Capítulo III – As Teorias
2- Os teoremas da incompletude
Os teoremas da incompletude dizem o seguinte294:
Em qualquer sistema formal adequado à teoria dos números existe uma fórmula indecidível – ou seja, uma fórmula que não pode ser provada e cuja negação também não pode. (Esse enunciado é as vezes chamado de primeiro teorema de Gödel). Um corolário do teorema é que a consistência de um sistema formal adequado à teoria dos números não pode ser provada dentro do sistema (Ás vezes esse corolário que é chamado de teorema de Gödel; também é chamado de segundo teorema de Gödel).295
Os teoremas lembram alguma coisa que leu a pouco? O sistema normativo criado por Kelsen atende ao requisito dos teoremas de Gödel já que: 1) a norma fundamental não pode ser provada nem negada dentro do sistema e; 2) a consistência do sistema normativo depende da posição externa (fora do sistema) da norma fundamental. Ao atender os teoremas da incompletude o sistema normativo criado por Kelsen é passível de formalização e serve como base sólida para a informatização do direito. Poderia terminar esse texto aqui, mas seria uma grosseira, como um convidado que termina o jantar e sai correndo sem se despedir. Não farei isso! Vamos abordar com mais detalhes os teoremas da incompletude e suas consequências para a epistemologia e para a racionalidade como um todo.
Os teoremas de Gödel embora aparentemente singelos têm implicações avassaladoras na epistemologia e sobre às ciências em geral. Trata-se de uma das maiores descobertas do Século XX que está ao lado da teoria da relatividade, da mecânica quântica, do princípio da incerteza e da descoberta do DNA296. Seu impacto não se dá exclusivamente sobre a lógica ou sobre a matemática, a comprovação da incompletude inevitável dos sistemas formais complexos põe em cheque toda a racionalidade e os fundamentos do conhecimento humano.297 Vamos tentar entender porque isso acontece:
294 Existe uma demonstração matemática extremamente complexa que fica ainda mais difícil porque Gödel adota
uma notação própria. Para maiores detalhes veja: GÖDEL, Kurt. O teorema de Gödel e a Hipótese do Contínuo. Lisboa: Calouste Gulbenkian, 2009, p/p 6/115
295 GOLDSTEIN, Rebecca. Incompletude. São Paulo: Cia das Letras, 2008, p/p 20.
296 “I teoremi di incompletezza stabiliti da Kurt Gödel nel 1930-31 sono tra i risultati più notevoli – e chiacchierati–
del ventesimo secolo, in compagnia della relatività, della meccanica quantista, del DNA. Insieme, condividono il destino dell’ignoranza e della chiacchiera, che degenerano spesso o in pettegolezzo o in mitologia. Adesso nessuno più equipara la teoria dela relatività alla tesi che tutto è relativo, ma solo perché della relatività si parla poco; per la fisica quantista continuano invece a girare storie di gatti vivi e morti; sul DNA l’ignoranza è più pericolosa e si manifesta non in chiacchiere ma in fanatici scontri politici ed economici”. LOLLI, Gabriele. Da Euclide a Gödel. Bologna: il Mulino, 2010, p/p 6
297 “La crisi dei fondamenti è stata esorcizzata nella storia della filosofia come un episodio della crisi della ragione
159 Por mais de dois mil anos, desde a Grécia antiga até a virada do Século XIX para o Século XX, o paradigma do conhecimento foi dado por modelos axiomáticos criados à imagem da geometria Euclidiana. Até então se imaginava que todo o conhecimento válido deveria ser construído de forma dedutiva a partir de axiomas que eram entendidos como verdades autoevidentes e que, por isso mesmo, não dependiam de qualquer prova. No entanto, para que o conhecimento fosse possível era indispensável que os axiomas de um certo campo de estudo não fossem contraditórios entre si.
Desde a antiguidade havia uma suspeita de que na geometria Euclidiana o axioma das paralelas poderia ser contraditório com os demais. Durante mais de dois mil anos vários matemáticos tentaram sem sucesso construir a prova de que o axioma das paralelas poderia ser derivado dos demais a axiomas criados por Euclides. Até que, no final do século XIX, os matemáticos Gauss, Bolyai, Lobachewsky e Reimann, provaram a impossibilidade de deduzir o axioma das paralelas de outros, note, eles não provaram que o axioma das paralelas era contraditório ou inválido, provaram que a prova da validade não era possível.
A prova teve dois impactos imediatos e vertiginosos: o primeiro foi a demonstração de que é possível provar que a construção de uma prova é impossível; o segundo foi demonstrar que a teoria Euclidiana não era sagrada, que seria possível construir outras teorias com base em outros axiomas, ou melhor, que dado um conjunto qualquer de axiomas seria possível deduzir deles uma série mais ou menos extensa de teoremas298. Não era mais necessário o uso de teoremas dados pela tradição como verdades autoevidentes. Mas o que aconteceria se os axiomas, tanto os novos quanto os tradicionais, fossem contraditórios entre si? Caso isso acontecesse os resultados obtidos seriam inconsistentes (contraditórios) e o sistema como um todo não serviria para provar coisa alguma. É a famosa crise do fundamento.
A primeira tentativa de para resolver o problema do fundamento foi pela analogia. Buscava-se comparar modelos novos com outros já conhecidos, se a comparação funcionasse havia um indício de consistência dos novos axiomas. Na verdade, o que se fazia era mudar o problema de lugar. Deslocava-se a necessidade da prova do novo conjunto de axiomas para o antigo. Foi o que aconteceu com a geometria Reimanniana, uma comparação isomórfica com a geometria Euclidiana demonstrou que seus axiomas eram consistentes, no entanto, a prova de tal consistência depende da prova da consistência dos axiomas de Euclides, que não existe.
lamentarsi per l’odierna assenza di dibattito e interesse. Tutte le soluzioni sperimentate allora si sarebbero rivelate, secondo la vulgata, fallimentari o insoddisfacenti, e non poteva essere altrimenti, ala luce di una sobria filosofia laicamente disincantata. I teoremi di Gödel sarebbero il sigillo della chiusura di un sogno impossibile”. LOLLI, Gabriele. Da Euclide a Gödel. Bologna: il Mulino, 2010, p/p 7
160 Outra tentativa foi a comparação, também isomórfica, dos axiomas com a realidade tal como concebida pelos empiristas. Não deu certo! As teorias matemáticas, em geral, dizem respeito ao infinito e a possibilidade de observação em termos empíricos é finita.
Quando se tenta criar a prova de conceitos infinitos com base em experiências finitas o problema da indução (conhecido como problema de Hume que abordei no capítulo dois) emerge e frustra o intento. A prova finita de modelos infinitos serve, no máximo, para demonstrar a probabilidade da correção dos axiomas, não sua certeza.
Na tentativa de resolver o problema Hilbert299 imaginou a construção de uma prova absoluta mediante a construção de um sistema dedutivo completamente formalizado. Um tal sistema deveria ser composto de símbolos (alfabeto do sistema) que formariam cadeias mediante regras de formação e transformação (gramática do sistema) completamente vazias de significado.
Neste ponto é preciso fazer uma pequena pausa para relembrar de forma breve, seis conceitos, alguns dois quais já expostos no capítulo dois. São eles: 1) sistema e metassistema; 2) isomorfismo; 3) recursividade; 4) infinito; 5) paradoxo; 6) sistema formal.
Sistema e metassistema, linguagem e metalinguagem, modelo e metamodelo, são conceitos análogos, que podem ser definidos como “do que se fala” e “como se fala”. Um sistema um modelo e uma linguagem podem ser objeto de estudo, no entanto, o estudo desses fenômenos não se confunde com eles. Quando estabeleço as regras de funcionamento de um sistema essas regras não fazem parte do sistema. Funciona mais ou menos como as regras de um jogo. As regras do pôquer não são o pôquer nem podem se expressar por meio do pôquer. Um sistema tem regras de formação (regras de inferência) que a ele se referem, mas dele não fazem parte. Quem estuda gramática ou semântica usa uma metalinguagem para falar de uma linguagem objeto. No direito, a ciência do direito fala sobre o direito, mas com ele não se confunde (lembre-se da distinção entre afirmações de ser e dever-ser). Uma das principais características do meta... é que ele é maior que seu objeto, tudo o que está no objeto está no meta... mas o contrário não é verdadeiro. Há uma relação de continente e conteúdo. Outro ponto importante está no fato de que todo meta... está contido em outro meta..., ou seja, todo meta é
299 “The development of proof theory can be naturally divided into: the prehistory of the notion of proof in ancient
logic and mathematics; the discovery by Frege that mathematical proofs, and not only the propositions of mathematics, can (and should) be represented in a logical system; Hilbert's old axiomatic proof theory; Failure of the aims of Hilbert through Gödel's incompleteness theorems; Gentzen's creation of the two main types of logical systems of contemporary proof theory, natural deduction and sequent calculus (see the entry on automated reasoning); applications and extensions of natural deduction and sequent calculus, up to the computational interpretation of natural deduction and its connections with computer Science”. Em http://plato.stanford.edu/entries/proof-theory-development/.
161 objeto e todo objeto é meta... Com isso, são criados vários níveis de análise e produção a que chamarei de L1, L2, L3 ... Ln300. Dois sistemas serão diferentes sempre que usarem axiomas e regras de inferências distintas ou sempre que tiverem teoremas e regras de inferências distintas. Sempre que isso não ocorrer o que teremos é o mesmo sistema com nomes diferentes.
Isomorfismo é a relação funcional que existe entre dois elementos de estruturas complexas distintas. É como um mapa. Uma relação ocorre quando se estipula uma equivalência entre elementos de dois conjuntos diferentes de forma que as afirmações feitas para um são extensíveis ao outro. A relação é funcional quando um elemento do conjunto mapeado (domínio) se relaciona somente com um único elemento do conjunto mapa (contradomínio)301. Vale frisar que isomorfismo é diferente de homomorfismo. No isomorfismo os dois elementos não são iguais, eles somente desempenham funções análogas em dois modelos distintos. Por exemplo: as letras R, O, D, R, I, G, O, possuem uma relação isomórfica com os números 82, 79, 68, 82, 73, 71, 79, que por sua vez tem relações isomórficas com as sequências binárias: 01010001, 01001111, 01000100, 01010001, 01001001, 01000111, 01001111. Fica evidente que os elementos postos em relação não são idênticos. O que existe é uma relação funcional dentro de um modelo determinado, no caso a tabela ASCII. Quando se usa o modelo da tabela ASCII todas as operações feitas com um dos elementos isomórficos produzirão efeitos sobre os outros. Se modifico o número 82, para 114, ao invés de “R”, terei “r”, e ao invés de 01010001, terei 01110010. Da mesma fora que as alterações nas letras ou nas sequencias binárias irão produzir resultados análogos.
É pela via o isomorfismo que se pode estabelecer a relação entre um sistema e seu metasistema. No exemplo dado tomemos às letras como o sistema L1, os números decimais como sistema L2 e o código binário como sistema L3. Com o isomorfismo é criada uma interpretação de um sistema como se fosse o outro ou um mapeamento.
A recursividade ocorre quando definimos as coisas em termos de si mesmas. A expressão “a neve é branca, é verdadeira, se e somente se, a neve for branca” é recursiva. Outro exemplo é a sequência de Fibonacci302 (1,1,2,3,5,8,13...), formalmente definida da seguinte maneira:
F0=0 F1=1
300 TARSKI, Alfred. The Semantic Concepcion of Truth: and the Foundations of Semantic. Philosophy and
Phenomenological Research, Vol 4 , Issue 3, pg 341-346. S.l: Philosophy and Phenomenological Research, 1944.
301 RAMOS, Marcus Vinícius Midena. Linguagens Formais. Porto Alegre: Bookman, 2009, p/p 39
302 Sequencia de Fibonacci conhecida como a proporção áurea capaz de refletir o concito ocidental de beleza e
162 F2=1
Fn= Fn-1+Fn-2
Que em português se lê: Fibonacci zero é igual a zero; O primeiro número da sequência de Fibonacci é um; O segundo número da sequência de Fibonacci é um. Um número qualquer da sequência é definido como sendo a soma dos dois números que lhes são antecessores na sequência. A mesma coisa acontece com os fractais, por exemplo, no triângulo de Sierpinski303, onde uma mesma figura é repetida e dividida infinitamente. A recursividade é largamente usada na programação de computadores. Sempre que em um código o programador declara uma variável e, posteriormente, faz sua “chamada” há um processo recursivo. Como ficará claro ao tratar dos paradoxos, a recursividade é uma das maiores responsáveis pelas antinomias.
Infinito é aquilo que não tem início e nem fim (definição recursiva e circular). O infinito é, geralmente, associado a coisas gigantescas, como o universo ou a sequência de números inteiros, no entanto, o conceito de infinito também se aplica ao que é demasiadamente pequeno, como no caso dos infinitesimais. Os conceitos de finito e infinito podem ser pensados em termos de conjuntos.
A cardinalidade dos conjuntos é definida pela quantidade de elementos que ele possui. A quantidade, por sua vez, é estabelecida por uma função um-para-um com o conjunto dos números naturais. Um conjunto finito terá uma cardinalidade finita e um infinito uma cardinalidade infinita. Mas o problema ainda não acabou. Existem infinitos diferentes! O conjunto de números reais é infinito e não enumerável, por isso, embora a afirmação pareça contraditória ele é um tipo diferente de infinito304. Além da recursividade, o infinito é uma fonte infinita de problemas para a criação de demonstrações absolutas do fundamento. A tentativa de provar a consistência de modelos infinitos valendo-se de isomorfismos com conjuntos finitos esbarrará sempre no problema de Hume305.
Paradoxo é um raciocínio circular cujos elementos se contradizem ou conduzem a uma conclusão logicamente impossível.306 Os paradoxos são construídos com a aplicação da recursividade acrescida de “valores de verdade307” ou de proposições sobre o infinito. Vejamos alguns exemplos: O primeiro paradoxo é do mentiroso que já foi formulado com um monte de
303 Triângulo de Sierpinski é uma figura geométrica composta de vários triângulos exatamente iguais que se
dividem em outros menores, mas com as mesmas proorções até o infinito.
304GÖDEL, Kurt. O teorema de Gödel e a Hipótese do Contínuo. Lisboa: Calouste Gulbenkian, 2009, p/p
915/937.
305 Sobre o problema de Hume veja o capítulo dois.
306 AL-KHALILI, Jim. Paradoxo. São Paulo: Fundamento, 2014, p/p 8.
307 Valores de verdade devem ser entendidos como posições arbitrárias e excludentes usados pela lógica tais como:
163 variantes (essa afirmação é mentira. Se a afirmação é verdadeira é falsa, se for falsa é verdadeira); outro paradoxo é o de Russell sobre os conjuntos que são membros de si mesmos. A respeito desses paradoxos já falei no capítulo dois. Em ambos os casos o paradoxo emerge da recursividade associada a um valor de verdade. Afirmações sobre o infinito também costumam produzir paradoxos tais como os de Cantor (o conjunto de todos os conjuntos) ou de Burali-Forti (o maior número ordinal é um número ordinal, então o maior número ordinal é sempre + 1 que o maior número ordinal).
Mas qual é a importância da resolução dos paradoxos? Ora, um sistema que permita a produção de paradoxos pode justificar qualquer coisa e, por isso, não serve para nada!
À primeira vista a solução é bem simples: basta que às regras do sistema proíbam a recursividade e excluam o conceito de infinito. Como toda solução que parece extremamente simples essa também é enganosa, em primeiro lugar porque nem sempre a referência ao infinito e nem toda sentença recursiva produzem paradoxos; em segundo lugar porque os conceitos de infinito e as operações recursivas são indispensáveis. Veja, sem o uso de operações recursivas a programação de computadores é impossível, sem o recurso ao infinito a contagem é impossível.
Foram propostas outras soluções como a criação da teoria dos tipos por Russell308, a estratificação dos níveis de linguagem por Tarski309, a separação entre classes e conjuntos proposta por Gödel e Neumann e a construção do axioma da separação por Zermelo-Frankel.
A teoria dos tipos de Russell divide os elementos em tipos distintos: o tipo 0 é composto pelos conjuntos de indivíduos, o tipo 1 por conjuntos de conjuntos, o tipo 2 por conjuntos de conjuntos de conjuntos e assim sucessivamente. Fazendo essa distinção e incorporando a seu sistema a regra de que não são permitidas relações entre os tipos, os paradoxos seriam evitados. Tarski usa a mesma técnica, mas envolvendo a linguagem objeto e a metalinguagem. Com os níveis separados é possível criar vários deles em uma relação de continente e conteúdo onde as afirmações sobre a verdade e a falsidade sempre estão na metalinguagem. Com isso a recursividade é preservada e o paradoxo é evitado. Vejamos o paradoxo do mentiroso como é solucionado:
Dividindo as afirmações em linguagem objeto (L1) e metalinguagem (L2) é lícito dizer que é falsa em L2 a frase: “Essa afirmação é falsa”, sem que isso crie qualquer paradoxo.
308 WHITEHEAD, Alfred North e RUSSELL, Bertrand. Principia Mathematica. Cambridge: University Press,
2002.
309 TARSKI, Alfred. The Semantic Concepcion of Truth: and the Foundations of Semantic. Philosophy and
164 A solução de Gödel-Neumann310 e o teorema da separação de Zermelo-Frankel311 partem da mesma lógica. É a lógica que está por traz dessas soluções que será adotada na codificação de programas de computador onde é usada uma estrutura de vários níveis aninhados e organizados em pilhas.
Por fim, o derradeiro conceito prévio a análise da tentativa de solução de Hilbert e dos teoremas de Gödel é o de sistema formal.
Embora muito simples o conceito de sistema formal muitas vezes é de difícil compreensão por ser contraintuitivo. Sistemas formais são compostos dos seguintes elementos: A) Um conjunto de signos que são divididos em constantes e variáveis, as constantes, por sua vez, são dividias em constantes gerais e constantes específicas. As constantes específicas são divididas em: pontuação, conectivos sentenciais e quantificadores. Ao conjunto de signos de um sistema específico chamamos notação;
B) Um conjunto de regras, que se divide em regras de criação e regras de transformação. As regras de criação são aquelas que determinam como as constantes e as variáveis podem se ligar criando fórmulas. Fórmulas são conjuntos de signos ordenados segundo as regras do sistema. As regras de transformação são as que estabelecem as condições de possibilidade para a criação de novas fórmulas a partir de outras já existentes, se dividem em regras de substituição, ou seja, cria-se uma nova fórmula para substituir a antiga e regras de derivação, onde de duas ou mais fórmulas prévias se deriva uma terceira. As fórmulas que obedecem às regras e derivam dos axiomas (quando o sistema os tem) são chamadas de teoremas. Uma demonstração é feita pela explicitação dos passos de aplicação das regras na criação de teoremas (seja com o uso de regras de criação ou transformação). Uma demonstração é eficaz sempre que puder ser obtida por meios mecânicos (tipográficos) com a intervenção dos seres humanos apenas para fazer a pergunta e pegar a resposta;
310 “ There is one alternative so intimately tied to Zermelo-Fraenkel set theory that it should be mentioned here,
namely, von Neumann-Bernays-Godel set theory. There are two essential differences. The latter theory may be finitely axiomatized. No axiom schema of construction like that of separation is required, but instead a finite number of specific set and class constructions suffices. And in what we shall call for brevity von Neumann set theory, there is a technical distinction between classes and sets. Every set is a class, but not conversely. Those classes which are not sets are called proper classes, and their distinguishing characteristic is that they are not members of any other class. The class of all ordinal numbers and the class of all sets both exist, but both are proper classes. Thus the Burali- Forti and Cantor paradoxes cannot be constructed, for they require these classes to be members of other classes. Similar remarks apply to Russell’s paradox. In subsequent chapters informal indications are often given toindicate the slight variations in theorems, definitions or proofs required in von Neumann set theory. Zermelo and von Neumann set theory are so closely connected that anyone familiar with the one will soon find himself at home in the other”. SUPPES, Patrick. Axiomatic Set Theory. New York: Dover, 1972, p/p 23.
165 C) Axiomas que são fórmulas prévias, “grátis” que já vêm prontas com o sistema. Os axiomas são próprios de alguns sistemas formais, não de todos. Há sistemas, como vimos no capítulo dois, em que os axiomas são as regras (B). Quando um sistema formal possui axiomas é indispensável que sejam poucos e possam ser derivados uns dos outros.
Vale lembrar que dogmas, axiomas e ficções são coisas diferentes. Os axiomas são dados como válidos independentemente de comprovação dentro do sistema, mas que são objeto de prova em outro sistema, em uma metasistema (L2). Dogmas são pontos de afirmação absoluta, pontos de fé, que não admitem discussão alguma nem podem ser provados em sistema