Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computac~ao - FEEC
Departamento de Engenharia de Sistemas - DENSIS
Modelos Equivalentes de FPO Baseados no
Metodo de Newton com Tecnicas de
Barreira e Parametrizac~ao
Tese apresentada a Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computac~ao da Universidade Estadual de Campinas, como parte dos requisitos exigidos para a
obtenc~ao do ttulo de DOUTOR EM ENGENHARIA ELETRICA.
Adriana Luiza Tognete
Mestre em Engenharia Eletrica - FEEC/UNICAMP
Anesio dos Santos Jr.
Orientador
Leonardo Nepomuceno
Co-orientador
Banca Examinadora
Geraldo Roberto Martins da Costa
Katia Campos de Almeida
Takaaki Ohishi
Carlos Alberto de Castro Jr.
Vivaldo Fernando da Costa
Secundino Soares Filho
FICHA CATALOGRAFICA ELABORADA PELA
BIBLIOTECA DA AREA DE ENGENHARIA - BAE - UNICAMP Tognete, Adriana Luiza
T572m Modelos equivalentes de FPO baseados no metodo de Newton com tecnicas de barreira e parametrizac~ao / Adriana Luiza Tognete. --Campinas, SP: s.n.], 2002.
Orientadores: Anesio dos Santos Jr. E Leonardo Nepomuceno.
Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computac~ao.
1. Otimizac~ao matematica 2. Pesquisa operacional 3. Sistemas de energia eletrica. I. Santos Jr., Anesio dos. II. Nepomuceno, Leonardo. III. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computac~ao. IV. Ttulo.
Aos meus pais Darly e Maria de Lourdes
e a memoria de meu irm~ao Iolando
Agradecimentos
Seria impossvel agradecer, em poucas palavras e com justica, todo o apoio recebido nestes cinco anos de trabalho na FEEC/UNICAMP. Mas e preciso dizer que foram muitos os que me ajudaram: amigos, colegas, funcionarios, professores e meus orienta-dores. Espero que a gratid~ao que sinto e desejo expressar a todas essas pessoas tenha sido e possa continuar sendo demonstrada nas minhas atitudes em relac~ao a cada uma delas.
De maneira especial, gostaria de mencionar o apoio, carinho, considerac~ao e com-preens~ao de meus pais, irm~aos e sogros, bem como o companheirismo, a amizade e o amor do meu marido Ricardo, sem os quais seria impossvel a realizac~ao deste trabalho. Gostaria tambem de agradecer ao povo brasileiro, que nanciou meus estudos desde a pre-escola, e a CAPES, pelo suporte nanceiro ao programa de doutorado.
Resumo
Estudos de otimizac~ao t^em sido cada vez mais usados e necessarios em centros de con-trole para a soluc~ao de problemas associados a operac~ao de sistemas de energia eletrica. Assim, novos modelos e tecnicas mais ecientes de soluc~ao de tais problemas t^em rece-bido ampla considerac~ao por parte de pesquisadores. No entanto, o problema de repre-sentac~ao de redes externas (modelos equivalentes) n~ao tem recebido a atenc~ao devida. Neste trabalho, estudos mostram a import^ancia da utilizac~ao de modelos equivalen-tes adequados aos estudos de otimizac~ao realizados em centros de controle de sistemas interligados. Contudo a representac~ao de uma rede externa que apresente desempe-nho satisfatorio em estudos de otimizac~ao e uma tarefa complexa. A complexidade do problema se deve a forma de representac~ao dos controles externos, da func~ao objetivo e restric~oes. Na literatura o modelo de otimizac~ao equivalente denominado Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente (FPOE) aborda estas quest~oes com bastante sucesso e este trabalho apresenta estudos nos quais tais quest~oes s~ao discutidas. Nesta tese e propos-ta uma generalizac~ao do modelo FPOE, com a introduc~ao de area de amortecimento e aplicac~ao em problemas reativo e ativo/reativo. O modelo proposto e denominado Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente Generalizado (FPOEG) e os problemas de oti-mizac~ao formulados s~ao resolvidos pelo metodo de Newton com tecnicas de barreira e parametrizac~ao. Estudos para avaliac~ao do FPOEG, com os sistemas IEEE-118 barras e Sul-Sudeste Brasileiro de 810 barras, mostram que o desempenho deste modelo e su-perior ao do FPOE e o seu potencial para aplicac~ao em estudos de otimizac~ao realizados em centros de controle.
Palavras-chave:
Operac~ao de Sistemas de Energia Eletrica, Fluxo de Pot^encia Otimo, Modelos Equivalentes.Abstract
The demand for optimization studies focusing on operational problems related to elec-trical power systems has increased signicantly over the last decade, especially due to their importance to utilities control centers. For this reason, much attention has been paid to the development of new models and solution techniques for these problems. However, the representation of areas outside the system under interest, i.e., the mo-deling of external networks using equivalent models, is still an open question. The present work is intended to show the importance of adequately using equivalent models in optimization studies of interconnected power systems.
The external network modeling is a dicult problem particularly due to the comple-xity involved in the representation of local and global controls, operational constraints and performance criteria. This problem has been successfully dealt with in the lite-rature by using a model called Equivalent Optimal Power Flow (EOPF). The present work proposes a generalization of this model, named Generalized Equivalent Optimal Power Flow (GEOPF), which introduces buer-zone area as well as comprises reactive and active/reactive formulations. The corresponding optimization problems are solved using the Newton method associated with barrier and parametrization techniques. The performance of the GEOPF is evaluated by means of computational simulations which show that this model outperforms the EOPF in academic and real-world problems, thus having a great potential for use in optimization studies performed in control centers.
Keywords:
Electrical Power System Operation, Optimal Power Flow, External Equi-valent.Lista de Figuras
3.1 Divis~ao Basica para Um Sistema Exemplo . . . 29
3.2 Uma Area de Amortecimento para o Sistema Exemplo . . . 30
5.1 Sistemas Interligados . . . 71
6.1 Erros em Taps de Transformadores . . . 100
6.2 Erros em Magnitudes de Tens~ao de Barras de Tens~ao Controlada . . . 101
6.3 Erros em Gerac~ao de Pot^encia Reativa . . . 102
6.4 Erros em Fluxos de Pot^encia Reativa nas Linhas de Transmiss~ao . . . . 103
6.5 Erros em Fluxos de Pot^encia Ativa nas Linhas de Transmiss~ao . . . 104
6.6 Erros em Taps de Transformadores . . . 105
6.7 Erros em Magnitudes de Tens~ao de Barras de Tens~ao Controlada . . . 106
6.8 Erros em Gerac~ao de Pot^encia Reativa . . . 107
6.9 Erros em Gerac~ao de Pot^encia Ativa . . . 108
6.10 Erros em Fluxos de Pot^encia Reativa nas Linhas de Transmiss~ao . . . . 109
6.11 Erros em Fluxos de Pot^encia Ativa nas Linhas de Transmiss~ao . . . 110
6.12 Erros em Magnitudes de Tens~ao de Barras de Tens~ao Controlada . . . 113
6.13 Erros em Taps de Transformadores . . . 114
6.14 Erros em Gerac~ao de Pot^encia Reativa . . . 115
6.15 Erros em Fluxos de Pot^encia Reativa nas Linhas de Transmiss~ao . . . . 116
6.16 Erros em Fluxos de Pot^encia Ativa nas Linhas de Transmiss~ao . . . 117
6.17 Erros em Magnitudes de Tens~ao de Barras de Tens~ao Controlada . . . 119
6.18 Erros em Taps de Transformadores . . . 120
6.19 Erros em Gerac~ao de Pot^encia Reativa . . . 121
6.20 Erros em Gerac~ao de Pot^encia Ativa . . . 122
6.21 Erros em Fluxos de Pot^encia Reativa nas Linhas de Transmiss~ao . . . . 123
6.22 Erros em Fluxos de Pot^encia Ativa nas Linhas de Transmiss~ao . . . 124
A.1 Injec~oes de Pot^encias Equivalentes . . . 133
B.1 Perdas Aparentes e Par^ametros de Barreira . . . 137
B.2 Perdas Ativas e Par^ametros de Barreira . . . 138
B.3 Perdas Reativas e Par^ametros de Barreira . . . 139 v
Lista de Tabelas
4.1 Sistema IEEE - 118 barras . . . 48
4.2 Caractersticas Basicas (GG) - Problema Reativo . . . 49
4.3 Caractersticas Basicas (IG) - Problema Reativo . . . 50
4.4 Caractersticas Basicas (II) - Problema Reativo . . . 51
4.5 Maiores Erros em Pot^encia Reativa Gerada (GG) - Problema Reativo . 52 4.6 Maiores Erros em Pot^encia Reativa Gerada (IG) - Problema Reativo . 52 4.7 Maiores Erros em Pot^encia Reativa Gerada (II) - Problema Reativo . . 53
4.8 Media de Desvios - Problema Reativo . . . 54
4.9 Caractersticas Basicas (GG) - Problema Ativo/Reativo . . . 55
4.10 Caractersticas Basicas (IG) - Problema Ativo/Reativo . . . 56
4.11 Caractersticas Basicas (II) - Problema Ativo/Reativo . . . 57
4.12 Maiores Erros em Pot^encia Reativa Gerada (GG) - Problema Ati-vo/Reativo . . . 58
4.13 Maiores Erros em Pot^encia Reativa Gerada (IG) - Problema Ativo/Reativo 58 4.14 Maiores Erros em Pot^encia Reativa Gerada (II) - Problema Ativo/Reativo 59 4.15 Media de Desvios - Problema Ativo/Reativo . . . 59
4.16 Desvios Medios - Problema Reativo (IEEE-118 barras) . . . 63
4.17 Desvios Medios - Problema Reativo (SSB-810 barras) . . . 63
4.18 Desvios Medios - Problema Ativo/Reativo (SSB-810 barras) . . . 64
4.19 Desvios Medios- Com Casamento . . . 66
4.20 Desvios Medios- Sem Casamento . . . 66
5.1 Divis~ao do SSB - 810 barras em 2 Subsistemas . . . 71
5.2 Divis~ao do SSB - 810 barras em 3 Subsistemas . . . 71
5.3 Divis~ao do SSB - 810 barras em 4 Subsistemas . . . 72
5.4 Tens~oes em Barras de Gerac~ao - Otimizac~ao Global . . . 75
5.5 Transformadores com Controle de Tap - Otimizac~ao Global . . . 75
5.6 Tens~oes em Barras de Gerac~ao - FPOEA 1 . . . 76
5.7 Transformadores com Controle de Tap - FPOEA 1 . . . 77
5.8 Tens~oes em Barras de Gerac~ao - FPOEA 2 . . . 77
5.9 Transformadores com Controle de Tap - FPOEA 2 . . . 78
5.10 Perdas de Pot^encia (Duas Areas) . . . 78
5.11 \Desperdcios" de Pot^encia no Sistema Interligado (Duas Areas) . . . . 79 vii
5.12 Impacto Operacional de Modelos Equivalentes em Estudos de
Otimi-zac~ao (Duas Areas) . . . 80
5.13 Perdas de Pot^encia (Tr^es Areas) . . . 82
5.14 Impacto Operacional de Modelos Equivalentes em Estudos de Otimi-zac~ao (Tr^es Areas) . . . 83
5.15 Perdas de Pot^encia (Quatro Areas) . . . 85
5.16 Impacto Operacional de Modelos Equivalentes em Estudos de Otimi-zac~ao (Quatro Areas) . . . 85
6.1 Dados Basicos (IEEE-118 barras) . . . 89
6.2 Perdas de Pot^encia (IEEE-118 barras) . . . 89
6.3 Numero de Iterac~oes (IEEE-118 barras) . . . 89
6.4 Barras de Gerac~ao (F1) - (IEEE-118 barras) . . . 90
6.5 Transformadores com Controle de Tap (F1) - (IEEE-118 barras) . . . . 90
6.6 Barras de Gerac~ao (F2) - (IEEE-118 barras) . . . 91
6.7 Transformadores com Controle de Tap (F2) - (IEEE-118 barras) . . . . 91
6.8 Evoluc~ao do Par^ametro de Homotopia (F2) - (IEEE-118 barras) . . . . 92
6.9 Relaxac~ao de Restric~oes de Desigualdades Ativas - (IEEE-118 barras) . 93 6.10 Sistema SSB-810 barras . . . 93
6.11 Dados Basicos (SSB-810 barras) . . . 94
6.12 Perdas de Pot^encia (SSB-810 barras) . . . 94
6.13 Numero de Iterac~oes (SSB-810 barras) . . . 94
6.14 Barras de Gerac~ao (F1) - (SSB-810 barras) . . . 95
6.15 Transformadores com Controle de Tap (F1) - (SSB-810 barras) . . . 95
6.16 Barras de Gerac~ao (F2) - (SSB-810 barras) . . . 96
6.17 Transformadores com Controle de Tap (F2) - (SSB-810 barras) . . . 96
6.18 Evoluc~ao do Par^ametro de Homotopia - (SSB-810 barras) . . . 97
6.19 Desvios Medios em Controles Internos (FPOEG Reativo) . . . 99
6.20 Desvios Medios em Controles Internos (FPOEG Ativo/Reativo) . . . . 105
6.21 Sistema SSB-810 barras . . . 111
6.22 Desvios Medios em Controles Internos (FPOEG Reativo) . . . 112
6.23 Avaliac~ao de Perdas no Sistema Interno (FPOEG Reativo) . . . 112
6.24 Desvios Medios em Controles Internos (FPOEG Ativo/Reativo) . . . . 118
6.25 Avaliac~ao de Perdas no Sistema Interno (FPOEG Ativo/Reativo) . . . 118
Lista de Siglas
FC:
Fluxo de Carga.OG:
Otimizac~ao Global.FPO:
Fluxo de Pot^encia Otimo.FPOE:
Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente.FPOEG:
Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente Generalizado.GG
:
padr~ao de otimizac~ao em que os controles globais (de todo o sistema inter-ligado) s~ao utilizados no atendimento de um criterio de otimizac~ao imposto ao sistema como um todo. Consideram-se restric~oes globais.IG
:
padr~ao de otimizac~ao em que os controles globais s~ao utilizados no atendimen-to de um criterio de otimizac~ao imposatendimen-to somente a area interna. Consideram-se restric~oes globais.II
:
padr~ao de otimizac~ao em que apenas os controles internos s~ao considerados no atendimento de um criterio de otimizac~ao imposto a area interna. Os con-troles da area externa s~ao xados em valores preestabelecidos. Desconsideram-se as restric~oes na area externa, exceto a demanda de pot^encia que e atendida no sistema como um todo.Indice
1 Introduc~ao
1
1.1 Contextuac~ao do Problema de Modelos Equivalentes . . . 1
1.2 Apresentac~ao da Tese . . . 4
2 Representac~ao de Areas Externas em Modelos de FPO
7
2.1 A Representac~ao de Areas Externas . . . 72.2 Modelos Tradicionais de Representac~ao de Areas Externas . . . 9
2.3 Modelos de Representac~ao de Areas Externas para Estudos de Otimizac~ao 11 2.4 Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente (FPOE) . . . 13
2.4.1 Formulac~ao de Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente (FPOE) . 13 2.4.2 Metodologia de Soluc~ao . . . 19
2.4.3 Metodologia de Analise de Modelos de Otimizac~ao Equivalentes 21
3 FPOE Generalizado Resolvido pelo Metodo de Newton com Tecnicas
de Barreira e Parametrizac~ao
25
3.1 Preliminares . . . 253.2 Formulac~ao do FPOEG . . . 26
3.3 Func~ao Objetivo e Restric~oes do FPOEG . . . 30
3.3.1 Func~ao Objetivo . . . 30
3.3.2 Restric~oes do Problema . . . 32
3.4 Tratamento das Restric~oes de Desigualdade . . . 34
3.5 Soluc~ao pelo Metodo de Newton . . . 37
3.6 Algoritmo Basico de Soluc~ao do FPOEG . . . 41
4 Avaliac~ao de FPO Equivalentes e Casamento na Fronteira
43
4.1 Introduc~ao . . . 434.2 Padr~oes de Otimizac~ao . . . 43
4.3 Avaliando Refer^encias e Alternativas de Modelagem para o FPOE . . . 46
4.3.1 Estudos de Avaliac~ao no Sistema IEEE-118 Barras . . . 47
4.3.2 Conclus~oes . . . 59
4.4 Avaliando Processo de Casamento na Fronteira . . . 61
4.4.1 Avaliac~ao de In u^encias de Incertezas Externas na Determinac~ao de Injec~oes de Pot^encias Equivalentes . . . 62
xii
4.4.2 Avaliac~ao da Import^ancia do Procedimento de Casamento na
Fronteira em Processos de FPOE . . . 65
4.4.3 Conclus~oes . . . 67
5 Avaliac~ao do Desempenho de Modelos Equivalentes Externos em
Es-tudos de Otimizac~ao
69
5.1 Introduc~ao . . . 695.2 Estudos de Casos . . . 70
5.2.1 Metodologia de Avaliac~ao de Impacto Econ^omico de Modelos Equivalentes em Estudos de Otimizac~ao . . . 72
5.2.2 Estudo de Caso I . . . 73
5.2.3 Estudo do Caso II . . . 80
5.2.4 Estudo do Caso III . . . 83
5.3 Conclus~oes . . . 85
6 Desempenho do Algoritmo de Soluc~ao do FPOEG e Estudos com
Areas de Amortecimento
87
6.1 Introduc~ao . . . 876.2 Estudos Envolvendo o Algoritmo de Otimizac~ao Proposto . . . 88
6.2.1 Sistema IEEE-118 barras . . . 88
6.2.2 Sistema Sul-Sudeste Brasileiro de 810 barras . . . 93
6.2.3 Conclus~oes . . . 97
6.3 Avaliac~ao da Area de Amortecimento Proposta . . . 98
6.3.1 Estudos com o Sistema IEEE-118 Barras . . . 98
6.3.2 Estudos com Sistema Sul-Sudeste Brasileiro de 810 Barras . . . 111
6.3.3 Conclus~oes . . . 124
7 Conclus~oes
127
Bibliograa
129
A Casamento na Fronteira
133
Captulo 1
Introduc~ao
1.1 Contextuac~ao do Problema de Modelos
Equiva-lentes
Analisar ou estudar uma area restrita, dentro de um sistema eletrico de pot^encia com muitas conex~oes e submetido a varias congurac~oes e condic~oes de carga, sempre foi necessario em estudos de planejamento e operac~ao de sistemas de energia eletrica. Disturbios, como sada de equipamentos ou linhas, podem ocorrer em qualquer pon-to de um sistema eletrico interligado, e embora locais, ocasionalmente podem causar mudancas nas condic~oes operacionais de regi~oes eletricamente vizinhas a eles. Os pri-meiros modelos de representac~ao de areas, apresentados na literatura, para analise de desempenho de redes eletricas em regime permanente e em estudos de planejamento e operac~ao, surgiram devido as diculdades relacionadas com a necessidade de um grande numero de circuitos analisadores e de fontes de tens~ao para representar analogicamente partes da rede com grande dimens~ao e com muitas conex~oes (Ward, 1949).
Com a evoluc~ao dos sistemas de energia eletrica, que cada vez mais tornaram-se interligados e sobrecarregados, novos conceitos de seguranca foram adotados na ope-rac~ao destes sistemas. O desenvolvimento tecnologico permitiu a introduc~ao dos cen-tros computadorizados de gerenciamento de sistemas de energia (Energy Management Systems), para os quais, modelos de representac~ao de areas chamados Equivalentes Ex-ternos (Dopazo et al., 1979), (Monticelli et al., 1979), foram desenvolvidos para auxiliar em estudos de planejamento e analise de seguranca on line. Em estudos de planejamen-to o uso de equivalente externo resulta em reduc~ao da dimens~ao do problema, ent~ao em vantagem computacional. Em aplicac~oes on line, o objetivo basico e tentar contornar os problemas de falta de informac~oes e de dados imprecisos. Atualmente, devido aos grandes avancos tecnologicos ocorridos nas ultimas decadas, s~ao menores do ponto de vista tecnico, os problemas que envolvem aquisic~ao e processamento de informac~oes, no entanto, como as empresas competem na utilizac~ao de recursos de sistemas interligados, obter informac~oes sobre o estado de operac~ao de sistemas externos depende de relac~oes
2 Captulo 1. Introduc~ao contratuais entre empresas vizinhas (Kato et al., 1992).
Os modernos centros de controle de sistemas de energia eletrica, possuem programas computacionais que executam em tempo real diversas func~oes para analise do estado de operac~ao da rede e de seu nvel de seguranca. Essas func~oes, de maneira geral, classicam-se em: func~oes de monitoramento, de analise de conting^encias e de analise corretiva/preventiva. Para cumprirem seus objetivos, essas func~oes contam com equi-pamentos digitais de telemetria, equiequi-pamentos de medic~ao de grandezas eletricas, e com informac~oes de status de dispositivos de sistemas eletricos, etc. Embora certas func~oes, tais como congurac~ao da rede e estimac~ao de estado, possam ser realizadas apenas com informac~oes da rede que esta sendo controlada e supervisionada (denomi-nada rede interna), outras func~oes necessitam das informac~oes das reac~oes da rede total interligada. Otimizac~ao da operac~ao e analises de estabilidade e de conting^encias, s~ao algumas func~oes avancadas, usadas em centros de controle, que n~ao devem prescindir de informac~oes de regi~oes do sistema de energia eletrica interligado n~ao monitoradas pelo centro de controle, denominadas redes externas.
Gerenciar o con ito entre seguranca, investimentos e custo de operac~ao, e o grande desao das empresas de energia eletrica em ambientes economicamente competitivos. N~ao obstante, competitividade n~ao deve signicar perda de conabilidade e aproveita-mento indiscriminado de recursos. Um sistema eletrico de pot^encia e constitudo de uma rede eletrica complexa que interliga unidades geradoras de energia com pontos de consumo. Muitos estudos podem ser feitos para aumentar a eci^encia de sistemas eletricos de pot^encia, e entre eles os estudos de otimizac~ao, que procuram determinar alterac~oes de controles do sistema que possam atender criterios de operac~ao e restric~oes especcas. Desta forma, a representac~ao de areas externas, ou seja, o uso de modelos equivalentes em aplicac~oes de otimizac~ao em centros de controle torna-se necessario para a operac~ao de sistemas interligados (Momoh et al., 1997).
Na pratica, centros de controle de empresas de energia eletrica convivem com falta de informac~oes sobre os sistemas interligados, e empregam modelos equivalentes da re-de externa associados ao more-delo da rere-de que operam (Kato et al., 1994). A refer^encia (Tinney et al., 1988) apontou algumas provaveis deci^encias na utilizac~ao de mode-los equivalentes tradicionais desenvolvidos para aplicac~oes de analises de conting^encias, em estudos de otimizac~ao. As deci^encias apresentadas em decorr^encia do uso de mo-delos equivalentes tradicionais em problemas de Fluxo de Pot^encia Otimo discutidas em (Tinney et al., 1988), tais como de representac~ao de restric~oes operacionais e de par^ametros de rede na area externa, foram tambem conrmadas em (Hao e Papalexo-poulos, 1995) e (Nepomuceno e Santos Jr., 1996), onde tambem s~ao propostos modelos equivalentes desenvolvidos para aplicac~oes de estudos de otimizac~ao em centros de con-trole de sistemas de energia eletrica. Os resultados de testes realizados em (Hao e Papalexopoulos, 1995) e (Nepomuceno e Santos Jr., 1997) para a avaliac~ao do grau de representatividade de modelos equivalentes externos, evidenciam que alterac~oes em controles exigem maior nvel de capacidade de resposta do modelo equivalente que as alterac~oes pontuais (por exemplo, sada de linha de transmiss~ao) ocorridas durante
1.1. Contextuac~ao do Problema de Modelos Equivalentes 3 estudos de analise de seguranca. Tais resultados estimulam o desenvolvimento de mo-delos equivalentes especcos adequados a processos de otimizac~ao, tal como o modelo proposto neste trabalho.
A liberalizac~ao dos mercados de energia suscita atitudes competidoras entre com-panhias e necessidade de se operar o sistema de forma exvel e muito controlada. Assim cada vez mais t^em-se dado import^ancia a otimizac~ao de recursos disponveis e aumentado a demanda por novos modelos e tecnicas ecientes para estudos de oti-mizac~ao. Teoricamente, num sistema em que a nova poltica de acesso aberto a trans-miss~ao (Transmission Open Access) e plenamente adotada, os participantes do mercado de energia eletrica, podem usar sem discriminac~ao os servicos de transmiss~ao, e esses usuarios devem pagar um preco justo por tais servicos. Para um cenario como este, ainda n~ao se tem regras muito claras e ainda n~ao esta claro inclusive, como o despacho de gerac~ao deve ser feito. Espera-se que uma companhia de gerac~ao de energia deva considerar os custos do servico de transmiss~ao ao fazer contratos de venda de energia com seus consumidores, alem disso, o operador independente do sistema deve utili-zar criterios tecnicos em suas metas e decis~oes, ao passo que as companhias buscam criterios econ^omicos (Fang e David, 1999). No entanto, em meio a diversos questiona-mento, muitas ideias novas t^em sido propostas na literatura, e nota-se uma propens~ao em se considerar representac~ao da transmiss~ao em planejamento e despacho de gerac~ao (Chattopadhyay, 1998), (Marwali e Shahidehpour, 2000b), em se criar interface entre sistemas que realizam tais tarefas e os dos centros computadorizados de gerenciamento de sistemas de energia (Energy Management Systems) (Cheung et al., 2000), (Shawwash et al., 2000), e em necessidade de realizac~ao de estudos de despacho de gerac~ao em tem-po real (Marwali e Shahidehtem-pour, 2000a). Assim, espera-se que problemas reativos e ativo/reativos, para os quais foram desenvolvidos o modelo proposto neste trabalho, sejam constantes na operac~ao de sistemas.
O modelo de privatizac~ao do setor eletrico no Brasil traz a expectativa de um cenario competitivo sujeito a regras que regulamentam o compartilhamento de recursos. Neste momento de grande expectativa, muitos trabalhos de pesquisa s~ao desenvolvidos, bus-cando amenizar o risco de racionamento de energia e explorar novas fontes renovaveis de energia, e procurando otimizar o uso dos recursos ja disponveis, como por exemplo, evitando-se perdas desnecessarias de pot^encia no sistema eletrico de transmiss~ao de energia. O racionamento de energia (2001 e 2002) e os ultimos blecautes ocorridos no Brasil (marco de 1999 e janeiro de 2002) s~ao efeitos, entre outras causas, da falta de investimentos derivada de determinac~oes poltico-econ^omicas elaboradas para a nova regulamentac~ao (ainda em andamento) do setor eletrico. A falta de investimentos em sistemas interligados signica protelar construc~ao de novas unidades geradoras de ener-gia e novas linhas de transmiss~ao, e faz com que a utilizac~ao dos recursos existentes no sistema seja aumentada de forma que os equipamentos operem proximos de seus limites de estabilidade. Nesta situac~ao, agrava-se o risco de colapso de tens~ao e a necessidade de interrupc~ao de fornecimento de energia eletrica, e torna-se muito mais premente o aproveitamento eciente de recursos. Este trabalho tem o proposito de contribuir com
4 Captulo 1. Introduc~ao o desenvolvimento do setor eletrico no Brasil, trazendo novas discuss~oes sobre a ope-rac~ao de sistemas de energia eletrica e que podem ser levadas em conta numa analise sobre regulamentac~ao do uso e operac~ao destes sistemas. Um sistema conavel, seguro e operando de forma eciente signica utilizac~ao racional de recursos energeticos dis-ponveis, permitindo que impactos ambientais e distorc~oes no preco da energia eletrica sejam minimizados.
Em sistemas eletricos de pases como o Brasil e Estados Unidos da America, que por raz~oes geogracas possuem muitas interligac~oes e grande numero de empresas de energia competidoras que compartilham um mesmo sistema de transmiss~ao, a falta de informac~ao precisa sobre sistemas vizinhos e ainda um problema em busca de soluc~ao (Singh et al., 1997). Desta forma, centros de controle de sistemas interligados neces-sitam de modelos mais robustos de representac~ao da rede eletrica externa interligada, que os auxiliem na tarefa de obter conabilidade e eci^encia na operac~ao de seus siste-mas. O uso de modelos equivalentes possibilita obter conhecimento de in u^encias das condic~oes operacionais das redes externas interligadas, circunst^ancia indispensavel para manter interc^ambios de recursos entre as empresas que obedecem relac~oes contratuais especcas. Num contexto em que varias empresas competidoras compartilham recursos de um sistema de energia eletrica interligado, o modelo equivalente proposto nesta tese pode contribuir para o aperfeicoamento do desempenho, n~ao somente de cada empresa, mas do sistema eletrico interligado como um todo.
1.2 Apresentac~ao da Tese
Aplicac~oes de otimizac~ao em centros de controle de sistemas interligados devem levar em considerac~ao as areas externas ao sistema de interesse. Embora a deci^encia de modelos de otimizac~ao em representar areas externas tenha sido apontada em (Tinney et al., 1988) e (Momoh et al., 1997), a import^ancia do impacto da utilizac~ao de mo-delos equivalentes em estudos de otimizac~ao n~ao e devidamente demonstrada pela in-cid^encia com que este tema e abordado tanto no meio acad^emico como nas empresas do setor eletrico. Neste trabalho s~ao apresentados estudos originais que evidenciam a import^ancia do uso de modelos equivalentes adequados aos estudos de otimizac~ao reali-zados em centros de controle de sistemas interligados. E prop~oe-se uma generalizac~ao do modelo Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente (FPOE) apresentado em (Nepomuceno e Santos Jr., 1997) para estudos de otimizac~ao reativa, com introduc~ao de areas de amortecimento e aplicac~ao em problemas reativo e ativo/reativo. O modelo proposto e denominado Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente Generalizado (FPOEG). A apre-sentac~ao do trabalho realizado e feita em sete captulos e um ap^endice, como descrito a seguir:
Captulo 1: Neste captulo o problema de modelos equivalentes e inserido no contex-to da operac~ao de sistemas interligados, expondo a motivac~ao e a import^ancia
1.2. Apresentac~ao da Tese 5 deste trabalho. Os objetivos, propostas e organizac~ao do trabalho, tambem s~ao apresentados.
Captulo 2: Neste captulo s~ao apresentados conceitos e denic~oes relacionados com a representac~ao de redes externas. E feita uma breve revis~ao bibliograca dos principais modelos equivalentes externos tradicionais propostos para analise de seguranca. Os dois modelos equivalentes externos desenvolvidos para estudos de otimizac~ao propostos em (Hao e Papalexopoulos, 1995) e (Nepomuceno e Santos Jr., 1997), s~ao abordados. Destaque e dado ao modelo FPOE proposto em (Nepomuceno e Santos Jr., 1997).
Captulo 3: Neste captulo apresentam-se a formulac~ao e metodologia de soluc~ao do modelo FPOEG propostos neste trabalho. S~ao relatadas as exper^encias obtidas em estudos em que a metodologia de soluc~ao do FPOE e usada, e isto e feito para mostrar a import^ancia das inovac~oes propostas.
Captulo 4: Neste captulo s~ao apresentados estudos para analises crticas de mode-los de otimizac~ao equivalentes. S~ao analisados: refer^encia de comparac~ao para avaliac~ao de desempenho de modelos, validac~ao de modelos e in u^encia do pro-cedimento de casamento na fronteira no desempenho destes modelos. Os estudos s~ao realizados com o sistema teste IEEE-118 barras.
Captulo 5: Estudos originais para avaliac~ao do impacto econ^omico do uso de modelos equivalentes externos em estudos de otimizac~ao em centros de controle de sistemas interligados s~ao apresentados neste captulo. Estes estudos s~ao realizados com o sistema Sul-Sudeste Brasileiro de 810 barras.
Captulo 6: Neste captulo s~ao apresentados estudos que evidenciam caractersticas da metodologia de soluc~ao proposta e estudos que demonstram a melhoria de desempenho de calculos de controles equivalentes internos obtida com a introduc~ao da area de amortecimento proposta. Os estudos s~ao realizados com os sistemas IEEE-118 barras e Sul-Sudeste Brasileiro de 810 barras.
Captulo 7: Neste captulo as conclus~oes obtidas neste trabalho, bem como perspecti-vas de trabalhos futuros, s~ao apresentadas.
Ap^endice A: Neste ap^endice e apresentado o procedimento de casamento na frontei-ra, artcio amplamente utilizado em estudos envolvendo modelos equivalentes e realizados em tempo real.
Ap^endice B: Neste ap^endice s~ao apresentadas caractersticas de processos de otimi-zac~ao realizados com o FPOEG, associadas aos par^ametros de barreira. A tecnica de barreira e proposta neste trabalho, para tratar restric~oes lineares de desigual-dade do problema de otimizac~ao.
Captulo 2
Representac~ao de Areas Externas
em Modelos de FPO
Conceitos e denic~oes de termos freq uentemente utilizados neste trabalho s~ao apresenta-dos neste captulo. E feita uma revis~ao bibliograca apresenta-dos principais modelos equivalentes externos tradicionais apresentados na literatura. O modelo equivalente reduzido, de-senvolvido para estudos de otimizac~ao e proposto em (Hao e Papalexopoulos, 1995), e brevemente descrito. Destaque e dado a representac~ao de areas externas, feita con-juntamente com um modelo de otimizac~ao da area interna do sistema, proposta em (Nepomuceno e Santos Jr., 1997), atraves de um problema de otimizac~ao denominado Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente (FPOE). O Fluxo de Pot^encia Otimo Equiva-lente Generalizado (FPOEG) e sua metodologia de soluc~ao propostos neste trabalho, resultaram de estudos que buscaram o aprimoramento do FPOE, no sentido de torna-lo viavel e aplicavel em procedimentos de otimizac~ao em centros de controle. Formulac~oes de problemas de FPOE, assim como a metodologia de soluc~ao e de avaliac~ao propostas em (Nepomuceno e Santos Jr., 1997) para estes problemas, s~ao descritas sucintamente neste captulo.
2.1 A Representac~ao de Areas Externas
A representac~ao de areas externas por meio de modelos equivalentes pode ser requeri-da, basicamente, por dois motivos: necessidade de reduc~ao da dimens~ao do problema de analise e falta de informac~oes sobre o estado de operac~ao atual de parte da rede eletrica interligada. Desta forma, de acordo com a nalidade especca para a qual a representac~ao da rede externa e elaborada, podem-se estabelecer criterios diferentes na denic~ao de area externa e do modelo usado para representa-la. Uma divis~ao de sistema em areas interna, fronteira e externa, pode ser realizada considerando-se aspectos geo-gracos e de observabilidade. Assim, o sistema interno considerado, pode corresponder a area sob jurisdic~ao de um determinado centro de controle (criterio geograco), ou a uma area sobre a qual este centro de controle e capaz de estabelecer supervis~ao e obter
8 Captulo 2. Representac~ao de Areas Externas em Modelos de FPO informac~oes operacionais a partir de um processo de estimac~ao de estado (criterio de observabilidade).
Em aplicac~oes em tempo real, em centros de operac~ao de sistemas de energia eletrica, e razoavel que se considere o criterio da observabilidade para denir area interna (ob-servavel) e area externa (n~ao ob(ob-servavel). Uma area e considerada observavel, quando e possvel obter-se um conjunto de medidas sucientes para a determinac~ao de seu estado (magnitude e ^angulos de tens~oes para cada uma das barras). A denominac~ao de area interna, neste trabalho, refere-se a uma area observavel, podendo ser geogracamente mais restrita ou mais ampla que a area sob o controle e jurisdic~ao de um centro de operac~ao, ao qual esta sujeita a monitoramento e ac~oes de controle. A area de fronteira e composta por barras da area observavel que possuem ligac~oes eletricas diretas com as barras da area n~ao observavel. Assim, area externa ca denida como sendo a area n~ao observavel, ou seja, a area sobre a qual o centro de controle de operac~ao n~ao e capaz de obter um estado estimado conavel.
O estado estimado conavel de uma area observavel e obtido por programas com-putacionais que operam on line, denominados estimadores de estado. Para fazer a estimac~ao conavel de estado e imprescindvel que um centro de controle conte com um sistema supervisorio (por exemplo, o SCADA (Supervisory Control and Data Aquisi-tion)), para obter informac~oes sobre o estado atual da rede e transferi-las para o centro de controle. Um sistema supervisorio coleta informac~oes remotas (por toda a area observavel) que s~ao processadas na execuc~ao de func~oes avancadas (programas compu-tacionais de execuc~ao on line), como o congurador e estimador de estado assim, com tais informac~oes pode-se obter um modelo conavel da rede supervisionada em tempo real.
O congurador determina a topologia da rede supervisionada utilizando informac~oes sobre o status atual das chaves e disjuntores que conectam os varios componentes da rede eletrica. O estimador de estado fornece um estado atual conavel da area super-visionada. Ele utiliza a topologia da rede fornecida pelo congurador, o conhecimento sobre par^ametros da rede e as telemedidas de grandezas analogicas. O estimador de estado usa um conjunto de medidas redundantes para estimar o estado de uma area de interesse. Este conjunto de medidas e obtido em tempo real e comp~oe-se de medi-das analogicas de magnitudes de tens~ao, injec~oes de pot^encia reativa e ativa, uxos de pot^encia ativa e reativa. Caso ocorra uma alterac~ao topologica do sistema e/ou falhas no sistema de telecomunicac~ao da rede, o conjunto de medidas fornecidas em tempo real pode n~ao ser suciente para que o estado da area de interesse seja estimado com conabilidade.
Utilizando-se os dados obtidos pelo congurador e pelo estimador de estado, pode-se ent~ao obter um modelo conavel da rede eletrica supervisionada ( neste trabalho, area interna) utilizando-se de um conjunto de equac~oes e inequac~oes algebricas n~ao lineares (modelagem estatica para analise de regime permanente). Estas equac~oes e inequac~oes, representam os componentes basicos de um sistema de energia eletrica (geradores, car-gas, reatores, capacitores, transformadores, linhas de transmiss~ao, etc.), bem como
2.2. Modelos Tradicionais de Representac~ao de Areas Externas 9 seus limites operacionais (limites na capacidade de gerac~ao, limites nas magnitudes de tens~ao, limites nos valores dos taps dos transformadores, etc.) (Monticelli, 1983). Embora, estas mesmas equac~oes e inequac~oes possam ser usadas para modelar expli-citamente a rede externa, a falta e/ou as incertezas das informac~oes n~ao permitem a determinac~ao de um estado externo conavel.
A modelagem explcita da area n~ao supervisionada ou n~ao observavel (neste tra-balho, area externa) e feita atraves de uma representac~ao aproximada de seu estado atual. Em tempo real, como n~ao se disp~oe de dados sucientes e conaveis sobre todo o sistema interligado, utiliza-se de dados obtidos em previs~ao de carga e despacho de gerac~ao, na composic~ao do modelo da area externa (Geisler e Bose, 1983). Atraves de previs~oes de demanda, no sistema como um todo, e utilizando-se fatores de distribuic~ao de carga previamente calculados (baseados em curvas de consumo medio horario), tanto gerac~oes de pot^encia ativa como cargas podem ser denidas na representac~ao da area externa. Pers de tens~ao em barras controladas podem ser determinados a partir de curvas que descrevem tens~ao em func~ao de carregamento, taps de transformadores po-dem ser setados em valores basicos. As informac~oes sobre a topologia da rede externa e seus par^ametros, podem ser constantemente e mais facilmente atualizadas, pois a con-gurac~ao da rede varia muito lentamente em comparac~ao com as alterac~oes da carga e do estado. A topologia de areas externas pode ser atualizada a partir de informac~oes obtidas via telefone e/ou links de dados.
Em sntese, modelos equivalentes s~ao obtidos a partir de informac~oes sobre topo-logia, programac~ao e previs~oes de gerac~ao e de carga, e comunicac~ao manual ou via dispositivos digitais de dados e s~ao validados atraves de simulac~oes. Cabe salientar que a obtenc~ao destes modelos depende de outros (de previs~ao de carga, despacho de gerac~ao, etc.) que podem n~ao representar adequadamente o problema que se prop~oe resolver.
2.2 Modelos Tradicionais de Representac~ao de
Areas Externas
A grande maioria de equivalentes externos foi desenvolvida para analise de seguranca estatica. Estes s~ao aqui denominados modelos equivalentes classicos ou tradicionais, e entre eles destacam-se: os modelos reduzidos, (Monticelli et al., 1979), (Dopazo et al., 1979), (van Amerongen e van Meeteren, 1982), (Lo et al., 1997) e (Fu e Chung, 2000), obtidos a partir de processos de reduc~ao dos circuitos eletricos externos e os modelos n~ao reduzidos, baseados em uxo de carga e estimac~ao de estado (Geisler e Bose, 1983) e (Kato et al., 1994) entre outros, (Price et al., 1975), (Dopazo et al., 1977), (Savulescu, 1981) e (Monticelli e Wu, 1985). Os modelos equivalentes tradicionais oferecem resultados satisfatorios para estudos de analise de seguranca (Deckmann et al., 1980a),(Deckmann et al., 1980b), (Housos e Irisarri, 1981), (Bose, 1984), e (Bose, 1986) mas quando associados a estudos de otimizac~ao apresentam erros inaceitaveis (Hao e
10 Captulo 2. Representac~ao de Areas Externas em Modelos de FPO Papalexopoulos, 1995) e (Nepomuceno e Santos Jr., 1997).
Os modelos de representac~ao de areas externas propostos na literatura, podem ser classicados, basicamente, em modelos reduzidos e n~ao reduzidos. Os modelos reduzidos s~ao adequados a aplicac~oes em que se faz necessario diminuir a dimens~ao do problema obtendo-se assim vantagens no esforco computacional envolvido. Tais aplicac~oes, s~ao usadas em estudos de planejamento envolvendo redes eletricas muito grandes, que s~ao reduzidas para viabilizar a execuc~ao de estudos que demandam muito tempo computa-cional. Entre os modelos tradicionais reduzidos, destaca-se na literatura e nas empresas, o modelo n~ao linear Ward estendido (Monticelli et al., 1979), baseado na eliminac~ao de Gauss das equac~oes associadas a rede externa, gerando um conjunto de equac~oes equi-valentes representando elementos de circuitos (ramos equiequi-valentes, admit^ancias e barras PV ctcias). Este modelo introduz um dispositivo de ajuste das injec~oes de pot^encia reativa das barras de fronteira usando ligac~oes e barras PV ctcias para representar as reac~oes das barras PV externas eliminadas durante o processo de reduc~ao. O modelo reduzido Ward estendido considera as reac~oes externas de forma desacoplada em re-lac~ao a parte ativa e a parte reativa de resposta do sistema externo. Neste modelo s~ao calculadas injec~oes de pot^encia equivalentes que s~ao conectados as barras de fronteira num procedimento denominado de casamento na fronteira. Estas injec~oes de pot^encia equivalentes garantem o acoplamento da rede externa a rede interna, impedindo que os estados da rede interna e fronteira (obtidos pelo estimador de estado) sejam afetados pela substituic~ao da rede externa pelo modelo equivalente reduzido.
Entre os modelos tradicionais n~ao reduzidos destacam-se: os modelos baseados em uxo de carga e os modelos baseados em estimac~ao de estado. Nos modelos tradicio-nais n~ao reduzidos, a rede externa e representada explicitamente atraves de equac~oes algebricas aproximadas. Os dados externos usados na modelagem da rede aproxima-da pelo modelo de uxo de carga podem ser denidos com o auxlio de modelos de previs~ao de carga para determinar o carregamento, modelos de despacho econ^omico para determinar as gerac~oes a partir da carga prevista, e tambem informac~oes sobre o sistema externo podem ser obtidas on line. Embora n~ao seja conhecido o estado da rede externa, a congurac~ao externa pode ser facilmente atualizada, pois ela se altera mais lentamente que as cargas e o estado, ou seja, as alterac~oes em topologia podem ser obtidas por algum outro meio de comunicac~ao (Kato et al., 1992). As desvantagens do modelo baseado em uxo de carga s~ao: erros anormalmente grandes nos mismatches de pot^encia resultante da comparac~ao das injec~oes da fronteira calculadas pelo processo de casamento na fronteira e as injec~oes calculadas pelos modelos de previs~ao de carga e de despacho econ^omico, e exige grande esforco computacional de manutenc~ao e atualizac~ao dos dados da rede externa (Bose, 1984). Nestes modelos, a topologia e o fator principal de erros, no entanto podem ser tolerados desde que os componentes correspondentes estejam eletricamente afastados da fronteira.
Em aplicac~oes em tempo real ou em que exista erro de informac~ao sobre a topo-logia da rede externa, faz-se necessario a utilizac~ao de um processo de obtenc~ao de injec~oes de pot^encias equivalentes, que s~ao atribudas as barras de fronteira para
impe-2.3. Modelos de Representac~ao de Areas Externas para Estudos de Otimizac~ao 11 dir que os erros de modelagem da rede externa se propaguem para a rede interna. Este procedimento e muito importante na composic~ao dos modelos equivalentes externos tradicionais e tem o objetivo de fazer um ajuste do modelo equivalente a um estado atual da rede interna (dado por um estimador de estado). Este ajuste de modelo, deno-minado casamento na fronteira, e feito calculando-se injec~oes equivalentes de pot^encia nas barras de fronteira (Deckmann et al., 1980b). Para obter as injec~oes equivalentes de pot^encias ativa e reativa, resolve-se um problema de uxo de carga para a rede ex-terna (a rede exex-terna pode ser representada por um modelo equivalente reduzido ou n~ao-reduzido), considerando-se as barras de fronteira como barras de folga (slack) para as quais especicam-se as magnitudes e ^angulos de tens~oes nos valores do caso basico (valores obtidos pelo estimador de estado). Desta forma, as injec~oes equivalentes de pot^encia obtidas pela soluc~ao do uxo de carga s~ao inseridas na rede formada pelas redes interna e externa (equivalente), compondo assim um modelo equivalente externo.
2.3 Modelos de Representac~ao de Areas Externas
para Estudos de Otimizac~ao
A refer^encia (Tinney et al., 1988) apontou algumas provaveis deci^encias do uxo de pot^encia Otimo na utilizac~ao de modelos equivalentes tradicionais. As deci^encias apre-sentadas em decorr^encia do uso de modelos equivalentes tradicionais em problemas de uxo de pot^encia otimo discutidas em (Tinney et al., 1988), foram tambem conrmadas em (Hao e Papalexopoulos, 1995) e (Nepomuceno e Santos Jr., 1996). Neste ultimo, mostrou-se atraves de resultados obtidos em estudos com o sistema Sul-Sudeste Bra-sileiro de 810 barras, que os modelos equivalentes tradicionais, quando associados ao problema de uxo de pot^encia otimo reativo, representam areas externas de maneira insatisfatoria.
A tarefa dos modelos equivalentes em estudos de otimizac~ao e muito mais complexa do que em analises estaticas de seguranca. Em analise de conting^encias, por exemplo, as alterac~oes no sistema estudado s~ao pontuais, tais como sada de uma linha, de um gerador ou de um transformador. A func~ao do modelo equivalente e a de simplesmente representar as reac~oes externas associadas a tais alterac~oes (estas, previamente conhe-cidas) na determinac~ao de um novo estado da rede interna que atenda as gerac~oes e cargas.
Nos estudos de otimizac~ao as alterac~oes em controles determinadas pelo processo de otimizac~ao n~ao s~ao previamente conhecidas, e ocorrem distribudas por todo o sis-tema estudado. Durante o processo iterativo de tais estudos, varias atualizac~oes s~ao realizadas em variaveis de controle e o modelo equivalente deve ser capaz de responder a estas alterac~oes. O calculo de controles do sistema interno com modelo equivalente deve fornecer um ponto de operac~ao otimo muito proximo da soluc~ao produzida numa situac~ao em que se disp~oe de informac~ao do sistema completo. Neste caso, o modelo de otimizac~ao para calcular alterac~oes de controles no sistema interno deve ser um modelo
12 Captulo 2. Representac~ao de Areas Externas em Modelos de FPO de otimizac~ao equivalente, capaz de modelar as reac~oes a alterac~oes em controles na determinac~ao de um ponto de operac~ao que atenda um criterio de otimizac~ao.
Foram propostos na literatura modelos de equivalentes externos especcos para es-tudos de otimizac~ao em (Hao e Papalexopoulos, 1995) e (Nepomuceno e Santos Jr., 1997). Em (Hao e Papalexopoulos, 1995) prop~oe-se um modelo reduzido de equivalente externo para estudos de otimizac~ao de sistemas eletricos baseado em relac~oes de sen-sibilidade de segunda ordem interpretadas como elementos de circuito. A metodologia usada na obtenc~ao deste modelo envolve reduc~ao da matriz Hessiana (matriz usada na soluc~ao de problemas de uxo de pot^encia otimo pelo metodo de Newton) e soluc~ao de problemas pelo metodo de mnimos quadrados para obter par^ametros de circuitos (admit^ancias) usados para modelar o acoplamento eletrico entre barras de fronteira e sistema externo, e tambem para modelar as conex~oes entre a rede interna e barras de gerac~ao ctcias.
E proposto em (Hao e Papalexopoulos, 1995) um casamento na fronteira diferente do apresentado em (Deckmann et al., 1980b), para fazer o ajuste do modelo equivalente reduzido obtido pela reduc~ao da matriz Hessiana. Neste caso, as condic~oes de otima-lidade exigidas pela metodologia de soluc~ao do uxo de pot^encia otimo nas barras de fronteira s~ao respeitadas. Essas condic~oes s~ao modeladas num novo problema de otimi-zac~ao (pelo metodo de mnimos quadrados), no qual s~ao determinadas as injec~oes de correntes constantes que devem ser inseridas nas barras de fronteira. Deste modo, o ajuste do modelo equivalente e feito de forma que a soluc~ao basica do uxo de pot^encia otimo seja igual a soluc~ao basica da rede completa. Resolve-se tambem um problema de mnimos quadrados para determinar os par^ametros de circuito de elementos shunt que s~ao inseridos nas barras de fronteira para melhorar a representac~ao da resposta reativa da rede equivalenciada.
A composic~ao do modelo equivalente proposto em (Hao e Papalexopoulos, 1995) e inviavel na pratica, pois o processo de atualizac~ao do modelo fundamenta-se em uma soluc~ao basica de uxo de pot^encia otimo obtida com o sistema completo. Assim, a validac~ao deste modelo depende de informac~oes corretas acerca de todos os sistemas interligados, condic~ao necessaria para obter-se uma soluc~ao basica de uxo de pot^encia otimo para o sistema completo e muito difcil de ser satisfeita. Nos estudos de otimi-zac~ao apresentados na refer^encia (Hao e Papalexopoulos, 1995), o metodo equivalente reduzido proposto obteve melhor desempenho que o metodo Ward estendido proposto em (Monticelli et al., 1979). Nestes estudos de otimizac~ao, o metodo proposto foi tes-tado na soluc~ao do problema ativo (minimizar custo de gerac~ao), no qual as variaveis de controle do sistema s~ao os despachos de pot^encia ativa das unidades geradoras.
Na refer^encia (Nepomuceno e Santos Jr., 1997), um novo modelo de equivalente externo para otimizac~ao foi proposto. A abordagem adotada foi incorporar o modelo equivalente externo como parte do problema de otimizac~ao. Prop~oe-se assim, n~ao ape-nas um modelo de representac~ao das reac~oes das areas exterape-nas, mas um novo problema de otimizac~ao denominado Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente (FPOE), no qual a rede externa n~ao reduzida e representada em detalhe.
2.4. Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente (FPOE) 13
2.4 Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente (FPOE)
Fluxo de pot^encia otimo (FPO) e uma denominac~ao dada a uma classe muita ampla de modelos de otimizac~ao nos quais, restric~oes e func~ao objetivo est~ao relacionadas com as condic~oes operacionais de um sistema eletrico de pot^encia. Portanto, os controles determinados por um FPO, alem de satisfazerem o objetivo do criterio de operac~ao, devem determinar um estado de operac~ao em que a demanda de pot^encia do sistema seja atendida e que nenhum limite fsico ou operacional do sistema seja violado.
O FPO e uma ferramenta computacional usada em centros de controle de sistemas de energia eletrica e envolve transmiss~ao, gerac~ao e consumo de energia eletrica sua aplicac~ao e bastante vasta e compreende desde problemas de planejamento de expans~ao e de operac~ao do sistema eletrico ate problemas de operac~ao em tempo real. Como os estudos de otimizac~ao envolvem um numero bastante razoavel de problemas, es-ses problemas, de acordo com suas formulac~oes podem ser divididos, basicamente, em problemas ativos e problemas reativos. Nos problemas ativos s~ao calculados controles associados ao uxo de pot^encia ativa que atendem algum criterio como, por exemplo, o problema de minimizac~ao de custo de gerac~ao. Nos problemas reativos s~ao calcula-dos os controles reativos que atendem criterios associacalcula-dos a pot^encia reativa como, por exemplo, o problema de minimizac~ao de perdas. Em (Nepomuceno e Santos Jr., 1997), foi enfocado o problema de otimizac~ao reativa, e em (Hao e Papalexopoulos, 1995) o problema de otimizac~ao ativa. No FPOEG proposto nesta tese, que e uma generali-zac~ao do FPOE, dois tipos de problemas foram abordados, um problema reativo e um problema ativo/reativo.
Os problemas de FPO tambem podem ser divididos em subclasses de acordo com ca-ractersticas particulares da formulac~ao de cada problema (Momoh et al., 1999). Assim, problemas com restric~oes e func~ao objetivo formuladas matematicamente por func~oes lineares s~ao tratados por programac~ao linear, e problemas que envolvem restric~oes ou func~ao objetivo n~ao lineares s~ao tratadas com tecnicas de programac~ao n~ao linear. Os problemas de FPO, abordados neste trabalho, est~ao inseridos na classe de pro-gramac~ao n~ao linear. Nesta categoria, as formulac~oes classicas foram propostas por (Carpentier, 1962) e por (Dommel e Tinney, 1968). Entre as inumeras tecnicas pro-postas para a soluc~ao de problemas desta classe, destaca-se a apresentada em (Sun et al., 1984), na qual o metodo de Newton foi usado pela primeira vez numa metodolo-gia de soluc~ao de FPO.
2.4.1 Formulac~ao de Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente
(FPOE)
A formulac~ao do Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente (FPOE) apresentada em (Nepomuceno e Santos Jr., 1997), foi obtida a partir de um problema generico de FPO. Um problema de FPO pode ser descrito, genericamente, da seguinte maneira:
14 Captulo 2. Representac~ao de Areas Externas em Modelos de FPO Min C(x) s:a:: g(x) = 0 h(x)0 xmin xxmax (2.1) onde:
C(x) - func~ao objetivo a ser otimizada
g(x) = 0 - equac~oes de uxo de carga
h(x)0 - restric~oes funcionais de desigualdade
x - variaveis de otimizac~ao, controladas e dependentes
xmin - limite mnimo operacional das variaveis controladas
xmax - limite maximo operacional das variaveis controladas.
O problema de FPO (no qual o problema de otimizac~ao e formulado para o sis-tema completo) tambem pode ser denido, particionando-se: conjuntos de variaveis associados as areas que comp~oem o sistema, func~oes objetivo e restric~oes funcionais de igualdade e desigualdade. Desta forma, o conjunto x de variaveis do problema e matematicamente particionado da seguinte maneira:
x= xixfxe]T (2.2)
onde: xi,xf exeest~ao associadas as areas interna, fronteira e externa, respectivamente.
O particionamento apresentado em (2.2) e considerado na formulac~ao do FPO apre-sentada em (2.1), e este passa ser representado da seguinte maneira:
2.4. Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente (FPOE) 15 FPO 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : Min Ci(xixf) +Cf(xixfxe) +Ce(xfxe) s:a:: gi(xixf) = 0 hi(xixf)0 ximin xi ximax gf(xixfxe) = 0 hf(xixfxe)0 xfmin xf xfmax ge(xfxe) = 0 he(xfxe)0 xemin xexemax (2.3)
onde osndicesi,eef est~ao associados a barras das areas interna, externa e de fronteira, respectivamente.
A formulac~ao acima pode representar um problema de otimizac~ao generico no qual em todo o sistema (areas interna, fronteira e externa), os controles do processo de oti-mizac~ao e as restric~oes funcionais s~ao respeitados, as equac~oes de uxo de carga s~ao atendidas e a func~ao objetivo e considerada. Para tanto, sup~oe-se ent~ao uma situac~ao em que o sistema supervisorio opera as areas interna e externa, sendo capaz de utilizar controles globais (de todo o sistema) para atender as restric~oes, as demandas e os ob-jetivos do estudo de otimizac~ao. Os par^ametros globais do sistema interligado tambem s~ao conhecidos, e e evidente que esta situac~ao n~ao necessita de modelos equivalentes, este e um caso idealizado que inclusive oferece uma soluc~ao de refer^encia.
A formulac~ao do problema de otimizac~ao equivalente e necessaria em situac~oes praticas, em que o centro de controle do sistema em estudo disp~oe de dados apro-ximados sobre os sistemas externos interligados. Para tais situac~oes, e proposta em (Nepomuceno e Santos Jr., 1997) a formulac~ao de um modelo equivalente que consiste de um problema de otimizac~ao formulado para o sistema completo (todo o sistema inter-ligado) particionado em areas interna, fronteira e externa. Desta forma, constituindo-se um problema de FPOE no qual tanto as variaveis de decis~ao quanto as express~oes da func~ao objetivo e das restric~oes s~ao interpretadas como equivalentes, como representado na formulac~ao a seguir:
16 Captulo 2. Representac~ao de Areas Externas em Modelos de FPO FPOE 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > :
Min Ci(xeqi xeqf ) +Cf(xieqxeqf xeqe) +Ce(xeqf xeqe)
s:a:: geq i (xeqi xeqf ) = 0 heq i (xeqi xeqf )0 ximin x eq i ximax geq f (xeqi xeqf xeqe) = 0 heq f (xeqi xeqf xeqe)0 xfminx eq f xfmax geq e (xeqf xeqe) = 0 heqe(xeq f xeqe)0
xemin xeqe xemax
(2.4)
Para resolver o problema formulado em (2.3), com a suposic~ao de que os dados ex-ternos obtidos pelo centro de controle s~ao incorretos, usa-se um modelo de otimizac~ao equivalente no qual os ndices (eq) explicitam as equac~oes, inequac~oes e variaveis
afe-tadas pelas incertezas consideradas na soluc~ao. E importante notar, que os modelos equivalentes tradicionais baseados em uxo de carga (Kato et al., 1994), tambem est~ao contidos na formulac~ao apresentada em (2.4). Os modelos equivalentes tradicionais ba-seados em uxo de carga (modelo n~ao reduzido) constituem-se em equac~oes associadas as gerac~oes e ao atendimento da carga nas areas de fronteira e externa, dadas por:
geq
f (xeqi xeqf xeqe) = 0
geq
e (xeqf xeqe) = 0 (2.5)
Na formulac~ao apresentada em (2.4), as equac~oes do uxo de carga da area de fronteira s~ao ajustadas com as injec~oes equivalentes tais injec~oes s~ao obtidas por um procedimento conhecido como casamento na fronteira. Este procedimento e muito im-portante na composic~ao dos modelos equivalentes externos tradicionais e tem o objetivo de fazer um ajuste do modelo equivalente a um estado atual da rede interna (dado por um estimador de estado).
O procedimento de casamento na fronteira faz parte do processo de soluc~ao do FPOE proposta em (Nepomuceno e Santos Jr., 1997). Sendo assim, o modelo FPOE e atualizado on line com base nas informac~oes obtidas do estimador de estado da area interna da seguinte forma: s~ao calculadas as injec~oes equivalentes a serem inseridas na fronteira com o estado interno estimado xado (processo classico de casamento na fronteira apresentado no Ap^endice A). A inserc~ao destas injec~oes e feita atualizando-se as equac~oes de uxo de carga na fronteira que passam a ser representadas por:
2.4. Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente (FPOE) 17
geq
f (xeqi xeqf xeqe) = 0 (2.6)
Os dados da rede externa, necessarios a formulac~ao do modelo equivalente externo do FPOE, s~ao estimados. Pode-se contar com informac~oes obtidas pelos centros de controle dos sistemas externos interligados (via comunicac~ao de dados em tempo real) e com dados obtidos em estudos de previs~ao de carga. O modelo equivalente externo e composto pela topologia disponvel do sistema externo, por dados aproximados de: cargas ativa e reativa nas barras de carga, de gerac~ao de pot^encia ativa nas unidades geradoras, de tens~oes de barras controladas, de valores de taps xos de transformadores, e de limites em variaveis e em restric~oes funcionais. Esses componentes s~ao todos considerados na formulac~ao do FPOE dado em (2.4).
O uso do modelo de FPOE apresentado em (2.4) e viavel em situac~oes em que a area interna e totalmente supervisionada. Tanto a area interna como a area de fronteira t^em seus estados de operac~ao estimados pelo estimador de estado. As barras de fronteira, embora n~ao pertencentes a jurisdic~ao do sistema interno, como s~ao barras terminais de linhas de transmiss~ao que interligam os sistemas interno e externo s~ao observaveis, pois os uxos nas interligac~oes s~ao medidas disponveis ao centro de controle do sistema interno. As areas externas s~ao representadas de maneira explcita, da mesma forma que s~ao representadas as areas internas. No entanto, as informac~oes sobre a area externa, em tempo real, n~ao s~ao disponveis ao centro de controle da area interna. Assim, usam-se aproximac~oes para compor a parte do modelo que representa o sistema externo.
Os centros de controle lidam com diferentes situac~oes complexas determinadas por interesses econ^omicos, operacionais e pela disponibilidade de informac~oes sobre o siste-ma externo interligado. E importante que o modelo equivalente seja capaz de represen-tar a rede externa em diferentes cenarios denidos pelas situac~oes praticas. O modelo equivalente deve tambem ser adaptavel a exig^encias impostas por diferentes estudos de otimizac~ao. Ou seja, e desejavel que o modelo equivalente tenha capacidade de repre-sentar o comportamento da rede externa diante de diferentes problemas de otimizac~ao e que seja de facil atualizac~ao. O modelo de otimizac~ao equivalente (FPOE) apresenta-se como uma alternativa capaz de atender estas caractersticas desejaveis de um modelo de representac~ao de areas externas.
A formulac~ao apresentada em (2.4) pode ser modicada, para representar uma si-tuac~ao pratica em que um centro de controle esteja interessado em atender algum criterio de operac~ao do sistema supervionado (sistema interno), considerando a re-presentac~ao dos controles e das restric~oes de todo o sistema interligado. Neste caso, sup~oe-se que o centro de controle n~ao disp~oe de dados acerca do estado da area externa, mas as cargas, gerac~oes e limites ser~ao representados atraves de aproximac~oes. Sendo assim, o problema de FPOE a ser resolvido e formulado como:
18 Captulo 2. Representac~ao de Areas Externas em Modelos de FPO Min Ci(xeqi xeqf ) s:a:: geq i (xeqi xeqf ) = 0 heq i (xeqi xeqf )0 ximin x eq i ximax geq f (xeqi xeqf xeqe) = 0 heq f (xeqi xeqf xeqe)0 xfmin x eq f xfmax geq e (xeqf xeqe) = 0 heqe(xeq f xeqe)0
xemin xeqexemax
(2.7)
Tambem pode-se modicar a formulac~ao apresentada em (2.4) para modelar um problema similar ao descrito anteriormente, com a diferenca que os controles e restric~oes do sistema externo n~ao s~ao respeitados, com excec~ao do atendimento da demanda e da gerac~ao. E a formulac~ao deste problema e dada por:
Min Ci(xeqi xeqf ) s:a:: geq i (xeqi xeqf ) = 0 heq i (xeqi xeqf )0 ximin x eq i ximax geq f (xeqi xeqf xeqe) = 0 geq e (xeqf xeqe) = 0 (2.8)
na qual os controles relativos a area externa s~ao xados em valores preestabelecidos (valores basicos).
Varios outros problemas de otimizac~ao, representando diferentes cenarios, podem ser modelados a partir da formulac~ao generica do FPOE dada em (2.4). As variac~oes de modelos s~ao caracterizadas pelas considerac~oes feitas em relac~ao a func~ao objetivo, equac~oes de uxo de carga, restric~oes funcionais e controles tr^es destas variac~oes s~ao estudadas no Captulo 4. Diferentes problemas podem ser formulados, associados ao que se denomina padr~ao de otimizac~ao. Desta forma, o padr~ao de otimizac~ao determina ao modelo de otimizac~ao, as considerac~oes em relac~ao a func~ao objetivo, equac~oes de uxo de carga, restric~oes funcionais e controles .
2.4. Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente (FPOE) 19 O FPOE (Nepomuceno e Santos Jr., 1997) foi denido juntamente com uma me-todologia de otimizac~ao matematica para a sua soluc~ao e criterios para lidar com a disponibilidade parcial de informac~oes sobre o estado do sistema externo. Um processo de otimizac~ao equivalente compreende a metodologia matematica utilizada na soluc~ao do problema FPOE, os criterios adotados para lidar com as informac~oes disponveis e a propria formulac~ao matematica do problema (especializac~oes possveis de (2.4)).
2.4.2 Metodologia de Soluc~ao
Por ser denido atraves de um modelo de otimizac~ao, o FPOE disp~oe de exibilidade inerente as possibilidades dos metodos de soluc~ao para problemas de otimizac~ao ma-tematica. Em (Nepomuceno e Santos Jr., 1997) o problema de FPOE e resolvido via metodo de Newton, utilizando-se a tecnica de penalidades para tratar restric~oes de ca-nalizac~ao nas variaveis e tecnicas de parametrizac~ao para tratar as restric~oes funcionais de desigualdade. O problema de mnimas perdas foi escolhido pelo fato de que a mo-delagem de respostas reativas e mais difcil de ser elaborada em estudos que envolvem as equac~oes do uxo de carga. Desta forma, enfocou-se a natureza da resposta reativa em modelos de otimizac~ao equivalentes.
Num problema de otimizac~ao reativo as gerac~oes de pot^encia ativa s~ao consideradas constantes, exceto na barra de refer^encia. Os limites em magnitudes de tens~ao, taps de transformadores e pot^encia reativa gerada s~ao considerados atraves de restric~oes de desigualdade. Assim s~ao calculados controles reativos que atendem um criterio de otimizac~ao associado a pot^encia reativa. Para o problema reativo do FPOE proposto em (Nepomuceno e Santos Jr., 1997), a func~ao objetivo perdas ativas e representada como: C(V t) = Xnr km=1 gkm V2 k +V2 m;2VkVmcos(k;m)] (2.9) onde:
nr - numero de ramos da rede eletrica.
V - vetor de magnitudes de tens~oes nodais.
- vetor de ^angulos de fase de tens~oes nodais.
t - vetor de taps de transformadores.
gkm - condut^ancia do ramok;m.
VkVm - magnitudes de tens~oes de barras terminais do ramok;m.
20 Captulo 2. Representac~ao de Areas Externas em Modelos de FPO As restric~oes lineares de desigualdade, tais como limites em taps de transformadores e em magnitudes de tens~oes, foram tratadas por penalidades quadraticas que s~ao incor-poradas a func~ao objetivo, modicando-se o problema original (formulado em (2.1)), como e mostrado a seguir:
Min C(x) +Cv+Ct
s:a::
g(x) = 0
h(x)0
(2.10) Neste problema os termosCv e Ct s~ao denidos como:
Cv = nb X i=1 1 2Pv(Vi;Vri) 2 (2.11) Ct= nt X i=1 1 2Pt(ti;tri) 2 (2.12) onde:
nb - numero de barras dos sistema
nt - numero de transformadores com controle de taps
Vr - valor limite de magnitude de tens~ao (mnimo ou maximo)
tr - valor limite de taps de transformadores (mnimo ou maximo)
Pv - penalidade associada as restric~oes em magnitudes de tens~ao
Pt - penalidade associada as restric~oes em taps de transformadores.
As restric~oes n~ao lineares de desigualdade foram incorporadas ao problema atraves de func~oes homotopia parametrizadas em . A soluc~ao do problema de FPO e obtida atraves da soluc~ao de uma serie de problemas parametrizados, como e mostrado a seguir:
Min C(x) +Cv+Ct
s:a::
g(x) = 0
H(x) = 0
2.4. Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente (FPOE) 21 A func~ao homotopia que representa a restric~ao original de desigualdade e denida como:
H(x) =h(x);(1;)h(x
0) (2.14)
onde:
x0 - um ponto que atende a restric~aog(x) = 0 e n~ao atende a restric~ao h(x) 0
- par^ametro que varia de 0 a 1 forcando o atendimento da restric~ao h(x) 0
(Ponrajah e Galiana, 1989).
A soluc~ao nal do problema e um ponto de mnimo local e atende as condic~oes de otimalidade de primeira ordem de Karush-Kuhn-Tucker (Bazaraa et al., 1993).
2.4.3 Metodologia de Analise de Modelos de Otimizac~ao
Equi-valentes
Em (Nepomuceno e Santos Jr., 1997), analises numericas e teoricas sustentam uma pro-posta de estrutura conceitual para modelos equivalentes de otimizac~ao e uma propro-posta de avaliac~ao desses modelos. Em estudos de analise de seguranca estatica a avaliac~ao do desempenho de um modelo equivalente e feita comparando-se, apos uma conting^encia, o estado obtido em simulac~ao que considera o sistema completo, com o estado obtido em simulac~ao em que a rede externa e representada por um modelo equivalente. A avaliac~ao de desempenho de modelos de otimizac~ao equivalentes requer a adoc~ao de modelos de otimizac~ao de refer^encia para comparac~ao. Desta forma, a eci^encia de um modelo de otimizac~ao equivalente e medida pela sua capacidade de produzir contro-les equivalentes muito proximos de controcontro-les obtidos por um modelo de otimizac~ao de refer^encia.
Uma soluc~ao de refer^encia e obtida num estudo de otimizac~ao no qual sup~oe-se serem conhecidas todas as informac~oes do sistema interligado. E na avaliac~ao de um modelo de otimizac~ao equivalente a comparac~ao e estabelecida entre uma soluc~ao de otimizac~ao equivalente e uma soluc~ao de otimizac~ao de refer^encia obtidas por processos de otimizac~ao associados a um mesmo padr~ao de otimizac~ao. E o processo de otimizac~ao equivalente e de sua respectiva refer^encia, tambem s~ao realizados a partir de uma mesma metodologia de soluc~ao do FPO. No entanto a otimizac~ao equivalente lida com falta de informac~oes sobre o sistema externo, e desta forma ha uma diferenca de formulac~ao entre processos de otimizac~ao equivalente e de refer^encia. Por exemplo, para o problema de otimizac~ao equivalente formulado em (2.4), o respectivo problema de otimizac~ao de refer^encia e dado em (2.3).
A metodologia de analise das soluc~oes de FPOE apresentada em (Nepomuceno e Santos Jr., 1997) prop~oe que um processo de otimizac~ao equivalente e tanto mais preciso
22 Captulo 2. Representac~ao de Areas Externas em Modelos de FPO quanto mais os controles equivalentes ueq se aproximarem dos controles de refer^encia
uref , ou seja, quanto menores forem os desvios #umod, denominados erros de modelo,
dados por:
#umod=ueq;uref (2.15)
Os valores dos desvios #umod expressam a capacidade do modelo equivalente de
representar as reac~oes do sistema externo. u representa as variaveis de decis~ao (v,
t e pg respectivamente magnitude de tens~ao, tap de transformadores e gerac~ao de pot^encia ativa). Portanto, a precis~ao de um modelo de otimizac~ao equivalente pode ser dada sinteticamente por #vmod, #tmod, e #pgmod.
Controles internos obtidos pela otimizac~ao de refer^encia s~ao representados poruref.
A otimizac~ao de refer^encia representa uma situac~ao hipotetica em que disp~oe-se de informac~oes corretas acerca de todo o sistema. Os valores de ueq s~ao obtidos a partir
de um ponto que considera erros aleatorios no estado do sistema externo, ou seja, s~ao obtidos por processos de otimizac~ao equivalentes.
A partir de um ponto operacional basico dado pelo estimador de estado, um processo de otimizac~ao e capaz de obter controles que atendam um determinado criterio de otimizac~ao. Para avaliar as variac~oes nos valores de controles calculados pelo processo de otimizac~ao de refer^encia (uref), em relac~ao aos controles apresentados na soluc~ao
correspondente ao ponto operacional basico (u0), t^em -se:
#uref =uref ;u
0 (2.16)
Desta forma, #uref representa o impacto da implementac~ao do controle uref
cal-culado pelo processo de otimizac~ao de refer^encia. Analogamente, #ueq representa as
variac~oes nos controles de variaveis do problema calculados pelo processo de otimizac~ao equivalente, e pode ser expresso da seguinte forma:
#ueq =ueq;u
0 (2.17)
Os desvios #umod dados em (2.15) tambem podem ser obtidos subtraindo-se a
equac~ao (2.16) da equac~ao(2.17).
A partir da express~ao dada em (2.15), obtem-se a media dos erros do modelo de otimizac~ao equivalente no calculo de controles equivalentes internos atraves de (2.18) a seguir: #umedmod =Xnc i=1 ju eq i ;u ref i j nc (2.18)
2.4. Fluxo de Pot^encia Otimo Equivalente (FPOE) 23 onde uref
i e ueqi representam os valores da i-esima variavel controlada da area interna
no ponto de operac~ao apresentados como soluc~oes nais dos processos de otimizac~ao de refer^encia e equivalente, respectivamente. nc e o numero de controles internos conside-rados.
As alterac~oes medias nos valores de controles obtidas pelos processos de otimizac~ao de refer^encia, em relac~ao ao ponto operacional basico (u0
i), s~ao calculadas a partir da
express~ao dada em (2.16), como mostra-se a seguir: #umedref =Xnc i=1 ju ref i ;u 0 ij nc (2.19)
Analogamente, as alterac~oes medias nos valores de controles calculados pelos pro-cessos de otimizac~ao equivalentes, podem ser expressas da seguinte forma:
#umedeq =Xnc i=1 ju eq i ;u 0 ij nc (2.20)
Os calculos de desvios relacionados com controles internos, apresentados acima, s~ao de suma import^ancia na apreciac~ao da in u^encia de erros de informac~ao no desempenho de qualquer modelo equivalente, e em especial do modelo de otimizac~ao equivalente.
