Fenomenologia da elasticidade linear

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2.1 Fenomenologia da elasticidade linear 48

∆x3>0.

F

x

x

x

s

∆ x

∆ x

x

Figura 2.1: Estado de deformac¸˜ao causado por uma tens˜ao normal.

Com base nestas definic¸˜oes podemos escrever:

σ33=Eε33⇒ F₃

s⁰₃ ≈E∆x3

x⁰₃ (2.2a)

ε22=ε11=−νε33⇒ ∆x2

x⁰₂ ≈ −ν^∆x3

x⁰₃ (2.2b)

As aproximac¸˜oes do lado direito das equac¸˜oes s˜ao v´alidas para deformac¸˜oes tendendo a zero, o que ´e o caso em geral na deformac¸˜ao el´astica¹. Tens˜oes e deformac¸˜oes calculadas segundo estas f´ormulas s˜ao chamadas “de engenharia”, pois s˜ao empregadas para c´alculos de resistˆencia em projetos de engenharia.

1Esta distinc¸˜ao pode parecer ao leitor uma mera quest˜ao de rigor matem´atico, sem implicac¸˜oes pr´aticas.

Muskhelishvili, entretanto, ressalta que o problema em quest˜ao est´a relacionado a que estado deve ser usado para descrever as tens˜oes e as deformac¸˜oes. De fato, os tensores de tens˜ao e de deformac¸˜ao s˜ao campos e portanto, func¸˜oes da posic¸˜ao no interior do s´olido. Ocorre que o dom´ınio de definic¸˜ao destas func¸˜oes n˜ao ´e sequer unica- mente determinado! Estamos nos referindo ao s´olido antes da deformac¸˜ao ou ao s´olido deformado? No caso das deformac¸˜oes el´asticas, tipicamente infinitesimais, ambos os dom´ınios praticamente coincidem e o erro cometido

´e m´ınimo. No caso de deformac¸˜oes finitas (como na deformac¸˜ao pl´astica, por exemplo) isto n˜ao ser´a verdade e alterac¸˜oes na teoria s˜ao necess´arias.

2.1 Fenomenologia da elasticidade linear 49

M´odulo de rigidez

A constante E utilizada na primeira equac¸˜ao da p´agina anterior caracteriza a resposta do material a uma tens˜ao normal na direc¸˜ao de aplicac¸˜ao da forc¸a e ´e chamada M´odulo de rigidez (em inglˆes, stiffness modulus). Alguns fatos sobre o m´odulo de rigidez:

• A literatura tamb´em designa a constante E pelos nomes M´odulo de Young e M´odulo de elasticidade. Este ´ultimo nome deve ser evitado, pois pode levar a uma interpretac¸˜ao errˆonea.

• O m´odulo de rigidez ´e uma propriedade intr´ınseca de um dado material.

• Por an´alise dimensional vˆe-se que o m´odulo de rigidez tem unidades de forc¸a por ´area, ou seja[E] = _m^N2 ≡Pa (Pascal).

• O m´odulo de rigidez assume valores t´ıpicos entre∼10 - 600 GPa para materiais met´alicos e cerˆamicos e E≤10 GPa para materiais polim´ericos.

M´odulo de flexibilidade

O inverso do m´odulo de rigidez ´e denominado m´odulo de flexibilidade e ´e denotado pela letra S≡E⁻¹. Esta constante ´e denominada “compliance” em inglˆes e descreve a deformac¸˜ao (ou seja, o quanto o material cede) em func¸˜ao da tens˜ao normal aplicada.

O m´odulo de flexibilidade ´e usado no contexto de fluˆencia em materiais polim´ericos e ser´a discutido mais adiante no curso. Ele tamb´em aparece em mecˆanica da fratura, caracterizando a resposta mecˆanica do sistema formado por corpo de prova mais m´aquina de ensaio.

O m´odulo de flexibilidade tamb´em recebe outros nomes na literatura nacional, alguns exem- plos s˜ao m´odulo de submiss˜ao e compliˆancia. Estes termos devem ser evitados. O ´ultimo, em particular, ´e um anglicismo grosseiro.

Coeficiente de Poisson

A constanteν caracteriza a resposta do material a uma tens˜ao normal nas direc¸˜oes transver- sais `a de aplicac¸˜ao do esforc¸o e recebe o nome de coeficiente de Poisson. Alguns fatos sobre o coeficiente de Poisson:

• Assim como o m´odulo de rigidez, o coeficiente de Poisson ´e uma propriedade intr´ınseca de um dado material

2.1 Fenomenologia da elasticidade linear 50

• Por an´alise dimensional verificamos que o coeficiente de Poisson ´e um adimensional.

• O coeficiente de Poisson varia para a maioria dos materiais no intervalo 0,2≤ν _≤0,5, com forte concentrac¸˜ao de valores em torno deν_≈0,3. Existem entretanto alguns materi- ais com microestruturas muito caracter´ısticas (materiais celulares) que podem apresentar coeficiente de Poisson negativo (ou seja, eles se expandem quando esticados).

• Um coeficiente de Poisson ν =0,5 corresponde `a conservac¸˜ao do volume durante a deformac¸˜ao el´astica (prova a seguir).

Prova da constˆancia do volume comν=0,5

Considere a figura 2.1. Supondo por simplicidade que o corpo n˜ao deformado possu´ıa a forma de um cubo com lado unit´ario (portanto com volume inicial, V₀= 1), podemos escrever o volume do corpo deformado como:

V = (1+ε11)×(1+ε22)×(1+ε33) (2.3) Desprezando os termos quadr´aticos e c´ubicos podemos escrever a variac¸˜ao do volume du- rante a deformac¸˜ao el´astica como:

∆V =V−V₀≃

∑

i

εii (2.4)

Substituindoε11=ε22 =−νε33 temos que∆V =0⇔ν=0,5.

2.1.2 Deformac¸˜ao produzida por tens˜ao de cisalhamento

Pela an´alise da Figura 2.2 podemos escrever:

τ12 =Gγ12=2Gε12 (2.5)

A constante G recebe o nome de M´odulo de cisalhamento e tem como unidade o Pascal.

Exerc´ıcio 2.1

Considere um corpo cil´ındrico de material com m´odulo de rigidez E = 80 GPa e coeficiente de Poissonν= 0,301 que apresenta seu eixo orientado ao longo de x₃e est´a sujeito a uma tens˜ao normalσ33= 45 MPa. Responda:

2.1 Fenomenologia da elasticidade linear 51

x

x

γ

τ

Figura 2.2: Estado de deformac¸˜ao causado por tens˜ao de cisalhamento.

a . Qual o c´ırculo de Mohr das tens˜oes para este corpo?

b . Qual o c´ırculo de Mohr das deformac¸˜oes para este corpo?

c . Qual o valor do m´odulo de cisalhamento deste material, baseado nos dados do enunciado?

Soluc¸˜ao

A resposta da quest˜ao a. pode ser determinada facilmente considerando-se que a ´unica tens˜ao presente neste referencial ´e a tens˜ao normal em x₃, que ´e, portanto uma das tens˜oes prin- cipais. As outras duas direc¸˜oes principais est˜ao localizadas a 90^o de x₃e as tens˜oes principais se anulam. O resultado est´a representado `a esquerda da Figura 2.3. Como no poresente forma- lismo tens˜oes normais resultam em deformac¸˜oes normais, segue que estas direc¸˜oes principais do estado de tens˜ao tamb´em ser˜ao deformac¸˜oes principais no estado de deformac¸˜ao. Usando as equac¸˜oes 2.2a e 2.2b calculamos queε33= 0.0005625 e queε11=ε22 = - 0.0001693125. O circulo de Mohr resultante das deformac¸˜oes ´e mostrado `a direita na Figura 2.3.

A terceira parte da quest˜ao ´e resolvida observando-se que para um referencial situado a 45^o de x₃ iremos observar uma tens˜ao de cisalhamento de 22,5MPa que corresponde a uma deformac¸˜ao angular de 0.00036590625. Substituindo na equac¸˜ao 2.5 (note o fator 2!)