4. DIÁLOGO FICCIONAL/JOGOS DE CENAS SOBRE PRÁTICAS
4.4 Problematizando os usos da história do número nas práticas escolares
Paula – Voltemos então ao nosso ponto de partida, nosso entusiasmo em problematizar as abordagens pedagógicas do programa, ou seja, as práticas escolares de mobilização da matemática.
Hoje, soa-me estranho repetir o curso de forma idêntica como sempre o ministramos. Ao fazer isso, continuaríamos privilegiando algumas práticas escolares de mobilização da matemática, como se fossem únicas e privaríamos os professores de vislumbrar outras formas de ensinar. Imagine se Picasso tivesse privilegiado apenas uma perspectiva como forma de representar objetos?
Paula – As leituras e discussões das quais tenho participado nos estudos do mestrado, remetem-me a compreender que usos privilegiados e únicos de significados/palavras/conceitos podem produzir um entendimento restrito/unilateral da realidade165 que se procura conhecer. Pode produzir uma visão essencialista/metafísica e diria paralisante frente à possibilidade de gerar uma compreensão múltipla e dinâmica do fato166 que se estuda. Picasso, por exemplo, transgrediu a forma tradicional europeia de perspectiva linear, na qual iniciou sua formação artística e buscou em outras épocas, outras civilizações, uma nova maneira de representar a tridimensionalidade.
A concepção de essência numérica está presente até na abordagem de história do número no ensino. Visão esta aliada a um conceito de evolução que considera um conteúdo numérico constante/invariável que vai se complexificando segundo as diferentes necessidades humanas, através do tempo, em sua forma/linguagem. Segundo Ifrah167, é possível traçar uma evolução conceitual do número com a história universal a partir das necessidades e preocupações sociais, sejam elas utilitárias ou não.
Aliamo-nos a essa abordagem quando informamos aos professores que houve uma evolução na linguagem numérica desde o uso, para contar, com as pedras, posteriormente, com entalhes em madeira e argila168, mais tarde, o uso de numerais pelas civilizações antigas169, como os usos do sistema numérico dos babilônios170, dos egípcios171, dos chineses172, dos romanos173, dos maias174, até chegar numa formulação numérica mais complexa e abstrata, que é a que usamos até hoje: o sistema de numeração hindu-arábica175.
165 Entendendo realidade como linguagem no sentido do movimento filosófico da Virada Linguística que nasceu
no final do século XIX, especialmente com Moore, Russell, Wittgenstein, com a preocupação principal de fazer uma “análise do significado de conceitos com forma privilegiada de tratamento das questões centrais da experiência humana, sendo o conceito tratado como entidade linguística. [...] nessa direção, a concepção pragmática de significado e de linguagem como ação e não como descrição do real é um dos principais desenvolvimentos recentes da filosofia da linguagem [...]” Marcondes (2010). Decorre daí que passamos a compreender a linguagem não como uma ferramenta simbólica para representar a realidade mas como constitutiva da realidade. Nada há fora da linguagem.
166 Fato entendido como acontecimento da linguagem. 167
Ifrah (1998, p. 100).
168
Por exemplo, os entalhes do Período Paleolítico Superior (35000 a 20000 a. C.). Ibid.(p. 104).
169 Atividade descrita no anexo E.
170 Por volta do ano de 3500 a. C. Ibid. (p. 133). 171 Por volta do ano 3000 a. C. Ibid. (p. 157). 172
É a mais antiga das formas contemporâneas, empregada exatamente do mesmo modo desde o século IV da nossa era. Ibid. (p. 229).
173 Foram séculos de evolução e simplificação dos símbolos até se chegar aos grafismos que utilizamos hoje. Há
inscrição que remontam o século VI a, C., séculos II a. C. Ibid.(p. 184-206).
174
Teve seu auge no primeiro milênio de nossa era. Ibid. (p. 249).
Paula – Não há dúvida de que temos uma história do número, produto de práticas coletivas176, portanto, essa história não poderia ser atribuída a ninguém, nem a um tempo determinado e nem mesmo ser entendida num sentido evolucionista como sempre abordamos no curso. Os homens criaram os números conforme as necessidades de seus usos nas diferentes atividades que desenvolviam, situadas no tempo e no espaço. Por isso, para cada povo o número tinha a complexidade que lhe bastasse para seus jogos de contagem.
O que se pode encontrar são semelhanças de família entre os diferentes jogos de linguagem que envolvem o número de cada civilização e entre as diferentes perspectivas das várias abordagens pedagógicas.
A rudimentariedade de um sistema numérico de um povo lhe é atribuída por quem olha retrospectivamente para esse sistema como se estivesse no topo da evolução numérica. Para Godfard177, ver a evolução como acumulação de conhecimento é uma interpretação equivocada porque se nega o que veio antes e o reduz. É uma concepção forjada do século XIX na Europa que se autoproclamava centro científico do mundo.
A forma como abordamos a história do número178 é uma das possibilidades entre tantas de concretização da história, como recurso didático-pedagógico para o ensino do número.
Marta – Sim, entendo que a história é um recurso didático-pedagógico. Para a formulação dessas atividades sobre a história do número nos baseamos numa abordagem que possibilita, segundo Moura179, a apropriação desse conhecimento pelos alunos de forma efetiva e significativa, sem perder de vista a estrutura cognitiva e os conhecimentos prévios dos alunos, fruto de suas atividades dentro e fora da escola. Não é uma maneira artificial de se trabalhar a história do número!
Paula – Eu diria que as atividades propostas por nós se assemelham a esta abordagem, mas será que falar em contar ovelhas é assim tão próximo da realidade de nossos alunos? Ou está mais próximo do que propõem os livros didáticos, pois não deixa de ser uma história bem conhecida de todos.
176
Ibid. (p. 11).
177 Godfard apud Valécio (2005, p. 9).
178 Essa atividade da contagem das ovelhas, se encontra no anexo D e tem como objetivo mostrar aos
professores que o número, como fundamento da matemática, é um conhecimento construído socialmente e sua aprendizagem passa pela mediação do outro. Moura (1996, p. 11) .
Marta – Bem, diante de seus argumentos, estamos privilegiando uma maneira única de abordar a história do número, o que desarma minha concepção de que essa não é uma maneira artificial de se tratar o número. Quais seriam outras formas de se abordar a história na mobilização matemática no âmbito escolar?
Paula – Veja, neste livro que temos aqui, Brito e Carvalho180 afirmam ter utilizado a história da geometria no ensino de geometria e se denominam “construtivistas” numa perspectiva “histórico-cultural” pelo fato de visarem a “produção de significados” em sala de aula; numa interação dialógica professor/aluno, aluno/aluno; de modo que o aluno possa adquirir os instrumentos matemáticos que lhe permita ser um “cidadão crítico” e transformador da sociedade.
Neste mesmo livro, ao tratar de atividades para o ensino dos números irracionais, Miguel181 as integra como um estudo histórico-pedagógico, por serem ao mesmo tempo histórica e psicopedagógica.
O autor comenta que é histórica, pois as atividades se compõem de personagens centrais da história da matemática e esses elementos iconográficos operam não apenas como critério estético, mas como guia para alcançar a verdade filosófica das teorias científicas, uma vez que se pode supor que na história do pensamento científico, houve muitas fases em que uma obscura, mas poderosa tradição escrita correspondeu, em verdade, a esse modo figurativo; a obscuridade se insinua através do difícil processo de buscar traduzir o figurativo para o escrito182.
Comenta ainda, que é psicopedagógica, pois se assenta no fato de parecer desejável que um processo de ensino-aprendizagem de caráter construtivo-significativo devesse ter como ponto de partida um elemento motivador que funcionasse como guia na construção do conhecimento, como um ponto de referência emblemático que conferisse um sentido, ainda que inicialmente difuso e misterioso, à trajetória obscura a ser percorrida pelo estudante em seu processo de busca183.
180 Brito e Carvalho (2009, p. 16), grifos das autoras. 181 Miguel (2009, p. 274).
182
Price (1976, p. 77) apud Miguel (2009, p. 274).
Marta – Estas são maneiras diferentes de abordar a história. Os Parâmetros Curriculares Nacionais184 indicam o recurso didático-pedagógico da história da matemática como um dos caminhos para ensinar matemática em sala de aula juntamente com outros recursos didáticos e metodológicos. Aponta ainda a possibilidade do professor desenvolver atitudes e valores mais favoráveis ao aluno diante do conhecimento matemático ao revelar a matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos. Considera também a história da matemática como um veículo de informação cultural, sociológica e antropológica de enorme valor formativo, ou seja, um instrumento de resgate da própria identidade cultural. Diz aqui também que contribui para a constituição de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento por responder a alguns “porquês” aos alunos.
Paula (mostrando o livro) – Veja, neste livro, Melo185 diz organizar atividades históricas para o ensino de trigonometria numa ”concepção teórico-prático, sob uma perspectiva investigativa considerando-as como fonte de geração do conhecimento matemático escolar e, portanto, de melhoria do seu ensino e de sua aprendizagem. Para que isso seja possível, é importante valorizar e adaptar as informações históricas às próprias necessidades, visando o seu melhor uso possível na sala de aula.
O autor utiliza a história como agente fomentador do ato cognitivo em sala de aula, desde que seja configurado na forma de atividade para o aluno o que caracteriza, segundo Melo, uma abordagem construtiva da matemática.
O fato de que histórias da matemática se iniciam por volta do século IV a. C. e assinalam a história da aritmética, da geometria e da astronomia se dá na tentativa de se transformar escritos individuais e particulares em obras cronologicamente coletivas, segundo Miguel e Miorim186, num empreendimento mais geral de constituição de histórias da
184
Brasil (2001, p. 45-46).
185 Melo (2009, p. 107-108).
186 “A necessidade de integração das histórias das ciências particulares numa história geral veio a ser um dos
pontos essenciais do projeto positivista: era o que Comte pretendia ao distinguir entre a ordem histórica e a ordem dogmática, devendo a primeira expor os conhecimentos regularmente pela sua ordem própria e respeitando a cronologia e as vias da sua aquisição, e a segunda perspectiva a história das ciências do ponto de vista de um único espírito, que articulando os vários domínios deles desse uma visão de conjunto. A filosofia positivista, ao exigir assim uma visão globalizante, tinha também que recorrer a um certo uniformismo dos progressos das ciências, com total evacuação da consideração dos seus progressos específicos e regionais”. Carrilho (1979:14-5, grifos do autor), apud Miguel e Miorim (2011,p. 38-39).
ciência. Destacam187 ainda que somente na década de trinta do século passado, sob a influência do II Congresso Internacional de História da Ciência e da Tecnologia, ocorrido em Londres em 1931 é que começaram a surgir histórias da matemática em que os autores buscavam conscientemente romper com a tradição historiográfica cuja concepção de objetividade histórica baseava-se em valores tais como a neutralidade, a unicidade da verdade histórica e a erudição188.
Marta – É interessante como a filosofia positivista exerce forte influência na educação e particularmente no PALMA.
Paula – Percebe como há várias outras práticas escolares que também privilegiam a história na mobilização da matemática?
Marta – Sim, percebo. E noto também que as atividades que propomos no curso têm semelhanças com algumas delas.
Paula – Mas também se distanciam em outros aspectos. Porém todas pensam na origem conceitual do número como um ente matemático.
Marta – Como pensar em número de outra forma que não como um ente matemático?
Paula – Outras práticas pensam nos significados numéricos conforme os usos nas contagens, cálculos e medições feitos nas diferentes atividades humanas. Jean Lave189, neste texto que armazeno em meu notebook, intitulado Do lado de fora do supermercado, destaca
187 “Há cinquenta anos reuniu-se em Londres o II Congresso Internacional de História da Ciência e da
Tecnologia, no qual a delegação soviética, encabeçada por N. I. Bukharin, apresentou vários trabalhos que foram reunidos no volume ‘Science at the Crossroads’. Esse volume exerceu uma influência considerável na história das ciências das últimas décadas. Em particular, a contribuição de Boris Hessen, “Social and Economic Roots of Newton’s Principia” oferecia um enfoque promissor que um grupo de jovens cientistas desenvolveria na Inglaterra, até chegar a constituir a assim chamada escola externalista na história das ciências. Entre seus membros estavam J. B. S. Haldane, L. Hogben, J. D. Bernal e J. Needham. São conhecidos, sobretudo os trabalhos de Bernal, que desenvolveu uma interpretação do progresso das ciências e das técnicas desde a comunidade primitiva até a época contemporânea, a partir da tese central do marxismo de que tem sido o grau de desenvolvimento das forças produtivas que comanda o progresso científico”. (Saldaña, 1993:17), apud Miguel e Miorim (2011, p. 40).
188 De acordo com Miguel e Miorim (2011, p. 40) “Este período parece ter sido, então, aquele da tomada de
consciência de que histórias da matemática diferenciadas poderiam ser escritas com base em pontos de vista político-filosóficos distintos, e autores comprometidos com o ideal de popularização da história da matemática e com uma visão da objetividade histórica baseada em valores tais como o da não neutralidade do historiador e o da não unicidade da verdade histórica começaram a surgir. Vale ressaltar ainda que, não vinculadas diretamente a essa influência, e surgidas antes ou na década posterior à realização desse congresso, outras obras com essas características inovadoras apareceram no terreno da história da matemática. Dentre elas, destacam-se: 1) ‘Number: the language of Science’, do historiador norte-americano Tobias Dantzig, cuja primeira edição apareceu em 1930; 2) ‘Conceitos Fundamentais da Matemática’, do matemático português Bento de Jesus Caraça, cuja primeira parte foi editada em junho de 1941; 3) ‘A Concise History of Mathematics’, do matemático e historiador holandês Dirk Jan Struik”.
que o modo de contar a quantidade de maçãs de uma pessoa que está fazendo as compras para sua casa é diferente daquele que a escola ensina. Na atividade humana as coisas não acontecem isoladamente como na escola, o meio estrutura a forma de resolução de cada situação. Na pesquisa que a autora descreve aqui em seu texto (visualizado na tela do
notebook), é possível observar que os recursos para resolver as situações diversas de
contagens, cálculos, medições podem provir não só da memória da atuação pessoal, mas da própria atividade, em relação com a situação, tomando forma na intersecção de múltiplas realidades, produzidas no conflito e criando valores 190. Por mais que a escola pretenda preparar o aluno para viver e atuar na sociedade, – como se, para isso, tivesse que passar por seus bancos escolares, – Lave191 observou que a estruturação “correta” da matemática que permeia a teoria cognitivista, a educação escolar, são mais adequadas para descrever umas às outras do que para dar conta da prática aritmética.
Marta – Sob este aspecto concordo com você, pois numa situação de compras, por exemplo, compro maçãs por quantidade e pago por quilogramas; compro de acordo com a quantidade que será consumida; ou pelo valor que tenho para pagá-las; calculo, na maioria das vezes, por estimativa o valor da compra; quando preciso de um valor exato busco o recurso da calculadora através do celular, – recurso pouquíssimo utilizado nas aulas de matemática. E, em cada prática, a quantificação e os cálculos que efetuo acontecem de formas variadas, sem um padrão exclusivo. Até mesmo se precisar comprar maçãs novamente, nada indica que articularei os meus saberes da mesma forma.
Paula – Claro, como diz Lave192, neste parágrafo, “[...] a teoria da prática considera o aprendizado, o pensamento e o conhecimento como processos histórica e culturalmente específicos, socialmente constituídos e politicamente ajustados, e argumenta que eles estruturam claramente o mundo social, assim como são estruturados por ele”.
Marta – Porém, não concordo que temos mostrado aos cursistas uma forma privilegiada e única de ensinar matemática. Este não é nosso propósito. Se assim fosse, não nos desdobraríamos para buscar formas diferentes de ensinar. Como, por exemplo, quando abordamos a etnomatemática no contexto escolar com o propósito de mostrar aos cursistas a
190 Ibid. (p. 67).
191
Ibid. (p. 98) grifo da autora.
importância, como releva Domite 193, de refletir e legitimar saberes de alunos e alunas nascidos de experiências construídas em seus próprios meios. A importância da abordagem da etnomatemática, ainda segundo a mesma autora, como meio pedagógico de legitimação do conhecimento do “outro”, relativização e respeito à diferença de valores, conhecimentos, modos e códigos194.
Paula – Concordo que procuramos diversificar as práticas escolares. Mas todas as que mobilizamos no curso, inclusive essa que acabou de citar, fundamentam-se na crença de que existe uma única matemática e que seus conceitos são universais. No caso da perspectiva etnomatemática no contexto escolar, Domite195, neste artigo (pega a revista Scientific
American Brasil, sobre a mesa e a folheia), considera que o ensino deve ser visto como um
aspecto do desenvolvimento da história do aluno que tanto interfere no seu crescimento mental, como tem o papel de transformar a sua articulação no e com o mundo e com os outros.
No sentido de desmistificar, de desconstruir o significado da matemática como ciência única e superior...
Marta (interrompe Paula) – Mas como isto é possível? Como desconstruir significados únicos de matemática? Ao abordarmos as práticas escolares de mobilização da matemática envolvendo a história, o construtivismo, a etnomatemática, não estamos desmistificando seu significado único?
Paula – Como já disse, podemos colocar tudo em questão. Buscar os rastros dessas práticas escolares, os rastros de seus significados. Vilela196, neste seu livro Usos e
jogos de linguagem na matemática (mostra o livro à Marta), percorre outros jogos de
linguagem que envolvem a matemática, numa perspectiva de terapia wittgensteiniana. Nesse percurso de análise de textos das diversas matemáticas, constatou especificidades entre suas adjetivações. Deparou-se com semelhanças de famílias entre elas e com práticas distintas
193 Domite (2005, p. 81).
194
Ibid. (p. 84).
195
Ibid. (p. 84). A autora, inspirada e fundamentada em pesquisadores como Ubiratan D’Ambrosio e Paulo Freire, considera como “pressuposto básico para a realização de um processo pedagógico – que busca corresponder a uma perspectiva etnomatemática – a disponibilidade do professor em conhecer mais intimamente o aluno [...]”. E o conhecimento matemático, como os números, as formas, as propriedades, enfim as relações quantitativas e espaciais também “devem ser trabalhados pelos professores como relações que combinam com outras inúmeras influências – de modo aleatório, mas sempre no sentido de proporcionar novas transformações e organizações psicointelectuais”. Dentro desta visão, toda formação dessa natureza é, na verdade, um fenômeno de proporções cósmicas – uma vez que estaria interagindo com o emocional, o afetivo, o social, o histórico, o psicológico, o místico, o cultural, entre outros.
também. Por exemplo, em grupos profissionais e em crianças os processos de resolução de operações aritméticas são mentais, em oposição aos algoritmos escritos ensinados na escola197.
As adjetivações trazem em si especificações das práticas das quais se originam o que vem, segundo Vilela198, ao encontro de seu propósito de desfazer a visão essencialista da matemática, o que indica para Wittgenstein, citado por Vilela199, uma família de atividades com uma família de propósitos. Por exemplo, a matemática escolar geralmente é entendida como a praticada no âmbito escolar, é a que praticamos no PALMA; para Moreira, citada por Vilela200, a matemática científica ou acadêmica é a empregada nos centros de pesquisas e faculdades/universidades.
Marta – Você quer dizer que a matemática está em muitos outros campos além do contexto escolar e que em cada um deles há abordagens diversas?
Paula – Posso garantir-lhe que sim. Não quero aqui menosprezar e nem vangloriar uma ou outra abordagem das diferentes matemáticas, muito menos criticar qualquer uma delas, todas têm sua importância em seus contextos e são produtoras de conhecimentos. Intenciono colocá-las sob o mesmo plano assim como o fez Picasso em suas obras, ao colocar