Perspectivas futuras

Nenhuma linha de investigação pode ser considerada muito promissora se já é apresentada como um produto acabado. Um aspecto importante do trabalho foi a tentativa de formular a física estatística de uma maneira bastante econômica, com esforço para reduzí-la a um simples modelo estatístico com o mínimo de hipóteses. Desta maneira acreditamos que alguns falsos problemas podem ser facilmente reconhecidos, além do que a maior clareza de exposição prepara o terreno para investigações futuras.

Um aspecto talvez pouco usual na forma de apresentação é a ênfase em utilizar a DNP como representação do estado macroscópico, enquanto normalmente a estatística de equilíbrio é feita no espaço de fase (ou de Hilbert). Partindo do ponto de vista que ambas estatísticas podem ser tratadas no mesmo pé de igualdade, é possível que a exposição nos dê maior confiança para utilizar alguns resultados relacionados à literatura de entropias generalizadas para, por exemplo, tratar das entropias fermiônicas e bosônicas. Um objetivo posterior é tornar viáveis as simulações utilizando-as e obter resultados numéricos. Além de dar um maior sentido de completude à teoria, é possível que o tratamento a partir da DNP facilite a inclusão de termos de interação ou vínculos adicionais.

Do ponto de vista puramente técnico, existem várias lacunas a ser preenchidas. No que se refere à literatura de entropias generalizadas, uma delas é esclarecer melhor o papel da interação na quebra do comportamento ideal associado a sistemas livres. Já está bem apontado na referência [?], que a inclusão de vínculos não-lineares pode resultar em propriedades qualitativamente novas no comportamento da entropia. Entre elas, está a presença de vários máximos. Acreditamos que esta propriedade pode ajudar a entender os mecanismos de transição de fase e uma perspectiva futura é tratar de modelos simples e, de preferência, analiticamente solúveis em que a não- linearidade da energia (ou outro vínculo) com relação à DNP desencadeie a existência de múltiplas fases. Em um certo ponto será necessário desenvolver simulações para avaliar detalhadamente o comportamento de sistemas mais complicados.

importante que ainda não foi completamente resolvido na literatura é se a estatística de Gibbs se equivale, ou até que ponto ela equivale à estatística de Boltzmann. É possível mostrar pelo método do ponto de sela que sistemas livres satisfazem esta expectativa completamente, e nesta demonstração incluímos um meio de considerar probabilidades do tipo γ(n). Infelizmente a generalização para incluir termos quadráticos na energia ainda parece bastante complicada, de maneira que a argumentação sobre como ambas se relacionam não está completamente assentada.

Para finalizar, uma parte do trabalho que ainda permanece praticamente inexplorada é o formalismo de não-equilíbrio. O fato que encontramos uma formulação por integrais funcionais é extremamente positivo dado a vasta literatura que existe a este respeito. Futuramente é necessário explicitar os procedimentos usuais de Kubo e Schwiger para o cálculo das funções de correlação e, mais ainda, seria interessante elaborar a contrapartida visão de DNPs como operadores. Uma formulação existente para lidar com processos estocásticos [?, ?], utiliza a linguagem de espaços de Fock de maneira muito convincente para a descrição de processos Markovianos e equação de Liouville, de sorte que já existe uma linha traçada para conectar ambos formalismos. Dado que cada escolha de Lagrangiana se traduz no formalismo apresentado como a instância de um processo Markoviano específico, é relativamente direto elaborar simulações para as séries temporais de DNPs. Os primeiros passos nesta direção estão sendo tomados, o que além de desenvolver maior familiaridade com o formalismo, permite extrair resultados numéricos a partir dos modelos mais simples.

Uma questão extremamente importante que foi deixada um pouco de lado nesta apresentação é sobre como podemos relacionar as médias sobre séries temporais da DNP com as médias de equilíbrio. Se existir uma propriedade de “ergodicidade” que identifique uma com a outra, seria possível determinar as probabilidades P (n|U) (e após algum cálculo, a forma da entropia) a partir dos resultados de uma série temporal obtida por simulação ou experimento. Note que, em princípio, uma “teoria ergódica” para a DNP não sofreria de várias críticas relacionadas à teoria ergódica tradicional como o aparecimento de tempos de Poincaré (a dimensão do espaço para n é muito menor), além do que n representa uma grandeza macroscópica acessível experimentalmente. Esperamos que seja possível explorar mais adequadamente esta questão com um formalismo do tipo exposto acima.

Isto talvez resuma as expectativas mais imediatas para trabalhos futuros. Visto que se trata de uma dissertação para a conclusão de um curso de mestrado, pareceu

muito adequado explorar alguns problemas conceituais da física estatística e teoria de probabilidades que, vale a pena insistir, já foram resolvidos há vários anos ainda que se manifestem de tempos em tempos. Mais ainda, tentamos desenvolver, até onde o tempo nos permitiu, uma versão da física estatística fundamentalmente calcada na representação macroscópica da DNP. Isto a distingue da metodologia usual de estatística de equilíbrio de Gibbs, mas mostrou-se que em várias situações os resultados são os mesmos. Acreditamos que a representação dada pela DNP permite ver com

muito mais clareza alguns aspectos importantes como a distinção entre descrição macroscópica e microscópica, o aparecimento da irreversibilidade e o significado da entropia além do

papel da hipótese da equiprobabilidade a priori no esquema conceitual que fundamenta a termodinâmica.

Algumas posições adotadas recentemente na literatura (i.e.: a ênfase em subdinâmica e não-extensividade), parecem uma forma tenebrosa de conduzir a atividade científica em física estatística. Este trabalho também serve como uma provocação a estas tentativas. É claro que, sendo a ciência um empreendimento de longo prazo, qualquer linha de investigação que se situe em padrões mínimos de adequação é automaticamente legitimada. Ao explorar os caminhos que levam diretamente ao abismo, ainda que com um intuito de mera contemplação, aprendemos mais sobre como funciona a Natureza que aquilo que conhecíamos anteriormente. Tomando as palavras de Einstein, “a matemática é o sexto sentido dos homens e o sétimo das mulheres”, de sorte que tateando com paciência, andamos confortavelmente no escuro, longas distâncias através da confusão. Acreditamos que, em sua essência, este trabalho se inclui numa tradição saudável que tenta colocar claramente o papel das probabilidades em física estatística, e dentro desta, mais especificamente, exploramos sistematicamente o papel que a representação da DNP e sua relação com as entropias generalizadas.