Livro do Ensino Médio

Com relação a este segmento de ensino iremos analisar um livro volume único referente à primeira, segunda e terceira séries. Ele contém 504 páginas divididas em oito unidades e 35 capítulos, além de 264 páginas referentes ao Manual do Professor. Dessas, 51 são referentes a orientações gerais e específicas com relação à Matemática e o restante correspondente à resolução dos exercícios dos capítulos e também questões do Enem (Exame Nacional do Ensino Médio) do ano de 2000 a 2004.

Esse livro também faz parte daquelas coleções que as editoras enviam para as escolas para análise do professor com vistas à divulgação e, como já ressaltado, é de mesma autoria da coleção do Ensino Fundamental II. Assim sendo, ele segue a mesma linha adotada pelo autor no segmento anterior: a maioria dos temas é trabalhada a partir de situações5problema contextualizadas ou interdisciplinares, como recomendado pelos educadores matemáticos que trabalham com resoluções de problemas.

Segundo o autor, neste livro foram incorporados muitos dos recentes avanços dos estudos e das pesquisas em Educação Matemática e sua tônica é ajudar o aluno a construir e desenvolver conceitos e procedimentos matemáticos, compreendendo e atribuindo significado, evitando a memorização ou mecanização. Fazem parte desse livro as seções Para refletir, que são questionamentos feitos nos capítulos para que o aluno reflita sobre alguma propriedade ou fato. (Manual do professor, p. 5).

São trabalhados exercícios ou problemas resolvidos que tem como finalidade mostrar as diversas maneiras de se resolver um exercício, não devendo ser vistos como modelos que os alunos apenas têm que imitar. Há ainda os exercícios propostos para os alunos consolidarem seus conhecimentos e também atividades ou desafios para serem feitos em duplas ou em equipe. (Manual do professor, p. 6).

O livro inova na distribuição dos conteúdos, “[...] não esgotando um assunto em um único capítulo e abordando um mesmo conceito em vários dos campos mencionados anteriormente, bem como sob diferentes pontos de vista dentro de um mesmo campo”. (Manual do professor, p. 4).

É ressaltada a autonomia que tem o professor com relação à maneira de abordar cada capítulo e também a sequência de abordagem dos mesmos. Não é necessário seguir rigorosamente a ordem dos capítulos, porém deve5se atentar para o mínimo de coerência lógica entre os capítulos.

O autor cita, no Manual do professor (p. 8), os pressupostos teóricos para o ensino de Matemática, segundo as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Ele também cita a Etnomatemática, a modelagem e a história da Matemática.

Passemos à análise do livro, ressaltando que nesta etapa procuramos dar mais ênfase em abordagens mais diretas da noção do infinito, visto que ela está intrinsecamente ligada praticamente a todos os conteúdos abordados. Resolvemos citar os capítulos nos quais não percebemos a presença da noção do infinito, justamente, como já ressaltado anteriormente, para pontuarmos sua ausência.

A unidade 1, denominada Álgebra (I), compreende os capítulo 1 ao 8. O primeiro (p. 9) tem como título Conjuntos e conjuntos numéricos. O autor define conjunto como sendo uma coleção qualquer de objetos. São mostrados vários exemplos de conjuntos numéricos e não numéricos e retomados os símbolos de pertence( )e não pertence( )

São revisados conceitos como a definição de um conjunto usando uma propriedade; igualdade de conjuntos; conjunto vazio, unitário e universo e a relação de inclusão. Alguns desses conceitos já foram abordados no Ensino Fundamental.

Na relação de inclusão, o autor ressalta a propriedade antissimétrica: se um conjunto A está contido em um conjunto B e este conjunto B está contido em A, logo, A é igual a B. Tal propriedade é utilizada para provar que dois conjuntos são iguais.

É trabalhada a lógica associada à relação de inclusão e também o conjunto das partes definido como P(A) = 2n. São trabalhadas ainda as operações (com suas propriedades) de diferença, reunião e intersecção.

O autor ressalta que os dois principais objetos com os quais se ocupa a Matemática são os números e as figuras geométricas. O tópico Conjuntos numéricos retoma e aprofunda os conjuntos numéricos vistos no Fundamental: N, Z, Q e R. Os números são apresentados como contagens ou medidas.

É ressaltado que os naturais são utilizados em contagens e também em ordenação. Nos inteiros, temos a ideia de simétrico. No conjunto dos racionais são relembradas as ideias de dízima, representação decimal, entre outras. Na página 19, temos “O número 0,999... é igual a 1, pois o símbolo 0,999... representa os números cujos valores aproximados são: 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; etc., cada vez mais próximos de 1. Dizemos que essa sequência tem 1 como limite”. É a primeira vez que é citado o termo “limite” nos livros didáticos.

Os números irracionais surgem da medição de uma grandeza incomensurável com a unidade adotada. É apresentada uma maneira de representar um irracional na reta numérica usando a relação de Pitágoras:

Figura 58

Um irracional famoso citado é o π: “Você sabia que o número irracional π foi calculado com o auxílio de um computador, obtendo5se 1,2 trilhão de casas decimais sem que tenha surgido uma decimal exata ou uma dízima? Você pode imaginar essa representação?” (p. 20).

Da união dos números irracionais com os números racionais surgem os números reais. É estabelecida a correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos da reta, escolhendo na reta uma origem, um sentido de percurso e uma unidade de comprimento.

“O conjunto R pode ser visto como modelo aritmético de uma reta, enquanto esta, por sua vez, é o modelo geométrico de R” (p. 20). Além dos números reais, existem os números complexos que serão abordados no capítulo 34.

Na página 21, ao abordar os intervalos reais, aparece pela primeira vez o símbolo do infinito“∞”:

Figura 59

O autor ressalta que os símbolos5∞ e +∞ não são números reais; apenas fazem parte das notações de intervalos ilimitados. Além disso, ela acrescenta que qualquer intervalo de extremos a e b, com a ≠ b, contém números racionais e irracionais.

A atividade 44 (p. 21) solicita que classifique em verdadeira ou falsa algumas afirmações: a) Todo número natural representa a quantidade de elementos de um conjunto finito; b) Existe um número natural que é o maior do que todos os demais; c) Todo número natural tem sucessor em N; e d) Todo número natural tem antecessor em N. Espera5se que o aluno responda verdadeiro para as letras a e c, visto que todo natural representa a cardinalidade de um conjunto finito, sendo o zero o cardinal do conjunto vazio, e todo natural tem um sucessor, bastando somar uma unidade. Para as letras b) e d) espera5se que o aluno responda falso para ambos: não existe nenhum número natural maior que todos, visto que, de acordo com a alternativa c), todo número tem seu sucessor, e que existe um elemento que não tem sucessor, que é o zero.

Na página 31, o autor relata a crise dos incomensuráveis e a crença dos pitagóricos de que “tudo era número (racional)”, abalada pela descoberta da diagonal do quadrado de lado 1, que é o irracional . Tal descoberta causou na época uma crise religiosa e conta5se que Pitágoras proibiu seus discípulos de divulgar tal descoberta para não abalar a sua doutrina, mas Hipaso, um de seus discípulos, divulgou a descoberta e foi assassinado. Outra ideia abordada nessa página é a prova por contradição de que é irracional.

O capítulo 2 (p. 32), Funções, retoma e amplia algumas ideias referentes a este tema, explorando, de início, intuitivamente a noção de função apresentada como variações entre

grandezas: preço a pagar em função dos litros de gasolina abastecidos, perímetro em função do lado do quadrado e também a ideia da “máquina de dobrar”:

Figura 60

É apresentada a nomenclatura dos conjuntos para definir uma função, ressaltando que dados dois conjuntos A e B, para ser função é necessário que todo elemento de A tenha correspondente em B, e a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.

É definida a notação f: A→B (lê5se f de A em B), o domínio, contradomínio e imagem de uma função. Interessante ressaltar a função f: N→N, definida por f(x) = x + 1, que transforma todo número natural no seu sucessor.

As funções também são definidas nesse livro, utilizando as fórmulas matemáticas, sendo utilizada agora a notação f: R→R. É feito um estudo do domínio de uma função e da construção do gráfico da função por meio de tabelas de valores. Na página 42, temos o seguinte gráfico da função f: N→N, definida por f(x) = 2x + 1:

Figura 61

Figura 62

É questionado ao aluno por que os gráficos são diferentes se a função é a mesma e é esperado que o aluno responda que no primeiro gráfico temos D(f) = {0, 1, 2, 3,4} e no gráfico D(f) = R.

Nesse capítulo, são abordados os seguintes tipos de funções: par, ímpar, injetiva, sobrejetiva, bijetiva, composta, inversa, crescente e decrescente. Nas duas últimas, são trabalhadas as ideias de máximo e mínimo de uma função:

Figura 63

Na página 48, o autor trabalha o número cardinal de um conjunto: “Dizemos que dois conjuntos A e B têm o mesmo número cardinal quando se pode definir uma bijeção ou correspondência biunívoca f: A→B”. O autor cita a bijeção que existe entre os conjuntos finitos A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B= {3, 6, 9, 12, 15, 18} por meio de f(x) = 3x. Ambos os conjuntos A e B têm o mesmo cardinal.

Também é citada a bijeção entre os números naturais e os números pares, por meio da função bijetiva f(x) = 2x. É ressaltado que entre os naturais e os números pares existe uma correspondência biunívoca e, portanto, tanto o primeiro quanto o segundo tem o mesmo cardinal. O autor acrescenta que tal fato é curioso, pois além dos infinitos números pares, há os infinitos números ímpares incluídos nos naturais e, no entanto, o conjunto dos naturais tem

a mesma cardinalidade que o conjunto dos pares. É citado que o descobridor de tal fato foi Galileu Galilei, como também ressaltamos no capítulo histórico.

Se a lei da função escolhida não for bijetiva não existirá correspondência biunívoca entre os dois conjuntos. Temos ainda que, dado n Ν∗, indica5se por In o conjunto dos números naturais de 1 até n. Por exemplo, sendo de modo geral dado por In = {1, 2, 3, 4,..., n}.

“Dizemos que um conjunto A tem n elementos e é finito quando é possível estabelecer uma correspondência biunívoca f: In→A. O número cardinal n chama5se então número cardinal do conjunto A, ou simplesmente números de elementos de A.” (p. 49).

Dado o conjunto A= {a, e, i, o, u} é possível definir a bijeção, ou a correspondência biunívoca, f: I5 →A, sendo então o número cardinal de A, ou o número de elementos de A igual a 5. O conjunto vazio é admitido como finito: ele tem zero elementos e, por definição, o seu número cardinal é zero.

“Dizemos que um conjunto A é infinito quando ele não é finito, ou seja, A não é vazio e para qualquer e para qualquern Ν∗não existe correspondência biunívoca f: In→A”.

O autor propõe ainda a seguinte questão: “É verdade que todo número natural n é o número cardinal de algum conjunto finito?”, e espera5se que o aluno responda afirmativamente.

Por último, neste capítulo, é destacado que uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais sem o zero. São apresentadas a progressão aritmética e a progressão geométrica. Como visto em todos os livros dos anos anteriores na abordagem de sequências é forte a presença das reticências indicando algo que continua indefinidamente.

No capítulo 3 (p. 54), Função afim, é feito o estudo a respeito dessa função, indicando suas principais características, como taxa de variação, determinação por dois pontos distintos, entre outras. O autor demonstra (p. 58) que o gráfico dessa função é uma reta.

São feitos diversos gráficos desse tipo de função, utilizando5se de tabelas de valores para x e y. São usados 5 pontos para cada tabela, porém é ressaltado que são necessários apenas dois, visto que o gráfico dessa função é uma reta.

Ao abordar as inequações, é interessante ressaltar que aparece a seta na reta indicando que a mesma continua indefinidamente, como mostrado na figura 64. O gráfico, porém, fica limitado, não tem indicação de que a reta continua:

Figura 64

No capítulo 4 (p. 72), Função quadrática, é feito o estudo a respeito dessa função. Cabe salientar que a parábola com concavidade voltada para cima apresenta ponto de mínimo e analogamente a parábola voltada para baixo apresenta ponto de máximo. Ao obter o valor do discriminante menor que zero não temos raízes reais e, utilizando um dispositivo prático, teríamos:

Figura 65

No capítulo 5 (p. 99), Função modular, é desenvolvido o estudo a respeito desse tema. Na página 105, ao se resolver uma equação modular, encontra5se como solução o conjunto S = {x R / 53 < x < 51 ou 3 < x < 5}. O autor propõe a questão de como seria esse conjunto solução se, em vez do conjunto dos reais, fosse considerado o conjunto dos: a) Z e b) N? Espera5se que o aluno responda que os conjuntos soluções seriam respectivamente S = {52, 4} e S = {4}.

Nessa atividade, pode5se reforçar que, entre dois números reais, existem outros infinitos números reais, explicitando assim que o conjunto dos números reais é denso. E por conta dessa densidade, o conjunto solução é apresentado em forma de propriedade, não sendo possível enumerar seus elementos. O mesmo não ocorre com os números inteiros e os números naturais, visto que são conjuntos discretos.

Outra ideia abordada neste capítulo é que, tanto o conjunto vazio quanto o conjunto dos reais, aparecem como conjunto solução: S= ou S=R, significando que podemos ter nenhuma solução ou infinitas soluções para uma equação. Aqui pode ser abordado o que significa essa infinidade de equações e também questionar o que aconteceria com o conjunto solução, ao trocarmos o conjunto dos reais por um conjunto discreto.

O capítulo 6 (p. 107), Função exponencial, revisa as ideias de potenciação vistas no Ensino Fundamental e novamente aparecem as reticências nas seqüências, indicando que as mesmas são infinitas. Aparece também a ideia da generalização ao se substituir os números pelas letras. Na página 110, temos potência com expoente irracional, por exemplo, 2 . À medida que a sequência 1; 1,4; 1,41; 1,414 se aproxima de , a sequência 21; 21,4; 21,41; 21,414se aproxima de 2 .

Temos: “Dado um número real a (a > 0 e a ≠ 1), denomina5se função exponencial de base a a função f de R em R*+definida por f(x) = axou y = ax.” (p. 111, grifo do autor)

Com relação ao gráfico desse tipo de função, é apresentado a seguir o exemplo de dois gráficos dessa função:

Nessa atividade pode5se ressaltar a ideia de que, no primeiro gráfico, quanto menor o valor de x mais o gráfico se aproxima de zero; e, no segundo, quando maior o valor de x mais o gráfico se aproxima de zero. Tanto em um caso quanto no outro, quanto mais variamos o valor de x, mais próximos estaremos do zero. O autor ressalta que tal função é ilimitada superiormente, se constituindo na primeira referência explícita que é feita ao gráfico da função “não terminar” onde acaba sua representação.

O capítulo 7 (p. 119), Logaritmo e função logarítmica, apresenta os logaritmos, suas propriedades e a função exponencial. Na página 127, ao definir função logarítmica, é ressaltado: “Dizer que f(x) é uma correspondência biunívoca é o mesmo que dizer que f é uma função bijetiva”. Na página 128, são apresentados dois gráficos abaixo da função logarítmica:

Figura 67 Figura 68

Observamos no primeiro gráfico que, quanto mais próximo de zero está o valor de x, mais y “tende ao infinito negativo”. No segundo gráfico, quanto mais próximo de zero está o valor de x, mais y “tende ao infinito positivo”. Mesmo não usando esses termos com o aluno essa atividade possibilita a discussão sobre o infinito no sentido positivo e no sentido negativo.

Essa função é ilimitada tanto inferiormente quanto superiormente. O autor propõe a seguinte pergunta: “No caso de a > 1, o que significa ser ilimitado inferiormente?” (p. 128).

O capítulo 8 (p. 135) tem como título Progressões. Nesse capítulo, é aprofundado o estudo de sequências, em especial aquelas chamadas de progressão aritmética e progressão geométrica.

É diferenciada uma sequência finita da infinita, sendo essa definida por: “Uma sequência infinita é uma função f cujo domínio é N* = {1, 2, 3,..., n,...}, e o contradomínio é indicado por {a1, a2, a3..., an, ...}. Assim, f(1) = a1, f(2) = a2, ..., f(n) = an, ...”.

Em seguida, são citados os números ímpares como um exemplo de sequência infinita. É definida a progressão aritmética (PA) e a fórmula do seu termo geral, sendo feito um gráfico dos termos de uma progressão aritmética que resulta em uma reta. É que dois pontos determinam uma reta; logo, dois pontos determinam uma PA.

São definidas as fórmulas da soma de uma PA finita, da progressão geométrica (PG) e do seu termo geral. As progressões geométricas são classificadas em crescentes (2, 4, 6, 8, ...), decrescentes (200, 100, 50, 25, ...), constante (10, 10, 10, ...) e alternante (4, 58, 16, 532, ...).

Na página 149, é abordado o tema Limite da soma dos termos de uma PG infinita. Esse é um exemplo interessante em que a noção do infinito é abordada explicitamente:

É dado um exemplo interessante :

Figura 70

São dados outros exemplos do cálculo do limite da soma de uma PG infinita. Dentre eles, podemos destacar:

Figura 71

Tal triângulo é denominado Triângulo de Sierpinski.

A unidade 2, denominada Geometria plana, compreende: o capítulo 9 (p. 154) Propriedades de figuras geométricas; o capítulo 10 (p. 164), Semelhança de triângulos; o capítulo 11 (p. 171), Relações métricas no triângulo retângulo; o capítulo 12 (p. 174), Polígonos regulares inscritos na circunferência e comprimento da circunferência; e o capítulo 13 (p. 176), Áreas: medidas de superfícies. No capítulo 12 (p. 175) é ressaltado que o número π foi calculado com uma precisão de 1,2 trilhão de casas decimais por uma equipe da Universidade de Tóquio no ano de 2002. É interessante discutir, a partir dessa situação, a infinitude e a não periodicidade de casas decimais de um número irracional.

Como ressaltado pelo autor (Manual do professor, p. 47), nestes capítulos é feita uma retomada da geometria plana vista no Ensino Fundamental, enfocando conceitos, procedimentos e aplicações fundamentais desse assunto. É mostrada a diferença entre constatar uma propriedade empiricamente e demonstrar logicamente essa propriedade. A primeira, você mostra para alguns, e a segunda, você prova para todos usando a generalização. O autor usa a denominação “área da região limitada por”, deixando margem

para que se discuta se o espaço em que vivemos é limitado ou não limitado, sendo essa questão intensamente discutida na história.

A unidade 3 “Trigonometria” compreende os capítulo 14, 15, 16, 17, 18, 19 e 20. O capítulo 14 (p. 187) aborda a trigonometria no triângulo retângulo e o capítulo 15 (p. 203), a trigonometria em triângulos quaisquer. No capítulo 16, são trabalhados os “conceitos trigonométricos básicos”, como arcos, ângulos, unidades de medida de arcos, entre outros. Interessante destacar que na página 214, em uma leitura optativa, é feita a descrição da função de Euler – E: R→C – que faz corresponder a cada número real t o ponto E(t) = (cos t, sen t) da circunferência unitária:

Figura 72

Intuitivamente, essa função E pode ser visualizada, imaginando5se C como um carretel onde se enrola a reta R, com E (0) =A (1, 0).

No capítulo 17, Seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica, é estendida a noção de sen α, cos α e tg α para todos os valores reais de α. O autor ressalta que “[...] ao associar um número real ααα a um arco da circunferência, estamos associando o númeroα real ao ponto P cuja abscissa é o cosseno de αααα e cuja ordenada é o seno de αααα” (p. 215). A constante K indica que podemos ter infinitas voltas efetuadas na circunferência.

O capítulo 18 (p. 221) tem como título Relações e equações trigonométricas, e o capítulo 19 (p. 225) tem como título Transformações trigonométricas”.

No capítulo 20 (p. 230), Senóides e os fenômenos periódicos, são estudadas as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente. Na página 231, é mostrado o gráfico da função seno

para o intervalo de 0 a 2 π e é ressaltado em seguida que, como o domínio dessa função são os reais, a curva pode ser estendida para valores menores que 0 e maiores que 2 π. Nessa atividade, poderia ser explicitado que esse gráfico pode ser estendido infinitamente tanto para valores menores que 0 quanto para valores maiores de 2 π.

O autor ressalta que o domínio dessa função são os reais e a imagem é o intervalo [51, 1]. Raciocínios análogos são feitos para a função cosseno. São também apresentadas as senóides do tipo y = a + b. sen (cx + d). O autor aborda ainda os fenômenos periódicos que são aqueles que se repetem sem alteração, cada vez que transcorre um intervalo de tempo determinado (período), como, por exemplo, o movimento harmônico simples.

A unidade 4, denominada Álgebra (II), compreende os capítulos 21, 22, 23, 24 e 25. No capítulo 21 (p. 240), Matrizes, novamente é abordada a generalização, ao escrever a matriz de maneira genérica. No capítulo 22 (p. 254), Determinante, esse é definido como um número real associado a uma matriz quadrada. Novamente é abordada a generalização: “Quando se diz determinante de ordem n, deve5se entender determinante de uma matriz de ordem n”. (p. 254).

Na página 261 (leitura optativa), é ressaltado que “Dois segmentos de reta do mesmo plano são equipotentes quando: a) têm o mesmo comprimento; b) são colineares ou paralelos e c) têm o mesmo sentido”. Quando dois segmentos orientados são equipotentes, dizemos que eles representam o mesmo vetor. O autor apresenta ainda as ideias de combinação linear, vetores linearmente independentes (LI) e vetores linearmente dependentes (LD).

O capítulo 23 (p. 266), Sistemas lineares, retoma as formas de resolução e a interpretação geométrica dos sistemas 2 x 2. É ressaltado que “Genericamente: cada par ordenado (x, y) de números reais representa um ponto do plano; cada terno ordenado (x, y, z) de números reais representa um ponto no espaço” (p. 266).

Essa é a primeira relação entre álgebra e geometria que aparece explicitamente nos livros. Em nossas análises, percebemos que, da Educação Infantil até o presente momento, a geometria era tratada isoladamente da álgebra, impedindo, no nosso entendimento, uma associação na qual entes geométricos pudessem ser estudados utilizando números e vice5 versa.

Na página 268, são discutidas as possíveis soluções de um sistema geometricamente. Interessa5nos o gráfico abaixo, em que as equações das retas 2x – 6y = 8 e 3x – 9y = 12 são coincidentes. Nesse caso, “As retas coincidentes indicam que existem infinitos pares ordenados que são solução do sistema (sistema possível e indeterminado)”:

Figura 73

Na página 271, são discutidas as possibilidades para as posições relativas dos três planos no espaço, sendo que nos interessa os casos seguintes que apresentam infinitas