Dentre as ferramentas numéricas mais aplicadas para a resolução do sistema de carregamento lateral em estacas, aparecem os métodos das Diferenças Finitas (MDF) e de Elementos Finitos (MEF) (RUIGROK, 2010). Esses aliam-se aos métodos de capacidade de carga e tensão- deformação baseados no Coeficiente de Reação Horizontal do Solo, citados anteriormente.
Métodos das Diferenças Finitas (MDF)
Uma das técnicas mais utilizadas para resolver equações diferenciais de estacas verticais sob ação de carregamento transversal considerando a Hipótese de Winkler, é o Método das Diferenças Finitas (MDF) Centrais, apresentado inicialmente por Hetenyi (1946).
Neste método, as derivadas de qualquer ordem são substituídas por diferenças finitas aproximadas, reduzindo-se a equação diferencial próxima a um nó a uma equação algébrica. Assim, o problema que era originalmente diferencial e contínuo, torna-se um sistema de equações para cada ponto (LIMA,2015), simplificado para estacas verticais, seções uniformes
e materiais homogêneos, com limites proporcionais de tensão e de deformação e pequenas deflexões transversais (HETENYI, 1946).
Discretizando o sistema com uso das Diferenças Finitas Centrais, a estaca (ou viga) é subdividida em n incrementos de comprimento 𝜹, e utilizam-se pontos anteriores (i-1, i-2) e posteriores (i+1, i+2) ao nó em questão para se conhecer outras incógnitas associadas (Figura 2.21), sendo requeridos ao todo quatro nós imaginários para resolução das equações.
Figura 2.21: análise de uma estaca sob carregamento lateral a partir do método de Diferenças Finitas Centrais (Adaptado de: ISENHOWER; WANG, 2012).
Desta forma, conhecendo-se o deslocamento yi sofrido pela estaca em um determinado nó, é
possível obter os valores da rotação (derivada primeira), do momento fletor (segunda derivada), da cortante (terceira derivada) e da pressão lateral do solo (derivada de quarta ordem) nesta mesma posição.
A equação diferencial (2.35) pode ser reescrita para cada nó real da Figura 2.21, obtendo-se
n+1 equações e n+5 incógnitas:
𝐸𝑝𝐼𝑝(𝑖 − 1)𝑦𝑖−2 + {𝑃𝑥 𝛿 ² − 2𝐸𝑝𝐼𝑝(𝑖 − 1) − 2𝐸𝑝𝐼𝑝(𝑖)}𝑦𝑖−1 + {𝐸𝑝𝐼𝑝(𝑖 − 1) + 4𝐸𝑝𝐼𝑝(𝑖) + 𝐸𝑝𝐼𝑝(𝑖 + 1) − 2𝑃𝑥 𝛿 ² − 𝐾ℎ(𝑖)𝛿 4}𝑦𝑖 + {𝑃𝑥 𝛿 ² − 2𝐸𝑝𝐼𝑝(𝑖) − 2𝐸𝑝𝐼𝑝(𝑖 + 1)}𝑦𝑖+1 + {𝐸𝑝𝐼𝑝(𝑖 +
1)}𝑦𝑖+2 + {𝑊 ∗ 𝛿4 } = 0
As quatro incógnitas faltantes para resolver o sistema são fornecidas pelas equações de contorno de topo e de ponta, variando para cada caso.
__________________________________________________________________________________________ Bruna Spricigo (spricigobruna@gmail.com). Dissertação de Mestrado. PPGEC/UFRGS. 2019.
Para estacas flexíveis, a partir das explanações anteriores a este capítulo, subentende-se que não haverá uma rotação total da estaca, mas sim a formação de rótula plástica, abaixo da qual a estrutura permanece estática. Assim, supõe-se que o Momento e a Cortante na ponta inferior de uma estaca flexível sejam nulos, criando-se as duas primeiras condições de contorno necessárias:
{Ʃ𝑴𝒑𝒐𝒏𝒕𝒂 = 𝟎 Ʃ𝑸𝒑𝒐𝒏𝒕𝒂 = 𝟎
Para estacas rígidas alguns autores também consideram condições de cortante e momento nulos na base inferior, embora outros assumam a existência de esforços consideráveis na ponta (vide item 2.1.1), de forma que essas condições de contorno não seriam mais válidas para se atingir a solução da equação de carga lateral em estacas por meio das diferenças finitas centrais. Neste trabalho, foram desconsiderados valores de esforço cortante e momento fletor na ponta de estacas rígidas, embora recomendem-se maiores averiguações para estudos posteriores.
Método de Elementos Finitos (MEF)
Dhatt et al. (2012) explicam o método dos elementos finitos como uma simples aproximação das equações diferenciais em equações algébricas, na qual cada elemento de um conjunto é representado por uma matriz elementar de rigidez, e relacionado de forma nodal para com as condições de deslocamento e equilíbrio de forças. A solução do sistema se dá de forma algébrica, verificando-se cada nó da estrutura sob diferentes formas de carregamento, deslocamento, ou/e condição de contorno.
Assim, devem ser satisfeitas três condições para solucionar o problema, tanto a nível local (no elemento), quanto a nível global (conjunto): o equilíbrio de forças, a compatibilidade dos deslocamentos, e a conservação das relações tensão-deformação existentes no material.
Podendo-se abordar o estudo tensão-deformação tendo como incógnita a tensão ou a deformação do conjunto, os pontos nodais são submetidos a uma ação conhecida (deslocamento ou força) e, considerando o meio contínuo e finito, são então calculadas as incógnitas (a ação não aplicada). O uso do deslocamento como dado de entrada é o mais utilizado dentro do meio geotécnico (BORN, 2015), uma vez que garante uma linearidade das deformações da estaca durante o desenvolvimento dos esforços e da interação solo-estaca, fazendo com que o modelo convirja mais facilmente.
O conjunto de elementos e pontos nodais é regido pela equação: [∆𝑅𝐺] = [𝑲𝑮] ∙ [∆𝛿𝐺]
tal que: [∆𝑅𝐺] é o vetor de esforços ou força nodal global, [𝑲𝑮] a matriz de rigidez global, e [∆𝛿𝐺] o vetor incremental do deslocamento nodal global.
A equação também é válida para representar a relação de cada elemento para com suas propriedades e comportamento e, a partir das equações principais, torna-se possível calcular as variáveis secundárias de tensão (𝝈) e deformação (𝜺) internas ao elemento.
Caso as constantes elásticas sejam dependentes dos deslocamentos 𝜹, o comportamento tensão- deformação é considerado não linear, sendo necessário o uso de métodos numéricos que desdobrem essa linearidade ou sejam resolvidos de forma iterativa.
Como solução para lidar com a continuidade e o comportamento não linear do solo, é possível modelá-lo por meio de elementos finitos em duas ou três dimensões. Para problemas de carregamento transversal, entretanto, não é possível utilizar soluções de axissimetria. O modelo tridimensional aparece como o mais indicado e utilizado, uma vez que permite uma análise mais realista das cunhas de ruptura.
A partir desse método, torna-se possível calcular tanto as deformações momentâneas quanto a resistência lateral última a ser resistida pelo conjunto solo-estaca. Os deslocamentos e tensões gerados na estaca podem ser resolvidos a partir da equação clássica da flexão da viga (Método de Winkler) acrescida da metodologia das curvas p-y, e de diversos métodos numéricos desenvolvidos até então para essa finalidade.
Embora a abordagem de elementos finitos proporcione resultados abrangentes, é necessário considerável gasto computacional e tempo de modelagem, e sua acurácia é altamente dependente do modelo constitutivo utilizado para o solo, da calibração e dos parâmetros adotados no modelo para o conjunto solo-estaca (DFI, 2013).
Softwares como ABAQUS, FLAC e PLAXIS são alguns dos utilizados no meio geotécnico e
acadêmico para solucionar problemas de carregamento lateral em estacas a partir de métodos numéricos (DFI, 2013).
__________________________________________________________________________________________ Bruna Spricigo (spricigobruna@gmail.com). Dissertação de Mestrado. PPGEC/UFRGS. 2019.