2.13 Abordagem Fuzzy MCDA
2.13.1 Teoria dos Conjuntos e Lógica Fuzzy
A Teoria dos Conjuntos Fuzzy (nebulosos ou difusos) manipula a incerteza e representa aspectos qualitativos por meios de palavras ou sentenças em uma linguagem natural, como por exemplo, probabilidade de falha alta, consequência baixa, risco médio, dentre outros permitindo a avaliação de conceitos não-quantificáveis.
A Lógica Fuzzy, que tem por base a Teoria de Conjuntos Fuzzy, foi desenvolvida a partir dos conceitos já estabelecidos da lógica clássica aristotélica. Tem como precursor o lógico polonês Jan Lukasiewicz (1878-1956), que, em 1920, apresentou as primeiras noções da lógica dos conceitos "vagos"mediante a introdução de conjuntos com graus de
pertinência sendo 0, 1/2 e 1, expandindo posteriormente este conjunto para um número
infinito de valores compreendidos no intervalo entre 0 e 1.
Sua inserção no meio científico deu-se em 1965 por Lofti Asker Zadeh, professor de Ciências da Computação da Universidade da Califórnia, por meio da publicação do artigo
Fuzzy Sets no Journal of Information and Control [126]. Nele, Zadeh combinava os con-
ceitos da lógica clássica e os conjuntos de Lukasiewicz, formalizando conceitos e definindo de forma mais concreta os graus de pertinência.
Devido ao desenvolvimento e as inúmeras possibilidades práticas de suas aplicações,
a Lógica Fuzzy é considerada hoje uma técnica standard com ampla aceitação em várias
áreas, desde a teoria do controle à inteligência artificial, apresentando bons resultados na modelagem de risco qualitativo [127, 128, 129, 130].
2.13.1.1 Conjuntos Nebulosos
Na teoria clássica (desenvolvida por Aristóteles), os conjuntos são denominados crisp e
um dado elemento do universo em discurso pertence ou não pertence ao referido conjunto. Já na teoria dos conjuntos nebulosos existe um grau de pertinência de cada elemento a um determinado conjunto, conforme ilustra a Figura 2.21.
Figura 2.21: Comparativo entre a Lógica Clássica e a Lógica Fuzzy. Fonte: Adaptado de
Silva Júnior, 2015 [131].
Em outras palavras, a teoria dos conjuntos fuzzy, segundo Simões e Shaw [132], é
baseada no fato de que os conjuntos existentes no mundo real não possuem limites precisos.
De acordo com Belchior [133] um número fuzzy deve capturar a concepção intuitiva de
números ou intervalos aproximados, tal como “valores que estão próximos de certo número real”, ou “valores que estão em torno de um dado intervalo de números reais”, a partir das variáveis linguísticas.
Com os conjuntos nebulosos podemos definir critérios e graus de pertinência para
tais situações. A função característica (crisp sets) pode ser generalizada de modo que
os valores designados aos elementos do conjunto universo U pertençam ao intervalo de números reais de 0 a 1 inclusive, isto é [0,1].
µA: U 7→ [0, 1] (2.13)
Estes valores indicam o Grau de Pertinência dos elementos do conjunto U em relação
ao conjunto A, isto é, quanto é possível para um elemento x de U pertencer ao conjunto
A.
A função definida na Equação 2.13 é chamada deFunção de Pertinência e o conjunto
2.13.1.2 Operações com Conjuntos Nebulosos
Segundo Simões [132], Moré [134], Abar [135] e Boente [136], as operações com conjuntos
fuzzy ou nebulosos podem ser assim apresentadas:
• O conjunto fuzzy A é um subconjunto de um conjunto fuzzy B se o grau de perti-
nência de cada elemento do conjunto universo U no conjunto A é menor ou igual que seu grau de pertinência no conjunto B; ou seja, para todo x · U , µA(x) · µB(x)
e indicamos A ⊆ B;
• Os conjuntos fuzzy A e B são iguais se µA(x) = µB(x) para todo elemento x · U e
indicamos A = B;
• Os conjuntos fuzzy A e B são diferentes se µA(x) · µB(x) para no mínimo um x · U
e indicamos A · B;
• O conjuntofuzzy A é um subconjunto próprio do conjunto fuzzy B quando A é um
subconjunto de B e A · B, isto é, µA(x) · µB(x) para todo x · U e µA(x) · µB(x) para
no mínimo um x · U e indicamos A ⊂ B se e somente • se A ⊆ B e A · B;
• O complemento de um conjuntofuzzy A em relação ao conjunto universo U é indi-
cado por A0 e a função de pertinência é definida como µA(x) = 1 − µA(x) para todo
x · U ;
• A união de dois conjuntosfuzzy A e B é um conjunto fuzzy A ∪ B tal que para todo
x · U µA∪B(x) = max[µA(x), µB(x)];
• A intersecção de dois conjuntosfuzzy A e B é um conjunto fuzzy A ∩ B tal que para
todo x · U µA∩B(x) = min[µA(x), µB(x)].
Para Moré [134] e Boente [136], a teoria dos conjuntos crisp contém três operações
básicas: complemento, interseção e união; sendo baseada nos conceitos de pertinência, ou
não, de um elemento aos conjuntos. Conforme estudo, as operações fuzzy (complemento,
interseção e união) constituem uma estrutura bastante consistente da teoria dos conjuntos nebulosos, para a extensão de conjuntos nítidos onde, a partir dessas operações padrões, são utilizados os operadores min (mínimo) e max (máximo) para a interseção e a união
2.13.1.3 Agregação de Conjuntos Nebulosos
A ideia principal do processo de agregação é obter-se um grau de consenso entre as in- formações disponíveis, calculando-se um valor final. Se estes dados forem extraídos de especialistas, então ter-se-á a taxa de aceitação ou rejeição entre eles, isto é, o grau pelo qual especialistas concordam em suas estimativas, tornando possível a elaboração de clas- sificações das avaliações realizadas [136].
2.13.1.4 Números Fuzzy
O número fuzzy é um caso especial de conjunto fuzzy que define um intervalo fuzzy nos
números reais, R. Para um número real cujo valor preciso não é conhecido com exatidão,
este número é definido através de um intervalo fuzzy.
Moré [134] e Boente [136] afirmam que os númerosfuzzy, são utilizados para quantificar
atributos físicos da realidade que estão associados à imprecisão ou mesmo a conceitos
humanos vagos. Em princípio um número fuzzy Ñ representa um conjunto fuzzy convexo
e normalizado definido no conjunto dos números reais R, tal que sua função de pertinência tem a forma µA: R 7→ [0, 1].
Neste viés, a qualificação de um número fuzzy, um conjunto fuzzy à em R deve ao
menos possuir as seguintes propriedades [133]: • Ã deve ser um conjunto fuzzy normalizado;
• Ãα deve ser um intervalo fechado para todo α ∈ (0, 1), isto é, todo número fuzzy é convexo;
• O suporte de à deve ser limitado.
Um número triangular fuzzy ou número fuzzy triangular, ilustrado na Figura 2.22, é
dado a partir do número central onde se encontra o seu antecedente e seu consequente
Figura 2.22: Representação de um númerofuzzy triangular. Fonte: Boente, 2013 [136].
2.13.1.5 Variáveis Linguísticas
Uma variável linguística é uma variável cujos valores são nomes de conjuntos fuzzy. Sua
principal função é fornecer uma maneira sistemática de aproximação de fenômenos comple- xos ou mal definidos [137]. De acordo com Boente [136] a partir das variáveis linguísticas,
consideradas variáveis qualitativas, com o uso da lógicafuzzy, pode-se transformar valores
não mensuráveis matematicamente em variáveis quantitativas para que se possa realizar cálculos a fim de mensurar certa aplicação.
Em sua argumentação Boente [136] esclarece que por meio da representação matemá- tica de um conjunto ordenado de conceitos da linguagem natural através de conjuntos
fuzzy, a discretização fuzzy A1, A2, ..., An do universo U tal que ∀x ∈ U, ∃Ai, µAi(x) 6= 0
pode gerar a Figura 2.23, que apresenta um exemplo de discretização fuzzy para o caso
de uma variável dividida em cinco conjuntos nebulosos.
Figura 2.23: Discretização fuzzy para uma variável dividida em cinco conjuntos fuzzy.
Fonte: Boente, 2013 [136].
Conclui o autor que a representação da informação em diversos níveis de generalização é permitida por meio de diferentes discretizações do universo. Portanto, quanto maior o número de conjuntos nebulosos, maior será a precisão encontrada.
2.13.1.6 Sistemas Fuzzy
Um sistema fuzzy pode ser descrito como um conjunto de regras de lógica fuzzy, ou como
um conjunto de equações relacionais fuzzy [132].
Segundo Boente [136], um sistema fuzzy típico é composto de entrada, fuzzificação,
base de regras, procedimentos de inferência, defuzzificação e saída. Para um sistema
fuzzy uma entrada tanto pode ser um valor preciso quanto um conjunto fuzzy. Quando a
entrada provém de um observador humano ou de uma base de dados (questionário) é fre-
quentemente considerada como um conjunto fuzzy. Já a entrada derivada de um processo
de medição é normalmente utilizada como um valor numérico com erros intrínsecos [138].
A Figura 2.24 ilustra a arquitetura funcional genérica de um sistema de inferência fuzzy.
Figura 2.24: Arquitetura Funcional Genérica de um Sistema de Inferência Fuzzy. Fonte:
Adaptado de Boente, 2013 [136].
Na fuzzificação, o vetor de pertinências de entrada é calculado a partir do valor numé-
rico de entrada e da discretização fuzzy de entrada. A partir do processo de fuzzificação
um númerofuzzy é gerado, independentemente de sua estrutura, se triangular, gaussiano,
cauchiano, sigmóide, trapezoidal, dentre outros, por exemplo, onde através do qual o ve- tor de pertinências é calculado a partir do valor numérico de entrada e da discretização
fuzzy [139].
A inferência é realizada mapeando-se valores linguísticos de entrada em valores lin- guísticos de saída com o uso da base de regras. Após o processo de fuzzificação deve-se fazer o processo de defuzzificação, que pode ser definido como uma função que associa,
[138]. A defuzzificação não é exatamente o processo inverso da fuzzificação, conforme se pode constatar a partir de sua definição.
No processo de defuzzificação, segundo Simões e Shaw [132], o valor da variável lin-
guística de saída inferida pelas regras fuzzy é traduzido num valor discreto, o qual será
identificado como valor crisp.
O valor crisp, portanto é o resultado do processo de defuzzificação onde, com o qual,
pode-se realizar operações matemáticas reais, obedecendo seu valor limite, considerado o
valor máximo adquirido por uma representação fuzzy, ou seja, altura um [139].