O Modelo para cálculo de estacas carregadas lateralmente implementado no software MATLAB® considerou a não linearidade do problema através da combinação entre a Hipótese de Winkler, elástica-linear, e uma análise limite, perfeitamente plástica. A relação constitutiva para o solo torna-se então elástica perfeitamente plástica, tal como ilustrado na Figura 3.2, considerando tensões e deslocamentos ativos (A), passivos (P) e neutros (N).
O modelo pelo Método dos Deslocamentos foi implementado para permitir a aplicação de carga ou deslocamento conhecido, criando-se scripts diferentes para cada situação. O uso de deformações controladas possibilita uma convergência mais rápida do problema, uma vez que o acréscimo de forças por iteração torna-se decrescente durante a imposição de deslocamentos, oposto ao que ocorre às deflexões no caso de carga como dado de entrada.
Figura 3.2: considerações do modelo pelo Método dos Deslocamentos: (a) modelo constitutivo elástico perfeitamente plástico do solo, relacionados à Teoria de Rankine e à análise de equilíbrio limite; (b) representação da estaca por meio de elemento de viga, com dois graus de liberdade (ROCHA, 2014).
Para a correta implementação do modelo, é necessário fornecer como parâmetros de entrada: comprimento total da estaca, L; diâmetro equivalente, D; Momento de inércia Ip; Módulo
flexural Ep; nível do lençol freático zW; número de iterações desejadas N; e as propriedades do
perfil geotécnico, por camada: cota de fundo zs; peso específico do solo γ, ângulo de atrito
interno ϕ, coesão c e os parâmetros k0 e k1 para calcular o horizontal kh, além da carga ou
deslocamento aplicado e sua posição respectiva (alterada junto ao solver).
O modelo representa a altura livre do conjunto, quando o caso, com uma camada inicial de propriedades nulas, iniciando o nível do terreno abaixo desta cota de fundo zs(1).
O coeficiente de reação horizontal do solo é então considerado conforme a simplificação da equação (2.17) sugerida por Reese e Cox (1968 apud REESE; VAN IMPE, 2011), adotando
kh0 nulo e n unitário para solos arenosos. Uma vez que a altura livre da estaca também é
representada pelo modelo, a profundidade de cálculo é tida como a diferença entre a base da estaca (z=L) e o nível do terreno, zS (1).
𝑘ℎ = 𝑘ℎ0 + 𝑘ℎ1𝑧𝑛→ 𝑘
ℎ𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎𝑠 = 𝑛ℎ[𝐿 − 𝑧𝑠(1)]1
O valor de kh1 representa, na realidade de solos arenosos, a constante do coeficiente de reação
horizontal, nh, e foi adotado de acordo com o sugerido pelos códigos do API (2002, 2014) e
ajustado para cada caso real, procurando valores aproximados aos utilizados pelo modelo em Diferenças Finitas.
(a) (b)
__________________________________________________________________________________________ Bruna Spricigo (spricigobruna@gmail.com). Dissertação de Mestrado. PPGEC/UFRGS. 2019.
Diferentemente do adotado pelo modelo em Diferenças Finitas deste trabalho, o modelo pelo Método dos Deslocamentos e Análise Limite considera a seção transversal real da estaca durante as iterações, separando os esforços nodais para as faces interna e externa da estaca (em visão bidimensional), e utiliza para resolução do problema as reações do solo em FL-2.
Portanto, de forma a replicar o equacionamento da resistência última sugerido pelo método das curvas p-y do API (2002, 2014), este modelo divide as equações da resistência (Tabela 2.7) em função das tensões neutra (𝜎𝑁) , ativa (𝜎𝐴) e passiva (𝜎𝑃) atuantes nas paredes interna e externa à aplicação do carregamento lateral. A resistência última do solo é obtida pela diferença nodal entre a tensão passiva e a tensão ativa atuantes.
As tensões instantâneas atuantes em cada face da estaca (𝜎𝑖, 𝜎𝑒) reproduzem a Hipótese de Winkler conforme a equação (2.12), e a rigidez nodal do solo (assumindo Kh=kh*B) é adicionada à respectiva matriz de rigidez K do elemento estrutural para representar a rigidez do conjunto durante o processo de iteração.
Admitindo-se um comportamento elástico perfeitamente plástico do solo e elástico linear para o elemento estrutural, à medida em que o carregamento é aplicado e a resistência limite do solo vai sendo atingida pontualmente, é imposto, nos respectivos nós, uma redução da rigidez Kh do
solo. Assim, ocorrerá uma redistribuição das tensões para os pontos que atingirem o valor limite, representada por uma modificação no coeficiente de reação horizontal do solo – calculado para cada face -, dado por:
𝑘ℎ,𝐴 = 𝜎𝑁−𝜎𝐴
|𝛿𝐴|
𝑘ℎ,𝑃 = 𝜎𝑃−𝜎𝑁
|𝛿𝑃|
Os nós em que a condição última não foi alcançada permanecem com suas rigidezes inalteradas. O esforço resultante para o eixo do elemento é então obtido subtraindo-se os esforços externos (𝜎𝑒) aos internos (𝜎𝑖), para cada nó discretizado.
O uso da linguagem MATLAB permite de modo simples o acréscimo ou redução do número de iterações (N) desejadas para a resolução do problema, sendo que, de forma geral, fora observado um mínimo de 500 iterações para uma convergência apropriada, embora os resultados devam ser cuidadosamente analisados para cada caso.
(3.4)
A impossibilidade de convergência do modelo indica a instabilidade do sistema e a necessidade de alteração do projeto.
O modelo possibilita ainda, de maneira simples e rápida, a análise do comportamento de cada variável do problema após cada iteração e para cada nó discretizado ao longo da profundidade. Como exemplo, podem ser observadas a degradação da rigidez do solo, a evolução das respectivas tensões, e a evolução da linha elástica do elemento estrutural em função da profundidade z (Figura 3.3). As linhas contínuas representam os resultados para o incremento final, e as cores vermelhas e azuis para o solo representam a variação dos parâmetros analisados para as faces externa e interna, respectivamente.
Figura 3.3: exemplos da degradação da rigidez do solo e evolução das tensões do solo e linha elástica calculados a partir do modelo pelo Método dos Deslocamentos e Análise Limite.
O conjunto de códigos-base utilizado para solucionar o problema de carregamentos laterais em estaca, considerando aplicação de carga, está disponível em Rocha (2018).
Embora os modelos por Diferenças Finitas e pelo Método dos Deslocamentos considerem de forma distinta o comportamento do solo e sua consequente pressão horizontal instantânea, empregam os mesmos coeficientes de reação horizontal (kh) e resistências limites últimas. Com
__________________________________________________________________________________________ Bruna Spricigo (spricigobruna@gmail.com). Dissertação de Mestrado. PPGEC/UFRGS. 2019.
isso, torna-se possível trabalhar com fatores sobre o mesmo tema e comparar resultados e distribuições de tensões ao longo do solo e da estaca.