3.1. Intervenção pedagógica no 1.º ciclo
3.1.1. Sequências e regularidades – Sequências repetitivas e crescentes
O estudo deste tópico resultou da atividade que os alunos realizaram sobre três tarefas. A primeira tarefa apresentava uma sequência pictórica repetitiva com um padrão de apenas dois elementos da mesma cor de formas geométricas diferentes: um círculo e um quadrado.
A Maria e a Isabel estão a construir um papel de parede para colocar no quarto. Para isso desenham um círculo num azulejo depois um quadrado no seguinte e vão repetindo essas figuras sucessivamente.
…
1. Prolonga a sequência de azulejos até teres 12. Qual a parte que se repete?
2. Se quisesses contar a alguém como é o papel de parede da Maria e da Isabel o que dirias? Atribuindo um número a cada figura pela ordem que ocupam na sequência responde às questões: 3. Que figura está por cima do número 4?
4. Que figura está por cima do número 7?
5. Que figura estará por cima do número 20? Como sabes? 6. Que figura estará por cima do número 25? Como sabes?
7. Consegues pensar noutros números com quadrados em cima? Que números são esses? 8. Consegues pensar noutros números com círculos em cima? Que números são esses? 9. Se quisessem contar a alguém como é esta sequência, o que dirias?
10. Em 30 azulejos quantos serão quadrados e quantos serão círculos? E em 60? E em 90? E em 120? E em 150?
As três primeiras questões apelam à interpretação da sequência, nomeadamente a sua continuação, descrição e identificação da ‘parte que se repete’. Os alunos são solicitados a atribuir um número a cada elemento da sequência, estabelecendo uma relação entre o termo e a sua ordem na sequência. As questões seguintes apelam à generalização aproximada e distante de termos da sequência, generalização essa que permite descobrir a figura de um termo de uma dada ordem e a generalização do número de elementos de cada figura para qualquer que seja a quantidade total dos mesmos.
Estabelecer relações
Na reprodução da sequência, em cartolinas, os alunos reproduziram o padrão do enunciado.
Figura 2. Alunos a disporem as cartolinas representando a sequência.
No prolongamento da sequência até ter doze elementos, todos os alunos responderam corretamente, utilizando a configuração visual dada para prolongar a sequência até ao elemento solicitado. Estabelecendo o que existe de comum na sequência apresentada, intuitivamente, os alunos continuaram o padrão identificado, como ilustra a reprodução realizada pelos alunos do Grupo B (Figura 3).
Figura 3. Prolongamento da sequência pelo Grupo B até ao 12.º elemento.
Alguns alunos repetiram o que iam fazendo à semelhança de um aluno do Grupo B, que explicitava o que estava a pensar à medida que desenhava: “É assim sempre, um quadrado e depois um círculo”.
A identificação da ‘parte que se repete’ suscitou algumas dúvidas nos alunos. A opção por esta expressão deveu-se por os alunos mostrarem, no questionário inicial, que ainda não conheciam o termo padrão.
Professora: Qual é a parte que se repete ao longo dessa sequência? Aluno: Os círculos e os quadrados.
Professora: E repetem-se como?
Aluno: Círculo, quadrado, círculo, quadrado, círculo, quadrado… Professora: Então qual é a parte que se repete?
Aluno: Círculo e quadrado, círculo e quadrado, e sempre assim.
Como revela este diálogo, um aluno tinha dúvidas em perceber se era para referir os elementos que se repetem ou descrever como se estão a repetir. Os restantes alunos deram três tipos de resposta que, como se pode observar na Figura 4, se diferenciaram por integrarem: (i) o padrão certo; (ii) apenas uma das figuras; e (iii) quatro figuras.
Figura 4. Diferentes figuras padrão identificadas pelos alunos.
Embora a maior parte dos alunos tenha reproduzido corretamente a sequência da figura dada, a identificação de diferentes figuras padrão deveu-se à incompreensão do que se entende por ‘parte’. A análise das diferentes respostas dos alunos permitiu esclarecer a noção de padrão, enquanto parte da figura que se repete ao longo da sequência:
Professora: Se a parte que se repete fosse esta aqui (apontando para a segunda representação da Figura 4) como é que seria a sequência? Aluno: Seria círculo, círculo, círculo, círculo…
Professora: Exatamente. E aquela ali (apontando para representação à direita da Figura 4) não é já uma repetição desta aqui (padrão correto)? Alunos: Sim.
Professora: Então, se eu dissesse que aquela parte que se repete se chamava padrão qual seria o padrão desta sequência?
Aluno: Seria o círculo e o quadrado, juntinhos.
Após a clarificação da noção de padrão, os alunos resolveram as questões que tinham como objetivo generalizar termos aproximados.
Para a descrição do padrão, duas questões da tarefa tinham o mesmo objetivo e a mesma formulação (Se quisesses contar a alguém como era o papel de parede da Maria e da Isabel o que dirias?): uma delas surgiu a priori da colocação dos números nas figuras e a outra a posteriori. Pretendeu-se, assim, identificar diferenças entre as respostas antes e depois de os alunos estabelecerem relações entre os termos e as suas ordens e explorar o termo padrão. Através de uma análise comparativa entre as questões 2 e 9 (Figura 5), constata-se que depois de os alunos estabelecerem relações, entre as representações pictóricas e as representações numéricas, que traduzem as ordens de cada termo, denotam uma maior facilidade em descrever as sequências através da apresentação de mais características da figura fornecida.
0 1 2 3 4 5 6
Aspetos relacionados com a
sequência Aspetos relacionados com opadrão Aspetos relacionados com aparidade dos termos Pergunta 2 Pergunta 9
Figura 5. Evolução das respostas dos alunos à mesma questão antes e depois da colocação dos números associados às ordens das figuras.
Estabelecida a relação entre a configuração icónica e a numérica, os alunos manifestam ter uma melhor perceção de como é constituída a sequência, em descrever o padrão e em estabelecer novas relações como a existente entre os números pares e ímpares e as diferentes figuras. Alguns alunos já tinham estabelecido a relação entre a paridade dos números e a ocorrência das figuras, enquanto outros só depois de relacionarem a configuração visual e a numérica é que concluíram que a paridade dos números se podia relacionar com a ocorrência de uma ou outra figura.
Generalizar
Na tarefa proposta, os alunos eram confrontados com questões de generalização próxima e distante. Na atividade relacionada com a generalização próxima, os alunos estabeleceram a relação entre a configuração visual e a numérica (a ordem de cada termo) e observaram a figura que correspondia ao número solicitado.
Aluno: Aqui para saber o 4 eu fui à quarta figura, aqui com o número 4 e vi que era um quadrado e o 7 igual.
Aluno: Eu olhei e contei 1, 2, 3 até ao 4 e era quadrado e depois fiz até ao 7 e era círculo.
Relativamente à generalização distante, relativa ao 20.º elemento, dois grupos conseguiram descobrir o termo relacionando-o com a paridade da ordem do termo. Associaram às ordens de números pares aos quadrados e às formas circulares as ordens de números ímpares, como exemplificam as respostas dos Grupos B e C:
Figura 6. Previsão da figura que estava associada ao 20.º elemento e justificação dos Grupos B e C.
Os alunos dos Grupos B e C responderam, como se pode ver na Figura 6, de modo semelhante evidenciando a sua justificação na paridade dos números das ordens das figuras solicitadas. Os alunos estabeleceram uma forma que os auxiliou a encontrar qualquer figura independentemente do termo e saber a paridade do termo de qualquer figura. Enquanto lidavam com a generalização próxima, estes grupos utilizaram estratégias de contagem. Porém, para a generalização distante alteraram esse método. O tipo de generalização pode, de acordo com Orton e Orton (1999), fazer com que os alunos alterem os seus métodos.
Os restantes três grupos optaram por uma estratégia de contagem (Figura 7), desenhando cada um dos elementos e contando até ao vigésimo. Estes grupos, ao contrário dos anteriores, não alteraram os seus métodos ao tipo de generalização.
Figura 7. Estratégia de contagem pelos alunos que desenharam 20 elementos para descobrir qual seria o 20.º termo da sequência.
Na generalização do 25.º termo e na devida justificação, os alunos seguiram as representações semelhantes às que usaram anteriormente.
Quando confrontados sobre que outros números corresponderiam a quadrados ou círculos, os grupos que tinham alcançado a generalização explícita, que permite saber que qualquer termo par é associado a um quadrado e qualquer termo ímpar é associado a um círculo, responderam de acordo com a generalização obtida, como ilustra a resposta do Grupo C:
Figura 8. Apresentação de exemplos de números que estariam associados a quadrados e círculos pelo Grupo C.
Como revela a Figura 8, os alunos conseguiram referir exemplos de números associados às figuras e dizer que particularidades têm os números que estavam associados a cada uma delas.
Os grupos que usaram estratégias de contagem apenas deram exemplos de números pares e ímpares, que através da contagem descobriram ser quadrados ou círculos.
Professora: Como é que o grupo A fez?
Aluno GA: Desenhámos mais alguns e descobrimos que o 22, o 24 e o 26 também tinham quadrados.
Professora: E são só esses? Aluno GA: Sim.
Professora: Então e o número 28? Aluno GA: Ah… é também.
Aluno GD: Nós vimos que o 20 era, então o 40 também e o 60 e o 80. Aluno GD: Mas agora está mal, não vês que o 22 e assim também são? Aluno GE: Nós pusemos 20 e 22, mas pusemos reticências.
Constata-se, assim, que uma estratégia de contagem pode ser útil para os alunos para encontrar termos que sejam próximos aos fornecidos mas torna-se difícil quando se pretende determinar termos distantes.
Alguns alunos que pareceram saber que as posições onde se encontravam quadrados correspondiam à ordem de números pares e os círculos à ordem de números ímpares não conseguiram elaborar uma justificação plausível. Apesar de conseguirem estabelecer a generalização não conseguiram formalizá-la e expressá-la por escrito uma vez que não foram capazes de, através de casos particulares, partir para casos gerais.
Nesta tarefa, verificou-se que todos os alunos conseguiram identificar os elementos da sequência, reconhecer como ela é formada e estabelecer relações entre os diferentes termos. Porém, apenas alguns alunos reconheceram e estabeleceram relações entre os termos e as ordens e poucos conseguiram expressar a generalização. Os grupos que conseguiram passar por todas as etapas conseguiram generalizar, uma vez que conseguiram identificar qualquer figura através da paridade da ordem, como também conseguiram dizer se a ordem da figura era par ou ímpar sabendo a figura em análise. Partiram da análise de casos particulares, em que verificaram uma condição, e sabendo que essa condição se aplicaria a todos os elementos expressaram uma regra que permite uma resposta direta.
A questão centrada na generalização da quantidade de azulejos num número qualquer de azulejos encerrou algumas dúvidas. Dos cinco grupos, dois não apresentaram qualquer resposta e um grupo não respondeu à questão formulada ao considerar que o 30.º elemento é um quadrado, em vez de referir quantos quadrados e círculos existem em 30 azulejos. Os restantes dois grupos, Grupo C e Grupo D, justificaram a sua resposta através de diferentes representações (Figura 9):
Figura 9. Previsão do número de elementos de cada figura pelos Grupos C e D.
Estes grupos optaram por formas diferentes de justificar a previsão sobre o número de quadrados e círculos em 30, 60, 90, 120 e 150 azulejos. O Grupo C optou por justificar através da linguagem natural enquanto o Grupo D optou, por seu lado, por justificar através de expressões numéricas, considerando que a quantidade de cada uma das figuras seria igual qualquer que fosse o número total de azulejos.
Professora: Porquê? Como é que pensaram?
Aluno GD: Porque um mais um são dois, então dez mais dez são vinte e cinco mais cinco são dez, então vinte mais dez são trinta e quinze mais quinze são trinta e… então quinze é metade de trinta. Há quinze quadrados e quinze círculos.
Aluno GC: Quinze mais quinze é igual a trinta. Quinze bolas e quinze quadrados.
Professora: Bolas? Aluno GC: Círculos.
Aluno GE: Nós dissemos que era um quadrado.
Aluno GD: Nós vimos que na figura há sempre as mesmas figuras. Em dez, há cinco e em vinte, há dez então em 30 há quinze e 60 há 30. E 120 são sessenta quadrados porque cinquenta mais cinquenta são cem e dez mais dez são vinte então cinquenta mais dez são sessenta.
Um aluno do Grupo D apercebeu-se de que poderiam elaborar a questão para números ímpares de número total de elementos:
Aluno GD: Se for assim, vai ser sempre metade-metade. Professora: Se for assim o quê?
Aluno GD: O número total, se for sempre assim. Professora: Assim como? Par?
Aluno GD: Sim.
Professora: E se fosse ímpar, já não seria metade-metade?
Aluno GD: Não, se fosse 3 e começasse assim teria mais círculos. Professora: Então tinha sempre mais elementos de uma figura que outra? Aluno GD: Sim, tinha sempre mais círculos que quadrados se seguisse esta.
Olha aqui… do 1 ao 3 tem o 1 e o 3 (dois números ímpares e dois círculos) e só tem o 2 (um número par – um quadrado). Se é esta então tinha sempre mais círculos.
Este aluno do Grupo D relacionou a quantidade dos elementos com a paridade e considerou que os números ímpares não se podem dividir em dois números naturais, o que faz com que não haja um número ímpar que tenha tanto quadrados como círculos.
A fim de continuar a trabalhar sobre a noção de padrão, os alunos exploraram, posteriormente, uma tarefa que lhes apresentava um padrão mais complexo que o anteriormente trabalhado. A tarefa “A pulseira da Marta” dedicou-se, desta forma, também à exploração de uma sequência de repetição. O padrão formado por esta sequência continha quatro elementos, sendo que um destes se repetia uma vez, formando uma estrutura de padrão ABAC.
A Marta está a fazer uma pulseira e já colocou no fio as peças que vês na figura.
1. Continuando o padrão desenha as três peças seguintes. Qual a parte que se repete?
2. Em 10 peças quantas serão esferas? E estrelas? E paralelepípedos? Explica a tua resposta através de um desenho.
3. Para continuar a sequência de qual das peças vamos necessitar em maior quantidade? Porquê? 4. Se continuarmos esta sequência para o lado esquerdo qual a peça que vai surgir imediatamente
atrás da 1.ª esfera da pulseira?
5. Se a sequência continuar para a direita qual vai ser o 20.º elemento? Como sabes?
As questões são semelhantes às anteriormente trabalhadas, com referência à noção de padrão que foi trabalhada na tarefa anterior.
Estabelecer relações
Os alunos perceberam o que tinham de fazer para prolongar a sequência e a maioria conseguiu identificar corretamente qual era o padrão: “o padrão é a bola, estrela, bola e
quadrado” (GA). Embora não utilizassem os termos de forma mais correta, os alunos não tiveram dificuldades nesta atividade.
Todos os alunos utilizaram, como se pode observar pela Figura 10, uma estratégia de contagem para identificar a 12.ª peça da pulseira.
Figura 10. Prolongamento da sequência até 12.º elemento pelo Grupo B.
Os alunos não tiveram dificuldade em descobrir o 12.º elemento e todos optaram por desenhar os 12 elementos. Esta questão podia ter sido formulada relativamente a um termo mais distante, de modo a apelar a estratégias de generalização mais elaboradas, uma vez que os alunos apenas tiveram de desenhar mais dois elementos para alcançar os 12.
Na interpretação de qual a peça que exigiria mais elementos para continuar a pulseira, todos os alunos afirmaram serem precisas mais esferas porque na pulseira são as esferas que estão em maior quantidade, como referem os Grupos B e C.
Figura 11. Justificação de qual a peça que estava em maior quantidade num prolongamento da sequência pelos Grupos B e C.
Os alunos apenas referem que é a peça em maior quantidade na figura fornecida em detrimento da figura padrão. Estes alunos continuam centrados na representação icónica que é considerada muito importante, principalmente numa fase inicial da tarefa (Bruner, 1999). Na discussão sobre a atividade realizada, uma aluna considerou a figura padrão, concluindo que se quisesse continuar a pulseira, a partir desta figura, a peça com mais quantidade será o que predomina na figura padrão.
Aluna GB: Porque é esfera, estrela, esfera, paralelepípedo então tem esfera e esfera.
Professora: Tem esfera e esfera onde? Aluna GB: No padrão.
A identificação da figura padrão permitiu aos alunos identificar a peça que estaria antes da primeira representada na imagem. Este tipo de procedimento ainda não tinha sido efetuado, uma vez que os alunos só tinham previsto os termos que surgiriam “a seguir” ou “à direita”.
Aluno GC: Seria um paralelepípedo. Na figura, sempre que tem uma esfera com uma estrela à direita tem à esquerda um paralelepípedo. Aluno GD: Se as estrelas são 2, 6, 10 então os paralelepípedos são 8, 4, 0.
Então atrás do 1 estava o 0 que é paralelepípedo.
O aluno do Grupo C estabeleceu uma relação visual através da ordem dos termos da sequência. O aluno do Grupo D estabeleceu uma relação entre a representação pictórica apresentada e a representação numérica que o próprio estabeleceu, correspondendo os números às posições que aparecem na sequência. Assim, este aluno percebeu a sequência de números correspondentes aos paralelepípedos (0, 4, 8, 12, …), às esferas (1, 3, 5, 7, …) e às estrelas (2, 6, 10, 14,…), e verificou a peça que correspondia ao número pedido.
Generalizar
Na determinação do 20.º elemento, quatro dos cinco grupos apresentaram uma estratégia semelhante à do Grupo D (Figura 12):
Figura 12. Justificação icónica de qual seria a 20.º peça da pulseira pelo Grupo D. Estes grupos optaram por usar uma estratégia de contagem, desenhando cada um dos 20 elementos e contando até ao termo solicitado. Porém, um aluno do Grupo D apercebeu-se que não era necessário efetuar a contagem das peças visto que o 20.º termo seria um múltiplo de 4:
Aluno GD: Porque se é 0, 4, 8, 12, 16, 20. Pronto… é o paralelepípedo. Professora: Sabes como podemos nomear esses números de outra forma? Aluno GD: Não.
Professora: Mas o que acontece de número para número? Aluno GD: Mais 4.
Com a clarificação da noção de padrão, seguiu-se a identificação de regularidades de sequências.
Para isso, os alunos exploraram uma tarefa com um padrão com três elementos diferentes sem repetição de qualquer um deles:
A Ana fez um colar para a sua mãe. Para isso usou missangas esféricas de cor azul, amarela e verde. Na imagem vês um esquema da ordem das missangas deste colar.
1. Completa o colar desenhando as missangas que faltam. 2. Qual o padrão desta sequência?
3. Descreve a sequência através de um texto. 4. Todas as missangas estão na mesma quantidade?
5. Se a Ana pusesse mais uma missanga no colar que cor poria? 6. De cor seria a missanga número 15? Porquê?
7. Se tivéssemos 15 missangas quantas seriam azuis, verdes e amarelas?
8. A Ana decidiu agora fazer um colar igual para as três melhores amigas. De quantas missangas de cada cor vai precisar? Desenha uma tabela que te ajude a chegar à resposta. 9. Se todos os dias durante uma semana a Ana fizer um colar igual a este para a mãe e para as três amigas quantos colares vai fazer ao fim de uma semana?
1.º Dia 2.º Dia 3.º Dia 4.º Dia 5.º Dia 6.º Dia 7.º Dia Colares
10. Analisa a tua resposta à pergunta anterior e descreve o que acontece de dia para dia. As questões desta tarefa incidiram sobre termos já tratados, tais como "padrão" e "descrição".
Estabelecer relações
Antes da exploração da tarefa, efetuou-se uma revisão sobre o que foi tratado na aula anterior, com realce para a noção de padrão.
Aluna GA: Havia um papel de parede. E tinha um círculo e um quadrado e depois mais um círculo e um quadrado e um círculo e um quadrado e …
Professora: Então na aula anterior a sequência era círculo… Aluna GA: Quadrado, círculo, quadrado, círculo, quadrado… Professora: E qual era o padrão?
Aluna GA: O círculo e o quadrado Professora: Então o que é o padrão?
Aluna GA: É… são … uma parte que depois se repete de figuras.
Professora: E na segunda tarefa? Era uma bola, uma estrela e mais uma bola e um paralelepípedo.
Aluno GD: Sim uma esfera, uma estrela, um paralelepípedo, uma esfera e sempre assim
Professora: E qual era o padrão?
Professora: E porquê?
Aluno GD: Porque tem esfera, estrela, esfera, paralelepípedo e depois a mesma coisa e a mesma coisa e sempre assim.
Relativamente à noção de padrão, uma aluna referiu que era uma unidade que se repetia, mas apenas referiu figuras geométricas. Em consequência, aproveitei o momento para apresentar mais exemplos de padrões onde nem sempre as figuras geométricas pertencem à constituição do padrão.
Professora: E se tivermos assim: ABABABAB. É uma sequência? Alunos: Sim.
Professora: E qual é o padrão? Alunos: AB.
Professora: E com números também podemos ter uma sequência? Alunos: Sim.
Professora: Então quem sabe dizer uma sequência de números? Alunos: 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, e assim.
Professora: Sim é uma sequência. E qual é o padrão? Aluna GA: Um e dois.
Professora: E se eu dissesse o padrão é 4, 2, 7. Como podia ser a sequência? Alunos: 4, 2, 7, 4, 2, 7, 4, 2, 7.
Esclarecidas algumas dúvidas dos alunos, a turma iniciou a exploração da sequência apresentada na tarefa proposta. A sequência apresentava lacunas de figuras a fim de os alunos completarem conforme o padrão identificado, o que foi concretizado por todos os alunos. Uma aluna referiu que “todas (as figuras) são círculos, o que muda é a cor” (GD). Na identificação do padrão, os alunos recorreram a representações icónicas e à linguagem natural, como ilustra a identificação do padrão feita pelos Grupos A e B (Figura 13).
Figura 13. Identificação do padrão, através de um desenho e da linguagem natural. Por desenho ou por texto os alunos não manifestaram dificuldade em identificar o