da Matemática, o infinito pode ainda ser abordado, por exemplo, do ponto de vista da Filosofia, da Teologia e também da Física. Mesmo se considerarmos apenas a História da Matemática, não seria possível esgotar o assunto a respeito do infinito.
Nossa intenção é apresentar algumas ideias de matemáticos (ou não matemáticos) e suas ligações com essa noção. Determo5nos um pouco mais em Cantor (184551918), tratando5 se de uma opção pessoal motivada pela ideia de que foi ele quem conseguiu comparar os conjuntos infinitos.
Por exemplo, apenas citamos um matemático do século XIX, Bernard Bolzano (17815 1848), discípulo de Leibniz (164651716), que desenvolveu estudos a respeito de conjuntos infinitos. Bolzano escreveu Os paradoxos do infinito, obra em que lançou sementes para que
Cantor desenvolvesse sua teoria dos conjuntos. Deixaremos aqui indicado o trabalho de Amadei (2005), que faz um estudo mais detalhado a respeito de Bolzano e seus paradoxos.
qual seria o estado final da lâmpada? Acesa ou apagada? Tal questão surgiu em discussões filosóficas sobre a natureza da infinidade sendo que alguns filósofos afirmavam que sua condição final seria acesa e outros afirmavam que sua condição final seria apagada (MORRIS, 1998, p. 29, nota).
Outra questão que gerou muitas discussões filosóficas sobre a natureza da infinidade é com relação ao tempo: o tempo é finito ou infinito? Teve começo? Terá um fim? O filosofo alemão Immanuel Kant (172451804) no século XVIII, em seu livro Crítica da razão pura
(apud MORRIS, 1998, p. 33), afirmou que era absurdo supor que o tempo era infinito. Se uma quantidade infinita tivesse transcorrido antes do presente, também teria que ter ocorrido um número infinito de eventos, o que era impossível.
Mas Kant não estava tentando provar que o tempo é finito, pois essa ideia também leva a outra contradição: Se o tempo tivesse um começo, então, o que aconteceu antes? Também não pode ter um fim, pois surgiria a questão: o que aconteceria depois? Kant estava tentado a provar que, como o tempo não podia ser nem finito nem infinito, este seria algo inato da mente humana e não uma característica do mundo externo.
Alguns povos acreditavam que a história se repete de períodos em períodos, ou seja, que o tempo é cíclico. Os hindus, por exemplo, concebiam ciclos cósmicos e acreditavam que o mundo é destruído e recriado periodicamente. Durante o período védico (cerca de 1500 a 600 a.C.), sábios indianos elaboraram essa ideia e conceberam ciclos dentro de ciclos. O menor ciclo equivalia a 360 anos e o maior a 300 trilhões de anos, sendo esse, para eles, correspondente às vidas dos deuses (MORRIS, 1998, p. 35).
No Novo Mundo, os Astecas e os Maias também acreditavam em tempos cíclicos, e ainda em catástrofes cíclicas. Aristóteles (3845322 a.C.) também considerava o tempo como sendo cíclico.
Considerando o tempo dessa forma, não poderia haver infinitos eventos passados, e, sim, eventos que se repetem. Não existiria uma infinidade de ciclos, pois o mesmo ciclo se repetiria uma infinidade de vezes.
A concepção usual de tempo é linear, entendendo que esse se estende infinitamente para o passado e infinitamente para o futuro. O mundo foi criado a partir de um determinado tempo. Essa concepção linear de tempo é uma possível herança judaico5cristã mantida pelo Cristianismo.
tempo não existia antes da Criação. O tempo e o mundo nasceram juntos e perguntar o que Deus fazia antes da Criação não tinha sentido.
Essa mesma resposta é dada pelos cientistas atualmente: segundo os quais não houve um “antes”, sendo o tempo, espaço e matéria criados juntos, nobig bang. Porém ainda hoje os
cientistas não sabem se o tempo é finito ou infinito.
Com relação ao espaço, podemos citar o filosofo italiano Giordano Bruno (154851600) e sua ideia de que os seres humanos viviam num Universo infinito que continha um número infinito de mundos. Tais ideias eram consideradas heréticas e por conta delas ele foi queimado vivo no ano de 1600 (MORRIS, 1998, p. 53).
No final do século XVII, a ideia de que o Universo era infinito era bastante difundida, e Galileu (156451642) foi um dos que se inclinava para ela. Quando Galileu virou seu telescópico para o céu (sendo provavelmente o primeiro a fazê5lo) pôde observar muitas estrelas que não poderia observar a olho nu. E quanto mais potente o telescópico, mais estrelas ele poderia ver. Como tal processo de aumentar a potência do telescópico teoricamente não teria fim, o número de estrelas a descobrir também não teria e com isso, era concebível que o Universo fosse infinito.
Mas, mesmo infinito, o Universo não poderia ser diretamente observado. Se o Universo tem 15 bilhões de anos, é impossível enxergar qualquer objeto que esteja a uma distância maior do que esses 15 bilhões.
Os gregos foram os primeiros a lidar com a questão do infinito, gerando até mesmo o que alguns historiadores da Matemática chamam de “horror ao infinito”. Na época, os pitagóricos acreditavam que qualquer segmento era constituído por um número determinado de pontos (BARTHÉLEMY, 1999, p. 38).
Os gregos sabiam demonstrar que a representação decimal do número resultante dessa razão não era finita, e que não podia ser expresso como um quociente de dois números
inteiros. Hoje sabemos que esse número é , um número irracional, porém o número
irracional “não existia” na Matemática grega de tal época.
Outro número irracional que podemos citar é o número π, que é o comprimento da circunferência de diâmetro 1. É interessante ressaltar que o número π motivou uma disputa entre matemáticos: determinar casas de sua representação decimal. Com o advento do computador, pode5se conhecer casas decimais do número π de ordem muito alta, chegando a 1,3 trilhão de casas decimais.
A disputa, de fato, ocorria para descobrir se havia periodicidade na representação decimal de π, ou seja, para se descobrir se π era racional. Em 1882, Ferdinand Von Lindemann (185251939) resolve essa questão da periodicidade, ao provar que π não era um número algébrico, e, portanto, não racional.
A noção de infinito desempenhou um papel relevante na constituição das noções do cálculo. “Os primeiros problemas da história do Cálculo diziam respeito ao cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos.” (EVES, 2004, p. 418).
Para os gregos, calcular uma área significava compará5la com outras áreas já conhecidas, determinando assim a relação entre elas. Tal método era chamado deQuadratura.
O termo “quadratura” se originou de um dos três problemas clássicos da Antiguidade, a
saber: a duplicação do cubo, a trissecção do ângulo e a quadratura do círculo, problemas esses que contavam com a ressalva que deveriam ser feitos utilizando apenas instrumentos euclidianos que são o compasso e a régua sem escala.
Posteriormente ao problema da quadratura do círculo em específico, toda vez que era usado o processo de reduzir uma região em regiões cujas áreas se sabiam calcular, esse processo recebia o nome de“quadratura”.
Arquimedes, mesmo sabendo que a quadratura do círculo não tinha sido obtida, se dedicou a obter a quadratura da parábola, fato esse notável, pois “Não é a parábola mais complicada que o círculo? Não seria de se esperar que sua quadratura fosse mais difícil que daquele?” (ÁVILA, 1986, p. 38).
O método mecânico de Arquimedes [...] exige a decomposição de figuras planas em segmentos retilíneos ou de volumes em áreas. Assim os corpos geométricos são vistos como agregados de elementos “indivisíveis”, como os segmentos retilíneos das figuras planas ou áreas no caso dos sólidos. Mas essa concepção atomística esbarrava nas dificuldades que o infinito trazia para o raciocínio matemático. (ÁVILA, 1986, p. 43).
Tais dificuldades se apresentavam em questões como, por exemplo, ao se considerar um sólido como um agregado de figuras planas, seu volume podia ser obtido como a soma de uma infinidade de áreas? Ou como um soma de volumes infinitamente pequenos?
Arquimedes não respondia a essas questões, ciente da eficácia de seu método como instrumento útil de descoberta e eficácia em suas mãos, ou nas mãos de matemáticos da sua época ou do futuro.
Segundo Garding (apud ÁVILA, 1986, p. 44),
Dentre as razões porque Arquimedes não teve seguidores imediatos estão seus dotes muito superiores, o efeito esterilizante que a ciência romana teve sobre a ciência grega em geral e a própria natureza do argumento indireto de demonstração que, como já dissemos, não se presta a descobertas novas.
Somente dezoito séculos depois o método dos indivisíveis seria novamente abordado nas obras de Kepler, Galileu, Cavalieri, entre outros, sendo um dos métodos que contribuíram para a constituição do Cálculo Infinitesimal.
O infinito aparece na Matemática grega por meio de Zenão e seus paradoxos ou argumentos como ele chamava, envolvendo divisões do tempo e do espaço. Zenão nasceu em Eleia (atualmente Vélia, Itália), por volta de 490 a.C. e morreu por volta de 430 a.C. Foi discípulo de Parmênides de Eleia e defendia a filosofia de seu mestre, segundo a qual, ideias não deveriam ser diretamente refutadas e, sim, deveriam ser mostrados os absurdos referentes a elas que se queria refutar. E, como consequência desses absurdos, poder5se5ia concluir que tais ideias eram falsas.
Por meio desse raciocínio, chegou5se a um paradoxo e Zenão mostrou que as mônadas não eram os menores segmentos existentes. É interessante ressaltar que ele não refutou diretamente a existência das mônadas e sim a aceitou como verdade, chegando a um absurdo e, consequentemente, que sua existência era falsa.
Zenão ficou conhecido pela criação de cinco paradoxos, batizados posteriormente de “Paradoxos de Zenão”:Aquiles e a Tartaruga,A dicotomia, Argumento da flecha, Argumento
do EstádioePluralidade.
Ao propor tais paradoxos, Zenão não estava simplesmente propondo questões sem nenhum objetivo. Ele tentava provar que o movimento, assim como a multiplicidade, era apenas ilusão, e os que acreditavam na realidade estavam sendo enganados por seus sentidos.
Para Zenão, o movimento era apenas ilusão de nossos sentidos, e, para propor que o mesmo não existia, seguiu as ideias de seu mestre: ele não refutou diretamente a existência do movimento e sim criou paradoxos, como o de“Aquiles e a Tartaruga”e o da“Flecha”, que
mostravam incoerências do movimento e, por conseguinte, induzia à ideia de que o movimento não existia.
O acesso aos paradoxos não foi feito de forma direta, pois os escritos de Zenão se perderam e a única versão que pôde ser analisada foi a de Aristóteles, que, diga5se de passagem, foi quem distinguiu dois tipos de infinito – potencial e atual –, sendo que ele aceitava apenas o primeiro. Aristóteles também atribuiu a Zenão a invenção da dialética, uma forma de conduzir o pensamento, usada nos diálogos platônicos, para mostrar que uma determinada ideia leva a uma contradição.
Muitas vezes, Sócrates (4695399 a.C.), mesclando a ideia da dialética com o método socrático, pedia a uma pessoa que emitisse uma opinião e em seguida demonstrava que tal ideia levava a uma contradição ou a uma conclusão absurda.
Zenão poderia estar usando a dialética ao propor o paradoxo deAquiles e a Tartaruga:
Aquiles deve disputar uma corrida com uma tartaruga e, sendo o mais veloz dos dois, concede uma vantagem inicial à tartaruga. Quando Aquiles atingir o ponto de partida da tartaruga, essa estará um pouco à frente; quando Aquiles atingir o segundo ponto, novamente a tartaruga estará um pouco à frente e assim infinitamente.
Zenão não afirma que Aquiles não alcançaria a tartaruga e sim que era impossível para Aquiles efetuar um número infinito de atos. Mesmo sabendo que Aquiles alcança a tartaruga, não podemos simplesmente refutar o paradoxo.
denominar ponto C. Porém para ir de A até C devemos ir até a metade e assim por diante reiteradamente.
Assim, segundo Zenão, não é possível completar uma jornada, pois, para percorrer uma distância qualquer, é necessário efetuar um número infinito de atos. Ele sabia obviamente que as pessoas podem caminhar, apenas queria entender como isso era possível.
Por meio desses problemas, Zenão conseguiu mostrar que um segmento de reta de comprimento finito pode ser dividido em infinitos segmentos menores também de comprimentos finitos. Tais argumentos conduziram à discussão sobre infinito potencial e infinito atual que perdura por vários séculos. “Nenhuma explicação satisfatória foi dada para os argumentos de Zenão, até a criação do contínuo e da teoria dos agregados por Georg Cantor.” (CAJORI, 2007, p. 55).
Além dos paradoxos de Aquiles e também da dicotomia, Zenão propôs os paradoxos da flecha e do estádio. O primeiro diz que uma flecha em pleno vôo encontra5se em repouso em qualquer instante que analisemos, pois se o tempo é formado de instantes atômicos indivisíveis, então uma flecha está sempre parada, posto que em cada instante ela esteja numa posição fixa. Logo a flecha jamais se move.
O segundo paradoxo argumenta que é impossível que a subdivisibilidade do tempo e espaço termine em indivisíveis. Os paradoxos de Zenão podem também ser considerados como um prenúncio de uma das crises da Matemática: a criação do cálculo por Newton (164251727) e Leibniz no final do século XVII, pois, até as ideias do cálculo estavam assentadas sobre bases não muito sólidas.
Tais paradoxos
[...] desafiam as seguintes crenças da intuição comum: de que a soma de um número infinito de quantidades positivas é infinitamente grande, mesmo que cada uma delas seja pequena [...] e de que a soma de um número finito ou infinito de quantidade de dimensão zero é zero.(EVES, 2004, p. 418).
Não são totalmente exatos os motivos pelos quais Zenão criou tais paradoxos. Ainda hoje tais motivos são o cerne de muitas discussões entre filósofos e cientistas. Alguns acreditam que ele estava rebatendo a ideia de que o espaço e o tempo eram infinitamente divisíveis, apenas para defender seu mestre.
Com relação ao tipo de infinito, potencial ou atual, o primeiro é mais facilmente aceito por conta da operação somar mais um, considerando os naturais, ou subtrair um, considerando os inteiros. O processo de contar já era conhecido das sociedades primitivas constituídas por caçadores e pastores que, não tendo habitação fixa, estavam sempre procurando novas pastagens e também novos locais para caçar.
Tanto caçadores quanto pastores viviam em bandos para facilitar sua sobrevivência. Os caçadores tinham a necessidade de contar para saber quanto caberia a cada um do que foi caçado.
Os pastores tinham necessidade de saber se seu rebanho liberto de manhã havia retornado toda à tarde. Para cada ovelha que esses liberavam eles colocavam uma pedra em um saco e para cada ovelha que retornava ele tirava uma pedra do saco.
Se sobrassem pedras era sinal de que alguma ovelha não havia retornado e, se faltassem pedras era sinal de que alguma ovelha de outro rebanho havia se misturado ao seu. A palavra que usamos hoje – cálculo – é derivada da palavra latina calculus, que significa
pedrinhas. Assim, calcular significa literalmentecontar pedras.
Para que fosse feita a contagem era necessário fazer uma correspondência biunívoca entre elementos de dois conjuntos: a cada elemento de um conjunto associava5se um elemento do outro conjunto.
Esses são procedimentos muito antigos sobre a necessidade de contar, o que nos pode levar a pensar que a correspondência um a um é a forma mais elementar de contagem. Tal método pode ser empregado até por uma criança que não saiba contar, pois se ela fizer a correspondência cada par de sapatos um par de meias, sem sobrar nem meias nem sapatos, poderá concluir que os dois conjuntos têm o mesmo número de elementos.
Seguindo esse princípio, Galileu Galilei percebeu que poderia colocar em correspondência biunívoca todos os inteiros e seus quadrados (entendendo quadrado como a multiplicação do número por ele mesmo).
Sabemos que, pelo mais elementar método de contagem, se há uma correspondência um a um entre os elementos de dois conjuntos, então esses dois conjuntos têm a mesma cardinalidade.
Galileu também pôde, ao analisar um dos paradoxos medievais, perceber que os pontos de duas circunferências concêntricas podem ser colocados em correspondência um a um como na Figura 1 na qual a correspondência é estabelecida por meio de retas que passam por esses pontos e o centro. Na Figura o ponto A está em correspondência com B por meio da reta ABO. Idem para C e D. Assim pôde concluir que a quantidade de pontos da circunferência menor é o mesmo que os da circunferência maior, o que não seria esperado.
Figura 1
Galileu, em seu Dircorsi de 1638, considerou o seguinte paradoxo: Suponha que o
círculo maior da Figura 2 tenha dado uma volta completa ao rolar numa linha reta de P a P’, de maneira que o segmento PP’ é igual ao comprimento da circunferência do círculo maior. Então o círculo menor, preso ao maior, também faz uma volta completa de modo que o segmento QQ’ é igual à circunferência do círculo menor. Dessa forma pode5se considerar que os comprimentos das duas circunferências são iguais? Como isso é possível se uma é menor que a outra?
Figura 2
Tal paradoxo é conhecido como “Roda de Arquimedes”. Galileu, porém, já estava envolvido em um conturbado conflito com a Igreja Católica por afirmar, assim como Copérnico (147351543), que corpos pequenos giram em torno de corpos maiores e, em consequência disso que o Sol, e não a Terra era o centro do Universo.
do Universo. Devido a essas afirmações publicadas em um livro, Galileu, em 1633, foi convocado a comparecer perante a Inquisição e negar suas ideias. (MORRIS, 1998, p. 49).
Talvez por conta de todas essas atribulações, Galileu, mesmo percebendo que tinha algo muito diferente com os conjuntos infinitos, sendo até mesmo o primeiro a notar a ideia de equipotência desses, preferiu evitá5los e simplesmente afirmou que a infinidade era “inerentemente incompreensível”.
Quanto à questão de o Universo ser finito ou infinito, Galileu escreveu que não era capaz de conceber nem um Universo finito e limitado, nem um Universo infinito e ilimitado. Porém, pelo fato do infinito não poder ser compreendido pela nossa realidade finita, ele preferiu a segunda possibilidade. “Ficar perplexo ante o incompreensível era preferível a ser incapaz de compreender o finito.” (MORRIS, 1998, p. 62).
No Renascimento, Bonaventura Cavalieri (159851647), um aluno de Galileu faz uso do método dos indivisíveis que ocupa uma posição intermediária entre o método de exaustão dos gregos e os métodos de Newton e Leibniz. Por esse método, Cavalieri calcula volumes de corpos sólidos mediante a suposição de que esses eram feitos de números imensos de lâminas infinitamente finas (planos): os “indivisíveis”. Mas esse método, apesar de possibilitar resultados corretos, deixou a desejar em termos de argumentos científicos. Isso por que:
Se uma reta não possui, em absoluto, largura, nenhuma delas, por maior que seja jamais poderá produzir uma área; se um plano não possui de forma alguma espessura, então um número infinito deles, nunca formará um sólido. (CAJORI, 2007, p. 230).
Mesmo com críticas, o método de Cavalieri, dos indivisíveis, foi usado por cinquenta anos. Outros matemáticos desenvolveram estudos baseados nas ideias de Cavalieri, tais como Roberval (160251675), Pascal (162351662), Fermat (1601?51665) e Wallis (161651703). Roberval e Fermat melhoraram o método de Cavalieri, considerando uma área como sendo composta de um número indefinido de retângulos em vez de retas, e um sólido como sendo composto por um número indefinido de pequenos sólidos e não superfícies. As publicações de Wallis foram intensamente estudadas por Newton, que definiu a velocidade instantânea como a razão de dois infinitésimos, ou seja, como a divisão entre uma distância tendendo a zero por um tempo tendendo a zero.
A Academia recebeu 23 artigos, dos quais nenhum apresentava uma resposta a contento. Assim, o prêmio foi entregue ao matemático suíço Simon L’Huiller (175051840) que chegou mais próximo da resposta em seu artigo com o seguinte tema: O Infinito é o
abismo em que nossos pensamentos são tragados(MORRIS, 1998, p. 79).
Ao longo de todo o século XVIII, os matemáticos procuraram dar ao Cálculo um fundamento rigoroso. Somente em 1821, o matemático francês Augustin5Louis Cauchy (178951857) conseguiu uma maneira de tratar o difícil conceito de infinitésimo, definindo para isso a ideia delimite.“Ele deixa claro que é necessário adotar, em Matemática, o espírito
de rigor exposto em seu famoso livroLeçons d´Analyseno qual ele introduz a noção de limite
como substituta à noção vaga e imprecisa de infinitésimo.” (LINTZ, 2007, p. 343). Para Lintz,
Cauchy ocupa na história da Matemática a posição que Eudoxo ocupou na Matemática grega. Diz ele:
Com mais precisão, Eudoxo resolveu o “impasse dos incomensuráveis”, na Geometria grega com sua “teoria das magnitudes”, como exposta no livro V dos
Elementosde Euclides e Cauchy resolveu o “impasse dos infinitésimos” com sua
“teoria de limites”. (LINTZ, 2007, p. 357).
A ideia de limite libertou o Cálculo de especulações metafísicas, nascendo assim a Análise; também veio oferecer uma solução para o paradoxo de “Aquiles e a tartaruga”, de
Zenão, que supunha que a soma de infinitos intervalos de tempo era infinita, necessitando então de um tempo infinito para alcançar a tartaruga. Os intervalos de tempo, nesse caso, formam uma série geométrica cuja soma converge para um valor finito, em que Aquiles encontra a tartaruga. Tal valor é o limite da série geométrica convergente.
Mas, mesmo com Cauchy, o Cálculo ainda necessitava de uma fundamentação rigorosa, sendo essa alcançada cinquenta anos depois por Karl Weierstrass (181551897), que refinou os métodos de Cauchy.
Mas ainda não podíamos dizer que a Análise se assentava em bases sólidas, pois em qualquer demonstração nessa área sempre terminávamos com a questão da continuidade da reta, ou certos fatos fundamentais dos números como a existência do supremo ou noções equivalentes. Em poucas palavras, não se sabia o que realmente “existia” em análise: isso só ficou claro com a invenção da teoria dos números reais com Weierstrass, Cantor e Dedekind. Em todos esses processos, aparece como “leit motiv” a noção de infinito. (LINTZ, 2007, p. 466).
Standard, em que um infinitésimo é um número maior que zero, porém, menor que qualquer número positivo.
O que foi exposto até o momento já dá uma pista de quão difícil e controverso foi, e continua a ser, a noção de infinito. Acrescentam5se as intricadas questões de comparação entre dois conjuntos infinitos, e a possibilidade de se conceber que um deles temmaispontos
que o outro, podendo5se assim afirmar que o conjunto dos números naturais, por exemplo, tem amesma quantidade de elementos que o conjunto dos números racionais. Essas questões
foram tratadas por Cantor.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nasceu em 3 de março de 1845 em São Petersburgo, Rússia. Seu trabalho, num certo sentido, dá continuidade aos argumentos ligados aos paradoxos de Zenão e reflete seu simpático respeito por especulações escolásticas medievais sobre a natureza do infinito. “[...] as especulações medievais sobre o continuum, populares entre os pensadores escolásticos, como S. Tomás de Aquino, mais tarde influenciaram o infinito cantoriano do século dezenove.” (BOYER, 1996, p. 179580).
Cantor estuda Matemática com professores como Kummer (181051893), Weierstrass e Kronecker (182351891). Em 1868, recebeu o título de doutor pela Universidade de Berlim, com uma tese sobre Teoria dos Números.
E por influência de um de seus colegas, Heinrich Eduard Heine (182151881), que trabalhava com a aproximação de funções por meio das séries trigonométricas, Cantor passa a trabalhar com o problema da unicidade da série trigonométrica que convergisse a uma determinada função.
Em 1872, contando com 27 anos, ele publica um artigo em que apresenta uma solução muito geral para o problema. Em tal solução encontrava5se tambem o embrião do que mais tarde seria a Teoria dos Conjuntos Transfinitos.
Tal trabalho sobre unicidade teve início com Fourier (172251837), que em 1822 mostrou que o gráfico de uma curva quase suave (que apresenta um número finito de
descontinuidade) poderia representar5se em todo o intervalo de definição como soma de uma série trigonométrica infinita.
Dizendo de outro modo, se sobrepormos uns sobre outros um número infinito de ondas senoidais e cossenoidais em todos os pontos do intervalo, com excessão para os pontos de descontinuidades podemos aproximar a curva com a precisão desejada.
Mas para justificar a substituição da função pela série seria necessária a sua unicidade. Cantor trabalhou nesse problema de unicidade chegando ao primeiro resultado: se a função é contínua em todos os pontos do intervalo de definição, então sua representação trigonométrica está unicamente determinada. Seu passo seguinte foi diminuir a exigência a respeito de a função ser contínua em todo o intervalo de definição, passando a demonstrar que o mesmo resultado será obtido se a função contiver um número finito de pontos de descontinuidade, pontos esses chamados por Cantor de “especiais”.
Ao buscar um resultado mais geral, Cantor chegou a uma notável descoberta: o gráfico poderia ser aproximado por uma única série trigonométrica, mesmo que o número de pontos de descontinuidade fosse infinito, sendo necessário para isso que tais “pontos especiais”, estivessem distribuídos no eixo x de uma maneira específica.
O passo mais importante da prova reside na descrição detalhada do conjunto de pontos especiais, e, para isso, Cantor percebeu que era necessário fornecer um método satisfatório para analisar ocontinuumdos pontos do eixo x (DAUBEN, 1995, p. 96597).
Dessa forma, estudando séries trigonométricas, Cantor começou a se interessar mais pelas relações entre os pontos do contínuo, sendo que para ele era evidente que a cada ponto da reta correspondia um número real e, reciprocamente, a cada número real correspondia um, e apenas um, ponto da reta.
Assim o problema de descrever o processo contínuo de pontos em uma linha era equivalente ao problema de definir e investigar as propriedades do sistema de números reais. Na época, a teoria dos números reais apresentava suas maiores dificuldades em conceituar número irracional. Cantor resolveu focar o problema de um ângulo sugerido por Weierstrass, seu professor de Faculdade, que consistia em considerar o conjunto R das sequências fundamentais (hoje denominadas sequências de Cauchy) de números racionais; em munir esse conjunto da seguinte relação de equivalência ~: “duas sequências fundamentais de números
racionais (x n) e (y n) são equivalentes segundo ~ se e somente se: para todo um
inteiro N tal que < para todo n > N.” Os elementos do conjunto quociente R/~ são os números reais. Assim, o número irracional , por exemplo, seria o elemento de R/~ que contém a sequência: 1; 1,4; 1,41; 1,414; ... . E com essa definição todos os números irracionais podem ser imaginados como pontos geométricos situados sobre uma reta numérica, da mesma maneira como tinha sido feito com os números racionais.
Desde os tempos de Aristóteles, a noção de conjunto infinito atual era rejeitada por filósofos e matemáticos, em parte devido aos paradoxos que essa noção causava.
Galileu já havia salientado que, se em Matemática fosse admitida a noção de conjuntos infinitos atuais, haveria tanto números inteiros quanto seus quadrados, sendo o primeiro a notar a ideia de equipotência de conjuntos infinitos, ponto fundamental na teoria dos conjuntos de Cantor.
A infinidade plena recebeu forte oposição desde Aristóteles. Teólogos, como São Tomás de Aquino, argumentaram que essa ideia de infinito atual se constitui um desafio direto à natureza infinita e absoluta de Deus.
Tomás, seguindo os argumentos aristotélicos, afirmava que não se podia admitir uma série infinita de seres que se movem, movendo por sua vez outros seres e isso continuando ao infinito. É preciso que haja um motor primeiro, não movido por nenhum outro, e que, segundo esse argumento aristotélico, é Deus.
Os matemáticos estavam dispostos a aceitar apenas o infinito potencial. Em uma carta a Heinrich Schumacher, Carl Friedrich Gauss (177751855) escreveu que protestava contra qualquer uso feito do infinito “completado”, considerando o infinito apenas como façon de
parler (maneira de falar) de limite, sendo essa afirmação qualificada por Cantor como
autoritária (DAUBEN, 1995, p. 98).
Ao falar de limite, evitam5se os paradoxos do infinito atual. Gauss cita que, quanto mais números forem obtidos da expansão decimal de π, maior a precisão do valor de π. Porém, ele insistia que, mesmo que fossem dados todos os valores da expansão decimal, não se deveria considerar que o valor exato de π tivesse sido determinado, pois considerar isso seria o mesmo que considerar um conjunto infinitocompletadoe isso ele não aceitava.
Cantor não foi o único a estudar as propriedades do contínuo, pois conheceu e se tornou amigo de outro jovem matemático chamado Richard Dedekind (183151916), que dois anos antes havia publicado uma definição para conjunto infinito: “Diz5se que um sistema S é infinito quando é semelhante a uma parte própria dele mesmo; caso contrário S se diz finito.” (BOYER, 1996, p. 392). Numa terminologia mais moderna, essa definição de Dedekind seria assim: “Um conjunto S de elementos se diz infinito se os elementos de um subconjunto próprio S’podem ser postos em correspondência biunívoca com os elementos de S” (BOYER, 1996, p. 392).
conjunto de racionais é um corte se: (I) contém pelo menos um racional, mas não todos
os racionais; (II) de p e q<p resulta q não existe racional máximo
(RUDIN, 1971, p. 3). Tais ideias foram publicadas em 1872, mesmo ano da publicação de Cantor, no artigoContinuidade e ,úmeros Irracionais.
Em tal artigo, Dedekind expõe uma ideia, que mais tarde Cantor explora com mais atenção, de que reta é infinitamente mais rica em pontos do que o domínio dos números racionais em números individuais.
Dedekind afirma que, embora o conjunto dos racionais seja denso (entre dois números racionais quaisquer há sempre um racional entre eles), tal conjunto não é contínuo. Ele fez tal afirmação baseando5se que entre os racionais podemos ainda ter infinitos irracionais.
Porém para a pergunta: “Qual conjunto era mais rico em pontos: o conjunto do contínuo (reais) ou o conjunto dos números racionais?”, Dedekind não tinha resposta e coube a Cantor respondê5la. O axioma que atualmente se chama axioma de Cantor5Dedekind responde a essa pergunta ao afirmar que “[...] os pontos sobre uma reta podem ser postos em correspondência biunívoca com os números reais” (BOYER, 1996, p. 390).
Cantor usou a mesma ideia de Galileu ao fazer a correspondência biunívoca entre elementos de conjuntos diferentes, transformando esse processo de fazer corresponder um a um em uma maneira de comparar os conjuntos infinitos. Assim como Dedekind, ele reconheceu a propriedade fundamental dos conjuntos infinitos, porém ele foi além ao afirmar que os conjuntos infinitos não são todos iguais.
Cantor percebeu que, o que para Galileu era uma inconsistência, na realidade se tratava de uma propriedade inerente aos conjuntos infinitos. Por exemplo, o conjunto dos números inteiros positivos tem o mesmo cardinal do conjunto dos seus quadrados porque pode ser feita a correspondência biunívoca entre seus elementos.
A mesma ideia de correspondência biunívoca pode ser utilizada nos conjuntos finitos e quando existe tal correspondência dizemos que dois conjuntos têm o mesmo número de elementos. Mas se tratando de dois conjuntos infinitos, se estão em correspondência biunívoca dizemos que eles têm o mesmo cardinal, pois, nesse caso, “mesmo número de elementos” não faz sentido.
Cantor construiu uma hierarquia dos conjuntos infinitos e, quando dois conjuntos infinitos estão em correspondência biunívoca, ele disse que os dois têm a mesma“potência”,
O“menor”dos conjuntos infinitos era o conjunto dos naturais representado pela letra
alef do alfabeto hebreu com índice zero “ℵ0”. Qualquer conjunto com cardinal “ℵ0” é
numerável, como, por exemplo, o conjunto dos inteiros, dos números pares, dos ímpares, dos quadrados, dos primos e também dos racionais.
Quanto a este último, por ser um conjunto denso nos reais, esperava5se que sua cardinalidade fosse maior que a dos números naturais. Mas não é. Cantor exibiu um método tão rigoroso quanto genial, segundo o qual, o conjunto dos números racionais poderia ser colocado em correspondência biunívoca com o conjunto dos números inteiros.
Tal método toma por base o fato de que todo número racional pode ser escrito na forma de uma fração m/n sendo m, n inteiros com n diferente de zero. Cantor mostra então que o conjunto dessas frações pode ser colocado em correspondência biunívoca com os números naturais, organizando5os em linhas e colunas assim: A primeira linha contém, em ordem crescente, todos os números naturais em forma de fração com denominador 1; a segunda linha todas as frações com denominador 2; a terceira linha todas as frações com denominador 3 e assim por diante todos em ordem crescente como mostrado na Figura 3.
Figura 3
Nessa construção aparecem todos os números racionais positivos. Fazendo uma lista na ordem de sucessão indicada pelas flechas, excluindo os que se repetem, obtemos uma sequência infinita 1, 2, 1/2, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4,... na qual cada racional aparece apenas uma vez. Como podemos escrever essa sequência na forma (r1,r2,r3,..., rn,...) e também podemos
equipotentes ao conjunto dos naturais, conclui5se que o conjunto dos racionais tem potência igual aℵ0.
Os conjuntos que podem ser colocados em correspodência biunívoca com os inteiros positivos foram chamados por Cantor de “Enumeráveis”. Podemos ainda dizer que um
conjunto é enumerável se for equivalente ao conjunto dos naturais.
Dizer que o conjunto dos racionais é do mesmo tamanho do conjunto dos inteiros
contraria a lógica do finito e a ideia de que o todo é sempre maior que a parte.
Cantor demonstrou ainda que não era possível colocar em correspondência biunívoca os números reais e o conjunto dos inteiros positivos. Para isso, ele usou a demonstração por absurdo e utilizou o fato de que todo racional tem representação decimal. Ele fez a demonstração para os reais positivos e menores que 1. Ele supôs que tal correspondência existisse e que então os reais poderiam ser colocados numa sequência da forma:
1→ 0,a11a12a13...
2→ 0,a21a22a23...
3→ 0,a31a32a33...
Onde os diversosa’ssão digitos de 0 a 9. Ora, qualquer número do tipo 0, b1b2b3b4...
onde b1≠a11,b2≠a22, b3≠a33... será diferente dos 0, aijpor pelo menos um dígito, ou seja, estará
fora da lista que deveria conter todos os reais, se eles fossem contáveis. Chegando a um absurdo, Cantor demonstrou que tal correspondência não existia, sendo este processo conhecido por diagonalização de Cantor.
Essa demonstração leva em consideração apenas os números reais do intervalo real , mas, como esse intervalo é subconjunto da reta, então ela própria não pode ser
enumerável.
O conjunto dos números reais pode ser classificado em racionais e irracionais e, também, em transcedentes e algébricos. Os números algébricos são aqueles que são soluções de uma equação polinomial de coeficientes inteiros, e os transcedentes são os outros. Na época de Cantor, os números transcedentes eram um verdadeiro enigma. Cantor mostrou, com relativa facilidade, que existiam os números transcedentes. Como o conjunto dos reais é a união entre os racionais e irracionais (algébricos ou transcedentes) e os números racionais e os números algébricos são enumeráveis e a união de enumeráveis é enumerável, ele concluiu que são os transcedentes que fazem com que os números reais sejam não enumeráveis.
Cantor estabeleceu a Teoria dos Conjuntos como uma disciplina matemática completamente desenvolvida, que iria influenciar profundamente a Análise Matemática do
século XX. Tal disciplina é chamada de Mengenlehre (teoria das coleções) ou
Mannigfaltigkeitslehre(teoria das multiplicidades).
Quando dois conjuntos são equipotentes, dizemos que eles têm o mesmo número cardinal. Se o conjunto é finito, seus números cardinais podem ser associados aos números naturais; quando se trata de conjuntos infinitos, seus cardinais recebem o nome de números
transfinitos. Cantor construiu toda uma aritmética transfinita estabelecendo uma escala para
as infinidades: o menor transfinito“ℵ0”era o do conjunto dos números inteiros.
Ao provar que o conjunto dos subconjuntos de um conjunto A (conjuntos das partes de A) tem potência maior que o próprio conjunto, Cantor também provou que existem infinitos números transfinitos além de “c” (continuum) dos números reais (ou dos pontos de uma reta). Dessa forma, o conjunto das partes de R, P (R) é um terceiro; o conjunto das partes de P (R), P (P (R)), um quarto, e assim infinitamente, chegando5se à conclusão que da mesma forma que existem infinitos naturais (cardinais dos conjuntos finitos), também existem infinitos transfinitos (cardinais de conjuntos infinitos).
Além dos cardinais transfinitos, Cantor também desenvolveu uma aritmética dos números transfinitos ordinais que difere da aritmética ordinal finita. Na finita 4+1 4 e, na
transfinita, se W é um transfinito ordinal, então (W+ 1) = W.
Devido ao chamado horror infinite, Cantor teve muito trabalho para convencer seus
contemporâneos de seus resultados, pois esses relutavam em aceitar oeigentlich Unendlichou
infinitude completada.
Dessa forma, podemos dizer que além das ideias matemáticas, Cantor e Dedekind tinham também em comum a rejeição que sofriam pela comunidade matemática de seu tempo. Mesmo sendo geniais para sua época, eram relegados para posições menos importantes e mal remuneradas, situação frequente em muitos casos de matemáticos incompreendidos na história da Matemática. Dedekind mesmo passou quase toda a sua vida ensinando em escola de nível secundário.
Já Cantor tinha como forte opositor de suas teorias um de seus professores da Universidade de Berlim, Leopold Kronecker. Kronecker foi aluno de Kummer na escola secundária no Gymnasium e também na Universidade de Breslau.
acadêmica, mas sim às finanças da família e às pesquisas na Matemática, em Teoria dos Números, Teoria das Equações e Teoria das Funções Elíticas, entre outros assuntos.
Obteve o título de membro da Academia de Ciências em Berlim, tornando5se assim apto a lecionar na Universidade de Berlim, o que aconteceu com a aposentadoria de Kummer em 1883. Considerava que todo número que não fosse inteiro, como racional, fracionário, imaginário ou irracional, era maldito e que deveria ser banido da Matemática.
Para Kronecker, o infinito podia ser visto apenas como um processo, jamais como uma totalidade, pois algo na Matemática que não pudesse ser contruído num número de passos finito não tinha sentido de ser. Kronecker era, profissionalmente, mais bem sucedido que Cantor e usou essa condição para diminuir a importância das ideias de Cantor para as quais, embora houvesse infinitos irracionais e racionais, os primeiros apresentam ordem de infinidade maior. Kronecker chegou a chamar tais ideias de heréticas.
Kronecker é o autor da frase: “Deus fez os inteiros; o resto é invenção humana” (EVES, 2004, p. 616). Certa vez, ele peguntou a Lindemann qual a utilidade de se provar que π não era algébrico, visto que os irracionais não existiam? Mesmo sendo um grande matemático, a importância de seu trabalho foi ofuscada nos relatos históricos, em parte por conta dessa desavença que manteve com Cantor.
Mas Cantor não foi o único a sofrer as pressões de Kronecker; Weierstrass, embora colega de Kronecker, era contrário às suas ideias e, por este motivo, também foi profundamente insultado. Weierstrass chegou até mesmo, no fim de sua carreira, a dizer, entre outras coisas, que Kronecker usava a sua autoridade para proclamar que todos nós, que temos trabalhado até agora para estabelecer a teoria das funções, somos pecadores perante Deus.
Mas, por mais que quisesse, Kronecker não poderia prejudicar Weierstrass profissionalmente, pois este já tinha uma posição sólida na universidade. Porém, com Cantor era diferente, por se tratar de um simples professor de uma universidade não muito prestigiada.
Kronecker era editor doJournal für die reineund angewandte Mathematik, de August
Leopold Crelle, também conhecido como Journal de Crelle, sendo esta a publicação
matemática mais respeitada da época.
Em 1877, Cantor contou a Dedekind que, contrariando a opinião matemática geral, conseguiu mostrar que a correspondência entre o quadrado unido à sua fronteira era possível.
Assim, ele preparou um artigo para publicar tal descoberta e o enviou para oJournal
não apenas uma questão de esquecimento, mas talvez também pelo fato de Kronecker não possuir simpatia pelas ideias de Cantor.
Além dessa antipatia, os editores hesitavam em publicar os artigos de Cantor, devido à preocupação em relação à possibilidade de os mesmos conterem algum erro. “Alguns resultados na teoria dos conjuntos de pontos eram tão paradoxais que o próprio Cantor uma vez, em 1877, escreveu a Dedekind. ‘Eu vejo, mas não acredito’, e pediu para seu amigo que verificasse a prova.” (BOYER, 1996, p. 393).
Nesse episódio do atraso na publicação do artigo, foi a primeira vez que Cantor e Kronecker se hostilizaram. Como editor do jornal, Kronecker tinha o poder de retardar a publicação de artigos e foi o que fez, pois estava consternado com o trabalho dele. O artigo só foi publicado em 1878 e Cantor, ofendido com o atraso, não publicou mais nada em tal jornal.
Cantor tentou várias vezes conseguir uma cadeira na Universidade de Berlim e, por conta da influência de Kronecker, nunca conseguiu. Ele atribuía a Kronecker todos os prejuízos que tivera, não sendo o único a notar a perseguição de seu ex5professor, pois alguns matemáticos de sua época, como Schoenflies, consideravam que Kronecker queria dar a Cantor a imagem de corruptor da juventude.
Por conta da forte influência de Kronecker, a maioria de suas teorias relativas a conjuntos e ao infinito, mesmo depois de publicadas, foram completamente ignoradas. Kronecker dedicava suas conferências para destruir suas ideias, mantendo5o mais afastado possível em Halle, eliminando até seus artigos doCrelle.
Cantor sucumbiu às acusações, pois não tinha forças para rebater tais ideias de forma categórica e incisiva. Ele chegou a um esgotamento tamanho que passou a ter crises de nervosismo, sendo a primeira em 1884, tendo várias outras nos vinte e três anos restantes de sua vida.
Somente começou a ter um pouco de paz após a morte de Kronecker, em 1891. Aos poucos, a má influência desse foi diminuindo e ele começou a ter o reconhecimento que merecia, já quase no fim de sua vida.
Foi nomeado membro honorário da London Mathematical Society, eleito membro
correspondente da Sociedade de Ciências em Gottingen e, em 1904, foi homenageado com uma medalha pelaRoyal Society of London.
Devido à perseguição da qual foi vítima, estava sempre disposto a ajudar jovens investigadores, chegando mesmo a fundar o Deutsche Mathematiker9Vereinigung, um jornal
Para Cantor, o reconhecimento tardio não apagava anos e anos de perseguição, visto que era respeitado no mundo todo e sentia5se como um estrangeiro no país onde morava. Cantor dizia: “Os alemães não me conhecem, e, no entanto eu vivi entre eles durante 52 anos”. (MUIR apud POMBO, 2011).
Depois de Cantor, ficou matematicamente impossível deixar de considerar a existência do infinito. Por mais contraditória que seja a noção matemática do infinito, está assentada em fundamentos rigorosos.
O infinito atual, da totalidade infinita, em que todos os elementos de um conjunto infinito podem ser pensados numa só vez, pôde ser finalmente incorporado à Matemática. Mas isso não torna a noção do infinito menos complexa e conflitante.
Cantor conseguiu diferenciar os infinitos com relação àquantidadede elementos, ou à
sua cardinalidade, isto é, dois conjuntos infinitos podem ser diferentes ou iguais quando
comparadas as quantidades de elementos. Suas teorias sobre conjuntos e infinito
revolucionaram a Matemática, gerando uma das crises na história da Matemática. Segundo Eves (2004, p. 659),
A teoria dos conjuntos criada por Georg Cantor perto do final do século XIX, logo despertou um interesse generalizado muito grande e praticamente não há hoje nenhum campo da matemática que não tenha recebido seu impacto. As noções de espaço e geometria de um espaço, por exemplo, passaram por uma revolução completa com a teoria dos conjuntos. Os conceitos básicos da análise, como os de limite, função, continuidade, derivada e integral ganharam uma formulação muito mais conveniente em termos das ideias da teoria dos conjuntos.
Além disso, o autor ressalta que tal teoria, paralelamente com a apreciação dos procedimentos postulacionais, permitiu progressos matemáticos que nem sequer se podiam sonhar cinquenta anos antes. Nascem espaços abstratos, são criadas as teorias gerais da dimensão e da medida, e permitem5se ao ramo da Matemática, chamado Topologia, progressos extraordinários.
As teorias de Cantor contribuíram para o desenvolvimento da Análise Moderna, sendo consideradas atualmente como uma das mais notáveis criações da humanidade. Depois delas, não se pode mais chamar o infinito de “inerentemente incompreensível”, como fez Galileu, e muito menos relutar quanto à sua existência na Matemática, como fez Kronecker.
CAPÍTULO 2 – LEVA TAME TO BIBLIOGRÁFICO
Para o desenvolvimento desta pesquisa, um primeiro ato foi realizarmos o levantamento bibliográfico, a partir da rede mundial de computadores e do banco de teses da Capes, tendo por referência as palavras: infinito, ensino e aprendizagem. Nessas buscas, visávamos levantar artigos científicos, dissertações e teses que pudessem trazer subsídios para esta pesquisa. Foram anotados sete artigos, três dissertações e uma tese, dos quais selecionamos um artigo (SAMPAIO, 2009), uma dissertação (AMADEI, 2005) e uma tese (SANTOS, 1995), pois os mesmos focam a aprendizagem da noção de infinito na escola básica, tema de nosso interesse.
Apresentaremos, na sequência, de forma sucinta, os três trabalhos selecionados, os quais, de uma forma ou de outra, repercutiram na análise dos livros, objeto desta pesquisa.
2.1 O artigo de Sampaio
No artigo de Sampaio (2009), intituladoInfinito: uma realidade à parte dos alunos do
Ensino Secundário, é apresentada uma pesquisa realizada em Portugal para identificar e
caracterizar concepções de alunos do Ensino Secundário (Ensino Médio no Brasil) sobre o infinito. Os dados foram colhidos por meio de um questionário e a questão de investigação foi: “Há diferenças em relação às variáveis: ano escolar e interpretação da noção de Infinito, entre os alunos do ensino secundário”?
O questionário foi respondido por 829 estudantes provenientes de sete escolas públicas do norte de Portugal que cursavam o 10º, 11º e 12º anos do Ensino Secundário sendo composto por seis perguntas que abordam diversos temas relacionados ao infinito.
A primeira pergunta (SAMPAIO, 2009, p. 127) aborda o infinito potencial, visto que retrata um processo sem fim. Tal questão é sobre uma competição impossível na qual ganhava quem dissesse o número mais alto. Segue parte do enunciado:
último em triunfo. [...] Se tivesse dito mais dois, ganhava eu (pai). (SAMPAIO, 2009, p. 128).
A maioria dos alunos (63,4%) respondeu que o pai não tinha razão e não bastava apenas dizer mais dois. É interessante salientar que a porcentagem de respostas corretas foi aumentando com o ano de escolaridade, e também que alguns alunos não responderam tal questão talvez por conta da extensão do texto. A respeito de quem poderia ganhar o concurso, obteve5se 50% de respostas como “ninguém” e “quem disser o número mais elevado” sendo a primeira superior à segunda (28,2%). Em nossa análise, essa conclusão poderá ser verificada na medida em que pudermos confirmar se as atividades com infinito aparecem com mais frequência nas séries finais do que nas iniciais.
A segunda questão (SAMPAIO, 2009, p. 130) dizia respeito a palavras que os alunos associavam ao infinito. O leque de palavras associado ao infinito foi muito grande, num total de 44 palavras. As três mais referidas, correspondendo a 76,4% do total de respostas, foram: “sem fim”, “Universo” e “muito grande”.
A autora ressalta ainda que os alunos associavam os “números” ao infinito, o que, segundo ela, é facilmente compreensível, visto que desde o 3º ciclo eles sabem que os conjuntos ,Z, Q eRsão infinitos. Também aparece o termo “incontável” associado à ideia
da contagem que não termina e também a noção que os conjuntos numéricos são infinitos. Seguindo essa mesma linha, o termo “ilimitado” está associado a algo sem limites, que não termina.
Quanto às palavras que os alunos associavam ao infinito temos:
[...] sem fim, Universo, muito grande, números, ilimitado, inatingível, incontável, indefinido, biliões de biliões..., longínquo, horizonte, além, eternidade, céu, contínuo, inimaginável, todo, reta, sempre, mar, impossível, multidão, muito pequeno, amor e Matemática (SAMPAIO, 2009, p. 131).
A autora cita ainda algumas palavras que contabilizaram menos de 10 respostas, a saber: “[...] circunferência, vazio, areia, plano, π, sabedoria, tempo, deserto, abstrato, incompreensível, subjetivo, vida, intervalo, assíntotas, hipérbole, parábola, luz aberto e invisível”. (SAMPAIO, 2009, p. 131).
termos usados pelos autores associados ao infinito, na expectativa de que os mesmos sejam de uso dos professores e, consequentemente, dos alunos.
Na terceira questão (SAMPAIO, 2009, p. 132) era solicitado o “valor lógico” das seguintes afirmações: 1) Todo o segmento de reta contém um conjunto infinito de pontos; 2) 3,14; 3) Todo o plano contém um número infinito de pontos; 4) 0,0(9) > 0,0999999999999; 5) Entre quaisquer dois pontos de uma reta é sempre possível existir outro; 6) 1, (3) é uma dízima infinita periódica; 7) Toda a reta contém um conjunto infinito de pontos; e 8) 0, (7)5 0,777777 = 0.
A autora ressalta que Martinho (1996), Singer e Voica (2003) já tinham concluído que os estudantes consideram que um segmento de reta possui um número infinito de pontos, mas ao mesmo tempo é finito porque tem princípio e fim. (SAMPAIO, 2009, p. 141).
A quarta questão (SAMPAIO, 2009, p. 132), relacionada às noções de limites e séries, era:“Será que posso afirmar que 200 = 100 + 50 + 25 + 12,5 + 6,25 + 3,125 +...?” A maioria
(64,1 %) respondeu de forma não correta considerando que esse processo nunca termina e
então que a série não converge, aferindo assim o infinito potencial. A segunda parte da
pergunta era: “Para que valor tende esta divisão sucessiva do número 200?”, tendo como possíveis respostas: “[...] zero, mais infinito, menos infinito, entre dois e duzentos e um”.
Nessa questão, a maioria percebeu o infinito potencial ao considerar que a divisão era um processo que não termina e apenas 32,7% consideravam o processo “acabado”, e a soma como o todo.
A quinta questão (SAMPAIO, 2009, p. 134) é dividida em quatro alíneas, sendo que a primeira referia5se ao cardinal do conjunto vazio em que 96% dos estudantes responderam corretamente ser igual à zero. Na segunda, os estudantes também responderam corretamente que o conjunto era formado por quatro elementos.
A terceira alínea era referente ao número de elementos de um conjunto infinito obtendo5se quatro respostas: “[...] infinito, mais de cinco, cinco e impossível de contar” (SAMPAIO, 2009, p. 135).
