Símbolos projetivos e ângulos de extinção.

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S Í M B O L O S P R O J E T I V O S E Â N G U L O S D E E X T I N Ç Ã O *

EDUARDO A. SALGADO

E. S. A. " L U I Z DE Q U E I R O Z "

O problema de c a l culo dos ângulos de extin ção de faces de uma m e s m a zona, tomando-se como linha de r e f e r e n c i a o eixo da zona, t e m sido tratado por v á r i o s autores: M i c h e l -- L e v y , Bouasse, Buttgenbach, C e s a r o , WÜlfing, Johannsen, e t c .

O s " s i m b o l o s proje tivos" de Fedorow podem s e r utilizados para t a l fim como se v e r a .

2. DEDUÇÃO

Na figura 1 estão a s s i n a l a d o s , e m projeção e s t e r e o g r a fica: os eixos I ( Y ) , I I ( X ) , D l ( Z ) , que s e r v e m para a d e t e r m i nação dos simbolos projetivos; a face de polo P , pertencfente a uma determinada zona A P B , de eixo E , situado sobre o c i r c u lo m á x i m o de polo P ; os c í r c u l o s m á x i m o s que p a s s a m por P e pelos eixos óticos A j e A g .

A construção de F r e s n e l determina, no c i r c u l o m á x i m o C D , o ponto F , polo de um dos eixos da elipse secionada no eli]3 soide de indices pela face P .

T r a t a - s e de determinar o angulo de extinção E F .

Sendo o r a i o da e s f e r a , de centro O , igual a unidade, as coordenadas dos pontos P e A ^ situados sobre a esfera, são,

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respectivamente :

P - c o s P X * s e n f P . c o s <f P ; c o s P Y = s e n ^ P . sen * fP ; c o s P Z . c o s Ç P

A j - c o s A1X = s e n p A^ . c o s ^ A1; c o s A j Y ^ s e n A^.sen <p A1; cos

A ^ Z = cos p A ^

P a r a o plano P O A ^ obtém-se a seguinte equação :

(sen p p . sen í f P . c o s p A^ - s e n p . sen If A^. cos pP) x +

+ (cos p P . sen p A^. ços <p A j - cos p A^. sen p P

. c o s tf P)y + (sen f P . c o s P . s e n Ç A j . s e n <f A j

-- sen p A ^ c o s <P_{A ^ s e n p P . s e n <^P) z * 0.}

Dividindo por sen |^ P e substituindo pelos indices pro jetivos da face P , fica o plano P A ^ com a seguinte e q u a ç ã o :

( p ' j c o s p Aj^-p'g.sen p Aj^. sen ^ A j ) X + ( p' g S e n p A j . cos tf A j

-- p ' g c o s p A1> y + ( p '2s e n p A ^ s e n <p Aj^ - p ^ . s e n p A ^ .

. c o s ^ A j ) z " 0

T e r - s e - a uma equação idêntica a esta para o plano P A g . O plano bissetor P F t e r a a equação :

A x + B y + C z A ' x + Bf_{y + C z}

= • sendo

V-A2

+ -B2

C 2_{V A}_«2_{+ B '}2_{+ C} 2

A x + B y + C z = 0 e A ' x + B ' y + C z * 0, respecti vãmente, as equações dos planos P A ^ e P A g .

P o d e - s e achar, agora, o angulo entre este plano bissetor e o plano P E , que e o angulo de extinção procurado.

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s e r obtidas a p a r t i r de idênticas coordenadas de duas f a c e s quais quer da zona, conforme ensina B O E K E .

3. SUMÁRIO

O problema de cálculo dos ângulos de extinção de faces de uma m e s m a zona, c o m r e f e r ê n c i a ao eixo da zona, é tratado pelo autor a t r a v é s dos "símbolos projetivos" de Fedorow.

4. SUMMARY

Using the "projective s y m b o l s " by Fedorow, it i s possi¬ ble to calculate the angles of extinction of the faces of a same zone, in relation to the a x i s of the zone, a s it i s demonstrated by the author.

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. B O E K E , H . E . - D i e Anwendung der Stereographischen Projek tion b e i K r i s t a l l o g r a p h i s c h e n Untersuchungen. B e r l i n , V e r l a g Gebrllder B o r n t r a e g e r , 1.911 .

2. B O U A S S E , H . - Optique c r i s t a l i n e : Double rêfraction. Paris, L i b r a i r i e D e l a g r a v e , 1. 925 .

3. B U T T G E N B A C H , H . - C o u r s d'optique c r i s t a l i n e . P a r i s , Dunod, Éditeur, 1936.

4. J O H A N N S E N , A . - Manual of Petrographic M e t h o s . New Y o r k , M a c G r a w H i l l Book C o . , 1918.

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