Tarefa 3: Entendendo sobre frações equivalentes através da música – Tempo

atividade 2).

Trabalhar o conceito de números racionais equivalentes, através da Música foi o objetivo dessa tarefa que novamente fez o uso das conexões entre semiótica-música-racionais 1 e 2, descritas na secção 3 do capítulo 3, e, também, da conexão 3, por se tratar de algo referente à teoria musical ao utilizarmos a quantidade de semitons presentes em cada intervalo.

Primeiramente foi executada novamente com os alunos a canção por nós escolhida: ‘Asa Branca’ (Luiz Gonzaga/Humberto Teixeira).

A música primeiramente foi executada por todos no tom de Fa maior. Após essa primeira execução, transpomos a mesma para outras tonalidades. Foi perguntado aos alunos o que aconteceu, se a música permaneceu a mesma, e se foi mais fácil ou difícil de ‘cantá-la’.

Esperávamos como resposta que os alunos percebessem que a música continuava sendo a mesma tendo mudanças apenas na altura referente as notas musicais. Nesse momento foi explicado sobre ‘frequências’ e notas musicais, de modo simplificado, sendo ressaltado com os alunos a relação de que quando a música aumenta ou diminui de tom, existe proporção entre as razões encontradas no novo tom referente às suas frequências com as razões do tom anterior.

Apresentamos então algumas notas musicais com suas respectivas frequências. (Tabela 7).

Tabela 7: Notas e frequências Nota Frequência (Hz) Do 4 262 Do# 277 Re 294 Re# 311 Mi 330 Fa 349 Fa# 370 Sol 392 Sol# 415 La 440 La# 466 Si 494 Do 5 524 Do# 554 Re 588 Re# 622 Mi 659 Fa 698 Fa# 740 Sol 784

Fonte: Cálculos das frequências das notas musicais efetuados pelo autor

A partir desse momento retomamos os intervalos de oitava, quinta e quarta justas, com as suas respectivas razões, em que foram executados estes mesmos intervalos em diversas tonalidades reforçando o entendimento sobre equivalência. A equivalência através da dimensão 2 foi utilizada pois julgamos ser de fácil observação, como afirma Catto (2000).

Mostramos por meio da representação figural que uma fração equivalente pode ser obtida pela multiplicação ou divisão de seu numerador e denominador por um mesmo número, formalizando dessa forma esse conceito. Atividade 1: Envolvendo intervalos e frequências em três tonalidades

A partir dos valores das frequências descritos na “tabela 7”, organizamos a classe em grupos com 4 ou 5 alunos, e encontramos com eles os valores equivalentes conforme descritos na “tabela 8”:

Tabela 8: Intervalos: razões em três tonalidades Intervalos Do Maior Re maior Re# maior Oitava justa 𝐷𝑜4 𝐷𝑜5 = 262 524 = 1 2 = 0,5 𝑅𝑒4 𝑅𝑒5 = 294 588 = 1 2 = 0,5 𝑅𝐸#4 𝑅𝑒# 5= 311 622 = 1 2 = 0,5 Quinta justa 𝐷𝑜4 𝑠𝑜𝑙4= 262 392= 2 3 = 0,66 𝑅𝑒4 𝐿𝑎4= 294 440= 2 3 = 0,66 𝑅𝑒#4 𝐿𝑎#4= 311 466= 2 3 = 0,66 Quarta justa 𝐷𝑜4 𝐹𝑎4= 262 349= 3 4 = 0,75 𝑅𝑒4 𝑆𝑜𝑙4= 294 392= 3 4 = 0,75 𝑅𝑒#4 𝑆𝑜𝑙#4= 311 415= 3 4= 0,75

Fonte: Atividade elaborada pelo autor

Foi então relacionado analogamente essa atividade com o que ocorre com frações equivalentes, que apesar de terem escritas diferentes, representam o mesmo objeto matemático. No caso da Música em especial, a melodia executada, mantem-se a mesma, pois as razões presentes nos intervalos presentes nessa melodia mantêm as relações entre os intervalos executados tom a tom, mudando-se as frequências das notas obtidas proporcionalmente.

Se encontra presente tanto no raciocínio analógico, em comparações tais como “O Sol está para o dia assim como a Lua está para a noite”, quanto no estudo das frações, nas razões e proporções, no estudo da semelhança de figuras, nas grandezas diretamente proporcionais, no estudo das funções de 1º grau, e assim por diante. Analogamente, a ideia de equivalência, ou de igualdade naquilo que vale, está presente nas classificações, nas sistematizações, na elaboração de

sínteses, mas também quando se estudam as frações, as equações, as áreas ou os volumes de figuras planas ou espaciais, entre muitos outros temas. (SÃO PAULO, 2012, p.37).

Essa construção foi efetuada juntamente com os alunos pelo professor e com o auxílio da calculadora, devido a números grandes presentes nos cálculos, contemplando o uso dessa tecnologia incentivada pelos documentos curriculares, e, também, pela possibilidade de trabalharmos a aproximação, algo inerente aos cálculos apresentados na tabela acima.

Outra ideia bastante valorizada ao longo de todo o currículo é a de aproximação, a de realização de cálculos aproximados. Longe de ser o lugar por excelência da exatidão, da precisão absoluta, a Matemática não sobrevive nos contextos práticos, nos cálculos do dia a dia sem uma compreensão mais nítida da importância das aproximações. (SÃO PAULO, 2012, p.37).

Julgamos que essa atividade tenha trazido diversos benefícios na assimilação plena do conteúdo referente aos números racionais, com base nas teorias de Duval (2012), pois nessa atividade contempla a atividade semiótica do ‘tratamento’, quando simplificamos as frações, e, também a atividade de conversão, que se faz presente, desde a obtenção das frações que são encontradas a partir da língua materna, até a efetuada nos registros fracionários transformados em decimais como 1

2 = 0,5 e 2

3 = 0,66..., por exemplo.

Atividade 2: Relacionando intervalos com outros registros equivalentes

Após esse momento foi proposta a atividade individual apresentada abaixo, dessa vez, utilizando as frações encontradas nos intervalos citados, na qual o aluno será questionado sobre quais frações e/ou representações são equivalentes a estas.

Identifique quais das representações abaixo são equivalentes às frações dadas:

A) 1

2 (intervalo de oitava justa)

a) 2/4 b) 3/6 c) 11/20 d) ¾

e) metade f) 0,5 g) 50/100 h) 50%

B) 3

4 (intervalo de quarta justa)

a) Um meio b) três quartos c) 0,5 d) 6/8 e) 75/100 f)75% g)0,75 h) ½

C) 2

3 (intervalo de quinta justa)

a) Um meio b) dois terços c) 4/6 d)10/15

e) 5/6 f) 20/30 g) 66% h) 100%

Cada grupo, além de responder sobre quais alternativas poderiam representar o mesmo objeto matemático, teve também, que justificar a sua resposta, podendo ser essa justificativa por escrito através da língua materna, por representação figural, ou até pelo conhecimento matemático adquirido nas aulas iniciais, e, em anos anteriores, que eles possuíssem.

Esperávamos que os alunos, até pelo conhecimento já adquirido em situações do dia a dia, na própria atividade anterior sobre intervalos, ou em estudos prévios, nos primeiros anos do Ciclo I, fossem capazes de conseguir responder as questões de modo satisfatório.

Ao apresentarmos alternativas, envolvendo tanto a linguagem materna, quanto sua representação decimal, e, em porcentagem, esperávamos que o aluno fosse se apropriando adequadamente do conceito de número racional, identificando os diversos tipos de representações semióticas que pertencem a esse mesmo objeto matemático.

A linguagem verbal, oral e escrita, representada pela língua materna, viabiliza a compreensão e o encontro dos discursos utilizados em diferentes esferas da vida social. É com a língua materna e por meio dela que as formas sociais arbitrárias de visão de mundo são incorporadas e utilizadas como instrumentos de conhecimento e de comunicação. (SÃO PAULO, 2012, p.14).

Além de estimular a produção de texto algo também incentivado pelo Currículo do Estado de São Paulo.

A leitura e a produção de textos são atividades permanentes na escola, no trabalho, nas relações interpessoais e na vida. Por isso mesmo, o Currículo proposto tem por eixo a competência geral de ler e de produzir textos, ou seja, o conjunto de competências e habilidades específicas de compreensão e de reflexão crítica intrinsecamente associado ao trato com o texto escrito. (SÃO PAULO, 2012, p.15-16).

No que se refere às representações em forma de porcentagem, ou decimal, presentes nas alternativas, foi levado em consideração a interpretação lógico-matemática, não formulando neste momento nenhum método ou ‘receita’ para obtenção dessas representações dos objetos matemáticos citados. O nosso intuito ao apresentar outras representações do objeto matemático, foi devido à sua importância, segundo Duval (2012), para a apropriação plena do conceito, porém, fizemos isso, sem nos prendermos a regras ou aprofundamentos desnecessários, neste momento.

5.2.4. Tarefa 4: A escala musical de Pitágoras: Operações - Atividades de