Recomendações para os professores sobre o trabalho com representações O papel do professor no processo de aprendizagem dos seus alunos, relativamente

às representações pode ser abordado de várias formas. Alguns autores, têm uma visão mais global e referem-se a todo o processo. Por exemplo, para Goldin (2000), denota-se nos professores um “aumento de sensibilização relativamente à complexidade das representações como um processo cognitivo e social indissociável do conhecimento que cada um tem das condições representadas” (p. 250). Por outro lado, Webb, Boswinkel e

34 Dekker (2008), consideram que esta sensibilização dos professores é insuficiente quando se verificam situações em que os alunos se distanciam consideravelmente do ritmo de aprendizagem uns dos outros, o que acontece independentemente dos seus resultados escolares anteriores. Na sua perspetiva, se os professores tiverem um maior conhecimento sobre o processo de aprendizagem das representações terão mais facilidade em identificar o que provoca essa situação, de modo a descobrir estratégias para ultrapassar as dificuldades sentidas.

Outros autores focam-se em aspetos mais específicos no processo de aprendizagem das representações por parte dos alunos. Por exemplo, Stylianou (2010) enuncia a importância das representações próprias dos professores como sendo uma ferramenta fundamental de suporte para as mais diversas aprendizagens matemáticas, e estando presente na apresentação de novos conceitos, ilustrações, processos na resolução de problemas e na criação de ligações entre todos estes conceitos. Neste processo, o professor pode utilizar mais do que uma representação relacionada com o mesmo conceito, selecionando as que, no seu entender, se adequam melhor aos seus alunos e ilustram com maior eficiência um determinado conceito ou procedimento. Stylianou (2010) refere que a utilização de diferentes representações em tarefas exploratórias pode ter várias funções: (i) interpretar, sistematizar e compreender a informação dada no enunciado; (ii) registar e visualizar todas as informações inerentes ao problema; (iii) explorar e perceber qual a melhor forma de chegar a uma resposta correta; e (d) monitorizar e avaliar todo o processo da resolução do problema. Para além do processo cognitivo inerente à compreensão e aprendizagem das representações, a autora considera a produção de representações como uma atividade social, na medida em que estas são também uma forma de comunicar sobre os conceitos representados e têm um papel importante durante a discussão dos processos na resolução de problemas. Indica ainda que as representações utilizadas pelos diferentes elementos de um grupo facilitam a comunicação e a compreensão entre todos, ilustrando mais facilmente o ponto de vista de cada um. Assim, propõe um quadro organizacional, onde regista as diversas funções que as representações podem ter durante a resolução de problemas, fazendo uma ligação de cada função ao momento em que esta ocorre (Tabela 3).

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Tabela 3 – Função das representações durante a resolução de problemas (adaptado de Stylianou, 2010)

Representação como ferramenta

Como facilita? Quando facilita?

Representação como processo cognitivo individual Compreender a

informação Organizando a informação fornecida Na fase inicial da resolução do problema Ferramenta de

registo

Reduzindo a sobrecarga de gestão

de informação Durante a resolução do problema Facilita a

exploração

Permitindo a manipulação da

informação fornecida Durante a exploração/análise Mecanismo de

monitorização

Permitindo detetar abordagens incorretas

Durante a confirmação dos dados

Representação como prática social Objeto de

retórica Permitindo a apresentação de perspetivas menos óbvias Perante um impasse Dispositivo de

recrutamento

Permitindo a partilha de estratégias e a negociação de novas ideias

Quando se prevê a expansão da solução anteriormente discutida.

Outros autores analisam o modo como os professores exploram as tarefas na sala de aula. Para Stylianou (2011) a escolha acertada das tarefas é importante para promover a exploração do uso correto das representações. Por sua vez, Thomas, Mulligan e Goldin (2002) referem que o trabalho com as representações visuais dos alunos pode ser inicialmente muito difícil. Dessa forma, recomendam que os professores proponham problemas que promovam o pensamento visual dos alunos, que os questionem de modo a que estes utilizem diferentes representações, que utilizem a tecnologia como suporte visual às competências de representação e à construção de conexões e que alinhem as suas estratégias de avaliação com as suas estratégias de ensino. Em termos gerais, de forma a promover o estabelecimento de conexões entre diferentes representações, os autores sugerem que as tarefas a propor: (i) proporcionem aos alunos o recurso a um leque variado de representações e simultaneamente a familiarização com estas representações; (ii) consciencializem os alunos relativamente aos processos de transformação de um tipo de representação noutra, encorajando a sua discussão; e (iii) tornem os alunos conscientes da natureza e do valor das representações matemáticas, em conjunto com as ideias de critério e de escolha de representação adequadas.

36 Diezman e English (2001) sugerem a realização frequente de problemas que impliquem o recurso a um determinado tipo de diagrama, o que, na sua perspetiva, facilita a compreensão desta representação por parte dos alunos. Tendo em conta que, no processo de raciocínio com diagramas, as inferências devem ser feitas com exatidão, consideram importante que os professores enfatizem a importância da precisão na localização e movimento num diagrama e encorajem os alunos a utilizar estratégias de controlo do seu trabalho, através de linhas, setas, pontos e números.

Outros autores como Bishop e Goffree (1986), centram-se no modo como o professor pode ajudar o aluno a interpretar as representações que lhe são apresentadas. Assim, defendem que o papel do professor é “facilitar a interpretação de muitas representações comummente utilizadas, . . . encorajar o surgimento de conexões, para que os alunos possam partilhar conhecimento” (p. 28). Indicam que os professores devem respeitar o ritmo de aprendizagem dos seus alunos, permitindo-lhes que compreendam e apliquem as representações e que estabeleçam conexões. Estes autores fazem também referência às dificuldades que podem surgir nos alunos e dão como exemplo o facto de muitas vezes, estes não interpretarem diagramas e figuras porque ainda não conseguem compreender os conceitos e representações que lhes estão associados. Nestes casos, segundo os mesmo autores, a utilização de diagramas e figuras “longe de clarificar a situação problemática ao aluno, (…) pode simplesmente aumentar a confusão” (p. 2). Outra dificuldade que pode surgir está relacionada com o facto de alguns professores trabalharem as representações como “competências de rotina” (p. 35). Quando isso acontece, os alunos limitam-se a mecanizar as representações matemáticas, sem as compreenderem e sem que seja desenvolvida a sua autonomia e capacidade de decisão na escolha de representações adequadas. Assim, a utilização diversificada de materiais, por si só, não determina a compreensão das representações matemáticas, podendo inclusivamente, contribuir para uma maior confusão nos alunos: “longe de clarificar a situação problemática ao aluno, o seu uso pode simplesmente aumentar a confusão” (p. 34).

No mesmo sentido, Quaresma (2010) alerta para o facto de um ritmo de trabalho demasiado acelerado poder orientar os alunos para a mecanização e memorização na resolução de determinados exercícios e tarefas, sem compreenderem os conceitos e as representações matemáticas envolvidos. Assim, numa fase inicial, Bishop e Goffree (1986) sugerem a “desformalização” das representações, num formato mais familiar e significativo para os alunos, para que estes criem e usem representações próprias. Na sua

37 perspetiva, o professor deve recorrer não só a uma “linguagem mais comum” mas também a outro tipo de representações que os alunos já dominem, permitindo-lhes o estabelecimento de conexões entre elas, ao seu próprio ritmo.

Por sua vez, outros autores sublinham o modo como a discussão coletiva em sala de aula promove a aprendizagem das representações matemáticas. Por exemplo, Stylianou (2010) indica que nos momentos de discussão as representações utilizadas pelos professores podem ser catalisadoras reflexão e geradoras de novas representações nos alunos. Refere que ao transmitirem as suas próprias representações, os alunos podem enriquecer as discussões. Stylianou (2011) refere também o papel do professor na aprendizagem das representações no que diz respeito ao tipo de orientação e questionamento dos alunos. Indica que através das representações dos alunos, o professor pode compreender melhor o seu raciocínio, dando-lhes o apoio e estruturação adequados.

Pelo seu lado, Thomas, Mulligan e Goldin (2002) recomendam que os professores encorajem os seus alunos a comparar e discutir as representações produzidas, de forma a desenvolver internamente e a expressar externamente representações matemáticas significativas (p. 130). Da mesma forma, Diezman e English (2001) reforçam a importância dos momentos de discussão coletiva para a compreensão de representações como diagramas. Assim, referem que os professores devem proporcionar momentos de discussão e monitorizar o desenvolvimento do conhecimento e aprendizagem dos seus alunos, de forma a apoiá-los convenientemente. Na sua perspetiva, se o professor orientar os alunos durante a escolha e criação de um diagrama, fazendo-os refletir na adequação da representação escolhida, estes compreenderão com maior facilidade a estrutura do problema. Referem ainda que, ao encorajar os alunos a discutir as suas opções, o professor promove a comparação entre soluções apresentadas, permitindo-lhes que compreendam qual o diagrama que melhor se adequa a um problema. Numa perspetiva semelhante, Cebola (2011) chama a atenção para a importância do papel do professor na escolha das tarefas e na condução da sua exploração na sala de aula “principalmente no momento de apresentação e discussão dos trabalhos realizados pelos alunos e nos momentos de síntese” (p. 46).

Na realização das tarefas, a discussão dos resultados e estratégias tem um papel determinante na aprendizagem dos alunos, principalmente pela oportunidade de reflexão que proporcionam. Num estudo onde dão especial atenção a este processo reflexivo, Cobb, Boufi, McClain e Whitenack (1997) indicam que os professores podem apoiar o desenvolvimento matemático dos seus alunos, guiando-os e provocando mudanças na

38 direção da discussão, de forma a explicitar um determinado tópico. Alertam também para a existência de momentos em que os alunos tentam apenas adivinhar as soluções corretas como se se tratasse de um jogo, ao invés de participar de forma reflexiva na discussão.

O uso de representações próprias criadas pelos alunos é igualmente referido em vários estudos. Por exemplo, Valério (2005) refere a importância de momentos que promovam a criação e utilização de representações próprias por parte dos alunos, para além das oportunidades para aprender as representações convencionais. Este autor demonstra preocupação em evitar a imposição das suas representações aos alunos, pois na sua perspetiva, o professor pode condicionar o seu raciocínio. No entanto, outros autores têm perspetivas contrárias e consideram que o professor deve ter um papel ativo, ensinando os alunos a trabalhar com representações que desconhecem. Por exemplo, Cobb, Boufi, McClain e Whitenack (1997) sublinham a forma como por vezes os professores traduzem em registos simbólicos o que os alunos dizem e defendem que mais importante do que saber quem inicia os esquemas notacionais, é o facto de estes registos simbólicos partirem da atividade dos alunos, o que facilitará a reflexão coletiva. Por sua vez, Webb, Boswinkel e Dekker (2008) apresentam o “modelo do icebergue das representações” como um instrumento de trabalho para os professores. Este modelo tem como ponto de partida a ideia de que antes da utilização frequente de representações formais (representadas pela ponta do icebergue) os alunos começam pela compreensão e criação de representações informais e pré-formais (parte submersa do icebergue). Para além disso, a velocidade de transição entre níveis varia de aluno para aluno e neste processo, o professor deve criar oportunidades promotoras de criação de representações, não devendo forçar os alunos a formalizar as suas representações sem que estejam preparados para o fazer. Assim, os autores propõem que:

Os alunos não devem ser forçados a utilizar as estratégias formais, se não trabalharam as representações informais e pré-formais necessárias. O tempo investido em atividades construtoras de significado ao nível pré- formal, reduzirá substancialmente o tempo necessário às práticas no nível formal (Webb, Boswinkel, & Dekker, 2008, p. 112)

Sugerem ainda que os professores se reúnam em grupos de trabalho, façam um “modelo de icebergue” das representações que pretendem trabalhar na sala de aula e reflitam nas representações dos alunos e nas que constam no programa. Esta reflexão, possibilitar-lhes-á um maior conhecimento e compreensão das dificuldades dos seus alunos, de modo a escolher mais conscientemente as tarefas a propor na sala de aula. Para

39 Goldin (2008), através das representações externas criadas pelos alunos e da forma como estes as produzem, aplicam e descrevem é possível fazer algumas inferências relativamente às suas representações internas. Por exemplo, ao aplicar os seus conhecimentos na construção de um gráfico ou diagrama ou ao pedirmos para explicar por palavras suas uma definição ou fórmula, podemos compreender o processo de aprendizagem do aluno e respetivas dificuldades.

3.3. Síntese

Os professores podem abordar de diversas formas o processo de aprendizagem dos seus alunos no que diz respeito às representações. Assim, as representações dos próprios professores surgem como suporte para as aprendizagens matemáticas dos alunos. Por outro lado, é igualmente importante que os alunos consigam recorrer a diferentes representações em tarefas exploratórias de modo a interpretar, sistematizar, visualizar e compreender a informação que consta no enunciado das tarefas, descobrir a resposta correta, comunicar e discutir os resultados obtidos com os seus colegas e supervisionar e avaliar todo seu desempenho. Desta forma recomenda-se que os professores: (i) proponham problemas promotores do pensamento visual dos alunos; (ii) provoquem a utilização de diferentes representações; e (iii) façam adaptações nas suas estratégias de avaliação e de ensino. Relativamente à comunicação na sala de aula e à forma como o professor pode ajudar o aluno na interpretação das representações apresentadas, respeitando o seu ritmo de aprendizagem individual surgem sugestões como por exemplo, o “modelo do icebergue das representações” (Webb, Boswinkel, & Dekker, 2008) que parte do pressuposto de que antes da utilização de representações formais, os alunos começam pela compreensão e criação de representações informais e preformais. Assim, o professor é o promotor de oportunidades para a criação de representações próprias, sem forçar os alunos para a utilização de representações formais.

No processo de aprendizagem dos alunos podem surgir dificuldades relacionadas com a interpretação e compreensão das representações, devido ao elevado número de representações apresentadas e à utilização diversificada e imponderada de materiais. Para além disso, o facto de alguns professores trabalharem as representações como exercícios de rotina pode levar à sua mecanização, sem que os alunos as compreendam e sem que se tornem autónomos na escolha acertada das representações a usar. Assim, o professor deve

40 ser um elemento facilitador no processo de interpretação e aprendizagem das representações, recorrendo inicialmente a representações informais que conduzirão os alunos à criação de representações próprias. Deve também encorajá-los a desenhar e a comparar as suas representações e proporcionar momentos de discussão de ideias, de resultados obtidos e de representações utilizadas.

A forma como os professores promovem a compreensão das representações pelos alunos na sala de aula é também objeto de análise, havendo sugestões no sentido de prevenir a sobrevalorização de regras, a memorização descontextualizada e o ritmo de trabalho demasiado acelerado, que podem conduzir à mecanização de exercícios e tarefas. Por seu turno, os esquemas propostos durante as tarefas podem conduzir a discussões em grande grupo com grande produtividade, através da comparação de resultados, podendo ser progressivamente adotados e adaptados pelos alunos.

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Capítulo 4