Problema 7 – filas de meninos

Na figura 37 encontra-se o problema filas de meninos, que foi o segundo da 8.ª aula, e que se pode encaixar nos problemas tipo puzzle segundo a tipologia apresentada por Palhares (1997). Tal como referido anteriormente, foi um dos outros problemas realizado quando retomei ao 1.º Ciclo após a intervenção no 2.ºCiclo. Assim, este também me serviu para avaliar se os alunos continuaram, ou não, a progredir na resolução de problemas e a explorar as fases do modelo de Polya.

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Figura 37 - Enunciado do problema filas de meninos

Como resolvem o problema

Como habitual, um aluno começou por ler o problema, de seguida fez-se a definição de palavras desconhecidas e, finalmente, o reconto deste. Neste também não foi transmitida a ideia de que era necessário responderem às questões. Assim detetei que nenhum grupo recorreu às questões, mostrando mais autonomia na resolução de problemas, não fazendo também a recolha dos dados, apesar de quase todos terem sublinhado a informação relevante, como se pode verificar na figura 38.

Figura 38 - Enunciado do problema sublinhado pela Luísa, Marisa, Isabel e Artur

Depois pensaram, discutiram e trocaram ideias em grupos de 4/5 elementos, sobre possíveis formas de resolver o problema, registando-as numa folha. Na figura 39 e 40 encontram-se as resoluções expostas por dois grupos. Nestas os alunos estavam a assumir que as filas tinham de ser paralelas. Consideravam ainda que não era possível haver outra solução, pois, para eles, de outra forma era inexequível ter os nove meninos. Portanto, julgavam que o problema não fazia sentido, uma vez que achavam que não conseguiam formar filas com quatro meninos cada uma, de maneira a ter apenas um total de nove. Todos os outros grupos partilharam da mesma opinião.

Estavam nove meninos no recreio a brincar. A professora viu que estavam em três filas, mas que cada fila tinha quatro meninos. Como é isto possível? Explica como pensaste.

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Figura 39 - Resolução do problema do grupo da Luísa, Marisa, Isabel e Artur

Figura 40 - Resolução do problema do grupo da Mariana, Miguel, Guilherme e Bruno

Depois de terem pensado e registado uma resolução, cada grupo elegeu um porta-voz para partilhar com a turma as conclusões e ideias que tinham conseguido encontrar, sendo que apenas os ouvi e não lhes dei a minha opinião acerca do que tinham apresentado. Depois da partilha, manifestaram de tal forma um enorme entusiasmo pelo problema, que alguns grupos foram para o recreio experimentá-lo/dramatizá-lo/simulá-lo, testando as ideias iniciais que tinham, mesmo sem eu o ter sugerido. Esta foi uma estratégia valiosa, pois vivenciaram a situação e trocaram mais ideias entre eles, como se pode ver na figura 41.

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Com a experimentação/dramatização/simulação esses grupos perceberem que não podiam pensar que só existe um tipo de filas, as paralelas, experimentando outras disposições, aproximando-se do resultado, como é visível na figura 42.

Figura 42 - Alunos no recreio a tentar resolver o problema

Depois do intervalo, forneci materiais manipulativos, neste caso 9 peças do xadrez, 3 pretas e 6 brancas, ou vice-versa. As peças de cada grupo possuíam cores diferentes propositadamente. As cores eram uma grande dica para conseguirem a resposta certa, uma vez que as 3 peças com a mesma cor correspondiam aos 3 meninos comuns em cada fila e as outras 6 eram os restantes. Logo que as receberam manipularam-nas, fazendo experimentação/simulação/dramatização, testando assim as ideias que tiveram, apurando se estas respondiam ou não ao problema, ou seja, se o plano que elaboraram estava correto, como se vê na figura 43. Quando viam que o plano que produziram não estava certo, reformulavam e pensavam numa nova forma de encontrar a solução, despendendo assim bastante tempo na fase da elaboração do plano. Os alunos que foram para o recreio experimentar chegaram mais facilmente à resposta, pois já tinham formado ideias mais consistentes.

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Na figura 44 existe a nova resolução de um dos grupos, onde recorreram ao desenho para resolver o problema, sendo que todos os outros obtiveram a mesma resposta. Nesta percebe-se que, com a experimentação/dramatização/simulação deles próprios e dos materiais conseguiram alcançar a solução certa. Depois de todos terem o problema resolvido, cada grupo comparou as ideias que construíram inicialmente com o diálogo e troca de opiniões entre eles, com as que alcançaram após a manipulação/dramatização/simulação, percebendo o que tinham falhado. Assim, entenderam que não podem pensar que só existe um tipo de filas, as paralelas.

Figura 44 - Resolução do problema do grupo da Luísa, Marisa, Isabel e Artur

Ainda neste problema, após a resolução, todos responderam que a resolução era possível e justificaram-no, tal como se constata na figura 45.

Figura 45 - Explicação do grupo da Cátia, Sara, Filipe e Tomás

Num momento seguinte, os grupos expuseram à turma as conclusões que tinham chegado, sendo criado uma situação de discussão em grande grupo. Por fim, um aluno foi ao quadro exemplificar, utilizando as peças de xadrez, a resposta correta, acabando por ser feita a verificação dos resultados obtidos, visível na figura 46.

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Figura 46 - Explicação da resolução do problema à turma

Dificuldades

Este problema foi, por um lado, o que mais cativou o interesse dos alunos e, por outro lado, o que despoletou grande inquietação e bastantes dificuldades, visto que não sabiam como chegar à solução, julgando mesmo que era impossível de resolver, uma vez que consideravam que era impraticável haver três filas e quatro meninos em cada uma. Com as primeiras ideias dos alunos analisei resoluções que me permitiram perceber que a maior dificuldade e o erro que todos estavam a cometer era em assumir que as filas tinham de ser paralelas, ou seja, estavam a colocar uma imposição que não existia, como se pode ver nas figuras 39 e 40. Estas dificuldades foram ultrapassadas com a ajuda da experimentação/dramatização/simulação deles próprios, que alguns grupos fizeram, e dos materiais.

Neste problema já tentaram explicar como pensaram/fizeram para alcançar a solução certa. Contudo, quem não acompanhou todo o processo de resolução, com estas explicações não conseguia perceber inteiramente todos os passos que os alunos percorreram até chegar ao resultado final. Ora, as explicações não foram completamente bem conseguida. Durante a partilha de resoluções dos grupos, pedi que explicassem o plano que seguiram, como se vê no episódio 17, onde é possível averiguar a explicação clara de todo o plano elaborado.

Episódio 17

(Filipa foi representar os passos que seguiram para chegar ao resultado, usando as peças de xadrez coladas no quadro).

Filipa: Primeiro pensamos que não dava, porque não conseguíamos arranjar uma solução. Depois, com os materiais nós colocamos de várias maneiras as peças, até que percebemos que se fizéssemos um triângulo já dava. Então esta aqui (a peça branca que estava num vértice do triângulo) pertence a esta e a esta fila, esta aqui (outra peça branca que estava noutro vértice) pertence a esta e a esta fila e esta (última peça branca que estava no último vértice) pertence a esta e a esta fila.

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O episódio 17 mostra que os alunos realmente conseguiram, com o apoio de todos os recursos concedidos, delinear corretamente um plano e resolver com sucesso o problema apesar das dificuldades que possuíam inicialmente. Com este diálogo é também feita, perfeitamente, a verificação dos resultados obtidos.