Resolução de problemas de adição e subtração

Com o objetivo de compreender como os alunos desenvolvem o sentido de número, este estudo teve por base a resolução de problemas de adição e subtração na perspetiva defendida pelo NCTM (1991) “a resolução de problemas fornece o contexto em que os conceitos devem ser aprendidos e as competências desenvolvidas” (p. 29). Assim, a resolução de problemas foi o foco central deste estudo e “uma parte integrante de toda a aprendizagem matemática” (NCTM, 2007, p. 57) que ocorreu nas aulas de Matemática. Embora a resolução de problemas faça, há muito, parte do currículo de Matemática nos primeiros anos, eles tinham, essencialmente, uma função de aplicação, isto é, “eram usados para treinar os alunos a aplicar o conhecimento e as competências matemáticas formais previamente aprendidas na escola a situações da vida real” (Verschaffel et al., 2007, p. 582). A este tipo de problemas designou-se de problemas de palavras. Posteriormente, aos problemas de palavras foram dadas outras funções, tais como: (i) foram pensados para serem usados como um veículo para desenvolver nos alunos competências gerais na resolução de problemas; (ii) para tornar as aulas de matemáticas mais agradáveis e motivadoras; e (iii) os problemas de palavras devem também ser mobilizados nas fases iniciais de ensino e aprendizagem do cálculo com números inteiros de modo a promover uma compreensão mais abrangente destes conceitos (ibidem, p. 582). Segundo Kilpatrick et al. (2001) é na resolução de problemas de palavras que “os alunos mais novos têm oportunidades para mostrar níveis mais avançados de contagem e construir um repertório de procedimentos mais eficientes para calcular” (p. 183)

Existem muitos tipos de tarefas: problemas, exercícios, investigações, projetos e tarefas de modelação (Ponte, 2005). Neste estudo, a opção tomada é ao nível dos problemas de palavras na tentativa de que eles conduzam os alunos a “desenvolver uma vasta gama de estratégias, de colocarem (formularem) problemas estimulantes e de aprenderem a analisar e a refletir sobre as suas próprias ideias” (NCTM, 2007, p. 134). “Problemas que façam emergir determinadas estratégias e propiciar o desenvolvimento de certas ideias matemáticas” (idem, p. 138).

Assim, os problemas de palavras aplicados neste estudo seguem ainda a perspetiva defendida por Verschaffel et al. (2007), de que estes proporcionem aos alunos mais novos amplas oportunidades de construírem uma compreensão rica e abrangente para

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desenvolverem níveis mais avançados de contagem e construírem, gradualmente, procedimentos mais eficientes de cálculo com números inteiros. Deste modo, ser capaz de resolver um problema de palavras significa que o aluno identifique a questão contida no contexto do mesmo, escolha uma estratégia e um procedimento de solução adequado para realizar os cálculos necessários à sua execução. Isto é, seja capaz de fazer uso prático das suas competências matemáticas. Neste estudo, sempre que me referir à resolução de problemas tem implícito a resolução de problemas de palavras.

2.2.1.1. Tipos de problemas de adição e subtração

É hoje consensual que, durante os primeiros anos, os alunos deverão deparar-se com uma grande variedade de tipos de problemas de adição e de subtração de números inteiros (NCTM, 2007), dado que o desenvolvimento da compreensão destas operações é central para o conhecimento da Matemática. Assim, é essencial que os alunos sejam confrontados com estas operações através de uma variedade de estruturas problemáticas.

A investigação sobre resolução de problemas de adição e subtração com números pequenos tem sofrido grandes alterações ao longo dos tempos. Durante os anos 80 e 90 predominou um tipo de investigação interessada em saber como os alunos aprendiam a fazer problemas “one-step”, tanto de adição como de subtração. Estes problemas envolviam, preferencialmente, números pequenos ou grupos de objetos discretos, e onde foram usadas simulações no computador (Verschaffel et al. (2007). Nos anos 80, a maior parte da investigação realizada distinguiu três tipos de problemas modelados pela adição e pela subtração: (i) problemas que envolviam a mudança de um estado inicial para um estado final através da aplicação de uma transformação (problemas de mudar); (ii) problemas envolvendo a combinação de dois conjuntos discretos ou decomposição de um dos conjuntos em dois conjuntos discretos (problemas de combinar); e (iii) problemas que envolviam a comparação quantificada de dois conjuntos discretos de objectos (problemas de comparar).

Dentro de cada uma destes três tipos de problemas, outras distinções foram feitas resultando em 14 tipos diferentes de problemas de adição e subtração “one-step”. São exemplos, as investigações realizadas por Carpenter e Moser (1983, 1984) e Fuson (1992).

Na investigação desenvolvida por Carpenter e Moser (1983) identificaram alguns aspetos que afetam a dificuldade na resolução de problemas de adição e subtração, nomeadamente, as variáveis sintáticas, o número de palavras no problema, a sequência da informação e a presença de palavras que sugerem significativamente uma operação em particular. Muitas das evidências disponíveis sugerem que a estrutura semântica do problema é muito mais importante que a sintática e determina o processo que os alunos usam nas suas resoluções. Deste modo, muita da investigação sobre a resolução de problemas focou-se na estrutura semântica do problema em vez das variáveis sintáticas, dado que as diferenças semânticas nos diferentes problemas se refletem na capacidade dos alunos em representá-los através de expressões numéricas.

Estes autores referem ainda que a estrutura semântica de problemas de adição e subtração tem sido classificada e descrita de muitas maneiras. Uma primeira abordagem distingue os problemas tendo por base se a ação está envolvida no problema ou não. Uma segunda abordagem diferencia problemas em termos das expressões abertas que os alunos representam.

Alguns investigadores (Carpenter & Moser, 1983,1984; Fuson, 1992) na investigação que realizaram sobre a resolução de problemas de adição e subtração adotaram uma estrutura comum para os caracterizar, apontando quatro tipos diferentes de problemas, correspondendo a diferentes significados. Carpenter e Moser (1983) referem os seguintes:

mudar, combinar, comparar e tornar igual e Fuson (1992) aponta: mudar juntando e mudar tirando de, comparar e combinar.

Carpenter e Moser (1983) defendem a existência de dois tipos básicos de problemas de

mudar, ambos envolvendo ação. Problemas de mudar juntar e problemas de mudar separar, o que coincide com as situações de Fuson (1992) mudar juntando e mudar tirando de. Dentro dos significados de mudar juntando e mudar separar referidas por

Carpenter e Moser (1983) existem três tipos distintos de problemas, dependendo da quantidade que é desconhecida. Para um tipo, a quantidade inicial e a grandeza que se muda são dadas e a quantidade resultante é desconhecida. Para um segundo tipo, a quantidade inicial e o resultado da mudança são dados e o objetivo é encontrar a quantidade que se muda. No terceiro caso, a quantidade inicial é desconhecida e as restantes são conhecidas. Também Fuson (1992) apresenta três tipos diferentes para cada situação de mudar juntando e mudar tirando de praticamente equivalentes às enunciadas

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por Carpenter e Moser (1983), falta o resto, falta o que muda e falta o termo de partida. No caso de Fuson, estes tipos aparecem com maior evidência assinalando-os na tabela referente a todas as situações.

Para Carpenter e Moser (1983) os problemas com significado comparar e combinar envolvem relações estáticas para as quais não há ação. Fuson (1992), relativamente a esta situação, afirma que quando existem duas quantidades, comparar e combinar pode-se compará-las ou combiná-las, são operações binárias em que dois números são operados para obter um terceiro número. Quando existe uma só quantidade, pode-se juntar a essa quantidade ou tirar dessa quantidade, trata-se de operações unárias nas quais um número é executado para obter um terceiro número. Quando são utilizados objetos para ilustrar cada uma destas situações do mundo real e as operações são efetuadas com esses objetos, a situação inicial desaparece em todas, exceto na situação comparar.

A distinção entre situações estáticas, em que as quantidades não mudam – combinar e

comparar – e as situações ativas – em que as quantidades mudam – mudar juntando e mudar tirando – tem sido feita em quase todos os tipos de problemas, mas a maioria deles

cede esta distinção estática/ativa com a binária/unária, conduzindo apenas aos tipos de situações binárias estáticas de comparar e combinar e às unárias ativas de mudar juntando e mudar tirando.

Relativamente aos problemas com significado comparar, Carpenter e Moser (1983) identificam seis tipos de problemas diferentes, o que se verifica também nas situações de

comparar de Fuson (1992). O tipo de problemas final, tornar igual, é assumido pelos

referidos investigadores como um misto de problemas de comparar e mudar em que a diferença entre as duas quantidades é expressa como uma ação unária mudar juntando e

mudar tirando, em vez de um estado estático como nos problemas de comparar. Também

se podem propor problemas binários ativos na situação de combinar em que combinar é dado explicitamente no problema em vez de implicitamente, usando os termos de inclusão de classes ou conceptualmente com palavras tal como “todos juntos” como em problemas de combinar estáticos. Os procedimentos de resolução dos alunos para situações de

combinar mostram tanto um esquema conceptual estático como ativo.

Segundo Verschaffel et al. (2007), até à década de 90, nestes estudos foram, essencialmente, trabalhados os problemas com significados combinar e mudar, havendo uma menor incidência nos problemas de comparar. Assim, não é de estranhar que, na

última década, este tipo de problemas tenha atraído mais atenção por parte dos investigadores, havendo um foco maior nos problemas de comparar mais difíceis, especialmente, problemas com significado comparar referência desconhecida.

Algumas questões resultantes da investigação realizada nos anos 80 e 90 com simulações no computador, designadamente, Carpenter e Moser (1984) e Fuson (1992) foram que elas não davam importância a aspetos como: (i) a influência das variáveis textuais na construção das representações e resoluções do problema pelos alunos; e (ii) o facto da resolução do problema não ter lugar num ambiente sociocultural vazio (vacuum), mas dentro dum ambiente sociocultural particular, nomeadamente, a sala de aula (Verschaffel et al. (2007). De acordo com este autores, várias investigações realizadas mostraram como uma pequena mudança no enunciado do problema tinha um impacto bastante grande nos processos e competências de resolução dos alunos. Assim, as simulações empregues nas referidas investigações foram equacionados, privilegiando-se um outro tipo de investigação, por um lado dando atenção ao ambiente de sala de aula, por outro lado, dando importância à compreensão dos alunos relativamente à situação descrita no contexto dos problemas, privilegiando-se, deste modo, investigação com um conjunto restrito de tipos de problemas.

Kilpatrick et al. (2001) referem que, apesar dos alunos, intuitivamente, resolverem problemas modelando ações e relações neles descritas, é importante distinguir entre diferentes tipos de problemas que podem ser representados pela adição ou subtração. Uma forma útil de classificar problemas é dar atenção à abordagem que o aluno faz e analisar as ações e relações descritas. Esta análise produz uma taxonomia de tipos de problemas distinguidos pelo processo de solução que o aluno usa e fornece um quadro para explicar a relativa dificuldade dos mesmos. Embora um pouco diferentes dos tipos de problemas apresentados por Carpenter e Moser e Fuson, estes autores referem quatro tipos de problemas de adição e subtração que podem ser identificados: ”problemas envolvendo (i) juntar; (ii) separar; (iii) relação parte-todo; e (iv) relações de comparação” (p. 184). Assim, consideram que os problemas dentro de cada tipo envolvem o mesmo tipo de ação ou relação, e dentro deste existem vários tipos distintos de problemas que podem ser identificados, dependendo da quantidade que é desconhecida.

Outros investigadores (Treffers & Buys, 2001) indicam que a adição surge associada a problemas com significado juntar e acrescentar e a subtração associada a retirar e

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diferença. Observam também que devem ser tidos em conta problemas que envolvam os

significados comparar e igualar, o que vem ao encontro do que é referido pelo NCTM (1991) - “para além dos problemas que envolvam juntar e separar, os professores devem proporcionar problemas que envolvam comparar e igualar” (p. 52) - salientando a importância da exploração destas operações em contextos reais, ou seja, problemas que se relacionem com as experiências e vivências dos alunos. Sugerem que estas experiências e vivências podem proporcionar o uso dos seus conhecimentos e processos informais na sua resolução, atribuindo um significado muito mais real a estas operações. Nesta investigação, os significados de adição e subtração definidos foram selecionadas tendo em conta uma síntese da literatura sobre este tema, os quais suportam a experiência de ensino desenvolvida (Anexo 1).