Soluc~ao pelo M
etodo de Newton

O problema do FPOEG
e um problema com restric~oes de desigualdade, e as t
ecnicas de barreira e de parametrizac~ao s~ao utilizadas na sua soluc~ao. Essas t
ecnicas s~ao usa- das denindo-se um problema aproximado, cuja soluc~ao aproxima-se da soluc~ao do problema original quando os par^ametros de homotopia e de barreira variam de modo adequado. O problema aproximado ou modicado associado a (2.1)
e genericamente formulado como: Min C(x) +B(x) s:a:: g(x) = 0 H(x
) = 0 (3.25) onde: - par^ametro de barreira

B(x) - func~ao barreira logar
tmica associada as restric~oes lineares de desigualdade

H(x
) - func~ao homotopia denida em (3.14).

A soluc~ao do problema (3.14)
e obtida atrav
es de uma sequ^encia de soluc~oes do problema parametrizado (3.25), na qual os par^ametrose variam adequadamente de maneira preestabelecida. Nessa sequ^encia o par^ametro varia de 0 a 1 e o par^ametro

decresce at
e atingir um limite m
nimo pr
e-xado. A atualizac~ao de
e feita da seguinte maneira:

+1 =




_se _> l

38Cap
tulo 3. FPOE Generalizado Resolvido pelo Metodo de Newton com Tecnicas deBarreira e Parametrizac~ao

onde  (0<  <1)
e o fator de atualizac~ao dos par^ametros de barreira. O valor deste

fator e l _{s~ao especicados arbitrariamente.}

A estrat
egia usada para tratar os par^ametros de barreira
e iniciar com compa- rativamente grande, fazendo com que a barreira atue fortemente mantendo a procura em
areas distantes das fronteiras da regi~ao de soluc~ao. Em seguida reduz-se mode- radamente o par^ametro de barreira at
e um valor sucientemente pequeno, quando a procura
e feita inclusive em
areas pr
oximas das fronteiras. No processo iterativo, por exemplo, 0
e o valor inicial do par^ametro de barreira associado as restric~oes lineares

de canalizac~ao referentes aos limites em x, enquanto que l
_{e o limite. Uma discuss~ao}

sobre valores de par^ametros de barreira usados nos casos de FPOEG estudados neste trabalho,
e apresentada no Ap^endice B.

Comparando-se com os resultados obtidos com o FPOE, a introduc~ao de t
ecnicas de barreira para tratamento das restric~oes lineares de desigualdade, conferiu maior robus- tez ao m
etodo, no que se refere a capacidade de determinac~ao de soluc~oes
otimas locais que atendessem um crit
erio para comparac~ao preestabelecido. Soluc~oes de processos de otimizac~ao equivalentes submetidos a simulac~ao de erros aleat
orios diversos, puderam ser avaliados. Ou seja, essas soluc~oes puderam ser obtidas com as mesmas condic~oes iniciais e com os mesmos crit
erios de atualizac~ao de par^ametros e de converg^encia a que foram submetidos processos de otimizac~ao de refer^encia. Esta caracter
stica tamb
em torna o algoritmo proposto uma ferramenta vi
avel para aplicac~oes em casos reais, uma vez que n~ao requer recalibrac~oes de par^ametros para obter soluc~oes em condic~oes ope- racionais diversas (condic~oes operacionais variam consideravelmente ao longo de um dia).

O algoritmo proposto para a soluc~ao do FPO (formulac~ao equivalente ou de re- fer^encia, representada genericamente em (2.1)), baseia-se na resoluc~ao do problema pa- rametrizado denido em (3.25). Esse algoritmo fundamenta-se no m
etodo de Newton aplicado a sequ^encia de problemas (como o formulado em (2.1)) gerada pela variac~ao dos par^ametros e , e
e composto de duas fases.

Fase I

Em uma primeira fase resolve-se parcialmente um problema relaxado, no qual as res- tric~oes n~ao lineares de desigualdade n~ao s~ao consideradas. Assim a func~ao Lagrangeana associada ao problema relaxado
e denida como:

L(x
) = C(x) +t_{g(x) +B(x) (3.27)}

onde
e composto pelos multiplicadores de Lagrange associados a restric~ao de igualdade

g(x) = 0. Esta fase
e conclu
da ao obter-se a condic~ao de factibilidade (g(x) = 0) do problema relaxado, que corresponde a estacionariedade da Lagrangeana em relac~ao a

3.5. Soluc~ao pelo Metodo de Newton 39

Fase II

Ap
os a conclus~ao da

Fase I

, inicia-se uma nova fase, em que se faz o reconhecimento do n~ao atendimento das restric~oes de desigualdade h(x)
0. Nesta fase identicam-se as

componentes das restric~oes de desigualdade h(x)
0 que passam a ser tratadas como

igualdades (3.25).

Nesta fase
e encontrada a soluc~ao para o problema completo. A factibilizac~ao de restric~oes de desigualdade
e promovida pela soluc~ao de uma sequ^encia de problemas modicados parametrizados em. A func~ao Lagrangeana associada ao problema (3.25)
e denida como:

L(x

) = C(x) +t_{g(x) +} t_{H(x
) +B(x) (3.28)}

onde
e composto pelos multiplicadores de Lagrange associados as restric~oes funcionais de desigualdade H(x
) = 0.

A condic~ao de estacionariedade da func~ao Lagrangeana do problema (3.25)
e ex- pressa como:

r

L

(x

) = 0 (a)

g(x) = 0 (b)

H(x
) = 0 (c) (3.29)

A soluc~ao do problema completo (2.1) requer al
em da condic~ao de estacionariedade da func~ao Lagrangeana apresentada em (3.29) para = 1, o atendimento das condic~oes dos sinais dos multiplicadores de Lagrange das restric~oes de desigualdade h(x)
0.

Analisando a tend^encia de uma restric~ao de desigualdade para  = 1 na condic~ao (3.29) atrav
es dos multiplicadores de Lagrange verica-se a viabilidade da direc~ao do passo Newton. Assim, um ponto de estacionariedade da func~ao Lagrangeana do pro- blema (3.25) com = 1, para atender a condic~ao de otimalidade de primeira ordem de Karush-Kuhn-Tucker (m
nimo local) do problema (2.1), deve ainda atender a condic~ao de complementariedade estrita que
e dada a seguir:





> 0] (3.30)

A an
alise dos sinais dos multiplicadores de Lagrange das restric~oes de desigualdade ativas, garante a condic~ao de complementariedade estrita e
e feita no ponto que atende a condic~ao (3.29) para = 1. No algoritmo proposto a condic~ao apresentada em (3.29)
e parcialmente atendida para cada um dos problemas parametrizados em que  < 1. Enquanto  < 1 exige-se o atendimento das condic~oes (b) e (c) em (3.29). Quando o par^ametro  assume o valor 1
e exigido o atendimento de todas as condic~oes de (3.29) juntamente com a condic~ao (3.30). Esse procedimento
e adotado com o intuito

40Cap
tulo 3. FPOE Generalizado Resolvido pelo Metodo de Newton com Tecnicas deBarreira e Parametrizac~ao de obter converg^encia com um n
umero menor de iterac~oes Newton. A soluc~ao do problema completo
e um ponto de Karush-Kuhn-Tucker (atende as condic~oes 3.29 e 3.30), ou seja, atende as condic~oes de otimalidade de primeira-ordem.

Algumas heur
sticas foram adotadas com o intuito de acelerar o processo de so- luc~ao dos problemas de otimizac~ao, tais como: exigir o atendimento pleno da condic~ao apresentada em (3.29) somente na soluc~ao dos problemas parametrizados em  = 1
0, e antecipar a relaxac~ao de restric~oes de desigualdades ativas a partir de  = 0
8, utilizando-se do crit
erio dado pela condic~ao expressa em (3.30) mesmo que a condic~ao dada em (3.29) n~ao seja plenamente atendida. Faz-se neste ponto, um rank de valores obtidos na multiplicac~ao de valores das violac~oes pelos respectivos valores dos multipli- cadores de Lagrange associados a elas, e duas barras para as quais obt^em-se os menores produtos e cujos multiplicadores de Lagrange associados atenderem a condic~ao (3.30), podem ser retiradas do conjunto ativo.

Passo Calculado pelo Metodo de Newton

Um estado y
= x



]T que satisfaz a condic~ao (3.29) do problema (3.25)
e obtido

a partir de um estado inicialy0 = xo
o
o]T utilizando-se de aproximac~oes de segunda

ordem da Lagrangeana (3.28). Em torno de um ponto y _{= x}

_{] o m
etodo de}

Newton
e aplicado resolvendo-se iterativamente a seguinte equac~ao:

r 2

L

(y_)#y+1 =;r

L

(y _{) (3.31)} onde: #y = 2 4 #x # # 3 5 (3.32) sendo: r

2

L

- matriz Hessiana da Lagrangeana do problema (3.25) r

L

- vetor gradiente da Lagrangeana do problema (3.25)

#y - passo Newton.

O estado y
, que
e a soluc~ao do problema completo, pode ser encontrado num

processo iterativo atrav
es de atualizac~oes de y:

3.6. Algoritmo Basico de Soluc~ao do FPOEG 41 No entanto, a cada iterac~ao, na atualizac~ao de #y, os valores das vari
aveis contro- ladas pelas func~oes barreira s~ao mantidas dentro de seus limites. Eventualmente se #y

puder levar a uma infactibilidade os limites da vari
avelx, a magnitude do incremento
e corrigida. O #y
e alterado para garantir a factibilidade de x. Desta forma na atuali- zac~ao dey, o vetor de alterac~oes #y, determinado pela soluc~ao do sistema de equac~oes dado em (3.31),
e analisado. Assim, para todo xj 2 V
t
Pg], determina-se:

j = 8 > > > > > > < > > > > > > : 1 se xmin_{j < xj + #xj < x}max_j j(xmaxj ;);(xj)j jxj j se xj + #xj xmaxj j(xminj +);(xj)j jxj j se xj + #xj
xminj (3.34) sendouma toler^ancia preestabelecida que garante os valores das vari
aveis controladas pelas func~oes barreira dentro de seus limites.

Assim um passo seguro #yb (que n~ao viola restric~oes lineares de desigualdade)
e

calculado, da seguinte forma:

#yb =Min_j fjg#y

 _(3.35)

E de fato, as atualizac~oes de y s~ao realizadas de acordo com a seguinte equac~ao:

y+1 =y+ #yb (3.36)

Essa estrat
egia de atualizac~ao de y
e adotada nas duas fases de soluc~ao do FPO.

No documento Modelos equivalentes de FPO baseados no metodo de Newton com tecnicas de barreira e parametrização (páginas 55-59)