3 METODOLOGIA
3.3 Método: estudo de evento
3.3.1.3 Mensuração dos Retornos Normais e Anormais
Para mensurar o impacto de um evento, é necessário estimar o retorno normal e anormal. Autores como Campbell, Lo e Mackinlay (1997) e Camargos e Barbosa (2003) explicam que o retorno normal é aquele esperado sem a ocorrência do evento. Por sua vez, o retorno anormal é o retorno observado ex post de um título menos o seu retorno normal na janela de evento (CAMPBELL, LO e MACKINLAY, 1997).
Matematicamente, o retorno anormal de um título i em determinada data t, é obtido pela Fórmula 3:
( ) (3) Sendo:
= retorno anormal do ativo i, no período t; = retorno observado do ativo i, no período t;
( ) = retorno esperado para o ativo i, no período t, dado a informação Dado que ( )= ( ) tem-se que:
( ) (4) Assim, o retorno anormal é calculado pela diferença entre o retorno observado e o retorno esperado. Hudson e Gregoriou (2010) destacam que existem duas maneiras de calcular o retorno dos ativos: a simples e a logarítmica. Soares, Rostagno e Soares (2002) acrescentam, elucidando que o cálculo do retorno simples (tradicional) pressupõe um sistema de capitalização discreta; já o cálculo do retorno logaritmo pressupõe a capitalização contínua.
Matematicamente, o cálculo do retorno pelo método simples (tradicional) é realizado pela Fórmula 5 (CAMARGOS e BARBOSA, 2003).
Sendo: r = retorno;
= preço do ativo no período t – 1; = preço do ativo no período t.
Ainda, segundo os autores, o cálculo do retorno logaritmo é efetuado pelas Fórmulas 6 ou 7.
( ) (6) ( ) (7) Hudson e Gregoriou (2010) argumentam que é ampla a discussão na área de finanças sobre qual metodologia de cálculo do retorno é a mais apropriada, sendo que muitos trabalhos não destacam o método utilizado. Para os autores:
[…] parece haver pouco consenso ou mesmo discussão na literatura sobre o melhor método de cálculo dos retornos e de fato muitos trabalhos não especificam claramente qual tipo de retorno é usado. Mesmo um nível moderado de investigação, no entanto, dá a conclusão de que cada uma das literaturas mencionadas livremente utilizaram ambos os retornos - logarítmicos e simples (HUDSON e GREGORIOU, 2010, p.4).12
De acordo com Hudson e Gregoriou (2010), existem algumas vantagens que tornam o uso do método logaritmo para o cálculo do retorno amplamente utilizado pela academia. Entre elas, destacam-se:
o retorno capitalizado continuamente é vantajoso quando considerado multi-períodos de retorno – acumulação de retornos logarítmicos é igual a sua soma algébrica;
o uso do retorno logaritmo previne o retorno dos ativos de se tornarem negativos;
se o preço do ativo seguir um movimento geométrico Browniano, o retorno logaritmo do ativo possui distribuição normal;
12 [...] there seems little consensus or indeed discussion in the literature regarding the best method of
calculating returns and indeed many papers do not clearly specify which type of return is used. Even a moderate level of investigation, however, gives the conclusion that each of the literatures mentioned freely uses both logarithmic and simple returns.
para a previsão de retornos futuros cumulativos a capitalização contínua, do retorno logaritmo esperado, será um melhor guia para o retorno que os investidores provavelmente realizarão.
Soares, Rostagno e Soares (2002) exaltam algumas vantagens do uso do método do cálculo logaritmo em relação ao tradicional. Os autores explanam que a distribuição do retorno, quando o cálculo é realizado pelo método tradicional – capitalização discreta –, é assimétrica à direita, conforme destacado na Figura 5.
FIGURA 5: Distribuição dos Retornos pelo Método Tradicional.
Fonte: SOARES, ROSTAGNO e SOARES, 2002, p. 5.
Na forma logarítmica, a distribuição da frequência dos retornos tende a se aproximar de uma distribuição normal, sendo mais viável para o uso de testes estatísticos paramétricos. A Figura 6 apresenta essa distribuição que tende a ser simétrica em relação a zero.
FIGURA 6: Distribuição dos Retornos pelo Método Logarítmico.
Fonte: SOARES, ROSTAGNO e SOARES, 2002, p. 6.
Contudo, Hudson e Gregoriou (2010) destacam alguns problemas da metodologia de cálculo do retorno pelo método logaritmo, principalmente em trabalhos que utilizam a técnica de estudo de evento para constatar o efeito de determinado evento na variação dos preços dos ativos.
Os pesquisadores explicam que o retorno logarítmico médio está relacionado com o retorno e a variância do retorno simples. Segundo os autores:
A média de um conjunto de retornos calculada usando retornos logarítmicos é menor do que a média calculada usando simples retornos por um montante relacionado à variância do conjunto de retorno, no qual a variação é relativamente invariante se for medida usando retornos logarítmicos ou simples (HUDSON e GREGORIOU, 2010, p.3).13
Assim, o cálculo de determinado retorno médio pelo método logarítmico é o resultado de múltiplas combinações do retorno e da variância obtidos pelo método simples. A Fórmula 8 demonstra matematicamente a afirmação.
(8)
13
The mean of a set of returns calculated using logarithmic returns is less than the mean calculated using simple returns by an amount related the variance of the set of returns where the variance is relatively invariant whether it is measured using logarithmic or simple returns.
No qual:
= retorno médio logarítmico; = retorno médio simples;
= variância simples.
Observa-se que, com o aumento da variância, a diferença entre o retorno obtido pelo método logaritmo e simples se torna maior.
Hudson e Gregoriou (2010) explicam que, em estudos que testam a ocorrência de diferença de média, em distintos períodos, com diferente variância, os resultados obtidos pelo método simples e logaritmo irão divergir.
Em trabalhos que utilizam a técnica estudo de evento que focam em vários períodos de tempo, ao redor de grande movimentação de preços, quando a variância será maior, a diferença entre o método empregado – simples ou logarítmico – será mais latente (HUDSON e GREGORIOU, 2010).
Assim, esse estudo utilizou o método simples para o cálculo do retorno
dos ativos, conforme trabalhos de Brown e Warner (1980, 1985), apesar da
restrição apontada por Soares, Rostagno e Soares (2002) da distribuição dos retornos não serem normais, o que pode restringir a adoção de testes estatísticos paramétricos.
O cálculo do retorno foi realizado pelo método nominal (sem excluir o efeito da inflação), por ser o mais aplicado em estudos que utilizam dados diários (MACKINLAY, 1997).
Após a determinação do método utilizado para o cálculo do retorno dos ativos – logaritmo ou simples – a próxima etapa consiste em determinar como será mensurado o retorno normal do ativo sem a ocorrência do evento. Brown e Warner (1980) esgrimem a necessidade da determinação de um modelo gerador de retornos normais antes da mensuração dos retornos anormais. Campbell, Lo e Mackinlay (1997) classificam esses modelos em estatísticos e econômicos.
Os modelos estatísticos seguem hipóteses estatísticas e se preocupam com o comportamento do retorno dos ativos, não dependendo de argumentos econômicos. Segundo Camargos e Barbosa (2003, p. 7).
Os modelos estatísticos obedecem aos pressupostos estatísticos que envolvem o comportamento de retornos de ativos (deve-se assumir que os retornos do título são, simultaneamente, normais, multivariados e distribuídos de maneira independente e idêntica no tempo) e não dependem de quaisquer argumentos econômicos, quando a data do evento é facilmente identificada.
Campbell, Lo e Mackinlay (1997) classificam os modelos estatísticos em: modelo de retorno da média constante – (ajustado à média), modelo de mercado e outros modelos estatísticos.
Os modelos econômicos dependem de hipóteses relativas ao comportamento do investidor, não estando fundamentados somente em hipóteses estatísticas. Para Campbell, Lo e Mackinlay (1997) são divididos em: modelo de apreçamento de ativos (CAPM) e teoria do preço arbitrário (APT).
O próximo tópico irá abordar as características de cada modelo, destacando as suas peculiaridades.
a. Modelo de retorno da média constante
Considerado o modelo de retorno mais simples, assume que o retorno esperado ex ante para um determinado ativo é igual a uma constante que pode ser diferente entre os ativos. Matematicamente, de acordo com Campbell, Lo e Mackinlay (1997), tem-se:
(9) ( ) (10)
Sendo:
= retorno do título i, no período t;
= constante definida por uma média aritmética dos retornos passados ou por um único retorno de determinado ativo;
= termo de distúrbio (erro) do título i, no periodo t; = (i,i) elemento da matriz de covariâncias Ω.
( ) ( ) ( ) (11) ( ) (12) ( ) (13)
Sendo:
( ) = operador de esperança.
Nessa metodologia o retorno, após o evento para um ativo i, no período t é igual a constante, sendo o retorno anormal calculado pela diferença entre o retorno observado do ativo i e a constante (BROWN e WARNER, 1980).
(14) Sendo:
= retorno anormal do título i, no período t; = retorno do título i, no periodo t;
= constante definida por uma média aritmética dos retornos passados ou por um único retorno de determinado ativo.
A variância do erro é calculada conforme Fórmula 15.
( ) (15) Sendo:
= (i,i) elemento da matriz de covariâncias Ω; = retorno do título i, no periodo t;
= constante definida por uma média aritmética dos retornos passados ou por um único retorno de determinado ativo.
Mackinlay (1997) argumenta que esse modelo, apesar de ser o mais simples, encontrou resultados similares a modelos mais sofisticados, conforme demonstrado em estudos de Brown e Warner (1980 e 1985).
De acordo com o autor, esta falta de sensibilidade do modelo pode ser atribuída ao fato de que a variância do retorno anormal frequentemente não é reduzida pela escolha de um modelo mais sofisticado (MACKINLAY, 1997, p. 17). b. Modelo de mercado
O modelo de mercado, segundo Campbell, Lo e Mackinlay (1997), relaciona o retorno de um título com o retorno do portfólio de mercado, cuja especificação assume normalidade conjunta dos retornos de todos os ativos. Brown e Warner (1980, 1985) argumentam que esse modelo apresenta melhor desempenho que outros modelos quando a data de identificação do evento é de difícil definição. Ainda, segundo os pesquisadores, esse modelo leva em conta o risco específico de cada empresa.
Para Camargos e Barbosa (2003, p. 9).
É um dos modelos estatísticos que relacionam linearmente o retorno de um determinado ativo financeiro com o retorno do portfólio de mercado, observando as especificações de linearidade (linearidade, estacionariedade, independência serial dos resíduos em relação ao retorno de mercado e estabilidade de variância dos resíduos).
Matematicamente, tem-se que:
(16) ( ) (17) ( ) (18)
Onde:
= retorno do título i, no periodo t; = retorno do mercado, no periodo t;
= termo de distúrbio (erro) – com esperança zero; = parâmetros do modelo de mercado.
Camargos e Barbosa (2003) explanam que a estimação dos parâmetros α e β deve ser realizado pelo método dos mínimos quadrados ordinários, e calculados fora da janela do evento para evitar alterações no desempenho normal.
As Fórmulas 19 e 20 apresentam a modelagem para estimar os parâmetros pelo método dos Mínimos Quadrados Ordinários, conforme Gujarati (2000).
∑( ̅)( ̅) ⁄∑( ̅) (19) ̅ ̅ (20)
Sendo:
̅ = valor médio da variável Y; ̅ = valor médio da variável X;
= parâmetros do modelo de mercado.
O cálculo do retorno anormal é demonstrado na Fórmula 21.
(21) Sendo:
= retorno anormal do título i, no período t; = retorno do título i, no periodo t;
= retorno do mercado, no período t;
= termo de distúrbio (erro) do título i, no período t; = parâmetros do modelo de mercado.
De acordo com Lamounier e Nogueira (2015), a variância do erro pode ser determinada por:
Sendo:
= variância do erro, no título i; = retorno do título i, no periodo t; = retorno do mercado, no periodo t; = parâmetro do modelo de mercado.
Para Mackinlay (1997), o modelo de mercado é um aprimoramento do modelo de retorno ajustado à média, uma vez que a porção do retorno relacionada à variação do retorno de mercado é removida, tornando a variância do retorno anormal reduzida, o que aumenta a habilidade de detectar os efeitos dos eventos.
Porém, o autor adverte que os benefícios da aplicabilidade do modelo estão relacionados ao valor do coeficiente de determinação (R2) do modelo estimado de regressão. Matematicamente tem-se que (LAMOUNIER E NOGUEIRA, 2015):
( ) ( ) (23) Sendo:
= variância do erro;
R2 = coeficiente de determinação; = retorno do título i, no período t.
Assim, quanto maior for o coeficiente de determinação, maior será a redução da variância do retorno anormal e, consequentemente, melhores serão os ganhos com a aplicação do modelo.
c. Outros modelos estatísticos
De acordo com Campbell, Lo e Mackinlay (1997), existem inúmeros outros modelos estatísticos propostos para mensurar o retorno normal, nos quais se destacam os modelos de fator. Os autores esgrimem que esses modelos reduzem a
variância do retorno anormal devido ao maior poder explicativo da volatilidade dos retornos normais.
Outros modelos utilizados para o cálculo do retorno anormal são obtidos pela comparação do retorno do ativo sob análise com empresas do mesmo tamanho (CAMPBELL, LO e MACKINLAY, 1997).
d. Modelo de apreçamento de ativos – CAPM
O modelo de apreçamento de ativos (CAPM) proposto por Sharpe (1964), Lintner (1965) e Mossim (1966) é um modelo de apreçamento de ativos em um mercado em equilíbrio, no qual os investidores possuem as mesmas informações e função utilidade.
Segundo Copeland et al. (2002, p. 219) “O CAPM postula que o custo de oportunidade do capital ordinário seja igual ao retorno sobre os títulos livres de risco mais o risco sistêmico da empresa (beta) multiplicado pelo preço de mercado do risco (ágio pelo risco). ” Matematicamente, tem-se:
( ) [ ( ) ] (24) Sendo:
( ) = esperança de retorno do ativo i; = retorno do ativo livro de risco; = risco sistemático do ativo i;
( ) = esperança de retorno do mercado.
Nessa abordagem o retorno anormal é mensurado pela Fórmula 25. { [ ( ) ]} (25)
e. Teoria do preço arbitrário (APT)
O modelo APT desenvolvido por Ross (1976) está pautado no pressuposto que é impossível existir duas carteiras, com o mesmo risco, que tenham retornos diferentes, devido à possibilidade da arbitragem,
Copeland et al. (2002) destacam que o modelo APT pode ser visto como um análogo ao CAPM, porém, com múltiplos fatores. Assim, em vez de uma medida de risco sistêmico, o modelo inclui várias delas.
Camargos e Barbosa (2003) enfatizam que uma das grandes limitações desse método é a não especificação do número de fatores a serem utilizados, dificultando assim a sua aplicação. O cálculo do retorno anormal é apresentado na Fórmula 26.
[ ( ) ] (26) Sendo: = beta do ativo 1 relativo ao fator 1, e assim sucessivamente. Nesse contexto, o método utilizado para mensurar os retornos normais, nesse trabalho, foi o modelo de retorno da média constante, conforme trabalho de Masulis (1980). A utilização do método se justifica devido às evidências de não normalidade nos retornos diários dos ativos, conforme apontado por Brown e Warner (1985), que limita a estimação do retorno normal pelo método dos Mínimos Quadrados Ordinários14 e dos resultados encontrados nos estudos de Brown e Warner (1980) que apontam que métodos de estimação de retornos normais mais complexos não obtiveram desempenho melhor que métodos mais simples, tais como o de retorno à média constante, quando os dados não são agrupados.
A estimativa da constante e do desvio padrão dos retornos anormais foram obtidas pelo método apresentado por Brown e Warner (1980, 1985).
∑ (27)
14 Foi realizado estudo utilizando o modelo de mercado, sendo aplicado o MQO para estimar os betas
da regressão e o índice Bovespa como carteira de mercado. Os resultados encontrados detectaram problemas de normalidade, heterocedasticidade e autocorrelação em significativa proporção dos eventos analisados, inviabilizando a utilização do método por limitar excessivamente a amostra.
̂( ̅̅̅̅̅) √(∑ ( ̅̅̅̅̅ ̿̿̿̿ ) )⁄ (28)
̿̿̿̿ ∑ ̅̅̅̅ (29) Sendo:
= constante definida por uma média aritmética dos retornos passados do ativo i; = retorno do título i, no periodo t;
N = período da janela de estimativa;
̅̅̅̅ = retorno anormal no período t;
̂( ̅̅̅̅̅) = estimativa do desvio padrão do retorno anormal médio no periodo t; ( ̅ ) = operador de média.