7.2 Teorias do encruamento 186
Teoria de Becker (1925-1929)
Muito antes da “invenc¸˜ao” do conceito de discordˆancia, R. Becker havia proposto que a deformac¸˜ao pl´astica macrosc´opica em materiais cristalinos dependeria, em contraste com o escoamento viscoso de fluidos, da ativac¸˜ao de regi˜oes espec´ıficas de volume V , tal que quando uma dada tens˜ao cr´ıtica (digamos σcrit) fosse atingida, ocorreria um incremento unit´ario da deformac¸˜ao pl´astica (digamosλ), provisoriamente suposta proporcional `a tens˜ao macrosc´opica aplicada. Incrementos macrosc´opicos da deformac¸˜ao pl´astica ocorreriam, portanto, a uma dada tens˜aoσaquando, pela ac¸˜ao de flutuac¸˜oes t´ermicas, a energia el´astica local V2Eσa2 ultrapassasse
Vσcrit2 2E .
Desta forma, a teoria de Becker associa a deformac¸˜ao pl´astica ao fluxo viscoso e, por isto,
´e uma teoria dinˆamica.
Teoria de Polanyi-Orowan
Polanyi e Orowan, independentemente, aplicaram a id´eia de Becker ao “novo” conceito de discordˆancia, identificando o evento unit´ario como a criac¸˜ao ou o escorregamento de uma dis- cordˆancia no volume V . As tens˜oes normais e o m´odulo de rigidez s˜ao substituidos por tens˜oes de cisalhamento,τa eτce pelo m´odulo de cisalhamento G e τc ´e identificado, modernamente, comτCRSS.
Orowan supˆos que a energia de ativac¸˜ao do evento unit´ario seria independente da tens˜ao aplicada obtendo:
dγ
dt =C exp
− h
V(τc−qτa)2i 2GkBT
(7.5)
onde kB ´e a constante de Boltzmann e q ´e um fator denominado “fator de multiplicac¸˜ao de discordˆancias”, introduzido em ´epocas anteriores para compatibilizar a tens˜ao te´orica de cisa- lhamento de planos cristalinos com os limites de escoamento experimentalmente observados.
O grande sucesso da teoria de Polanyi-Orowan est´a na previs˜ao da dependˆencia do limite de escoamento com a temperatura, na forma:
τe=τc−B√
T (7.6)
onde B ´e uma constante.
Orowan tamb´em introduziu o conceito de que as discordˆancias, al´em de serem os porta-
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dores da deformac¸˜ao unit´aria, s˜ao fortes concentradores de tens˜ao e introduzem defeitos que bloqueiam planos de escorregamento. A teoria de Polanyi-Orowan se concentra na ativac¸˜ao t´ermica da taxa de deformac¸˜ao como fenˆomeno fundamental (de acordo com a teoria de Bec- ker). Nas palavras do pr´oprio Orowan (Z. Phys. vol. 97, 1935, p. 576):
“Strain hardening is basically an unimportant side effect of plastic flow”
Teoria de Taylor
Em contraste com a teoria de Polanyi-Orowan, Taylor propˆos uma teoria “est´atica”, baseada num arranjo regular de baixa energia formado por colunas paralelas de discordˆancias retas em cunha tais que o sinal das discordˆancias se invertia em colunas vizinhas. Este arranjo especial recebe o nome modernos de “reticulado de Taylor” (Figura 7.4).
l
Figura 7.4: Representac¸˜ao esquem´atica de um reticulado de Taylor.
Considerando um reticulado quadrado de espac¸amento ℓ o modelo pode ser resumindo da seguinte forma: como as discordˆancias n˜ao podem se formar no interior do cristal, elas devem vir ou da superf´ıcie ou de um contorno de gr˜ao, situado a uma distˆancia L. Desta forma, para proceder `a deformac¸˜ao pl´astica uma discordˆancia em m´edia deve viajar uma distˆancia L2, produzindo uma deformac¸˜ao dada por:
γ = ρbL
2 (7.7)
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onde b representa o vetor de Burgers da discordˆancia e ρ representa a densidade de dis- cordˆancias no reticulado (medida em unidades de comprimento de linha de discordˆancia por metro c´ubico de cristal), que ´e dada em func¸˜ao do espac¸amento do reticulado por:
ρ= 1
ℓ2 ⇒γ = bL
2ℓ2 (7.8)
A seguir Taylor procedeu a uma an´alise cuidadosa das tens˜oes geradas pelo arranjo de discordˆancias mostrando que a tens˜ao necess´aria para deslizar as colunas relativamente umas as outras de forma a produzir mais deformac¸˜ao pl´astica ´e inversamente proporcional `a separac¸˜ao entre as colunas:
τ=C
ℓ =
√2C
√bL
!√γ (7.9)
onde C ´e uma constante. Desta forma se obt´em a famosa equac¸˜ao de Taylor:
τ=τCRSS+αGb√ρ (7.10)
ondeα ´e uma constante que assume valores tipicamente entre 0,3 e 0,6.
A equac¸˜ao de Taylor descreve o chamado encruamento parab´olico, que nas palavras de Kuhlmann-Wilsdorf
“. . . has been vindicated to the fullest extent, and has turned out to be one of the most reliably robust relationships of all plastic deformation theory.”
A equac¸˜ao de Taylor ´e verificada experimentalmente em metais e ligas e at´e mesmo para cerˆamicas (acima da temperatura de transic¸˜ao d´uctil-fr´agil).
Cr´ıtica `as teorias antigas
Apesar de bem sucedidas na previs˜ao de certos aspectos da deformac¸˜ao pl´astica, as teo- rias de Polanyi-Orowan e Taylor n˜ao s˜ao efetivamente representativas do que ocorre durante a deformac¸˜ao pl´astica e, portanto, no encruamento.
Kuhlmann-Wilsdorf critica teorias baseadas nas diferenc¸as de tens˜oes residuais (teorias do tipo Polanyi-Orowan) geradas por concentradores de tens˜ao (empilhamentos de discordˆancias) com base no argumento simples de que a deformac¸˜ao pl´astica sempre se inicia no ponto mais
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fraco (ou seja, com a tens˜ao residual mais favor´avel) e portanto estas devem estar balanceadas no interior do cristal, n˜ao contribuindo de forma significativa para o encruamento.
A pr´opria teoria de Taylor apresenta deficiˆencias, que ficam evidentes quando verificamos que ela prevˆe apenas o est´agio III (parab´olico) da deformac¸˜ao pl´astica de monocristais. O que ocorre nos est´agios I e II?
Efetivamente, conforme Kuhlmann-Wilsdorf descreve, as tentativas de unificac¸˜ao das interpretac¸˜oes dinˆamica e est´atica levou necessariamente ao abandono de duas hip´oteses b´asicas da teoria de
Becker:
• a ativac¸˜ao t´ermica da emiss˜ao das discordˆancias e
• o papel relevante dos concentradores de tens˜ao.
Conforme os resultados que a autora discute, estas duas hip´oteses s˜ao conflitantes com evidˆencias experimentais.
A natureza das teorias modernas
Baseado em D. Kuhlman-Wilsdorf, Q: Dislocation structures — how far from equilibrium?
A: very close indeed, Mater. Sci. Eng. A315 (2001) 211 – 216.
Segundo Kuhlman-Wilsdorf, as teorias modernas do encruamento podem ser divididas em duas classes, a primeira, denominada SODS (Self-organizing dislocation structures), defende que as estruturas e padr˜oes desenvolvidos na deformac¸˜ao pl´astica s˜ao uma consequˆencia do car´ater termodinˆamico fortemente irrevers´ıvel (lembre-se que cerca de 90% do trabalho pl´astico
´e dissipado na forma de calor). Padr˜oes de auto-organizac¸˜ao s˜ao freq¨uentemente observados na natureza e associados a um forma de maximizar a produc¸˜ao de entropia pelo sistema, conforme reza a teoria da termodinˆamica dos processos irrevers´ıveis (Consulte os livros de I. Prigogine para discuss˜oes a respeito deste assunto).
Kuhlman-Wilsdorf defende uma posic¸˜ao alternativa, denominada LEDS (Low energy dis- location structures, que prop˜oe que as estruturas de discordˆancias formadas seriam aquelas mais pr´oximas poss´ıveis do equil´ıbrio termodinˆamico. Argumentos favor´aveis listados por esta autora para justificar a teoria LEDS s˜ao:
• As estruturas de discordˆancias se formam de maneira praticamente instantˆanea mesmo a taxa de deformac¸˜ao t˜ao baixas quanto 10−6 s−1 (portanto independente do fluxo de trabalho aplicado).