Exploração de tarefas com números inteiros
6.2. Momento de trabalho Nº 2 – Tarefa “Os irmãos doentes” Sessão de preparação da aula
Depois de sugerir aos professores que propusessem algumas tarefas (planificação – Anexo 5), nesta sessão de grupo de trabalho, Carla sugere a realização das tarefas que constam em duas páginas do manual para debatermos (Anexo 6). Quando analisamos as tarefas, Carla e Sónia estão mais inclinadas para as tarefas 2.2, 2.4, e 3, mas o grupo não está totalmente de acordo e sugere outras tarefas como a tarefa 1 e a 2.3:
Sandra: Eu gosto do primeiro porque é um problema do dia a dia deles! Investigadora: Como é que acham que eles vão resolver este…
Sandra: Eles vão resolver pela sequência… (silêncio) . . . O problema é que tu tens 24h e tens que dividir por 8… Portanto dá 3 comprimidos por dia…
Sandra mostra-se entusiasmada com a tarefa 1 (Anexo 6) por considerar que é uma tarefa relacionada com a realidade dos alunos. No entanto, na sua perspetiva, a tarefa
110 será difícil para os alunos, na medida em que terão dificuldade em fazer a analogia de que um dia tem vinte e quatro horas e que poderão resolver a tarefa com a representação simbólica da multiplicação. Ricardo discorda do grau de dificuldade que Sandra atribui à tarefa:
Ricardo: Eu acho que sim, [que eles conseguem resolver a tarefa sem dificuldades] porque ainda a semana passada estivemos a resolver um exercício desses [e eles tiveram facilidade em perceber]… Acho que era do livro de fichas… . . . Ah já achei! Era a “Inês está doente”… Mas pronto… Já trabalhámos dentro das 24h… Por isso é que te estava a dizer que muito provavelmente, nesse exercício vão-se lembrar que o dia tem 24h horas porque trabalhámos isso a semana passada…
O professor recorda que recentemente os alunos tiveram que recorrer à analogia de que um dia tem vinte e quatro horas e isso não constituiu problema. Nesse sentido, considera que a tarefa é adequada aos alunos.
Carla tem uma opinião totalmente oposta à de Sandra, relativamente ao grau de dificuldade desta tarefa:
Carla: Eu acho que a dos comprimidos, há miúdos que chegam lá muito rapidamente e não é o que me interessa… Estando nós a trabalhar a multiplicação e a divisão… Apontei precisamente para isso… (silêncio do grupo) . . . Por mim [escolham as tarefas]… A Sandra vai estar a orientar [dinamizar a tarefa na minha sala]…!
Ao contrário de Sandra, Carla considera que a tarefa é demasiado fácil para os seus alunos. A professora prefere a realização de exercícios que incluam a divisão e a multiplicação de números inteiros, mas não consegue convencer os colegas, que prosseguem com a exploração da tarefa. Entretanto, questiono o grupo relativamente às estratégias e representações que os alunos poderão utilizar para a resolução da tarefa e coloco a hipótese de dividirem vinte comprimidos por seis horas e concluírem que a toma de comprimidos será de três dias e meio:
Sónia: Não!!
Sandra: Ai não, não, não… E alguns até vão dizer que um toma de menos tempo em menos tempo e vai acabar mais rápido… . . . [Alguns alunos devem usar] Tabelas, sim! Mas acho que é mais a sequência…
111 Para os professores, os alunos não utilizarão estratégias ou representações diversificadas. Na sua opinião, os alunos recorrerão maioritariamente a representações icónicas e alguns terão dificuldade em interpretar as representações verbais do enunciado da tarefa, o que faz com que o grupo discuta esta questão:
Investigadora: E que representações utilizariam para ajudar os alunos a interpretar o enunciado da tarefa? . . .
Sandra: Eu aqui ajudaria por dia… Quantos comprimidos tomam por dia… . . . [Quer dizer] na Introdução não… Eu [primeiro] deixava-os resolver…
Face aos potenciais problemas que anteveem durante a resolução da tarefa, os professores têm dificuldade em refletir relativamente a representações e tipos e ações que poderão ter durante a realização da tarefa. Assim, referem-se à sua participação durante o trabalho autónomo dos alunos e à discussão coletiva como os momentos adequados para ajudar os alunos na interpretação do enunciado da tarefa.
Durante a preparação da exploração da tarefa em sala de aula, Carla e Sónia decidem que, à semelhança do que fazem habitualmente, juntarão as duas turmas e explorarão a tarefa conjuntamente. Assim, desta vez, decidem que será Sandra a dinamizar a tarefa.
De uma forma geral, apesar de concordarem em realizar a tarefa na sala de aula com os seus alunos, os professores têm baixas expetativas relativamente à forma como eles resolverão a tarefa. Assim, consideram que os alunos recorrerão maioritariamente a representações icónicas (esquemas) e que o recurso a representações simbólicas será reduzido. Relativamente às representações a utilizar pelos professores, estes preveem que utilizarão provavelmente tabelas para sistematizar a informação necessária, mas sobretudo nos segundo e terceiro momentos da tarefa.
Turmas da Carla e da Sónia – Dinamização feita por Sandra
Introdução da tarefa
De acordo com o que tinha sido combinado durante a preparação da aula, nesta tarefa os alunos de Carla e Sónia realizam a tarefa conjuntamente, dinamizada por Sandra.
112 Joana: Fala sobre dois irmãos que estavam com febre… E… Eles têm que
tomar comprimidos…
Sandra: E tomavam os dois da mesma maneira? Joana: Não…
Sandra: Então? Como é que tomavam?
Joana: Um tomava de seis em seis horas e outro tomava de oito em oito horas…
Sandra: Boa! E o que é que nos pede? O que é que nos pergunta? Joana: Pergunta… Para ver quem acaba os comprimidos primeiro… Sandra: Então primeiro temos que saber quantos comprimidos têm que
tomar… Não é? Então vamos lá tentar descobrir… Quais dos dois irmãos…Acaba primeiro os comprimidos… Vamos lá…
Sandra faz a introdução da tarefa de forma muito rápida e concisa. Depois de pedir a um aluno que leia o enunciado da tarefa, Sandra pede a Joana que o interprete, questionando-a através de perguntas de confirmação aberta (“ Então do que é que fala o exercício?”) e de confirmação fechada (“E tomavam os dois da mesma maneira?”), focando-se na informação e nos aspetos chave do enunciado da tarefa (número de irmãos, forma como tomam os comprimidos, identificação do que é pedido na tarefa). No final, dá sugestões para a resolução da tarefa, questionando os alunos através de uma pergunta de focalização retórica (“Então primeiro temos que saber quantos comprimidos têm que tomar… Não é?”).
Trabalho autónomo dos alunos
A professora dá indicações aos alunos para que trabalhem individualmente e autonomamente enquanto Sandra, Sónia e Carla observam o que fazem. Cerca de oito minutos depois, muitos alunos já deram por terminada a resolução da tarefa, e respondem que um dos irmãos terminará mais cedo os comprimidos porque os toma de seis em seis horas. Assim, Sandra sente necessidade de intervir novamente:
Sandra: Olhem… Vocês não podem olhar só para as horas que eles têm que tomar os comprimidos!! Eles têm o mesmo número de comprimidos? Alunos: Não!
Sandra: Não! Então também têm que tomar atenção ao desenho e olhar para o número de comprimidos que cada um tem… O primeiro… Olha… O primeiro podem achar que o primeiro menino é o Dorin e que o
113 segundo menino é o seu irmão…(representa os irmãos no quadro –
Figura 20)… A professora desenha muito bem, não é? Então vamos lá…Em conjunto… Tomar atenção… Quantos comprimidos é que tem o Dorin para tomar?
Figura 20 – Representação icónica utilizada por Sandra (esquema com representações pictóricas e verbais)
Aluno: Seis…
Sandra: O Dorin não tem seis comprimidos… Contem lá os comprimidos que o Dorin tem que tomar…
Alunos: Vinte!
Sandra: Quantos é que tem cada embalagem…? Alunos: Dez!!! Vinte!!!
Sandra: Uma embalagem são dez comprimidos… Tem lá duas embalagens… Então quantos comprimidos tem para tomar?
Alunos: Vinte!!!
Sandra: Vinte… E como é que ele toma cada um dos comprimidos? Alunos: De seis em seis horas…
Sandra: Então ele tem 20 comprimidos e toma de seis em seis horas… E o irmão? Quantos comprimidos é que o irmão tem que tomar?
Alunos: 14!
Sandra: São 14? São 14! Cada embalagem tem 7… São duas embalagens… Então o irmão tem 14 comprimidos… Como é que ele toma Pedro? Pedro, como é que o irmão do Dorin toma os comprimidos? Pedro: hum… Toma de 8 em 8 horas…
Sandra: Então… Toma de oito em oito horas… E o que é que eu pretendo saber…André? O que é que eu pretendo saber? (silêncio) Eu sei que o Dorin tem vinte comprimidos para tomar… Toma de seis em seis horas… O irmão tem 14 comprimidos… Toma de 8 em 8 horas… O que é que eu pretendo saber? Qual é a pergunta?
André: Quem é que acaba primeiro os comprimidos!
Tal como Sandra tinha previsto durante a preparação da tarefa, uma das dificuldades dos alunos prende-se em assumir que a criança que toma os comprimidos de seis em seis horas os terminará primeiro. Desta forma, Sandra pede novamente aos alunos para interpretar o enunciado da tarefa questionando-os através de perguntas de confirmação fechada (“Quantos é que tem cada embalagem…?”, Quantos comprimidos é que o irmão tem que tomar?”). Simultaneamente converte a respostas dos alunos numa
114 representação icónica que faz no quadro e que utiliza para sistematizar a informação que considera mais relevante (personagens, números de comprimidos e hora da toma dos comprimidos – Figura 20).
Depois da sua intervenção, a turma volta a trabalhar autonomamente. André: É o irmão Dorin…
Sónia: Porquê?
André: Porque tem menos comprimidos… O irmão do Dorin…
André: E o irmão do Dorin toma os comprimidos de quanto em quanto tempo?
Aluno: O irmão do Dorin?
André: Sim… Olha lá para o quadro… Aluno: De oito em oito horas…
André: E o Dorin?
Aluno: De 6 em 6 horas…
André: E o Dorin? Quanto é que demora o Dorin a tomar os comprimidos todos até ao fim? Pensa lá…
André: É uma conta de vezes!
Sónia: Uma conta de vezes como? Diz lá à professora? André: E… 6 vezes… Ai, oh! Não, não dá!
André responde acertadamente e Sónia desafia-o para a utilização de uma representação, questionando-o através de uma pergunta de inquirição (“Porquê?”). Quando se apercebe de que a resposta correta do aluno se baseia no pressuposto incorreto de que o irmão com menos comprimidos os acabará mais depressa, Sónia altera as suas ações e conduz o aluno na interpretação do enunciado da tarefa questionando-o através de perguntas de confirmação fechada (“E o irmão do Dorin toma os comprimidos de quanto em quanto tempo?”). Quando André sugere o recurso a uma representação simbólica, Sónia desafia-o para a utilização da representação escolhida, questionando-o através de uma pergunta de inquirição (“Uma conta de vezes como?”). No entanto, o aluno recua na escolha que fez e Sónia deixa-o trabalhar autonomamente.
Os alunos revelam inúmeras dificuldades na interpretação do enunciado da tarefa e na escolha de uma representação adequada para a resolução da tarefa. Assim, vários não a conseguem resolver, escolhendo representações inadequadas, não sabendo utilizar as representações que escolheram ou recorrendo apenas a uma representação verbal para comunicar o resultado. Ao deparar-se com um destes alunos, Sónia intervém:
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Figura 21 – Representação verbal de Fernando: “Quem acaba é o segundo irmão”.
Fernando: Professora já fiz (Figura 21)!
Sónia: Hum… Aqui diz: Quem acaba é o segundo… Isto não se percebe bem! “Quem acaba é o segundo é o irmão”? Tu não dás nenhum tipo de justificação… E diz “Explica como pensaste”… Ali!
Fernando: Mas professora, eu fiz de cabeça…
Sónia: Então agora vais explicar aqui (aponta para o caderno) como é que tu pensaste!
Ao deparar-se com a representação escolhida por Fernando, Sónia invalida-a e indica ao aluno que justifique a sua resposta, privilegiando a escolha livre de uma representação adequada (“Então agora vais explicar aqui como é que tu pensaste!”) e deixa o aluno a trabalhar autonomamente.
Enquanto isso, Carla ajuda outro aluno que sentiu necessidade de escolher uma representação simbólica, mas que não sabe utilizá-la de forma a dar resposta à questão da tarefa:
Carla (enquanto complementa o esquema do aluno – Figura 22): Ora num dia toma quatro [comprimidos]… Então os vinte comprimidos vai tomá- los em quanto tempo? (silêncio) Num dia toma quatro… No segundo dia vai tomar quantos?
Paulo: [mais] Quatro…
Carla: Então quatro mais quatro…Oito! E então… Já chegámos aos vinte? Paulo: Mais 4…12…(soma mais quatro com os dedos)… 16… 20… Carla: Sim… Então quantos dias?
Paulo: Cinco?
Carla: Cinco dias! Demora cinco dias! Podes pôr aí em baixo! E [agora fazes o mesmo com] o irmão!
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Figura 22 – Representação icónica criada por Paulo e Carla.
Carla sugere uma representação (esquema que começou a fazer a partir das anotações do aluno – Figura 22) e informa Paulo sobre a utilização da representação sugerida. Para isso, questiona-o através de perguntas de confirmação fechada (“No segundo dia vai tomar quantos?”) e perguntas de focalização orientadora (“Então quatro mais quatro…Oito! E então… Já chegámos aos vinte?”).
Para além de Fernando e de Paulo, outros alunos, na tentativa de encontrar uma representação simbólica adequada, tentam resolver a tarefa dividindo vinte comprimidos por seis horas. Assim, Sandra tenta novamente ajudar os alunos na interpretação do enunciado da tarefa:
Sandra: Tomem lá todos atenção! Quando nós lemos o exercício nós lemos que o Dorin tem quantos comprimidos para tomar?…Toma de seis em seis horas!… Eu não tenho o Dorin a tomar 6 comprimidos numa hora… Como alguns de vocês me estão a dizer…Está bem? Eu não tenho os vinte comprimidos… E o Dorin vai tomá-los todos em seis horas…! O que é que vai acontecer? Imaginem que vocês vão ao médico e têm um medicamento para tomar! Têm um comprimido! A mãe chega a casa e dá um comprimido… No caso do Dorin deu um comprimido…Quando é que dá o outro comprimido?
Aluno: Daqui a seis horas!
Sandra: Passadas seis horas! Então 6 horas depois volto a dar outro comprimido!! No caso do outro irmão… O que é que a mãe vai fazer!? Aluno: De oito em oito!
Sandra: Vai dar um comprimido… Então primeiro… Deu um comprimido ao Dorin e outro ao irmão… O segundo comprimido… Ao Dorin vai dar
117 passadas 6 horas… Passadas seis horas… Dá um comprimido ao Dorin
e dá logo o comprimido ao irmão? Não! Aluno: Só passadas duas horas!
Sandra: Ainda tem que esperar duas horas…Então passadas 8 horas do primeiro comprimido o irmão toma o segundo… A seguir…O que é que a mãe vai fazer?
Aluna: Passadas 6 horas…
Sandra: Passadas seis horas de ter dado o comprimido ao Dorin…Vai-lhe dar outro… E assim sucessivamente até gastar os vinte comprimidos! . . . No caso do irmão, são oito [horas]… Volta a dar o comprimido… Passado oito horas…Outro comprimido até ter tomado quantos comprimidos?
Alunos: Catorze!
Sandra: Catorze! O que eu quero saber é… Começando a dar os comprimidos aos dois ao mesmo tempo… Quem é que termina primeiro os seus comprimidos! Vamos lá continuar a resolver!
Desta vez, Sandra informa os alunos sobre a interpretação do enunciado da tarefa e questiona-os através de perguntas de confirmação fechada (“ . . . o Dorin tem quantos comprimidos para tomar?”) e de focalização retórica (“Dá um comprimido ao Dorin e dá logo o comprimido ao irmão? Não!”). Simultaneamente conduz ao estabelecimento de conexões entre as representações verbais do enunciado da tarefa e as representações das vivências dos alunos, contextualizando a tarefa na realidade dos alunos. Os alunos continuam a trabalhar autonomamente mais um pouco. Depois de Sandra intervir, Sónia discute com António a representação icónica que utilizou:
Figura 23 – Representação icónica de António (esquema com representações simbólicas).
António: Professora eu fiz assim! E cheguei aos 14 (Figura 23)! Sónia: Quantas 8 horas são?
António: Ih! Agora vou contar (começa a contar com os dedos) Sónia: O que é que tu fizeste António?
António: Uma tabela!
Sónia: Mas como é que tu organizaste? Ele fez 8,8,8… Como é que tu te organizaste?
António: Como aaaaa… Ele precisa de 14 hum… Comprimido por 8 horas… Então eu tive uma ideia e fui fazer… Um, dois… Até catorze… Depois… Depois… Até chegar ao último 8! Depois…
118 Sónia: Então e o outro irmão, António?
António: Vou fazer agora!
Sónia: Mas olha…Eu ainda não sei quantos dias ele demora a tomar! Sei as horas… Mas não sei os dias! E agora? Como é que tu vais fazer? António: Pode acordar o irmão durante a noite!
Sónia: Não, mas eu quero saber quantos dias ele demorou a tomar os comprimidos! Tens aí horas! Quantas horas tem um dia?
António: 24! (começa a apagar o que fez)
Sónia: Não apagues! Não apagues, amor! Não apagues nada! Tem 24 horas e eu agora quero saber isto aqui, transformado em dias… Quantos dias são?
Apesar da resposta de António não estar completa, Sónia opta por não invalidar a representação ou a resposta do aluno, talvez porque António é um dos poucos alunos que utilizou uma representação icónica (um esquema com o formato de uma tabela) para resolver a tarefa proposta. Ao invés, Sónia pede-lhe que interprete a representação que escolheu, questionando-o através de perguntas de confirmação fechada (“Quantas 8 horas são?”, “Quantas horas tem um dia?”), confirmação aberta (“Mas como é que tu organizaste?”, “Então e o outro irmão, António?”). Através do questionamento de Sónia, António compreende que a resposta está incompleta e decide procurar uma nova representação em que consiga incluir os dois elementos da tarefa. No entanto, Sónia sugere explicitamente que não o faça, indicando-lhe que continue a utilizar a representação que escolheu inicialmente e que autonomamente descubra a resolução da tarefa.
Discussão coletiva
Durante o trabalho autónomo dos alunos, Sandra analisou as respostas da turma e decide pedir a Laura que apresente os seus resultados à turma durante a discussão coletiva.
Sandra: . . . Vocês quando não conseguem pensar no Dorin, também podem pensar: “E se eu fosse o Dorin? O que é que ia acontecer?!”! Isso é uma estratégia, está bem? Laura… Então o que é que tu me disseste? Se… O Dorin, neste caso que eras tu, não é? Se tomasses o comprimido de seis em seis horas… Ao fim de um dia, quantos comprimidos é que tu já tinhas tomado?
Laura: Quatro!
Sandra: Quatro? Porquê?
Laura: Porque um dia tem vinte e quatro [horas] e se ele tomou de seis em seis horas tinha que fazer qual é o número que na tabuada do seis dá vinte e quatro…
119 Sandra: Exatamente! A Laura viu que se fosse tomar um comprimido de
seis em seis horas… Ao fim de um dia já tinha tomado quatro comprimidos! Porque ela viu que o dia tem quantas horas, André? André: Vinte e quatro!
Sandra: Vinte e quatro! E quantas vezes as seis horas cabem no vinte e quatro? Na tabuada do seis, qual é o número que vezes seis dá vinte e quatro? . . .
André: Quatro!
Sandra: Quatro! Por isso é que tomaram quatro comprimidos por dia (escreve no quadro “Dorin – 4 comprimidos por dia”).
Sandra começa por conduzir os alunos no estabelecimento de conexões entre as representações verbais do enunciado da tarefa e as representações das vivências dos alunos, uma estratégia que parece ter resultado cm Laura. Em seguida, informa os alunos relativamente à representação e à primeira parte da estratégia utilizada pela aluna para resolver a tarefa (descobrir quantos comprimidos o primeiro irmão toma por dia). Desta forma, questiona os alunos através de perguntas de confirmação fechada (“Ao fim de um dia, quantos comprimidos é que tu já tinhas tomado?”, “Porque ela viu que o dia tem quantas horas, André?”), de confirmação aberta (“Quatro? Porquê?”) e de perguntas de focalização retórica (“Isso é uma estratégia, está bem?”, O Dorin, neste caso que eras tu, não é?”). Depois de determinar o número de comprimidos que o primeiro irmão toma num dia, Sandra continua a discussão coletiva:
Sandra: . . . Então se [o Dorin] vai tomar quatro comprimidos por dia… Ao fim do segundo dia, quantos comprimidos já tomou (começa a reproduzir o esquema de Laura no quadro?
Alunos: Oito!
Sandra: Oito! Oito comprimidos são dois dias (regista o que vai dizendo no quadro).
. . . (repete as mesmas questões em cada um dos dias)
Sandra: E agora… Ao fim do quinto dia… Quantos comprimidos tomou? Alunos: Vinte!
Sandra: Vinte! Então quantos dias é que o Dorin leva a tomar os comprimidos todos?
Alunos: Cinco!
Sandra: Cinco dias! O Dorin leva a tomar os comprimidos todos…Cinco dias!
Sandra pede aos alunos que interpretem a representação icónica de Liliana que começa a reproduzir no quadro, questionando-os através de perguntas de confirmação
120 fechada (“Ao fim do segundo dia, quantos comprimidos já tomou?”). À medida que os alunos respondem acertadamente, Sandra repete as mesmas questões de confirmação fechada, enquanto preenche o esquema que reproduziu no quadro e informa os alunos sobre os aspetos mais relevantes da representação (a cada dia acrescem quatro comprimidos que terão de se continuar a acrescentar até perfazer os vinte). Depois dos alunos determinarem que serão necessários cinco dias para o primeiro irmão tomar os vinte comprimidos, Sandra prossegue:
Sandra: . . . Então e agora? O que é que aconteceu ao irmão? Quando nós fomos ver a questão do irmão…Quantos comprimidos é que o irmão tomava… Enquanto o Dorin tomava quatro comprimidos… Quantos é que tomava o irmão?
Alunos: Três!
Sandra: Três? Porquê?
Cláudio: Porque 3x24… Não!
Sandra: 3x8 é que é vinte e quatro… Enquanto o Dorin tomava quatro comprimidos o irmão tomava três… Então e ao fim do segundo dia? Quantos comprimidos é que tomou…
Alunos: Seis!
Sandra: … O irmão do Dorin? Seis comprimidos! Ao fim do terceiro? Alunos: Nove!
Sandra: Nove comprimidos… Ao fim do quarto? Alunos: Doze!
Sandra: E agora? Alunos: Quinze!
Sandra: Mas ele tinha 15 comprimidos para tomar? Alunos: Não!!
Sandra: Então?!? Eram só 14… Então mas quem é que acabou mais cedo? Alunos: O irmão!
Sandra: Porquê?
Aluno: Porque ele só tomou quatro dias e acabou!
Sandra: Ele chegou ao final dos 5 dias? Não… Ele acabou um bocadinho antes porque só tinha 14 comprimidos… Não tinha 15… Por isso… Chegam a ser cinco dias? Não, porque 5 dias seriam 15 comprimidos…