3.2. Intervenção pedagógica no 2.º ciclo
3.2.1. Números racionais
O estudo do tópico Números racionais negativos efetuou-se em três aulas. Subjacente à ampliação dos conjuntos numéricos, procurou-se em cada uma dessas aulas promover a capacidade do pensamento algébrico. Relativamente à criação do conjunto dos números racionais, os alunos não tinham presente a aplicação de números racionais negativos, como exemplifica a seguinte afirmação de um aluno: “não sabemos onde são usados”. Procurei, assim, utilizar variados contextos onde estes números são contemplados. Esta preocupação é
sustentada pela importância que as Metas Curriculares (Ministério da Educação, 2013) apontam para a concretização de atividades que envolvam os alunos a “identificar grandezas utilizadas no dia-a-dia cuja medida se exprime em números positivos e negativos” (p. 37). O estudo deste tópico dividiu-se assim em três situações onde se utilizaram os números racionais e materializaram-se em tarefas que promoveram aspetos do pensamento algébrico.
A exploração da primeira tarefa utilizou um contexto do quotidiano e permitiu aos alunos comparar e representar números racionais na reta numérica, identificar o valor absoluto de um número e reconhecer números simétrico e, ainda, identificar regularidades e explorar sequências numéricas crescentes e decrescentes.
A Ana tem um ar condicionado (AC) em casa que lhe permite aquecimento ou arrefecimento conforme ela o programar. O AC aquece e arrefece sempre a uma temperatura constante. A Ana ligou o seu AC às 6 horas. A tabela abaixo representa as temperaturas registadas pelo termómetro de parede ao longo de algumas horas. Horas Temperaturas (ºC) 07:00 4º C 08:00 8º C 09:00 12º C 10:00 16º C
1. Quanto aumenta a temperatura de hora para hora?
2. A que temperatura estava a casa quando a Ana ligou o AC? Como sabes?
3. Qual será a temperatura da casa se o AC continuar ligado às 20 horas? Como sabes?
4. Poderá haver alguma temperatura que naquele dia tenha um valor de temperatura ímpar? Porquê? 5. Representa a situação através de uma reta numérica, assinalando as temperaturas com os pontos A, B, C e D. Marca também a temperatura inicial da casa com o ponto E.
6. Imagina agora que a Ana se enganou e ligou o arrefecimento.
6.1. Estende a reta numérica que fizeste a esta situação assinalando as temperaturas que se registariam às 7, 8, 9 e 10 horas com os pontos F, G, H e I.
6.2. Qual a diferença entre o ponto A e E? E entre F e E? Qual a semelhança e a diferença entre os números que representam estes pontos?
7. Qual é a temperatura mais baixa? E a mais alta? Porquê?
8. Atendendo ao que concluíste na pergunta anterior, coloca os números por ordem crescente.
Até à sexta questão não são introduzidos números racionais negativos, visto que a sua finalidade era de auxiliar os alunos a interpretar o contexto em questão (as temperaturas) e explorar regularidades e sequências com números racionais não negativos. A sequência formada pelas temperaturas aumenta segundo a lei de formação 4n (em que n representa o número de horas que o ar condicionado estava ligado).
Estabelecer relações
Os alunos começaram por explorar a variação das temperaturas ao longo do dia. Todos os oito pares de alunos conseguiram analisar essa variação e concluir que a temperatura aumentava 4º C por cada hora. Sete pares de alunos apenas indicaram a resposta apresentando a justificação da sequência formada pelas diferentes temperaturas ter uma lei de formação de “mais 4 graus de hora para hora” (PA). Os alunos analisaram a sequência e relacionando os diferentes termos encontraram a lei de formação que a gera, o que lhes permitiu justificar a questão. O Par E, por seu lado, subtraiu dois termos consecutivos para determinar a constante de crescimento da sequência (Figura 33).
Figura 33. Descoberta da regularidade de crescimento da temperatura, pelo Par E. O Par E expressou um raciocínio diferente dos outros, subtraindo o termo posterior ao anterior e descobrindo quanto era a diferença entre eles: “Nós vimos que das 8 horas para as 7 horas iam 4 graus porque 8 menos 4 são 4. E depois fizemos isso em todos e todos davam 4” (PE). Estes alunos reconheceram a regularidade entre termos particulares e em seguida expressaram essa relação para todos os termos.
Em consequência da regularidade que traduzia uma variação formada por temperaturas cujos valores são múltiplos de 4, os alunos foram questionados sobre a possibilidade de existirem valores de temperatura ímpares. Todos os pares referiram a impossibilidade de haver uma hora em que a temperatura seja ímpar uma vez que: “a tabuada do 4 são só números pares” (PB), “par mais par dá sempre par” (PC), “os múltiplos de 4 são sempre pares” (PH). Todos os alunos deram justificações plausíveis. Para que comparassem números racionais e tivessem uma melhor perceção dessa variação, foi-lhes proposta a construção de uma reta numérica onde as coordenadas das abcissas fossem as temperaturas. Seis dos oito pares de alunos conseguiram representar corretamente os números negativos na reta numérica sem que tivessem ainda aprendido como fazê-lo.
Aluno PB: Nós pensamos se está mais calor vai para a direita, se está mais frio vai para a esquerda.
Aluno PE: Nós vimos pela direita e copiámos para a esquerda. O quatro está aqui no quarto tracinho e o menos quatro fica aqui no quarto tracinho da esquerda.
Aluno PH: Nós também vimos pelo calor quanto mais calor vai crescendo os números à direita do 0. E mais frio vai crescendo os números à esquerda do 0.
Os Pares D, F e G apresentaram justificações semelhantes, enquanto os Pares A e C apresentaram as seguintes representações:
Figura 34. Representação na reta numérica das coordenadas das temperaturas. A reta representada em cima pelo Par A e as representadas em baixo pelo Par C.
Os Pares A e C mostraram ter dificuldades em perceber como conceber números racionais negativos e positivos na reta e em perceber o sentido dos números racionais negativos.
Professora: Que diferença há entre menos quatro graus e zero graus? Aluno PA: Quatro graus.
Professora: E entre zero e quatro? Aluno PA: Quatro também.
Professora: Então ali não está muito bem pois não?
Aluno PA: Não porque o quatro e o menos quatro têm de estar a quatro do zero.
Professora: E se fossemos pelo raciocínio dos vossos colegas então na vossa reta menos oito graus é mais quente que quatro graus. Isso é verdade?
Aluno PA: Não.
Aluno PC: Então o nosso está mal porque não está virado para o frio. Professora: Como assim?
Aluno PC: A dos negativos tem de ir para a esquerda.
Professora: Exato, a semirreta de origem em 0 e que continua sempre para a esquerda é a semirreta dos números negativos.
Depois desta discussão, tornou-se mais fácil para os alunos referir que diferenças há entre os números simétricos. Os alunos referiram que estes números têm igual “número mas
vão para lados diferentes” (PH), sendo que um “tem menos e o outro tem mais” (PH). Um dos alunos referiu que “tem a mesma distância ao 0 mas sinalzinho diferente” (PA). Atendendo ao seguimento desta discussão, todos os alunos conseguiram referir qual a temperatura mais baixa e mais alta e posteriormente ordená-los.
Generalizar
Quando questionados sobre que temperatura estava a casa inicialmente, os alunos tiveram diferentes raciocínios. Seis dos oito pares subtraíram a constante, que tinham inicialmente descoberto, à temperatura da casa passado 1 hora do ar condicionado ligado.
Figura 35. Previsão da temperaturas às seis horas (uma hora antes da primeira temperatura conhecida) pelo Par E.
Os Pares B e H raciocinaram de forma diferente. Pensaram sobre qual teria de ser a temperatura às 6 horas para passado 1 hora, à temperatura constante de 4 graus, estarem 4º C.
Figura 36. Descoberta da temperatura às 6 horas pelo Par B.
Este par pensou na constante que traduz a regularidade da sequência e em qual teria de ser o valor que somada à constante daria o primeiro termo conhecido.
Quando confrontados com uma situação em que o objetivo era descobrir o termo anterior ao fornecido, houve alunos que usaram a lei de formação que encontraram anteriormente e aplicaram a mesma ao termo fornecido para achar o anterior. Outros alunos utilizaram a fórmula para pensar no número a que tinham de somar a constante para dar o primeiro termo.
Para além da generalização próxima, os alunos também fizeram generalizações distantes. Para a determinação do 20.º termo, sete dos oito pares utilizaram uma estratégia recursiva continuando a sequência até esse termo com base na diferença entre termos consecutivos. Apenas um par utilizou uma estratégia de generalização explícita descobrindo uma regra, contextualizada na situação apresentada, e que lhes permitiu “o cálculo imediato de
qualquer valor variável sendo conhecido o valor invariável” (Barbosa, Vale & Palhares, 2009, p. 139).
Figura 37. Previsão da temperatura que estaria às 20 horas na casa apresentada pelo Par H. Este par identificou a diferença de horas entre as 10 horas, onde a casa estava a 16º C, e as 20 horas para determinar o aumento de temperatura entre o período de tempo estipulado (4×horas) e, de seguida, a temperatura obtida às 20 horas. Este procedimento foi explicado à turma pelos alunos do Par H: “Vimos que às 10 horas tinham 16º e que aumentava em cada hora sempre 4. Então fizemos 4 vezes 10. Deu-nos quarenta e juntei a temperatura que já estava que eram 16” (PH).
Este par encontrou uma regra que lhe permitiu saber qualquer temperatura (valor variável) sendo conhecida o valor invariável (a constante de crescimento da temperatura).
Uma vez que os alunos já tinham explorado números racionais negativos, as tarefas seguintes focaram-se na adição dos números racionais utilizando a reta numérica. A primeira tarefa mais focada na compreensão dos alunos sobre o que acontece na reta numérica e em estabelecer relações; e a segunda focada na descoberta de regularidades e em generalizar.
Na figura está representado um esquema de um elevador de uma empresa. O piso 0 corresponde ao piso térreo onde está a receção da empresa. Existem oito andares acima do piso 0 com vários escritórios e oito andares abaixo do piso 0 onde se encontram vários serviços e onde os dois últimos andares são parques de estacionamento. O Eduardo trabalha nesta empresa a fazer serviços de entregas. 1. Quantos andares tem o prédio onde o Eduardo trabalha?
2. Quantos destes andares são representados por valores positivos? E negativos? 3. Vês alguma semelhança entre a posição dos escritórios de A a E e dos serviços de A a E?
4. O serviço do Eduardo implica muitas viagens de elevador. Traduz as seguintes situações que representam algumas dessas viagens.
4.1. O Eduardo chega à empresa pelo piso 0 e sobe ao piso onde está o seu chefe que lhe entrega todos os documentos que deve entregar durante o dia. Quantos andares percorreu ele?
4.2. Depois de sair dali foi ao bar. Quantos andares percorreu ele desde que chegou até beber café? 4.3. Quando sai do bar entrega documentos nos serviços E, D, C, B e A, consecutivamente. Quantos
andares percorreu ele?
4.4. Para ir embora o Eduardo precisa da boleia de um colega que trabalha no serviço A e daí seguem para o parque 1. Quantos andares percorreu o Eduardo para sair da empresa? E o colega?
As primeiras questões tiveram por finalidade mobilizar aprendizagens da aula anterior sobre os números racionais negativos.
Estabelecer relações
A descoberta do número de andares do prédio não apresentou dúvidas, apenas um par não contabilizou o piso 0 como um andar, justificando depois que “devia ter contado porque há botão para o zero” (PB).
Depois de identificarem o número de andares do prédio, os alunos foram confrontados com quatro questões acerca de algumas viagens deste elevador. O nível de respostas corretas para cada viagem foi diversificado, como se pode observar na Figura 38.
Figura 38. Respostas corretas às questões 4.1 à 4.4.
Os pares conseguiram facilmente compreender a subida do elevador (Viagem 1) do piso 0 ao piso 6 e do piso −6 ao piso −1 (Viagem 3). A viagem 2, que traduziu uma descida do piso
6 ao piso −6, suscitou mais dúvidas sendo, ainda assim, respondida corretamente por mais de
metade dos pares. A viagem que traduziu uma descida de um piso negativo (−1) para outro piso negativo (−7) foi a mais difícil de compreender. Como mostra a Figura 38, só responderam corretamente metade dos pares.
Na primeira viagem proposta, uma subida do piso 0 ao piso 6, alguns pares traduziram a viagem através de um esquema do elevador contando os pisos como se fizessem parte de uma reta numérica, como exemplifica a representação do Par A (Figura 39):
Figura 39. Tradução da viagem que representava uma subida do piso 0 ao piso 6, através de um desenho, pelo Par A.
0 2 4 6 8
Viagem 1 Viagem 2 Viagem 3 Viagem 4
Número de pares com respostas corretas
Enquanto alguns pares estabeleceram uma relação entre a reta numérica e a sucessão dos pisos do elevador, outros traduziram a viagem através de uma expressão numérica, como ilustra a resposta do Par B (Figura 40):
Figura 40. Tradução da viagem que representava uma subida do piso 0 ao piso 6, através de uma expressão numérica, pelo Par B.
Este par traduziu a subida do elevador do piso 0 para o piso 6 através de uma expressão numérica que lhe permitiu concluir quantos seriam os andares subidos na viagem.
A viagem seguinte traduzia uma descida do piso 6 ao piso simétrico, que os Pares A e B representaram de uma forma semelhante (Figura 41):
Figura 41. Tradução da viagem que representava uma descida do piso 6 para o piso simétrico pelos Pares A e B.
O Par A recorreu a um esquema que já tinha utilizado anteriormente para representar e contabilizar a subida dos 12 andares. O Par B contabilizou os andares descidos do piso 6 ao piso 0 e deste ao piso –6 e adicionou os dois valores.
A terceira viagem, subida do piso –6 para pisos superiores, não se traduziu em dificuldades elevadas para os alunos, visto que sete dos oito pares responderam corretamente. Um par não respondeu a esta questão. A viagem traduzia uma subida consecutiva de andares desde um piso negativo (−6) para os cinco pisos imediatamente acima parando em cada um. Traduzia assim uma adição de um número negativo com um número positivo. Nesta questão houve diferentes tipos de representação.
Relativamente à subida do elevador do piso −6 ao piso −1, três dos sete pares que
responderam à questão traduziram numericamente a subida, como mostra a Figura 42:
Figura 42. Tradução da viagem que representava uma subida do piso −6 ao piso −1 pelos
Os Pares B, C e H traduziram esta viagem através de uma adição entre o piso de partida (que representa um número negativo) e o número de pisos a subir (que traduz números positivos) tendo como referência os cinco andares da subida. Apesar de ainda não conhecerem a regra da adição entre números com sinais diferentes, estes alunos determinaram o valor dessa adição através da relação que estabeleceram entre o sentido do movimento do elevador e o sinal dos números que correspondem à subida e à descida.
Um dos pares, que nas questões anteriores já tinha optado pelo mesmo tipo de representação, fez um esquema representativo da viagem comparando o elevador e a reta numérica.
Figura 43. Tradução da viagem que representava uma subida desde o piso 6 até aos 5 pisos consecutivos acima, pelo Par A.
Os restantes pares indicaram a resposta tendo-se apoiado na ‘tabela’ do elevador ou na contagem direta dos andares.
A última viagem é a que representou a maior dificuldade dos alunos, ao traduzir uma descida de um piso negativo para outro piso negativo, representando assim a adição de dois números negativos. Os alunos continuaram a utilizar formas de pensamento intuitivas, uma vez que apenas sabiam operar números racionais não negativos.
Figura 44. Tradução da viagem que representava uma descida do piso -1 ao piso -7, pelos Pares B e C.
Os Pares B e C representaram numericamente a descida do piso −1 a 6 andares abaixo, contando para o efeito quantos andares foram percorridos.
No sentido de aprofundar a exploração de números negativos e regularidades os alunos exploraram a seguinte tarefa:
Na aula da Joana a professora propôs a seguinte situação:
O dado que se representa a sua planificação na figura é lançado duas vezes. Os resultados estão viciados e sabe-se que o segundo lançamento é sempre o valor da face que possui o ponto de interrogação. S é um resultado que não foi ainda calculado. Uma turma lançou o dado 5 vezes, somou os resultados e representou esses valores numa tabela:
Qual o valor de S?
Uma vez que os alunos tinham anteriormente explorado e adicionado números racionais tiveram na tarefa seguinte oportunidade para generalizar.
Generalizar
Houve pares que descobriram o valor de S através da perceção da regularidade dos resultados. Sabendo que o valor somado a cada valor seria o mesmo (?), então S seria o resultado do primeiro resultado menos esse valor.
Figura 45. Determinação do valor de S pelo Par B.
O Par B concluiu que S seria −4/3 visto que “como aos lançamentos se soma sempre o
mesmo e eles vão de quatro terços em quatro terços então em baixo também vão de 4 terços em 4 terços e 0 menos 4 terços é menos quatro terços” (PB). Apesar de não terem identificado o valor de ?, os alunos aperceberam-se da regularidade entre os valores dos lançamentos, determinando o valor de S.
Um outro par começou por estabelecer quanto é o valor do ponto de interrogação “somando o número que nós sabíamos que tínhamos de somar a menos dois terços para dar 0” (PE). Posteriormente, este par usou esse valor para somar ao lançamento de S e assim determinar o valor correspondente a esta letra.
Os restantes pares não conseguiram elaborar nenhuma reposta para esta questão. Depois da exploração da adição de números negativos através da reta numérica seguiu- se a aplicação das regras estipuladas para a adição de números racionais na resolução da seguinte tarefa:
Lê atentamente as seguintes situações financeiras.
Situação A: Ganhei 3 euros numa raspadinha e o meu pai deu-me mais 4 euros. Fiquei então com 7 euros.
Situação B: Perdi uma nota de 5 euros e mais tarde perdi mais 2,50. Perdi ao todo 7,50. Situação C: Perdi 5 euros numa aposta mas mais tarde encontrei 5 euros no chão. 1. Escreve uma expressão numérica para cada uma dessas situações.
2. A Daniela observou estas situações e comentou: “Se ganho dinheiro e volto a ganhar dinheiro então nunca podia ter a carteira vazia ou ficar a dever. Assim como se perco dinheiro e volto a perder dinheiro nunca podia ter dinheiro na carteira. Se ganho e perco o mesmo valor então fico como estava”. Comenta a afirmação.
3. Imagina um qualquer número racional positivo representado pela letra a e outro número racional positivo representado por b. Como representarias a soma desses dois números? O resultado seria positivo ou negativo? Porquê?
4. Imagina um qualquer número racional negativo representado por c e outro número qualquer negativo representado por d. Como representarias a soma desses dois números? O resultado seria positivo ou negativo? Porquê?
Situação D: A minha mãe deu-me 6,3 euros porém eu perdi 3 euros. Fiquei com 3, 30 euros.
Situação E: Achei na rua uma nota de 10 euros mas tive de pagar uma dívida de 13 euros. Não fiquei com dinheiro e ainda devo mais 3 euros.
5. Escreve uma expressão numérica para cada uma destas situações.
6. A Sofia observou estas situações e comentou: “Se ganho mais dinheiro do que o dinheiro que perco então ainda fico com dinheiro. Se tenho uma dívida mas pago um valor inferior a ela então continuo a dever”. Comenta a afirmação da Sofia.
7. Imagina um qualquer número racional negativo representado por e e outro número qualquer positivo representado por f. Como representarias a soma desses dois números? O resultado seria positivo ou negativo? Porquê?
As três primeiras situações traduzem a soma de dois números racionais positivos, a soma de dois números negativos e a soma de dois números simétricos. As duas situações posteriores traduzem adições com números racionais de sinais e valores absolutos diferentes. A análise de cada situação requer que os alunos escrevam uma expressão numérica que traduza a situação, que elaborem um comentário a afirmações apresentadas e que, por fim, tentem traduzi-la numa expressão algébrica e concluam o sinal desse resultado. Em qualquer uma das situações devem partir do princípio que o saldo era nulo (0).
Na análise das situações apresentadas, separam-se as respostas dos alunos às três primeiras das duas restantes. Nesta tarefa os alunos tiveram a oportunidade de estabelecer relações e generalizar.
Estabelecer e generalizar relações
Na situação que traduz a adição de dois números racionais positivos, todos os alunos conseguiram adicionar os dois números e traduzir a situação numa expressão numérica, como exemplifica a expressão definida pelo Par A.
Figura 47. Tradução da situação A numa expressão numérica pelo Par A.
Com esta questão não se pretendia verificar se os alunos conseguiam adicionar dois números racionais positivos, uma vez que era esperado que o conseguissem, mas sim gerar expressões numéricas que contextualizassem a tarefa. Quando comentaram a afirmação relativa a esta operação, todos os alunos atestaram a sua veracidade, concluindo que “dois ganhos de dinheiro só podiam dar dinheiro” (PA) ou que “não pode ficar sem dinheiro se não gastar” (PB). A transposição da linguagem numérica para a linguagem simbólica foi efetuada pela maioria dos alunos, cuja tradução em linguagem natural evidencia a generalização do que acontece quando se somam dois números racionais positivos.
Figura 48. Tradução da soma de dois números racionais positivos pelo Par B.
Na procura da tradução algébrica da soma de dois números racionais positivos quaisquer, dois pares estabeleceram a relação com letras no conjunto de números que podem ser representados por elas. Os restantes seis pares apenas apresentaram exemplos concretos de somas de dois números racionais positivos.
A situação que traduzia uma adição entre dois números negativos, ao apresentar duas perdas sucessivas de dinheiro, suscitou algumas dúvidas. Como os alunos ainda não estavam