su) P.8 P 10 P.11 L M Previsto Real E.abs E.rel (%)

1 1355 1530 1635 93 612 2007 2048 41 2,04 2 1357 1529 1633 91 625 1992 2017 25 1,25 3 1340 1510 1639 98 553 2017 20 23 6 0.30 4 1360 1550 1660 99 564 20 53 2102 49 2,39 5 1359 1525 1635 91 629 1990 2018 28 1,41 6 1355 1525 1637 93 609 2 0 00 2053 53 2,65 7 1358 1519 1630 89 64 0 1978 2044 66 3.34 8 1348 1524 1633 94 593 20 03 2038 35 1.75 9 1352 1529 1634 93 604 2002 2052 50 2.50 10 1354 1527 1634 92 612 1998 2015 17 0,85 Médias 93 604 2004 2041 37 1,85 Desvios 3.1 27 ,7 20 ,0 26,1 18,3 0,92 Projeções (p ■ 90% ) minim o 6,9 0,34 máxim o 67,1 3,35

Tabela 8 - Dados estatísticos para previsão de peso para n = 15.

Há vários aspectos relevantes nesta Tabela 8, dos quais serão destacados: os valores médios dos parâmetros L e M, a comparação entre os valores médios e desvios previstos e reais para quinze maçãs e os valores médios e desvios de E.abs e E.rel“, além de suas correspondentes projeções em intervalos de confiança.

Avaliação estatística da função: parâmetros

Os valores médios dos parâmetros L e M podem sor úteis de várias formas. Se os dez sujeitos formarem uma amostra retirada com os devidos cuidados da população controlada, isso pode permitir ao experimentador ter uma idéia do que esperar do outros sujeitos vindos desta população, quando expostos a experimentos semelhantes. Esta informação seguramente irá contribuir para o dolinoamonto geral do experimentos e para a definição do número mínimo de sujeitos necessário para o teste de previsões teóricas, quando for o caso, com o objetivo de oncontrar respostas significativas do ponto de vista estatístico.

Os valores médios de L e M sâo também muito úteis como “chutes" iniciais para a determinação de parâmetros de novos sujeitos. Utilizando-os como ponto de partida, podem- se economizar dezenas de iterações iniciais com valores excessivamente distantes do ponto de mínimo e.q.m.. A escolha de um bom “chute" inicial dos parâmetros pode fazer toda a diferença entre a convergência e a divergência das iterações, já que a escolha de parâmetros muito diferentes daqueles que resultam no mínimo e,q,m, freqüentemente compromete a capacidade da "equação de mínimo" de indicar “bons" parâmetros. Ou seja, a cada iteração, a equação fornece valores de parâmetros mais afastados dos corretos, sendo necessária, por mais de uma vez, a escolha (em certa medida, arbitrária) de novos valores iniciais.

Quanto aos parâmetros L eM , destaca-se ainda a importância do desvio-padrão que, quando é um valor baixo, indica maior homogeneidade da população ou um controle adequado das variáveis experimentais. Altos desvios-padrão acusam provável influência excessiva de variáveis intervenientes, o que compromete as possíveis conclusões que possam ser tiradas dos resultados da pesquisa,

Comparando-se as médias dos pesos previstos e reais com quinze maçãs, percebe-se que a média dos pesos reais é ligeiramente superior. Estatisticamente, pode- se verificar a hipótese de que esta diferença seja apenas resultante da oscilação normal do peso das maçãs, ou seja, o indício de um erro sistemático na média prevista em comparação com a média real. Independentemente da possibilidade de corrigir e minimizar o efeito de tais erros para a qualidade das previsões (conforme procedimento descrito a

seguir juntamente com os comentários sobre os itens E.abs, E.rel e Projeções da Tabela

8), é conveniente descobrir suas fontes experimentais, teóricas (da equação que descreve o fenômeno) ou matemáticas, e tomar as providências para mantê-las sob controle.

Da comparação entre os desvios-padrão previstos e reais dos pesos com quinze maçãs, percebe-se um maior desvio entre as pesagens reais. Embora pequena, tal diferença contraria a expectativa de que as diferenças dos pesos das maçás resultem em maior dispersão nas previsões do que nas pesagons reais. Quanto maior o número de maçãs envolvidas, mais o peso total deve se aproximar do resultado da multiplicação do número de maçãs (n) pelo peso médio real do lote MR (que deve ser um pouco diferente de M, que é só uma estimativa de MR), pois a quantidade de maçás com pesos abaixo da média deve compensar a quantidade detas com pesos acima da média. Enquanto isso, o valor previsto será calculado com base em M, uma estimativa calculada apenas com base na pesagem de ‘ Aporia» p w IKntraçâo, ta w i caluiado» ■ màdla f t n létka « o dtwvto do» fc ml w n nnnhurna oorraçAn Cunludo, par «atalarrie um ano rotativo qu» é urrm propixváo do vak» absoluto da n wdida. »«gundo Shul (1BU1) aerta mato praciao o cálculo da média • do daavfcj do« lagartlmo» do» t fol. qu« icmultanam, raapactivamantii, «m 0.44 ■ 0,71, com profoçA«» (p ■ 00%) d« mínimo tgiiiü ■ 0,40% a máximo igual a 5%

onze maçãs: qualquer pequeno erro no cálculo do parâmetro M produzirá um enro sistemático (maior que a dispersão dos dados empíricos) nos pesos previstos para quinze maçãs.

Assim, osta maior dispersão das pesagens reais do que das previsões denuncia que os dados da Tabela 8 não foram obtidos experimentalmento, mas, sim, foram criados apenas para ilustrar os procodimentos e as análises om quostão. Numa situação oxperimental, uma dispersão muito maior dos pesos previstos em relação aos roais podo indicar a necessidade do mais pesagens para melhorar a previsão ou pode indicar, ontro outros motivos, a oxistônda de falhas na modelagem toórica do fonômono em estudo. Ao contrário, um desvio-padrão maior das pesagens roais pode indicar defidôndas nas pesagens. Avaliação estatística da função: erros e intervalo de confiança

Como tanto as latas quanto as maçãs foram retiradas das mesmas populações, não há grande diforença do usar E.abs ou E.rei como índice da díforença entro os posos previstos e roais. Por outro lado, como exemplo, se para motado dos dez sujeitos as pesagens fossem realizadas com melancias, no lugar de maçãs, não faria sentido comparar E.abs, que possivelmente seria maior para o grupo das rnolancias, embora o E.rol talvez ainda fosse comparável. Da mesma forma, se para um outro grupo de sujeitos as latas fossem muito mais pesadas (feitas de chumbo, por oxemplo), E.rei se mostraria artificialmente menor, enquanto o E.abs deste outro grupo ainda seria útil numa comparação com o E.abs exibido na Tabela 8.

Com base em E.abs ou E.rei, ó possível criar um procedimento para, a partir dos resultados das pesagens de um novo sujeito com oito, dez e onze maçãs, calcular um intervalo do confiança que indique, com um certo nível de confiança estatística, qual será o peso deste novo sujeito com quinze maçãs. Como exemplo, ilustra-se este procedimento para E.abs, mas pode ser igualmente realizado com E.rei.

Supõe-se, inicialmente, que os valores de E.abs respeitem uma distribuição normal, cujos parâmetros E (esperança matemática ou módia populacional) e D (desvio- padrão) são estimados10, respectivamente, pela módia e pelo desvio-padrão da amostra de dez valores de E.abs da Tabela 8. A média aritmética da amostra vale 37, conforme a Tabela 8, e ó obtida somando-se os dez valores de E.abs o dividindo-se o resultado por dez (o númoro do sujeitos); o desvio-padrão da amostra S pode ser calculado pela equação - nesta oquação, áx ó a soma dos dez valoros de E.abs, áx2 ó a soma dos mesmos dez valores multiplicados por oles mesmos (elevados ao quadrado) e j ô o númoro de sujeitos (igual a dez):

SJ = [ Ix J- ( I x ) 2: j ] : ( j - 1 ) S> - [16706 -(3 7 0 )’ : 10] : (1 0 -1 ) S? - [16706 - 136900 ' 101 • 9 S '■ j 16706 - 13690]: 9 S o V3016 : 9 ~ 18,3

lfl Embora m|m *kii|>kt» do utlctilur u lácJt do af*»M»itNr, a nubmatrvn <|« médta » do dfiivtn da pmvkuko |kjt moio de dtatftlxjlvAo normal com média • dmtvlo Igonta ao* d«« nmo»tm è morto* nuita <)tma tfm Mria dMrtn com o imo de uma dtolritttMçAo I. o mia kmxatklAo (iodo «o mfWilk na dnflnlvAo da um kilervnlo dtt conflança innoor qmt o nacMiaArío |*ra obtnr o conlk tanta do MgurançM donjado Como aaarnpk), m o krtarvak) 2011 >2071 g M calculado com oitn mAlodo |>ara contar o (uno rnal d« um u frik) com um (xwfk^tnUt d« coriflanva do 90%. I»k> dovorta «gnUcar quo a|wriai nm 10% doa coaot o peio mal mria rnakir qim 2071, ou iimnk* qu« 2011 porém. uoittoo mékxk) do rJWcuk> do kiliirvnk) do mnltança riAo 6 |im<fco, (»ovHVHlrriofilo mal» do 10% do auHto* mus pmtoa rnala com qukua maçia (ora doatn Morvaki, no wja, a pravmán miará mrada wn mali do 10% dativo/«»

Assim, o desvio-padrão da amostra S é aproximadamente 18,3, conforme indicado na Tabola 8.

Consultando-se a distribuição normal em tabelas estatísticas (vor Tabela 9), calculadoras científicas ou planilhas eletrônicas, verifica-se que 90% da população ostá a monos do 1,65 dosvios-padrão de distância da módia. Assim, podom-so calcular os limites de um intorvalo do confiança com coeficiento do confiança do 90%": Limite inferior = E - 1,65 . D Limite inforior = 37 - 1,65 . 18,3 Limite inferior = 37 - 30,1 Limito inforior = 6,9 C (%) desvios-padrâo 9 9 ,9 3 ,2 9 0 5 9 9 2 ,5 7 5 8 9 0 1,6 4 4 9 75 1 ,1 5 0 3 5 0 0 ,6 7 4 5

Tabela 9 - Distribuição normal: distância à média em desvios-padrão para obtenção de intervalo de confiança para cada indice de confiança C

Estes cálculos explicam como, a partir da média e do desvio-padrão do E.abs, foram obtidos os dois valores, 6,9 e 67,1, indicados como projeção na Tabela 8. Com estes dois valores, ó possível determinar uma faixa de valores que deve conter, em 90% dos casos, as diferenças entre os valores previstos e a pesagem real com quinze maçãs.

Avaliação estatística da função: intervalo de confiança para previsões Em suma, os oxporimontos com os doz sujeitos mostraram que os valoros previstos para P. 15 não são exatamonte iguais aos valores medidos. Como ora do so esperar, há pequenos erros nas previsões, já que os E.abs e os E.rei são diferentes do zoro. Para lidar com estos erros das previsões, em vez de prever P. 15 por moio do um único valor, P. 15 sorá estimado por meio de um intervalo de valores (ou uma faixa de valoros). Com isso, será possível ter-se certeza estatística de que, em grande parte das vezes, o valor roal estará dontro deste intervalo provisto.

Numa distribuição normal, 90% dos valoros estão distantes, no máximo, 1,65 dosvios-padrão de distância da módia. Da mesma forma, os erros om nossas provisõos devem ficar próximos da módia dos o it o sobtida com os dez sujeitos, que ó de 37g; mais

oxatarnonte, 90% dos erros devem ficar distantes, no máximo, 1,65 desvios-padrão deste erro módio de 37g. Como o desvio-padrão dos erros dos dez sujeitos vale 18,3 g, 90% dos erros devem ter valores entre 37 - 1,65 x 18,3 o 37 + 1,65 x 18,3 Desta forma, chega-se ao 11 Oi iIiii forma do calcular o* dol» limllmi Hirl* consktnrnr o urro rnfctto E kju»I n im o * calcular <>• cl«»vto»|>a<lrAo D com m tòumila 0 ■ riii/[A(E ntmy/fj-1)) E*1« r.Ak:ulo prtxlu/ InInrvHioft <1o cixiflança nialomi qim contAm o |x>»o cnk.ulM<in(p 1 fl, no «ixwiplo)

Limite superior = E + 1,65 . D Limite superior = 37 + 1,65 . 18,3 Limite superior = 37 + 30,1 Limito superior = 67,1

intervalo dentro do qual 90% dos erros devem estar, que ó ontre 6,9 e 67,1g. Se os erros ostão (90% das vezes) nesse intervalo, pode-se saber facilmente em que intervalo estão os valores do peso real; bastando somar estes erros ao valor do peso provisto pela equação.

Ou seja, caso sejam realizadas as pesagens P.8, P 10 o P. 11 para um novo sujoito, o a sua provisão do poso para quinze maçãs (prev.P.15) for calculada com baso na oquação com os parâmetros L e M dosto sujoito, será necessário adicionar 6,9 g à provisão (prev.P. 15) para obter o limite inferior do intervalo, e adicionar 67,1 g à mesma provisão (prev.P 15) para obter o limite superior. Assim, haverá 90% de chances de que, durante a medição roal, o poso do sujoito P. 15 fique entre estes dois valores extremos, prev.P. 15 + 6,9 e prev.P. 15 + 67,1 (em linguagem matemática, prev.P.15 + 6,9 < P.15 < prev.P15 + 67,1). Se, por exemplo, o peso previsto P.15 desse novo sujeito fosse calculado em 2012 g, haveria 90% do chances de que, durante a pesagem real, ele pesasse entre 2018,9 o 2079,9 g.

Note-se que, como os dois limites (6,9 e 67,1) são positivos, aparentemente houve um erro sistemático que resultou em previsões subestimadas de P15. Ainda assim, se o coeficiente de confiança fosse um pouco maior que 90%, o valor para cálculo do limito inferior seria nogativo, seu módulo teria do ser subtraído de prev.P.15, o o intervalo de confiança conteria prev.P.15.

Com este mesmo procedimento, podem ser obtidos intervalos mais amplos e confiáveis (com maiores coeficientes de confiança), ou mais restritos e monos confiáveis (com monoros coeficientes), conforme as necessidades ospeclficas do experimentador ou de uma possível aplicação prática de pesquisa.

Em conclusão, podo-so avaliar quantitativamente previsões exprossas por meio de funções matemáticas, bastando para isso verificar, por meio de prova estatística de hipótese para proporção, so as suas provisões, exprossas em intervalos de confiança, são corrotas na proporção provista por seu coeficiente de segurança. Por exemplo, se uma função prevê um comportamento por meio de intervalos com um coofidonte de confiança de 90%, não mais que 10% dos sujeitos testados futuramente devem ficar fora deste intervalo; mais que 10% fora indicariam que há algo de errado com a função, ou com a condução/análise dos experimentos.

Considerações finais

O que uma lata de maçàs tem a ver com análise do comportamento?

Uma lata de maçãs é um sistema físico bastante simples, mas quo pode servir a uma metáfora didática com relação ao comploxo objeto de estudo dos analistas do comportamento (i.e., as relações funcionais organismo-ambionte). Obviamente, portanto, a analogia ô aponas matemática e não comportarnental. Tornados dossa forma, o númoro do maçãs adicionadas á lata podo representar qualquer variávol indopondonto que ostoja sob estudo, o o poso total da lata com maçãs pode ser interpretado como um aspocto monsurável do comportamento, a variável dependente

Apenas para ilustração, cada maçã adicionada poderia representar uma sessão de troino om que comportamentos específicos são reforçados. Nosto caso, a modificação do comportamento resultante seria análoga ao peso total da lata porque, a cada sessão de troino, a freqüência do comportamento om quostão se fortalece de forma semelhante ao aumento do peso total da lata quando se acrescentam maçãs. Raciocínio semelhante poderia sor feito a comportamontos sob punição ou extinção, om que a freqüência de um comportamento seria reduzida; neste caso, por analogia, maçãs estariam sendo retiradas da lata e o peso do conjunto diminuiria. Alguns aspoctos dosta analogia podem ser comentados com o objetivo de contribuir para a compreonsão da análise quantitativa que expomos, bem como, eventualmente, permitir aos analistas do comportamonto realizar as modificações necessárias para quo este método seja útil e adequado às suas nocessidades específicas.

Um primeiro aspecto a destacar é que, tipicamento, as representações gráficas das curvas de modificação de comportamento nào são Hnhas retas, ou seja, ao longo da exposição às contingôncias, ocorre aceleração na freqüência com que o comportamento em estudo ó vorificado, fato este representado graficamento por moio de curvas positiva ou negativamente acoloradas. Além disso, o processo de modificação do comportamento ó sompre acompanhado do uma certa variabilidade local, ainda que, no geral, aprosonto uma tondônda de fortalecimonto, enfraquecimento ou manutenção do comportamonto.

O primoiro destaquo justificaria a escolha de outra função matemática, que não a função linear (do tipo y = a . x + b) empregada no oxomplo da lata de maçãs. Uma função logarítmica podoria, talvez, doscrever melhor a aquisição de um roportório comportamental com o passar das sessões de treino. Shull (1991) apresenta várias equações simples que podom ser emprogadas para descrever aspectos do comportamento. Muito importanto é rossaltar quo o procedimento geral aqui exposto, em princípio, não se modificaria pelo uso de qualquer outra função quo não a linear. O analista do comportamento quo roalizar o procodimonto aqui descrito com o uso de uma planilha elotrônica não dovo ter qualquer dificuldado adicional docoiTente do uso de outra função que não a linear.

O sogundo dostaquo, relacionado à variabilidade do comportamento, ó mais crítico, pois procisará ser analisado em função de suas origens, muitas vezes roveladoras do um fraco controlo exporimontal. Não há como lidar adequadamente com dados que apresentem alto grau de variabilidade não sistemática. So o comportamonto não tom suas variáveis experimentais devidamente controladas, a análise matemática dos dados não pode ajudar muito. Aliás, nestes casos, Skinner (1963) alerta que os pesquisadores devom onfrentar exporimentalmento as dificuldades encontradas para controlar os seus experimentos, e jamais tentar trocar os seus sujeitos por modelos matemáticos destes sujeitos, pois ossa troca solaparia as bases empíricas da análise do comportamento; nâo há milagres matemáticos que possam substituir a experimentação controlada e cuidadosamente conduzida.

Neste capitulo, propomos que a análise matemática soja aplicada a situações experimentais bem controladas, onde esteja mais evidente a relação funcional, do causa o efeito, ontre variáveis independentes e dependentes. Somente nestes casos ó quo faz sontido tentar prever com maior precisão aspectos da relação oryanismo-ambiente que descrevam a contingência determinante do um determinado comportamento. Aliás, em situações experimentais em que ainda nâo seja possível um controlo adequado, ou em que a própria natureza do comportamonto em estudo seja, em si, de difícil controlo por variações intrinsocas, a aplicação do método provavelmente resultará em condusõos irrelevantes.

O oxemplo ilustrado pela Figura 4, em que a pesagom de maçãs seria substituída pola posagom do sapos vivos (e pulando...), revela que a variabilidade nos dados não impodo absolutamonto a aplicação da análise quantitativa. Contudo, não se podo esperar, caso a variabilidade seja demasiada, que se obtenham previsões prodsas. Improdsõos ou variabilidades excessivas nos dados soguramonte devem resultar no erro ou na impredsão das provisões ostatisticas, o a aplicação do método, nestes casos, podo sorvir somente para demonstrar quão pouco se podo controlar o comportamento na situação experimental em estudo.

O s ig n ific a d o d o s p a râ m e tro s da e q u açã o para uma a n á lise comportamental

Noste capítulo, foi apresentada uma metodologia para calcular os parâmetros de funções quo tenham por objetivo descrovor sucintamente o comportamento passado o de prover o comportamento futuro de organismos individuais, sob condições experimentais ospeclficas. Não há, aqui, nenhuma pretensão de que os parâmetros calculados por estes métodos tenham validade geral, possam ser aplicáveis ao mesmo

sujeito sob outras condições experimentais, ou possam ser aplicáveis a outros sujeitos alóm daqueles que originaram as previsões.

No exemplo do caminhão em viagem pela estrada, a velocidade é um parâmetro que pôde ser calculado. Enquanto este parâmetro for mantido, o comportamento do caminhão estará sendo adequadamente descrito por esta velocidade. Também o comportamento futuro do caminhão poderá ser previsto se este parâmetro for mantido. Contudo, não há como prever o comportamento de outros caminhões com base na velocidade deste, nem como prever o comportamento deste mesmo caminhão caso ele sala da estrada e entre numa cidade.

Feitas previsões matematicamente precisas do comportamento de um sujeito com base em seu repertório em um momento inicial de um processo de aprendizagom, por exemplo, seria teoricamente possivel prever qual seria o desemponho atingido por este sujeito após uma determinada quantidade de exposição às contingências. Assumindo-se que funções semelhantes possam ser compartilhadas por diferentes sujeitos expostos às mesmas contingências, extrapolações podem ser feitas, contanto que parâmetros individuais de cada sujeito sejam obtidos e respeitados.

Imagine-se um sujeito exposto a uma série de sessões em que um determinado comportamento encontra-se sob contingências de reforçamento. Sabe-se a freqüência deste comportamento na terceira sessão, mas ó importante estimar a sua freqüência na décima sessão, A partir da análise matemática do processo de reforçamento deste sujeito único, chega-se a uma proposta de função que supostamente descrevo a aquisição deste repertório. Feito isso, comparam-se a previsão feita a partir da função matemática com dados efetivamente coletados na décima sessão. Dessa comparação, repetida para vários outros sujeitos, pode-se verificar, eventualmente, que a previsão ó estatisticamente precisa e limita-se a um erro pequeno e conhecido. A partir desta margem de acerto estatisticamente calculada, haveria condições de se fazer uma estimativa semelhante para qualquer novo sujeito, com base em seu próprio desempenho na terceira sessão.

Calculados os parâmetros para cada sujeito, poderiam ser realizadas inúmeras previsões individuais sobre seus comportamentos. Seria possível prever quantas sessões seriam necessárias para atingir certo critério de aprendizagem, qual o nível máximo de aprendizagem que cada sujeito tenderia a atingir (em assfntota), quantas sessões deveriam ser aplicadas aos animais de piores desempenhos para que o nivel de acerto deles fosse equivalente ao dos animais com melhores desempenhos etc..

Esta discussão é análoga à exposta no exemplo da lata de maçãs. Cada maçã adicionada à lata corresponderia a uma sessão experimental, e o peso da lata rosultante poderia ser considerado análogo ao número do respostas reforçadas em cada sessão. C o m e n tá rio s fin a is so b re a s p e c to s e s ta tís tic o s do m éto d o apresentado

Finalmente, sobre o método apresentado no presente capitulo para avaliação quantitativa de provisões teóricas, deve-se reiterar que ele é bastante genérico. Esta é sua força, mas também é sua fraqueza. Deve ser entendido em seu valor didático,