Sentido de número, cálculo mental e estimação

O cálculo mental tem sido o foco da principal mudança na educação matemática em muitos países (Hartnett, 2007), nomeadamente, na Holanda nos anos 80, em Inglaterra e em Portugal nos anos 90. Na Holanda, o tema refere-se à capacidade para adicionar ou subtrair mentalmente qualquer par de números com dois dígitos. Inicialmente, esta ideia não teve a ênfase merecida, só mais tarde, quando Treffers e De Moor (1990) propõem uma revisão curricular para a matemática no 1º ciclo, é que o cálculo mental passa a ter um papel central no desenvolvimento de estratégias flexíveis de cálculo e na resolução de problemas. Em Inglaterra, o cálculo mental surge devido ao fraco desempenho dos alunos nos testes internacionais na secção dos números. Este foi um fator determinante para o regresso ao cálculo mental, embora o relatório Cockcroft (1982) já apontasse a sua falta nos currículos e assinalasse o declínio do trabalho oral e mental dentro das salas de aula de matemática

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como causa do fracasso nos referidos testes. Inicialmente, os ingleses não tinham nenhuma palavra equivalente a “mental”. Usavam nos seus documentos dois aspetos diferentes de cálculo mental “trabalhar na cabeça” e “trabalhar com a cabeça” Thompson (1999a). Esta autora refere que, em Inglaterra, o National Numeracy Project (1996) tomou várias medidas relativamente ao ensino da Matemática, e em especial ao cálculo mental. Essas medidas foram baseadas em três princípios chave: (i) implementar aulas de matemática diariamente; (ii) ensino direto e trabalho oral interativo com toda a turma e com grupos; (iii) maior ênfase ao cálculo mental. Este Projeto foi desenvolvido através da implementação do National Numeracy Strategy (DfEE, 1998) e conseguiu que o cálculo mental fosse um dos itens matemáticos de maior relevo nas agendas escolares.

Em Portugal, o programa do 1.º ciclo de 1990 (DGEBS, 1990) refere explicitamente num dos seus objetivos gerais que se deve “resolver problemas do dia-a-dia, aplicando as operações aritméticas (…) utilizando algoritmos e técnicas de cálculo mental” (p. 128). Embora esta ênfase tenha sido um passo importante em relação aos programas anteriores, considero que as práticas matemáticas ao nível da sala de aula não tiveram muitos reflexos destas orientações. O ensino tem estado muito direcionado para o trabalho com as operações em detrimento do desenvolvimento do cálculo mental, da estimativa e da procura de diferentes estratégias para efetuar os cálculos.

Por um lado, o referido programa não dava orientações metodológicas para ajudar os professores, por outro lado, os materiais curriculares existentes não tratavam estes tópicos. Os professores têm tido algumas dificuldades em adotar algumas abordagens ao cálculo mental na planificação das suas aulas, em parte devido a alguma falta de conhecimento acerca de possíveis estratégias e ao tipo de trabalho que se pode realizar com os alunos. Em Portugal, como também noutros países, este facto tem-se refletido nas aprendizagens dos alunos tendo em conta uma quase ausência de ensino sobre este tema (Hartnett, 2007). Segundo esta investigadora, o desenvolvimento do cálculo mental exige muito mais do que a aplicação de procedimentos memorizados e procedimentos algorítmicos. O cálculo mental dá oportunidade aos alunos para trabalharem os números de forma flexível e pode proporcionar-lhes o desenvolvimento e a melhoria do seu sentido de número.

Recentemente, O PMEB (ME, 2007) cuja generalização teve início no ano de 2010/2011, dá grande relevo ao cálculo mental, referindo que o mesmo tem de ser desenvolvido desde o início do 1.º ano, associando-o com o desenvolvimento do sentido de número. Assim,

fornece algumas orientações aos professores, nomeadamente, partir de situações do dia-a- dia, usar dinheiro, tempo, massa ou distância. Este Programa aponta ainda algumas características que devem ser tidas em conta na abordagem ao cálculo mental, como: (i) trabalhar com números e não com algarismos; (ii) usar as propriedades das operações e as relações entre os números; (iii) implicar um bom desenvolvimento do sentido de número e um saudável conhecimento dos factos numéricos elementares; e (iv) permitir o uso de registos intermédios de acordo com a situação. Estas orientações vêm ao encontro das conclusões de Heirdsfield, Dole e Beswick (2007) de que promover a capacidade de cálculo mental nos mais novos é essencial para apoiar o desenvolvimento do seu sentido de número.

Tanto o cálculo mental como a estimativa são dois dos construtos a que se deve dar ênfase no desenvolvimento matemático dos alunos e que pode levar a um aumento da “intuição quantitativa” a que Sowder (1992) chama de sentido de número. Para esta autora, cálculo mental é um “processo de efetuar cálculos aritméticos sem a ajuda de dispositivos externos” (p. 182), em que o conhecimento do número tem um papel relevante.

Esta definição de cálculo mental defendida por Sowder (1992) é também referida por McIntosh (1996) como um cálculo que é determinado sem a ajuda ou registo externo e que envolve mais do que relembrar factos matemáticos conhecidos, considerando que “a capacidade para calcular mentalmente de forma flexível é tanto uma componente como um indicador de sentido de número” (p. 260). Esta ideia é igualmente defendida por outros investigadores (Anghileri 2001a; Treffers, 1991), acrescentando que o cálculo mental pode estimular o desenvolvimento do raciocínio numérico bem como o cálculo eficiente e flexível.

Como defendem alguns investigadores, particularmente holandeses (Beishuizen 1999b; 2001; Klein, Beishuizen & Treffers, 1998; Van den Heuvel-Panhuizen, 2001a), o cálculo mental consiste na descoberta e aplicação de estratégias próprias do indivíduo a um determinado problema, baseado na sua compreensão individual dos factos básicos do sistema numérico e das operações. O cálculo mental é considerado como “pensar com a cabeça” em vez de “pensar dentro da cabeça” (Sowder, 1992) ou como diz Klein (1998) não como fazer as “contas” na cabeça, mas sim usando a cabeça.

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(ii) como continuar a sequência operacional como um resultado da maneira como os números são expressos? A primeira questão é resultado da necessidade em reexprimir o problema de maneira que o conhecimento anterior das combinações do número possa ser aplicado. Responder a esta questão, frequentemente, exige não só conhecimento dos factos básicos mas também compreensão do valor de posição, a capacidade para decompor números e a capacidade para operar com múltiplos e potências de 10.

A segunda questão, exige ainda a capacidade para trabalhar com potências de 10, além da capacidade para aplicar as propriedades distributiva, associativa e comutativa. Por exemplo, podemos resolver 83 – 26 mudando para 83 + 3 – 26 - 3, usando o conhecimento da operação. Obter 86 – 26 permitirá o uso do facto familiar 8 (dezenas) – 2 (dezenas) é 6 (dezenas). Além disso, devemos saber o facto básico 3 + 3 para formar o 86, o conhecimento do valor de posição que 86 – 26 é (80 – 20) - (6 - 3) e o conhecimento da ordem da operação para efetuar 86 – 26 – 3. Estas escolhas, geralmente, são baseadas na rapidez e facilidade para executar a operação. A exploração de alternativas conduz a uma grande flexibilidade no cálculo mental.

No estudo desenvolvido por Sowder (1992), a autora refere que o cálculo mental teve um papel relevante tendo contribuído para uma melhor compreensão do sistema numérico dos alunos, reforçando o que é defendido pelo NCTM (1991), de que o cálculo mental desenvolve o sentido de número dos alunos.

Hope e Sherril (1987) realizaram um estudo no ensino secundário para comparar procedimentos de cálculo mental em alunos com sucesso e insucesso. O que verificaram foi que os alunos menos competentes empregavam um cálculo mental muito análogo ao algoritmo de papel e lápis e ignoravam mesmo as propriedades numéricas mais óbvias. Por outro lado, os alunos competentes no cálculo mental aplicavam uma variedade de estratégias, envolvendo principalmente formas diferentes de distribuição e factorização. Os seus métodos eram consideravelmente mais eficientes do que aqueles que apresentam o cálculo mental menos competente.

Na perspetiva de Marcovits e Sowder (1994), esta ideia de competência no cálculo mental e compreensão de número desenvolvem-se juntas. Estes autores, num estudo com alunos que receberam ensino em cálculo mental durante aproximadamente três meses, concluíram que a exploração de estratégias levou a uma melhor compreensão do valor de posição, decomposição de números, ordem das operações e propriedades tanto dos números como

das operações. No fundo, uma relação muito positiva entre o cálculo mental e o sentido de número. Esta referência à relação entre o cálculo mental e o sentido de número parece indicar que estão “amarrados” um ao outro e que promover o desenvolvimento de competências de cálculo mental desde os primeiros anos pode tornar-se a chave para o desenvolvimento de procedimentos de cálculo no futuro (Buys, 2001).

O cálculo mental também pode ser útil por si próprio, “ No mundo de todos os dias tanto em aspetos de consumo como de trabalho há mais necessidade para um cálculo mental razoavelmente exato ou exato do que para o cálculo com papel e lápis” (Hope, 1989, p. 331). Estes dois objetivos não são contraditórios e ambos podem ser realizados através de ensino adequado.

É hoje reconhecida a importância da inclusão do cálculo mental nos currículos de matemática, dado que, como afirmam McIntosh (1998) e Reys, Reys, Nohda, e Emori (1995), o cálculo mental promove o sentido de número. Thompson (1999a) refere quatro razões para o seu ensino:

(i) A maioria dos cálculos é feita mentalmente e não com papel e lápis;

(ii) O cálculo mental desenvolve um razoável sentido de número. O cálculo mental encoraja os alunos a usar e a desenvolver cálculos abreviados, proporcionando assim o desenvolvimento do sistema numérico;

(iii) O cálculo mental desenvolve a competência de resolução de problemas. O cálculo mental dá grande ênfase à necessidade de selecionar uma estratégia de cálculo apropriado tendo em conta os números e a sequência de passos para executar o cálculo;

(iv) O cálculo mental ajuda os alunos a terem sucesso mais tarde em cálculos escritos.

Assim, propõe um modelo (Figura 2.6) baseado em quatro componentes, em que todas contribuem para o desenvolvimento de uma grande variedade individual de processos de cálculo. Estas componentes compreendem: factos, compreensões, competências e atitudes.

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Figura 2.6 – Modelo de cálculo mental (Thompson, 1999a, p. 152)

Os factos incluem o conhecimento de relações numéricas específicas, incluindo os dobros e os complementos até 10 e a consciência de factos de adição e subtração até 20.

Compreensões referem-se a muitas e variadas propriedades do sistema numérico que se

espera que os alunos possuam para ter bom sentido de número e estar conscientes dele – se não explicitamente, pelo menos implicitamente. Por exemplo, quando os alunos sabem que podem contar a partir do número maior em vez de contar desde o número mais pequeno, utilizando, assim, a propriedade comutativa. Competências. Para ter cálculo mental eficiente, os alunos necessitam ter adquirido certas competências como contar a partir de, depois de terem desenvolvido o contar tudo, ou subtraindo 10 de um número sem contar para trás. Também se espera que uma ênfase no ensino do cálculo mental possa ter efeito na mudança de atitude dos alunos e adultos em relação à matemática.

Outros investigadores, Heirdsfield e Cooper (2002) são de opinião que o cálculo mental deve desempenhar um papel proeminente nos currículos de matemática, apontando três razões para a sua inclusão: (i) o cálculo mental permite aos alunos aprender como os números se relacionam e tomar decisões acerca dos procedimentos e estratégias que deve selecionar; (ii) o cálculo mental promove uma maior compreensão da estrutura dos números e das suas propriedades; (iii) o cálculo mental pode ser usado para desenvolver o pensamento, fazer conjeturas e generalizar com base na sua compreensão conceptual. Beishuizen (2001) reforça a ideia de que para desenvolver o cálculo mental não basta uma atividade mental diária com os alunos tendo em vista a melhoria das suas aprendizagens, mas importa que os alunos o pratiquem. Uma prática que, por um lado, tenha em atenção o

Métodos mentais flexíveis Factos

Compreensões Atitudes

desenvolvimento de estratégias mentais ao longo do processo de “invenção”, partindo das suas estratégias para estratégias mais eficientes e, por outro lado, desenvolva aspetos gerais do cálculo mental, nomeadamente:

 Tornando os alunos mais conscientes do que estão fazendo (sentido de número);

 Registando passos processuais das operações numéricas;

 Verbalizando e discutindo cálculos mentais alternativos;

 Uma maior consciência de processos mentais eficientes e ineficientes através do ensino interativo;

 Adaptando e desenvolvendo estratégias dirigidas a níveis superiores de proficiência (Beishuizen, 2001, p. 128).

Para Buys (2001), o cálculo mental é uma forma de aproximação e abordagem numérica em que os números são tratados de uma forma flexível e prática e é caracterizado por:

 Operar com os números e não com dígitos;

 Usar as propriedades e relações numéricas, por exemplo, 16 + 47 = 47 + 16; 62 - 59 = 3 porque 59 + 3 = 62;

 Ser apoiado por um “feeling” bem desenvolvido para os números e um bom conhecimento dos factos numéricos básicos com números até 20 e até 100;

 Usar passos intermédios escritos de acordo com a situação.

Este investigador indica ainda que o cálculo mental evolui através de três formas básicas, vistas do ponto de vista dos processos de aprendizagem em que a sua aquisição é acompanhada pelo aumento da compreensão dos números e das operações:

 Cálculo mental através de um método do cálculo em reta, em que os números são vistos como objetos numa reta graduada e em que as operações são movimentos ao longo da reta;

 Cálculo mental através de um processo de decomposição em que os números são vistos como objetos de uma estrutura decimal e as operações são executadas a partir das decomposições decimais dos números;

 Cálculo mental empregando procedimentos variados, em que os números são vistos como objetos que podem ser estruturados de diferentes formas e em que as operações são efetuadas a partir da escolha de uma estrutura adequada e usando as propriedades aritméticas.

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Fosnot e Dolk (2001) sugerem um espaço de aula curto, de dez a quinze minutos, a que chamam mini-lessons, para ajudar os alunos a desenvolverem o cálculo mental. Estassão baseadas nos factos matemáticos básicos, nas relações entre os números, sendo bastante orientadas e explícitas. São desenvolvidas especificamente para realçar determinados procedimentos e para desenvolver o cálculo matemático mental eficiente. É crucial escolher problemas que sejam adequados a desenvolver esses procedimentos ou ideias fundamentais que são importantes no processo de aprendizagem, problemas estruturados que se relacionem de modo a desenvolver e a realçar relações entre números e operações. Por exemplo:

1. Dando saltos de dez de uma vez e depois compensando - por exemplo, 15 + 9 = 15 + 10- 1;

2. Movendo para a dezena mãos próxima - por exemplo, 15 + 9 = 15 + 5 (para obter 20, o dez mais próximo) + 4;

3. Usando a compensação, por exemplo, 15 + 9 = 14+10; 4. Desenvolver “séries” como: 15 + 10; 15 + 9; 15 + 19;

5. Trabalhar com os dobros e quase dobros, por exemplo, 5 + 5 e 5 + 6; 25 + 25 ; 25 + 26; 25 + 24;

6. Trabalhar com a decomposição de números, por exemplo, 28 + 44, que pode ser resolvido ao adicionar 20 + 40, depois 8 + 4, e depois combinando tudo para fazer 60+10+2;

7. Desenvolver “séries” matemáticas mentais com a subtração. Por exemplo, com um problema como 62 - 4, faz mais sentido subtrair o 4, para trabalhar para trás do 62. Mas no problema 62 - 54 faz mais sentido adicionar a partir do 54. Quando os números estão próximos é mais fácil adicionar; quando estão mais distantes, é mais fácil trabalhar para trás. Se as séries estão estruturadas com essa ideia em mente, uma conversação rica normalmente demonstra como as duas estratégias (adicionar e remover) são importantes e podem ser utilizadas para resolver problemas de subtração, e como dependendo dos números, uma ou outra podem ser uma melhor escolha.

Esta importância dos factos básicos é igualmente destacada no PMEB (ME, 2007) salientando que um bom desenvolvimento do sentido de número “implica um saudável conhecimento dos factos básicos numéricos elementares” (p.10).

Sowder (1992) assinala que a estimativa e o cálculo mental são frequentemente agrupados como tópicos curriculares e que existem boas razões para esta ligação, (i) a estimativa requer uma certa facilidade com o cálculo mental, e (ii) ambos têm um enorme potencial para aumentar a compreensão do sistema numérico dos alunos, particularmente, quando levam a cabo “procedimentos inventados que são idiossincráticos, mas apropriados para problemas particulares” (p. 380). Reys (1998) também defende esta ideia ao incluir nas características associadas ao sentido de número a flexibilidade e o desempenho apropriados do cálculo mental e da estimação.

Reys, Rybolt, Bestgen e Wyatt (1982) identificaram três processos básicos usados por bons estimadores: (i) reformulação – que consiste em mudar o número original por outros mais fácil de manipular mentalmente; (ii) compensação – em que se fazem ajustamentos quer antes quer depois da estimação; (iii) translação – tem lugar quando o processo de estimação envolve mudar a estrutura do problema de modo a que o cálculo mental seja mais fácil.

Hope (1989) identifica três aspetos importantes para a realização de estimativas e o seu contributo no desenvolvimento do sentido de número: (i) a estimativa envolve a comparação de quantidades; (ii) as respostas a um cálculo podem ser estimadas de várias maneiras; (iii) a precisão da estimativa depende do fim a que se destina. Alguns acreditam que o ensino poderá ser mais eficaz se o integrarmos no trabalho diário no cálculo em vez de o relegar para 10 minutos por dia como é frequentemente sugerido. A prática na estimação e no julgamento quantitativo ocorre naturalmente nas conversas acerca de quantidades que envolvem diferentes níveis de resolução e quando os alunos lidam com aspetos imprecisos da resolução de problemas do quotidiano.

Heirdsfield (2001) referindo um estudo que realizou em 1996 com alunos de 4.º ano de escolaridade tendo em atenção o desenvolvimento do cálculo mental, estimação e conhecimento dos factos básicos, concluiu que os alunos aplicaram uma variedade de estratégias de cálculo mental e que possuíam competências avançadas dos factos básicos. Este estudo revelou também que os alunos mostraram ser proficientes nos cálculos por

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básicos e a variedade de estratégias e procedimentos de cálculo a que os alunos recorrem e, por outro lado, o contributo desta relação na razoabilidade dos cálculos que os alunos, antecipadamente, conseguiam realizar.

Tanto o cálculo mental como a estimação podem ser meios importantes para encorajar a invenção de estratégias mais adequadas a cada um. “O cálculo aproximado ou a estimação é uma ferramenta importante para encorajar os alunos a usar o que eles já sabem acerca dos números e para perceber novas situações numéricas” (Reys, 1994, p.118). Muitas vezes, esta tática significa que os alunos aplicam os seus sistemas de referência para julgar a razoabilidade de uma situação (Sowder, 1992). Como refere o PMEB (ME, 2007) uma boa capacidade de cálculo mental permite aos alunos “desenvolver a sua capacidade de estimação e usá-la na análise da razoabilidade dos resultados dos problemas” (p. 10), componente importante quando falamos de sentido de número.

Apesar do desenvolvimento da capacidade de estimar se desenvolver gradualmente, a estimação é por excelência uma área onde as características básicas do pensamento e aprendizagem matemática se manifestam (Verschaffel et al., 2007), daí a sua importância no dia-dia das aulas de matemática. Estes autores afirmam que a investigação disponível revelou que (i) estimar é uma atividade complexa na qual todas as cadeias da proficiência matemática estão envolvidas; (ii) que os alunos usam várias estratégias (inventadas) para encontrar a estimativa de problemas ou a posição de números na reta graduada; (iii) que estas estratégias de estimação variam em frequência do uso e eficácia das mesmas; (iv) que a escolha de estratégias de estimação é influenciada pelas características do problema; (v) que o uso de estratégias de estimação, execução e eficiência aumenta com a idade. (idem, p. 581-582), isto é, que se desenvolve ao longo da vida.