O conceito de número e a importância da contagem

Durante os anos 60 e 70, o tema dominante da investigação na aprendizagem da Matemática nos primeiros anos foi, sem dúvida, o conceito de número, muito influenciado pela investigação realizada por Jean Piaget. Para Piaget (1973), o conhecimento do número é lógico-matemático, constituído pela ação exercida pelo sujeito sobre os objetos e é formado por um mecanismo designado de abstração reflexiva. Esta abstração reflexiva vai permitir que o sujeito retire informações não diretamente das propriedades dos objetos, mas sim das relações que ele próprio, pela sua ação, estabelece entre elas. Estas relações vão-se progressivamente complexificando e equilibrando tornando-se cada vez mais estáveis e menos dependentes de qualquer tipo de suporte concreto (Morgado, 1988). Para Piaget, o número resulta da síntese de duas noções lógicas, a classificação e a seriação, ou seja, para que um conjunto de elementos tenha o estatuto de uma quantidade numérica, deve ser percebido, identificado, tomado em consideração, em função do número de elementos que o compõem e ser reconhecido como mais pequeno ou maior que um outro em função deste mesmo critério. Este autor salienta ainda que as crianças até aos 5/6 anos podem saber contar, mas não compreender a ideia essencial do número, isto é, quando ocorre qualquer mudança no arranjo dos conjuntos, o número de objetos permanece o mesmo. Este aspeto está relacionado com o conhecimento do valor cardinal do número e com a relação entre a correspondência um a um e a conservação (Piaget & Szeminska, 1964).

Um princípio que hoje se considera essencial para o desenvolvimento numérico da criança é o seu conhecimento da sequência numérica, o qual foi desvalorizado por Piaget, dado considerá-lo um procedimento meramente social e, por este motivo, não essencial na construção do conceito de número. Além desta desvalorização, a teoria de Piaget (1973) apresenta uma outra limitação no desenvolvimento do conceito de número - é que ela subestima a significância de competências quantitativas básicas como a contagem, estimação e subitizing1, sendo reconhecido por vários investigadores que esse

1 _{O termo subitizing foi utilizado, pela primeira vez, por Kaufnan, Lorde, Reese & Volkmann, em 1949, para}

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desenvolvimento envolve cada vez mais a integração ou a aplicação eficiente de tais competências (Gelman & Gallistel, 1978; Klahr & Wallace, 1973; Carpenter & Moser, 1983).

Klahr e Wallace (1973) propõem um modelo de construção de número que contempla três operadores quantitativos que, no seu todo, explicam a formação da noção de número:

subitizing - que consiste num processo de perceção direta dos números até cinco, seis; a contagem - que consiste na enumeração dos elementos do conjunto através da

correspondência estabelecida entre o objeto e o símbolo linguístico e, por último, a

estimação - à qual se recorre quando a contagem não é possível de se efetuar, devido a um

reduzido tempo de exposição para um número de objetos demasiado grande.

Gelman e Gallistel (1978), ao contrário de Piaget, defendem que os processos de contagem e quantificação são essenciais para a aprendizagem da sequência numérica, dado que é a partir da contagem que são construídos os primeiros conceitos numéricos e aritméticos. O conhecimento da sequência numérica é, assim, fundamental e funciona como ponto de partida para o raciocínio aritmético informal, bem como para o princípio da inclusão hierárquica (Brocardo, Delgado, Mendes, Rocha, Castro, Serrazina & Rodrigues, 2005). Aqueles investigadores consideram que é a partir da contagem que a criança adquire competências que lhe permite comparar quantidades e resolver problemas, utilizando estratégias de contagem adequadas. Assim, identificam cinco princípios que a criança deveria progressivamente construir tendo em conta a construção de número: o princípio da

correspondência termo-a-termo, contar todos os objetos e contar cada um deles uma vez e

apenas uma vez, ou seja, correspondência entre o objeto e a palavra dita; o princípio da

ordem constante – produzir nomes de números numa mesma ordem fixa e estável, 1, 2, 3,

4, 5 … e não 1, 3, 6, 5, 2, 4; o princípio da cardinalidade – o número total de objetos corresponde ao último nome do número da contagem; o princípio da abstração – os mesmos números podem ser aplicados na enumeração de objetos diferentes e, neste sentido, não fazer parte integrante daqueles e, finalmente, o princípio da irrelevância da

ordem de contagem – a ordem de enumeração de objetos é irrelevante em termos da

determinação do valor total do conjunto, isto é, os objetos podem ser contados da direita para esquerda, da esquerda para a direita, de cima para baixo, enfim, de todas as maneiras, sem que isso altere o resultado da contagem. À medida que a criança for construindo estes

princípios mais facilmente será capaz de os generalizar a grupos com um maior número de elementos.

Do mesmo modo, outros investigadores (Glasersfeld, Steffe & Richards, 1983; Fuson, 1988) também atribuem à contagem um papel importante no processo de construção de número como uma competência quantitativa básica relevante, embora não atribuam o protagonisno do processo de subitizing defendido por Klahr e Wallace (1973). Fuson (1988), embora considere que “a contagem é uma atividade bastante complexa” (p. 402), demonstrou que as crianças, a partir dos quatro anos e meio, conseguem contar objetos de uma forma bastante eficiente.

Esta investigadora, ao contrário de Piaget, sugere que o ato de contar é, inicialmente, um ato destituído de conhecimento numérico per si, não sendo um fenómeno de tudo ou nada, ou seja, se a criança sabe contar objetos, então ela sabe contar tudo. Pelo contrário, defende que o processo de desenvolvimento da contagem é um processo gradual, variável, individual e intrinsecamente relacionado com o ambiente onde está inserida, feito a partir da utilização das palavras numéricas em diferentes contextos e como resultado das suas experiências.

De um modo global, Fuson considera a sequência numérica um instrumento importante no desenvolvimento da contagem e que a capacidade das crianças para dizerem a sequência correta das palavras numéricas é fortemente influenciada pelas “oportunidades que lhe são dadas para aprender e praticar esta sequência” (p. 57). Este desenvolvimento não é um processo linear, dado que as palavras numéricas têm diferentes significados com os quais as crianças são confrontadas. Inicialmente, a criança não distingue esses diferentes usos. É através do emprego dessas palavras em diferentes contextos que lhes atribui significado. Glasersfeld e Richards (1983) e Kami (1985) defendem uma ideia importante para a compreensão da contagem, a ideia de que os números aumentam exatamente um a um de cada vez e que encaixam uns nos outros também um a um, inclusão hierárquica. Esta ideia matemática fundamental faz apelo à inferência lógica, uma operação sobre o todo (Fosnot & Dolk, 2001). Se para obter seis se adiciona mais um a cinco, então, necessariamente, quando um é subtraído a seis, restam cinco. A capacidade de manter a quantidade total (seis) e compreender como as partes (neste caso cinco e um) se relacionam com o total implica realizar uma operação matemática.

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Esta ideia fundamental da inclusão hierárquica é aprofundada pelas crianças, resultando numa compreensão mais completa dos números e no desenvolvimento de mais duas ideias fundamentais: a compensação e a relação parte/todo. Quando as crianças desenvolvem a compreensão da noção de inclusão hierárquica, elas começam a compreender que se 6 + 1 = 7 então, necessariamente 5 + 2 = 7, uma vez que, embora tenha sido retirado um ao seis, essa unidade foi adicionada ao um – compensação. À medida que esta ideia de compensação é alargada para gerar outras formas de obter sete, desenvolve-se uma compreensão mais profunda das partes que compõem o todo.

Fosnot e Dolk (2001) consideram que estratégias como: contar/inventariar objetos sincronizadamente; «contar a partir de um certo número» (por oposição a contar a partir do um); e, ideias fundamentais como a correspondência biunívoca, a cardinalidade, a inclusão hierárquica, a compensação e a relação parte/todo são marcos importantes no cenário de aprendizagem e contribuem para o desenvolvimento numérico inicial. Sem a compreensão destes marcos uma criança tem dificuldade, por exemplo, em determinar quantos biscoitos se obtém no total se uma pessoa trouxer oito biscoitos e outra pessoa dois. Uma criança que não compreenda estes marcos contará três vezes o número de biscoitos: primeiro, utilizando os dedos ou cubos, contará até oito; depois até dois; e, finalmente, juntará os dois montantes, recomeçando então a contar a partir do um. «Contar a partir de um número» é uma estratégia muito difícil para as crianças desenvolverem, uma vez que elas são quase obrigadas a negar a sua estratégia anterior de contar a partir do início. Para compreender porque é que a estratégia funciona é necessário desenvolver o sentido de cardinal e de inclusão hierárquica.

O desenvolvimento de uma ideia fundamental como a inclusão hierárquica altera a estratégia da criança de «contar a partir do um» para «contar a partir de um certo número». Noutras ocasiões, o desenvolvimento de uma estratégia como «contar a partir de um certo número» pode conduzir à compreensão da relação parte/todo. Há, assim, uma reciprocidade entre as ideias fundamentais e as estratégias. A competência de contagem permite, às crianças, a aquisição de instrumentos importantes quando procedem a comparações quantitativas, capacitando-as para resolverem problemas aritméticos usando estratégias de contagem que modelem o conteúdo do problema.

Todos estes aspetos contribuem para um melhor conhecimento do número e para a aquisição dos primeiros conceitos numéricos. O Curriculum Focal Points (NCTM, 2006),

também nesta perspetiva, recomenda que os alunos desde a Educação Pré-Escolar desenvolvam uma compreensão do significado dos números inteiros e, para isso, considera importante que os alunos “reconheçam um número pequeno de objetos sem contar e também através da contagem - o primeiro e mais básico algoritmo matemático” (p. 11), salientando a importância do uso da correspondência biunívoca, da combinação de conjuntos, comparação de números, a contagem de números até 10 e para além de 10, a cardinalidade e a ordenação como contributos importantes para a resolução de problemas. Van Hiele (1973) elaborou uma teoria para o desenvolvimento do conceito de número que se estrutura em três níveis de pensamento: o nível base – em que os números estão ligados às quantidades observáveis e às ações envolvendo objetos físicos; o primeiro nível – é visível quando o aluno já consegue estabelecer relações entre os números e as quantidades, ou seja,

Enquanto no nível base o conceito de “quatro” pode estar ligado a entidades visíveis, por exemplo, aos vértices de um quadrado, e características como uma palavra na série “ um, dois, três, quatro, cinco …”, no primeiro nível é uma junção no modelo relacional. Nesse nível pode ser dois mais dois, ou duas vezes o dois, ou possivelmente cinco menos um. Em qualquer caso ele próprio já se livrou (desembaraçou) do domínio do concreto (Van Hiele, 1973, p. 182).

O segundo nível – onde as próprias relações entre os números são o objeto de investigação. Conexões são feitas e levam em conta a construção de um sistema significativo e lógico. Nos níveis elaborados por van Hiele (1973) para o desenvolvimento do conceito de número não deixam de estar implícitos os princípios enunciados anteriormente, por exemplo, no nível base, a correspondência termo-a-termo e a contagem, no primeiro nível, o princípio da cardinalidade e da inclusão hierárquica e, no segundo nível, algo que vai para além dos princípios, ou seja, atender às relações entre os números e a construção de um sistema significativo e lógico do número. É aqui evidente um alargamento do conceito de número elaborado na perspetiva de Piaget.

Gravemeijer (1994) refere que, embora esta perspetiva de van Hiele seja a um nível teórico, o que importa não é o seu uso teórico, por exemplo, numa classificação nítida dentro dos níveis, mas as suas implicações práticas. Primeiro, a matemática tem de começar num nível em que os conceitos utilizados tenham um grau superior de

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familiaridade para os alunos e, em segundo lugar, o seu objetivo seja a criação de um modelo relacional.

Freudenthal (1973) refere cinco significados diferentes de número: referência do número, contar, cardinal, medir e registar.

Referência do número. O único significado da referência dos números é que eles são usados como um nome ou forma de referência, como por exemplo referindo-se a um serviço de autocarro como “autocarro 14”;

Contar. Contar o número indica um processo de contagem incluindo a capacidade para

contar para a frente e para trás. Contar números desenvolve-se separadamente do processo de contagem que daí resulta. A sequência da palavra do número pode ser aprendida como o texto de uma canção ou como parte de um jogo de esconde-esconde;

Cardinal. O que Freudenthal chama numerosidade do número é, generalizando, o

equivalente à noção de cardinal do número ou “quantidade”. Contudo, o autor também se refere ao conceito associado de equipotente. Equipotência não envolve necessariamente contar, implica a existência de uma correspondência biunívoca entre os conjuntos. Os alunos mais novos, frequentemente, são capazes de comparar quantidades antes de poderem contar;

Medir. Este é o tipo mais frequentemente usado. Empregamos muito o aspeto de medida

dos números. Por exemplo, podemos dizer, “Quatro euros por meio quilo de tomates? É caro”. Esta função de medir é imediatamente óbvia na expressão “meio quilo (500 g)”, mas medir está igualmente envolvido na expressão “quatro euros”. Esta expressão não se refere a um número de euros como entidade separada, mas usamos os euros como uma unidade de medida. Este exemplo mostra que o número como medida tem uma função especial: é utilizado para representar proporções. Por isso, aplicamos ainda o termo “número proporcional para indicar a sua propriedade” (p. 25);

Registar. Nos livros de aritmética esta é uma visão do número a que se dá mais atenção.

Envolve a capacidade para trabalhar com os números dentro de um sistema de convenções e regras tais como “na multiplicação podemos mudar os números” (isto é, 16 x 2 = 2 x 16). O conhecimento destes tipos de regras simplifica o trabalho com os números. O resultado de 16 x 2 pode ser facilmente derivado de 2 x 16 = 16 + 16 = 32. Contudo, a má compreensão de regras pode levar à confusão: 16: 2 não é o mesmo resultado de 2 : 16.

Embora Freudenthal não utilize o termo “sentido de número”, que só mais tarde aparece na literatura, a sua teoria aponta para muito do que hoje designamos de sentido de número. Dos vários autores referidos neste ponto, todos reforçam a importância da competência da contagem nas primeiras aprendizagens matemáticas dos alunos, capacitando-os para resolver problemas aritméticos, permitindo-lhes utilizar mais facilmente uma variedade de processos de contagem na sua resolução.

Tendo em conta esta competência de contagem, segundo a qual as competências básicas das crianças se vão automatizando permitindo a sua coordenação e combinação, dando origem a competências mais complexas, Fosnot e Dolk (2001) apresentam três competências numéricas que se vão desenvolvendo ao longo do tempo: contagem oral, contagem de objetos e relações numéricas.

1. Contagem oral — resulta da combinação de outras competências básicas, a saber: a

sequência dos números com um só dígito, que o nove indica transição, os termos da transição para uma nova série e as regras para gerar uma nova série e as exceções às regras. Estes autores advogam a ideia de que as crianças de cinco anos, apesar de conseguirem contar até nove, dezanove ou vinte e nove, desconhecem, muitas vezes, o termo para iniciar a nova dezena e ainda não adquiriram confiança no facto de que o nove inicia uma nova série. Mostram, no entanto, alguma capacidade no que respeita à inclusão hierárquica (sabem que o oito vem antes do nove e o dezasseis depois do quinze).

2. Contagem de objetos — engloba outras competências: a sequência da contagem, que a cada objeto corresponde uma palavra de contagem, como não esquecer nenhum objeto nem o repetir e a cardinalidade (reconhecer que o último termo corresponde ao total contado). Estes autores consideram que, aos cinco anos, as duas primeiras competências estão já adquiridas, ou seja, a sequência dos números e a inclusão hierárquica. No que respeita à terceira, a cardinalidade, os autores referem alguma dificuldade na definição de estratégias que evitem saltos ou esquecimentos, particularmente, em conjuntos muito numerosos e/ou dispostos de forma não ordenada.

Assim, será de proporcionar aos alunas múltiplas e diversificadas experiências de contagem que lhes permitam desenvolver processos de contagem progressivamente mais eficientes. Estas experiências devem também apresentar materiais já estruturados que facilitem a contagem ou a leitura da contagem. Um dos materiais mais acessíveis é a mão

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mãos abertos e outros encolhidos: 1 mão e dois dedos, 2 mãos e 4 dedos, ou ainda se duas crianças estenderem as mãos com os dedos abertos quantos dedos devemos contar.

5 + 2 = 7 5 + 5 + 4 = 10 + 4 = 14

Figura 2.1 – Utilização das mãos como auxiliar na contagem

Embora o uso de materiais não estruturados (Figura 2.2) na contagem seja importante devem também ser utilizados materiais estruturados em bases de 5 e 10 (Figura 2.3).

Onze Oito

Figura 2.2 – Material não estruturado

Podem-se construir alguns materiais estruturados de apoio a uma eficaz contagem e que, em simultâneo, permitam visualizar a comparação entre números. Por exemplo, a construção de enfiamentos em que as contas são introduzidas (por cor) de 5 em 5, ou torres com a mesma característica (Figura 2.3). Assim, a criança é induzida a fazer uma contagem a partir de 5, de 5 em 5, ou a partir de 10 e de 10 em 10.

Figura 2.3 – Material estruturado

Muitas vezes, a escola utiliza alguns materiais de mercado que estão agrupados (iogurtes que são vendidos em embalagens de 4 ou 6, caixas de ovos em embalagens de 6 ou 12, paletes de leite escolar em embalagens de 27). No entanto, inicialmente, é preferível utilizar agrupamentos de 2 ou de 5 uma vez que estes, ao serem divisores de 10, facilitam a posterior construção do sistema decimal.

3. Relações numéricas — para Fosnot e Dolk (2001), estas relações desenvolvem-se em simultâneo com a capacidade de contagem de objetos. Assim, será de proporcionar múltiplas e diversificadas experiências com materiais estruturados ou não que facilitem o estabelecer de relações numéricas e permitam às crianças desenvolver composições e decomposições numéricas.

O apoio em materiais já estruturados (Figura 2.4) permite visualizar e enfatizar essas relações.

Utilizando as duas mãos:

- indicar 5 dedos — pode ser apresentado como 3 e 2 ou 1 e 4 ou 2 e 3 - indicar um número igual de dedos em cada mão e perguntar o total

Mostra 5 dedos usando as duas mãos (5 = 3 + 2) Mostra 5 dedos usando as duas mãos (5 = 1 + 4)

26 - o colar de contas de 5 em 5 com cores diferentes

Figura 2.4 – Materiais estruturados

Os materiais facilitam a comunicação ao permitir que os alunos falem de objetos concretos quando explicam os seus raciocínios. “A vivência de experiências, acompanhadas de discussão, é extremamente importante para que os alunos estabeleçam ligações entre a linguagem oral e os símbolos e desenvolvam a capacidade e o gosto de raciocinar” (Abrantes et al., 1999, p. 47).

Vários autores (Piaget, 1973; Glasersfeld & Richards, 1983; Gravemeijer, 1994; Fosnot & Dolk, 2001) dão relevância a esta importância da manipulação de objetos como ponto de partida para a aquisição do conceito de número. Contudo, Kamii, Lewis e Kirkland (2001b) discutem a utilidade da manipulação de materiais concretos em relação à aquisição do conhecimento lógico-matemático, embora reconheçam que são úteis para iniciar o pensamento acerca da resolução de problemas de adição e subtração. Alertam para o facto do conhecimento lógico-matemático consistir na construção de relações por meio da abstração reflexiva, relações essas que não existem nos objetos, mas na mente dos alunos e não são adquiridas pela abstração empírica, mas, essencialmente, através da abstração reflexiva.

Todas estas experiências, dando importância ao desenvolvimento das competências numéricas, são contributos importantes para o que hoje se pretende que os alunos adquiram: sentido de número. Esta ideia será desenvolvida seguidamente.