Caracterização de filmes finos Sol-gel por elipsometria

Disserta

y

80 apresenlada 80 Inslitulo de F"isica e Qulmica de sio Carlos. UnivQrsidade de Sio Paulo. para obtenc;:ao do titulo de Mestre em Ciencias "FisicB Basica ".

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UNIV~RSIDADE

-. D E S A O P A U L O

In s tltu to d e F is ic a e Q u im ic a d e 5 1 0 c a rlo s Fone(0162) 72-6222

Fax (0162) 72-2218

Av. Dr. Canos Botelho. 1465 Caixa Postal 369

CEP 13560 - Sao Carlos - SP Brasil

ME"BRDS DA CQM!SS~O JU~oHDGRA DA DI5SERTAC~D DE ~E5TRHDG ~: DJALMA DE ALBUGUERG~: BARROS FILHO APRESENTADA AD iN5TITUTD DE FISiCk E ~UI"ICA DE S~Q CARLOS. DA UNIVERSIDADE DE S~D PAULO. E~

A rullza9io

date

trabalho t.ornou-s. cossival

r.~.s

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Deus

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l.,. •••

""dO •

enfr-tint.,..

tDdas •• difiCU1_desda

Ao Prof. Dr. Hichel Andre Aegerler DElo aOOlOoermAnenls durianle Qste lrabalho com sua larga exoeri&ncia e conhecJment~ da c1encia dos material5

Ao Prof. Dr. Edson TicianelU pela concessao do elipsOmelro 52000 poar. m"didas 00 ~ndicQ de refrayao.

Ao Prof. Dr. Roberl Lange pela concessa:;) de lamina5 de siUcio para medidas elipsCwnelricas.

AD Prof. Dr. Rene Aires Carvalho pelo esclar-eciment.o de muiLas e-lapas da monlagem do micr-oelipsomelro.

Ao Pr-of. Dr-. ClaUdio H.goo pelas exol1ca9oea for-necld.& sobre e-Quipamenlos elelronicos.

Ao Prof. Dr. Juan Carlos pela ajuda durar')le 0 inicio dOlmonlagem do micr-oelipsOmelro.

Ao Car-Ios Cr-uz pela per-manenle ajuda nas medida5 do indice de re-frayao e exp1J.c8yoes sobre os modelos malemalicos uliluad05.

Ao grupo de IIlelrQlos pela cances.ao do:J"lock-in" na primeira ver-sao do microeliosomelro.

Ao tecnico ClaUdio Kakuda PElla montagem do divisor de tensao para a fotomultiplicadora.

Ao tecnico Marcos Jose Sernenzato pela pr"'imorosa confacc;:ao dos component.es aticos para 0 microelipsOmet.ro.

Ao desentUst.a Sam~ pela paoiencia no desenho e correc;:ao das fi-guras dest.e trabalho.

Ao tecnico Jorge oales esclarecimentos relativos

a

preparavio de filmes e uso de produtos Qulmicos.

Ao Marcelo e Bruno pela concessio des filmes da ITO e de ca0_2-TiO:z como tambem pelas &xplicac;:Oessabra

°

use do t.alyst.ep Taylor- Hobson.

A

secret.aria Amalia pela eficiincia com QUe presta informac;:oes e servic;:os a todos os integrantes do grupo de matsriais.

Aos colegas Mauricio, Guilherme. Dorot.eia, Luis e Adio pela presen-c;:asempre marcante no gruPo de materiais.

í N D I C E

LISTA DE ILUSTRAÇÕES ..

2 . 3 . 2 - M t : D l O A D A R E T A R D A Ç Ã o P E L A D E T E C Ç Ã O DE: Uo1 G I N A L A C 35

242 •

REFLEX~O

POR FILMES

FINOS ...•...

2.4.3 - MEDIDA DO iNDICE DE REFRAÇÃO .

2.5.1 - APLICAÇÕES DO MÉTODO... : 5 0

2.5.2 - DEPOSIÇÃO DE CAHADAS 51

2.:5.3 - PROPRIEDADES HECÂNICAS E ÓTICAS DE FILMES FINOS :52

3.1 - PREPARAÇÃO DE FILHES FINOS ~6

3.3 - ELlPSOMETRIA ESPECTROSCÓPICA EM FILMES DE SiLlCA ( Si0₂ L 71

3.3.1 - DESCR~ÇÃODO ELlPSÔME:TRO 52000... . 71

23.2 - DETERMINAÇÃO DO iNC'ICE DE REFRAÇÃO E DA ESPESSl'RA 73

3.3.2.4 - CONSIDERAÇÕES

FINAIS

'"

80

3 4· CAUBRAÇÃO E ESTABILIDADE DO ELlPSÔMETRO 84

-

"

U S T A D E L U S T R A ¢ c S

F .lg u ra 4 - P a rim e lro s Q u e d e fln e m a lo e a l1 z 8 1 j= a o d a e l1 p s e d e p o la r.lZ 8 1 j= 8 o n o

e S P 8 1 j= 0.. , 07

F '.lg -...ra 1 2 - P ro p a g a lj= a o d a lu z e m u rn s is le m a o U e o n a o d e s p o la riz a n

F ig u ra 2 7 - F ilm es fin o S d e S iO ;z d ep o sila d o s so b re su b slra lo s d'~ 5 1 1 1 c8 fu n d ld a e

silicio... . .58

F ig u ra 3 0 - E sp es;su ra d e film Q S d e ~10~ n a o d en sifica d o ern ru n y a o d a v elo cld 2 d o

d e relira d a ., .60

F ig u ra 3 4 - 0 la lw slep T a w lo r-H o b so n g a ra m ed id a d a esp essu ra d B H lm es d e

F ig u r a 3 S - E sp e ssu r a d e fU m e s _{d e 5 1 0 z deposit.dos} so b r e la m in a s d e v ld r o e m

fu n y io d o t.ria t.a m en t.ot.a rm ico 6 6

F ""ig u ra 36 - E!.'pr'~!'urlJ d e ' fl1m~~ d f'! 5 J O_J d(!Po~il8do!j ~obr~ sub~lrl'lC'", d ••.~ulicio

em fu n y io d o tria \.a m en lo t.ermico... . 6£

F ig u r a 3 7 - E s:p c ssu r a d e fllm e !' _{d e 5 1 0 a deP O sllados sobre silica} fU r'lch d a e

silic io e m fun~io d o lr a lB m e n lo t.(kmico 6 7

F ig u r a 3 8 - H 1 c r o fo lo 9 r a fia S E H d O lr e 9 ia o p r o x im a iaO v a le p a r a H Im es d e S iD ;: d e p o silB d o so b r e silic io ... . " .~ 69

F ig u rtl 3 9 - V tln a y io t.em p o ria l d a esp essu rtl d e film es; d e S i0 l! d ep o lilteO o S I so b r.

silicio _ '" _ 70

F ig u r a 4 7 - In d ic e d e refrll~~'=' c o m p le x o d o film e d e n sific a d o ZI 1 0 0 0 'C o b lid o p o r

p ro cessa m en lo cO lllp u la o io n a l d e mull1camadas 81

F ig u ra 4 8 - in d ice d e refra~ao co m p lex o d o film e d en sifica d o a

iooO 'e

o b lid o p o r ilera y a o so b ra ia S esp essu ria S d e d u a s ctlmtldas ...• _•...•.Bl

F i g u r a ~:;l - D e p e n d p n C l a d l \ C'C'm ~nte d o p r i m e i r o h l l r m f > n l c o d o ! \ l n a l < V ( w " , » e m

f u n ç â o d o â n g u l o d a l â m i n a >.14 <9> ...•... 89

F i g u r e ~4 - D epe~noia d e C ' o m P O n e n t e d o ~e9lJ"lÓ C'h a r m ô n i c o d o ~lnel < V ( 2 wlI, n e m

f u n ç ã o d o â n g u l o d a l â m i n a >.14

<e>. ..•...

89

F i g u r e . - ~ 7 - D e p e n d ê n c i e d a c o m p o n e n t . e d o p r i m e i r " ' Oh a r m ô n i o o d o ~inal (V(WII\» e m

f u n ç â o d o â n g u l o d a l â m i n a } ' / 4 (e) p a " ' a 8 m e d i d a d a r e l a r d a ç i o p o r

u m s I n a l a c 92

F i g u r a ~ 8 - D e p e n d ê n c i a d a c o m P O f ' l e n l e d o p r i m e i r o h a r m ô n i c o d o s i n a l (\I(WlI\» e m

f u n l j : ã o d o s e n ( S ) p a r a a z o n a 1 9 3

F i g u r a ~ 9 - D e p e n d ê n c i a d a c o m P O n e n t . e d o p r i m e i r o h a r m ô n i c o d o s i n a l ( \ I ( w . » e m

f u n ç ã o d o s e n ( 6 ) o a r a a z o n a 2 93

F i o u r a ( . Q - D a o g n d D n c i a d a c o m p o n . n l a d o D f " ' i m l l i r o h a r m ô n i c o d o a i n a l < V < w " , » . m

f L l n ç â o d o t · e m p o d e m e d i d a ( l ) c o m a i n t . r o d u l j : B o d e l â m i n a d e v i d r o n o

a l i o s ô m a l r o 9~

F i g u r e i 6 2 - D e p e n d ê n c i a do~ t r ê s s i n a i s V ( wm),V ~ e R e m f u n ç ã o d o G n g u l o d a l â

Figura 66 - Características do filme ~ Ce0_2-TiOa ··.··· ·.·· · ·· 101

F1gLr8. 70 - Efilabilidada do perfil de trlfiÕe~ e e~pecificayõe5 da medIda para

filmes de SiO:z , 106

Figura 71 - Perfil de tensões (1 para filme de 5i0₂ depositado sobre slUcA

fundi-da sem lralamento térmico <T••2S·C) .107

Figura 72 - Perfil de lensces fJ' psrs filme de 510₂ depos1lsdo sobre ~iHca

fundi-da com t.rat.amento t.érmico CT •• 2S0·C) 108

Fi9'Jra 73 - Perfil de tensões fJ' para filme de 5i0₂ depositado sobre sil1ca

fundi-da com tratamenlo lérmico <T•• 600·C) .1.09

Figura 74 - Perfil de lensõe!! fJ' para filme de 5i0₂ depositado sobre ~ilica

fundi-da com lralamenlo t.érmico <T •• l000·C> .110

Figura 75 - Hicrofotografia elelrônica de defeilo no subslralo dI! fllrTM!di! ITO (Sn02-1n20:t)com o seu resoectivo perfil de l.nsôes 113

Figura 76 - Varredura& consecutivas do d.feito localizado no &ubslralo do film~ de ITO ( Sn0₂-ln₂0₃₎ ··· ..••..•... ·•... · ....•.. ·· •. ··· ...••...•...• .11~

Figura 77 - Hicrofolografia eletrônica 08 região de defeilos no filme de ITO

(Sn0₂-1n₂0₃₎com o seu respectivo perfil de lensões 115

Figura 79 - Varreduras con&eculivas dos defeitoE localizados no filme de

ITO (Sn02-ln20:t> 117

T a b ela L - H a ln zes d e M u eller u sa d a s n a p rim elra co n f1 9 u ra ry io d o

microeliDsOmelro '" ..•... _ _...•.. ,...•...33

T a b ela 3 - Halrlze~ d e M u eller p a ra a seg u n d a co n fa g u ra y a o d o m lcro eh D sO m

e-lr o , _ _ _ '"....•..._ ,'" _ _ _..36

T a b ela B - C o eficien les d a s reta s o b tid a s p elo s p ro cesso s d e m in im o s Q u a d ra d o s

p a ra film es d e S iO :z d ep o sila d o s so b re sillcio 68

T a b ela 9 - E sp essu ra d o s film elii d e S iO £ em fu n cra o d a t.Q m p era t.u rad e

reco zim en lo , 83

Este t.rabalho experimental tr-ala da car-acter-izac;:ao de filmes 601-Qel por- ehosomelrla A car-act.erlza~ao

e

um pr-ocedlmenlo imoor-lanle na

det..r-mlna-~a:::." das prooriedades fisico-Quimicas de o.JalQuer mater-ial como, por exemplo, filmes finos &ol-~el.

t

possivel Df"'oduzir m••ter-iais de nalur.za divers. ( vlt.r~s, ceramicC'~ e C'ri~lalinC'~ ) pela ttkniea ~Ol-9~1

A ehosomelria, por 6ua vez, lit um. teCnlCa recenla n. delerminac;:ao

do indice de refrsc;:ao complexo de um maler-lal. O~ seus fundamenlos te6ricos tr-s-tam da nalureza da luz polarizada e sua prooagac;:ao atraves de um sistema cUco. No decorrer- do lrabalho, estes princlpios PC'ssibililar-io descrever- os sislema!!

6-hcos ulilizados na par-te experimental.

Os filmes finos t.em orooriedades otieas e mecanicas Que podem .di-fer-ir bastante daQuelas encontradas em um cerlo volume do material. A anillise das Siuas pr-opr-iedades

e

feita atraves das medidas dos seguinte. par-amelros: eseesau-ra, indiee de refrayao e oerfil de lensoes.

Urn dos ob~elivo. deste lrabalho foi • observac;:io da evoluc;:ao das prooriedades olieas e mediniea5 durante 0 oroee5so de densifici&yao. Os filmes

cara::teri:.!ados sao de silica { SiOa ) deposilados sobre lres lipos de substrl!5los: vidro comum,silica fundida e ~ilicio.

A caracterizac;:ao desle materl.1 durante 0 processo de densifica-~io t.er-mica e dividida nas seguintes el.oa5: a ) evolu'j:ao estrulur-al alraves da medida da espessura; b analise da porosidade oelo esoectro do indic!! de refra-yio; c ) determinac;:ao das tensOe5.

ComC'C'C'nsea\.iencia,a montagem de um micr-oelipsometro Que mede re-tardaToes oticas de filmes finos fez-se neces5aria Ii! foi realizada durante este

traba!~o A sua calibra'Tao

e

passlvel pela le::nica de eliosomelrie nula. A!!simsen-do, pOde-se especlficar 0 eQuipamento bem cone aplica-Io em diversas situa90eli

This is an experimental work about the characterization of thin sol-gel films by ellipsometry. The characterization is an important procedure on determining the physical-chemical properties of many materials such as thin films produced by the sol-gel process. It is possible to produce several kinds of materials ( vitreous, ceramic and crist.alline ) by using t.he sol-gel process.

The elipsometr·=, itself is a new t.echniaue for the det.ermination of the complex refractive index of a mat.erial. Its theoret.ical principles concern about the nature of t.he polarized light, and it.s propagat.ion t.hrough an opt.ical syst.em. These principles will be used t.o describe t.he opt.ical swstems of the experiment.al·procedure along this work.

The thin films have optical and mechanical properties that. can st.rongly differ from those found for the material at bulk form. The analwses ·of these properties is carried out by the measurement of the following parameters: thickness, refractive index and stress profile.

One of the goals of this work is to observe the evolution of t.he optical and mechanical properties during the densification process. The characterized films are of silica (5i0₂₎ deposited on t.tTee kinds of subst.rate: ordinary glass, vitreous silica and single crystal silicon.

The characterization of this material during the densification process is divided in t.he following steps: a ) structural evolut.ion by t.hickness mesurement; b ) porosity study by refract.ive index spectrum; c) stress det.erminat.ion.

As a conseauence of t.his characterization, it was const.ruot.ed, along the work, a microellipsomet.er which measures t.hin film ret.ardation. Its calibrat.ion is possible by using the null ellipsometry t.echniaue. In t.his way, the eauipment can be specified and applied to different situations such as: il )

A caraclRrlza9;'o

e

urn procedunenlo imoor\.anle na or-e.oarayao de cualcue,.. meterial. A delermina;:ao e aorimoramento das prooriedades fisico-culml-cas de uma amoslrOl oodem ser reali.zadas a parli,.. de informayCMisfornecidas oala5 lecnlcas de caracte"'izay8o como: looografla de raios-X, atacue Qulmico. el1osome-lrla. elc.

A eliosometrla i! urna Lecnica moderna na caraclerizayao de proorla-dades oUcas de diversos llPOa de maleriais. No enlanlo, sua aolicabilidada est.Rn-de-se por campos lac diversos como eletrocuimica e medicine. 0 principio basico da eli05iomelria

e

delarminar 0 indiot! de refr.yao complexo de um malerial a parlir

das allerayoes induzidas; ao eslado de polarizayio da luz incident.e sobr. Qle. Est.a laonica pede s"r aoHcada lanlo a filrn"s auant.o a urn det.ermi-nado volume do resoectivo mal~.ia1. No caso de fUmes finos,

e

oassivel obler pa-rametros import.antes relacionaOos com suas orepriedades olicas e mecanicas como: e5pe~5ura, Indice de refrayao e birrefrigencia. Porem, esles parametres dependem do tralafnQnlo termico a que for-am &ubmelidos;aqueles filmes fines;.

o

principal obJel1vo desle trabalho consisl. em dalerminar como 0

processo de densificayao altera as propriedades oticas e mecanicas des fUmes fines. A medida da Rsos.sura oode mostrar a evoluyio do proc&s&o de den.ifica-yaO para filmes finos. 0 indice de refrar;:ao, por sua vez, esla relacionado 8 sua oorosidade. A medida da birrefrigencia permite determinar as t.ens5es causadas pe-la inlerayao filme-subslralo. As tensoes !Sao denominadas de intrlnseca!5 sendo di-vidldas em lermicas, epitaxiais Q "strulurals;. 0 aumenlo d" lensoBs poda causar fratura no filme duranle 0 proce5i5iOde dan.Hicayao. Assim sendo. a medida da5i

lensBes const.i.lui um procedimenlo adeauado na orevenyio das mesmas.

Os filmes finos foram obl1dos pelo procl!sso sol-gel. 0 d4!senvolv.l-mento desta lecnica cresceu bastanle a parlir da melade desle &Qculo.Atualmanle. o processo sol-gel lem envolvio::, uma grAnde Quanlidade de recurs os e pessoal. A orincipal vanlagem de.le processo egla nA orodu~ao de maleriAis; de nA~.za di-versa ( vitreos. ceramicos e crislalino!5 ) a oarlir de solUfoes melal1co-orilanicas.

Nesle lrabalho •• caraclerizayio de fUmes finos sol-gel per .lipso-melr18 enconlra-se dlVldida em ~a& parles: leoria e result.ados exoerimenlais. 0

obtidos sobre o pont.o de vist.a da t.eoria propost.a. O capit.ulo 4 discute os

resulta-dos existentes

na literatura

como tambémconclusõ~s sobre os fenômenos

observa-dos durante as medidas exoerimentais.

A eliosometria envolve basicamente a análise da polarizaçio d. luz. Define-se polariza~ão para um ponto fixo do espa~o como o comportamento temporal do vetor campo elétrico suficiente para a determinação da onda eletromagnética. A polariza~ão da luz pode ser eÜptica ou linear. Cada um de~t!!~ estl!ldo~ pode ser representado pela nota~ão vetorial de Jones. Trata-se de um form.lismo matemático rigoroso a partir do Qual é definida a representa~ão plano-complexa da luz mono-cromática

Na prática, não existem ondas monocromálicali. As fontes de luz

emi-tem ondas quase-monocromáticas. Porem, a representayão

plano-complexa da luz

po-de po-descrever o comportamento de ond.s Quase-monocromáticas com a introdução dos parâmetros de Stokes. Estes dão um caráter probabiÜstico para as ondas Quase-mo-nocromática51 com a dlillfiniçio do vetor de 5tokes.

A descri~ão de um equipamento ótico pode ser feita através de dois tipos de matrizes: Jones e Mueller. A linguagem matricial 8 importante por possibi-litar a descrição de um sistema ótico a partir das matrizes de cada um dos seus componentes. Os componentes óticos podam ser divididos em retardadores, 001.-rizadores, atc. Deve-se ressaltar que não existe um componente ótico ideal na prá-tica. Neste t.rabalho, a descri~ão dos sistemas ót.icos • feita a partir das matrizes de Mueller dos seus componentes.

A elipsomelrla podEi!Sililrdividida em doi. lipos: lramimi.s;ão ti ref1&1-xão. A elipsometria por transmissão parmit.e medir a retardaçio de filmes finos a partir da modulação do estado da polarização da luz. A .lipãometria por reflexão det.ermina o indice de refração complexo através dos ângulos '" e A. No entant.o, as medidas do lndice de refração e das tensões de filmes finos não seriam POsslveis sem a determinação da sua espes.ura.

A variação da espessura com o t.ratamento t.rmico foi estudada pa-ra filmes de silica (Si0₂) depositados pelo método "dio-coat.ing" em três tioos de

subst.ratos: vidro comum,silicio e sÜica fundida. All!mdisso, a eSPE!!!sura de filmes flnos determinada pela elipsometria espectroscópica foi comparada com os resulta-dos obtiresulta-dos pelo prof ilômet.ro ( rugoslmetro ).

A leoda a ser d15culllda Q consllluida d. due. parles: el1DSom&lr1a e processo sol-9Ql. A primeira lern como objelivo a analise da luz polarizada alra-ves dos v_leres d_ Jones. Pode-a. aSSlm. nao apenas dennir 0 •• lado de pela,..iza-yio da luz como lambQmdescrever a sua prooagayao alrav's d. comoonenles Oll-cos. 0 proce!iSO sol-gel conslilui \6T.a lecnica de produyio de maleriais vit.re-os e

ceramicos de crescenle imporlancia na alual1dade.

E

posslvel, pelo prOCe5!!O sol-gel, rroduzir compoliiilos • solidos pOrosos como lal1'lb8mdeposit.ar finasi ca •..••da. de urn malerial sobre urn subslralo Trala-se dos fUmes fino. cuias propr1edades

0-Uces e mecanioas consliluem 0 princioal objelivo desle lrabalho.

a

comporlamenlo da luz podtl ser descrilo pelas EQuay5es de

Maxwell. Oe&la forma. moslra-&e OR a luz con&lilui urna onda alelromagnelica

lransversal. Logo, apena. 0 conheCUTlE'nlodOlcomponenla do campo IIlitlrioo it

necQS-saria para se esludar a propagOl'rao dOl1uz. A represenlayao do campo 111itlr1copar velores de Jones POssibilila definir 0 eslado de P01Olrizayao dOlluz. A imper\.imcia

desle formalismo reside na de&criyio de comoonenleii olicos per inlermedio dg ma-\.rizes. eslado& de polarizayao e retresenlayao velorial.

2.1.1 - Polariza~o eliPUca

-. -+

A luz • consliluida p;y um velor campo .leu-ico (E) e magnelico (B>. Esle& obedeoem as seguinles lIaua'r~. diferenciais em maios nao-absorvllnles:

-+

2-+ -+ 1 ~ ..•

•... 1 A ...• • rigu-=a - anda plana eletrOfTWlgrlllllca. E, vat.or campo eletr ico;

..•

..•

B, vet.or campo magnlit.ioo.K. valor da prcpagayio da onda

.

As PDssiveis soluyOes deslas eQUByOessao ondas planas mcncero-malicas com un vet.or de propagayio de m6dulo k como mo.t.ra a figura 1. 0 vat.or campo elilt.rico iI fUfl9io da coordenada z • do lempo l. Alitmdi.t.o, bast.a conhecer

::t •.• •.• ,.

E para se obt.er B e k, pois, est.es tres veteres consUt.uem urn sist.erna or\.ogonal.

• -+

Urn. possive1 501"'910 par. E POdiI5er dad. n. SRgU!n\.Qforma:

E.(z,t.>• Eo.cos(wt.-kz> E~(z,t.>• EO':!cos(wt.-kz+4,.)

<2.a)

a.b)

onde w

e

a fre~ncia angular da luz forneoida J)OrH • kVi EoZ'e Eo",sao as

ampU-t.udes nas dir-ey5as x a y; 6,. iI a difer8nYa eM! fase ralat.iva ent.re as andas

via;an-t.es.

Est.a .01"'9io corr •• pende a una onda plana monocr~lica. Est.•• nao

aQr8senla d808nd8ncia lemporal eta. amplit.udes • dOlfas. ralaUva. A and •• monocro-malica apresent.a urn comprimen\.o de onda >.. dado per

~.COS(Ht.-kz)COS(6,.>-lien(wt.-kZ~6r)

A expr •• sao 5 corresPOnd. a urna el~ QUe faz urn in9ulo 4 no

...•

Fi?,.. 2 - Elipse inclineda de urn AnguloClt formada par E rodando no plano Ex-Ev' Eox' Eo~ amphLude. do cameo al.t.rice

A difer~. de fa.a rel.liva definir~ a polarizayio da luz como nest.es exemolos:

a ) A ~ it linearment.e polarizada QUando6,. for urn mwt.iplo in-t.eiro de 27f. Aplicando est.a condi9ao na eQua9ao ~, obt.em-5e urna dependencia

li-near.

E':I E rr-Eo~ E• ~ox

...•

Ne.t.e ca5o, E t.8mdireyao fixe e a6 component.es e.t.ao em fase.

b ) Para 6,. mult.iplo imper de '7(, Ex e E" est.ao defas~dos de '7( ra-dianos apresent.ando urna depend~ncia linear. Has duas sit.ua90es, a luz

e

dit.a ser linearment.e polarizada.

••••

Fi9lTa 3 - Configurayio d~ pol~rizayio am funyio de 6r no pl~no

E,.- E-J.

~ A A

E c XEoJlcos(wl-kz)+ wEovs.n<•..•l-kz)

A luz circularmentoR polarizada it _{urn caso eSDfilcial onde Eox • Eo'll}c

Eo. Conclui-lie. enlio. Que 6_r define a polarizayao da luz com algumali configurac;:5es eSQUemat.izadas na figlra 3.

LIma deSiicric;:io m~ili 98r~l d~ polarizac;:io cia luz necelisit.a de ~e

-.

sejam definidos parametros relativos 8 localizayio de E no espayo como moslra a figura 4. Esles parametres sae os !!eguinles:

a ) 0 velor unilario normal

n

80 plano x~ 0 Qual define a orien-t~yio no elip~yO do plano d~ elipse de polarizac;:io.

b ) A orientayio do semi-eixo maior da elios. em.,.seu plano cor-res-pond8 ao angulo

e

CUj05 valoras 58 elilancktm no inlarvalo de - ••/2 ~

e ~

'f(/2

c ) A 8lipcidade ( a ) da aliPs8, definida como a razio enlre 0

58-mi-eixo menor ( b ) e 0 se58-mi-eixo maior ( a ), dada por

Ii!

=

..!L

a

-.

,

I

,

I

I

/ ./ ,. ""

-_.9_..,'

/""

Fi9lJr"a •••- Paramelros Que deflnem a locahza'rao do. 8:101;Q dQ pc.lariza-'r~o no eso.'r0'

n.

nor-mal .0 olano x-",,; e. a:zunulCl. a.

cQmi-eixo maiorj b, semi-cQmi-eixo menorj A, amplit.~ (., anglJlo de

-f

eliD.id~de; E_t_

O campo elet.rico inici_l; 6•. fase absoluta

e ) A arrc:>lit.udeda vibrayio eliot.ica ( A ) corresponde • raiz aua-drada da soma dos auadrados dos semi-eixos • e b.

f ) A fa~e ab!Solula ( 6. ) det.ermina 0 i~lo da 005i980 Inicial do

vet.or campo alet.rico em l ,., 0 com 0 sami-eixo maier. Apres.nt.a-se limilado no

int.ervalo -'7f ~ 6a ~ '7f.

t

ulilizado como referencia iniclal para descrever a evolu-yaO de

E

no plano X-\,I com0 decerrar do lQmpo.

De acordo com Bashara [ 10 l, OlIO.auayoeSi 2.a 12 2.b oodem ser

modi-ficadas; Ievando em conla a diferenya de fase reI alive 6x a ''lI Dara as vibray0e5

nos eixos x e IJ respect.ivamenle. No caso part.icular de andas Dlana5 eslrnament..

monocromalicas, 0 campo eIet.rico Dade ser 85crilo como

~ ~

.

E (z,t>., Eox cos( wt.-kz+Sx)x+ Eovcos( wt.-kz+S'lIi.•

A eQU8yio 15 pode ser colocada na forma mat.riclal. A nalur-eza v.-lorial do campo esla imolicila em cada alamenlo dOlmalriz.

Elz,ll • [

A dependencla lemporal e espaclal pede ser retireda deflnindo 0

vet.or de Jones como

oode 1 &

IT,

EJI e

E

w

SitO ~s ampliluclefi colTQl.xas do velor campo elelr.lco

E.

As

eQua~oe. 16 e 17 e.lao relacionada. pel. se9ulnle expresaao:

onde Re

e

a part.e real de urn nUmero oomplexo

o

vet.or de Jones 8 urn. descri~io concis. do eslado de polariz~y~o de urn. onda elelromagnellca. A principill 'vilnl~gem em seu u.o reside nil milnipula-yao .1!i:'6!bricilem calculo. POslerior-e •. Note QUe0 velor de Joneli nio esli

defini-do no espayo fisico real. Trala-se de um veler comolexo definido nurn ~spayo male-mallCO ab.t.ralo. Esle Ii farmado por lodoSi0& vet.ore. obUdOli pela lolalu:SadR dos

pare. de numero& complexo& p.r.

EJI

Ii

f",.

A lntensidade I de urn. Ondil em t.armos dos velares de Jones Ii

defi-onde 0 slmbolo + indica 0 adjunlo hermitiano.

lhn. onda e.l' normalizad. &8 • lnlenSiiid.de for unll'riil. Nesle ca-50, 0 velor de Jones correspondenle e definido como normal. Dois veleras de Joneli E.l e E; normais sao ort090naili ao &er sillisfeila a sliguinle condiyio:

Tabela 1, enconlram-se al~uns pares de Jones (Cx,S",) e (C"Cr) orlonormais com os seus co~respondenles eslados de polarizayio Nole Que QualQuer velor de Jones dado pela eQuayio 17 POde ser reoresenlildo como

onde C~ indices x,y e l,r referem-se as ba!!e~ ~ ••.•eleres carlesiene e circular

re~pectlvarnente,

r,

e

E:

r sao as comPOnenles do velor na base circular.

Lo~o, conclui-se QUe

e

POssivel definir uma base de eslados de

po-larizayio para 0& velores de Jon.s. As bases circular a carle.lana sio as mais

05 velere5 de Jones; s~o caoazes de dQscrever comolelamenle UT.

eslado de PO)ariza~ao. Na figura 5.a, esla esauematizada uma vibra~ao ellolica ~ amplilude unilaria (A .1 ), fase zero ( 6_i • 0 ), azimule zero (

e •

0 ) e angulo de e-liocidade (..

a

velor de Jones corresoondenle, refer-ido ao sislema de aixos cart..-slano5 x', y' QUQcoincidQ com os eixoll pr"lnCioais d~ elipsll • dado ocr

cos( &.) ]

isen< c. )

Ao mulliplicar a eQuayao Z3 por AiJ!i6

"esla represent.a uma vibra-~io aHolica de amolilude A a fa"e absolul~ 6, como mo&lr~ a figura ~.b. 0 eslado de oolarizllyao ellolico generalizado referido a urn sislema de eixos carlesianos U"bilrarios

e

oblido levando em conla a rn.-lriz de rol.y~o "- ( -

e ).

cos( (. ) isen( (. )

[cos(9)co.(,) - isen(9)sen(c.)] [sem9)cos<c.)+ icos(9)sen«(,)l

onde 50' -9 ) • [

-sen<9>]

cos(e>

Note pela eQUayao 24 Que ~os os parametros necessarios

a

des-criyio da aliolie em lieu olano de oolariz~yio elil~o incluidos no valor de Jones. A-lraves d~ aouayio 22. conclui-sli Qua n~ bcse de velores circular um. vi.br.y~O e-li-clica corresPOnde a

[ cos(c.) - sen(c.) ]

.1e

]

....•..••.

,

\

\

"0

Fi?ra 5 - Est.ado de oolariza9io general1zado na ba •• cH v.tores cart.esiana: a ) vibrayio eliPUca com amplit.ude unit.arla e angulo de el1pcidade I.; b ) vibrayio ellp\.ica de fase absoluta 6. e amplitude A:.c ) vibrayao ellpt.ica com azi-mule 9. t., t.empo; x-.., eixo carlesiaoo; x'-..,' eixo com

ro-"-9

io

Exi6lsm aphca~s em Que a repr.IiRnla~~o da onda plana monocro-malica por meio de vetere& de Jones podlii!ser simplificada. Quando a ~lilude e a fase absoluta da ond. sac de lnleresse secundario. Assim sendo. define-se a razao X na base dlii!veloras cartelila~1i a partir das .auayoaa 17 R 24 como

Esta razao •• UI'l'\ nUmero complexo OUR POde reoreaanta'" auialQuer-esl.do de POlariza~ao como mostra a figura 6•. Para X =: O. a luz Ii oolarizada horizonlalmenle (X). Para XE ± co. a luz

e

POlarizada ver-licalmenlll M. A luz circu-larmente polarizada i direila (R) e ;i IIsQUerda (U corregPOf'lde aos POnto. X" i eX" -i respectivamenle. Na p~lll superior do plano complexo. a luz Ii alwUcamen-le polarinda

a

direila. Na parle inferior, a luz it eliplicam.nle POlar-izada •• s-auerda. Na reore!5enla~io plano-cornolexa carlesiana exislem duas familias de curvas or-lo~onai$ definidas par _{Eo~I/lEoxle ( 6~ - 6x ) conslanles} como iluslra a fi~ura 6b.

leg«(l)[ 1 - tBg2«(,JJ

1 + lag1(e>t.ag1(£,)

( ! _IX12 ).. [1 - lag2 «(')J[ 1 - t.eg2«(,,))

1 + lag2_<e)Lag2(£,)

Para a base de vetereli circular. 0 grocedimenlo Ii e rMtlimo.Alravti ••

Fip-il 6 - Raprasent.ayao plano-complexa cart.e.iana: a ) localiza-9io dos diferenles est.ados de polar1.za9ioi b ) cent.or--nos de diferenya de fa.e C) e razio de amplituda (-) canslanles. Xr•eixo real; Xi'eixo imaginar iOi R, luz

circulannent.a POlarizilda

a

direit.aj L, luz circularmant.e polarizada

a

aSQUerdai X, luz polarizada

horizonlalman-t.a~

Ex, ~

component.as do campo nil. diree;:o.s x • ~~aX!

6~ diferlitnya de fase na. direyOaS x a ~

A figUr"il 7 ilust.ra a reprasent.atrio no plano complexo dIit XI".. A luz circularmenle polarizada

a

esQUltr"da(U cON'esponda a XI' •• O. A luz circularmente polarizad •• direih (R) corresPOf'lde a X_I,,.-

±.

QQ. Na oirounfer'noia de raio

unila-rio, enconlram-se 05 diferent.es est.ados da luz linearment.e polarizada. A luz

pola-rizada horizont.alment.e (X> corresponde a X raal • positivo. A luz polarizada v•• U-calment.e (Y) 8oresent.a X real e negaUvo. Fora da circunferencia de raio unit.ario, a luz

e

polarizada

B

direit.a. Dent.ro da circunferencia de raio unit.'rio, a luz

e

P<>-laruada

a

eSQUltrda. Os; cent.or-nos de aaui-azimJl. e aQUi-eliPcidilde consti\.uem duas familias de curvas ort.ogonais.

Fi26"a 7 - RRPrlUient.ayio plano-eomplexa cu-cu1ar. As flechas UlcU-cam0 5e"l1do de Dr"ttsciment.o no azimut.e (

o,iro..nf...-in-cia traceJada ) au na el1Pclda"- ( r-eLa. que DAS5Ul pela

origem). R'<XI,IJ,.ilea real; lm<X,,>,eixo imagj,rW-i.o;L, luz

circul.,..,."t.e POlarizada a .sauw-da; X, luz POlari.zada hDrizont.&lrnenLej

v,

luz POlarizada verLicalment.ej (_ ),

canLcmos de eaui-azimuLe; ( _ ), cont..ornos de

eau.i-elipeidade

Eaf.ro de

Polncore

Circulo Unltdrlo

Fi26"a 8 - A esf.,... de Poineare: a ) pr"O~yio •• t.••• ografi.ca do

ol.no canolexo XI'; b ) configur.yio des .sLados de

PDl.riz.yio do plano XI,. N. polo nort.e; C, e-nLro ~

.sf.,..; O. DOlo sul • c.,t.ro do pl.no XI'; P, PDnt.o do

plano Xv; Ps' pr"O~io •• t.er-aografic. ~. a •• f •.•• do pant.o

p;

e.•

zimut.e;Co, anoulo de el1Pcidadtl; R, luz circu-l.nnent.e POlarizada a direlL.; L.luz cir-cularment.e

a ) 0 pOlo soul<O)a nart.e(N) COM"aspandltm a luz circularment.a pola·

rizada

a

ItSOQU8f"'daIt • direit.a rltliPttcllvamenllt

c ) abaixo do Itauador, a luz a palar izada

a

esoaue~. Acima do e-auadar, a luz i! polarizada

a

direil •.

d ) as laUludes correspandem a cent.or-nos de eQU.l-eHpcidade. As longiludes indicam cent.ornos de eQUi-azimut.e.

p

-+on

I~+ ; I

·---.1

Fiva 9 - Proieyae asot.areogrilf'ica P, de P do plano complaxo XI,,. com latilude 2,. N. polo nort.e; O. Dolo sul; C. cenlro cia

esfera

A figura 9 most.ra que Rsot.ados da polarizayao com c. consot.ant.e no plano cOrTIDlexoXI,,.cerraspondem a urn 8slado de palarizayio na esfera de Poincare com lat.it.ude 2(.. A prova baseia-se no fat.o de Que 0 lriangulo N<Y_s

e

isosceles

parQue dois de seus lados sao raies da esfera. 0 angulo LCNP,

e

igua.l a , + .•/~

ia

Que a esfera tern diamelro unilario e 0 mOdulo de OP corresponder a lag(£+'7l/4) no

plano XI,,..

A soma dos angulos no toriangulo NCP_s

e

'7lr.dianos. Com ist.o, 0

A latilude na esfera de Poincaré correspande il 1Il12 - LNCP_s, ou

se-Ja. B ~(, como era esperado

Pode-se defInir a parllr da esfera de PoincarQ cuatro coordenada. ( 10, 11,! ';'1:J ) sufic1entes na delermlnõlçào do eslado de polarl;Zilç~o da luz mono-cromál1ca. Eslas .ào dadas por

!1= ~cos(2')COSi(2e)

!2

=

~COS(2')Sen(2e)

2.1.4 - Ondas QUt.lse-monocromáUcas e parâmelros de St.C'I<es

Os velor&s de J ones e a repre.enlaçilo plano cC)(;lOlexaforam def 1-mdos para luz monocromática. Desta forma. o camoo elétrico elil.va num plano x-y, onde realizava um movimento eÚplico. Na prálica, não é possível obter luz com um único valor de freQuênc1a. A luz Que. se propaga pOr sistemas Ót.1=05 é

Quase-mono-cromática.

A luz Q'Jase-monocromálicil é o resultado da comoosiçilo de ondas cujas freouências situam-se numa faixa dw em torno de w_o. Os Oôrâmelros Que de-finem a elipse de polarIzação variam no tempo. É possivel trat.ar esle croblema co-mo urna onda co-monocromátlca Caso dw/wo se.!_ mullo peQueno, anill1liiã-Ete a prQPilgação

da luz em intervalos âl muilos curtos.

Este intervalo tem Que ser suficienlemente De:l'Jeno para QUe B

••

flutuarão da polarizaçãD de E seja desprezlvel. Porém, âl lem OJ'E ser suficienle-menle largo para acomodar vár10s c1clos de freQuência wo. De'.le-se r'eEsallar Que

e.las condições ocorrem usualmenle na luz emitida por um lilser Assim 5endo.

Devido

a

depe~noia lQ~al no velar de Jone ••, 0 e ••t.ado de pol

••-rizayao nao corra5panda • urn penlo fixo na a5fara de Po~ar •. A enda Qua5.-mo-nocrom~lica aDf"'Qsenlauma lrajeleria irregular na .sfera de Poincare. De acordo

• ) desPOlarizOlda - a anda QuOl5e-monocromilicapede alingir Qual-cuer eslado de POlarlzatyao sem dislinyao. 15lo cor-resPOnde a urn cammho alealerlo na esfera de POlnCare como iluslra a figura lOa.

b ) parcialmenle polarizada - • anda apresenla-se corn maior fre-Quencia em urn eslado de palar1zatyao P,o' Na esfera de Poincare, islo sl9'iifica ~e

e

mais prov~vel IInconlrOlr • onda numa regiao proX1ma a P,o como moslra a figura lOb.

c ) lolalmenle palarizada - a lrajllleria cia luz corresponde • urn

u-nlCO Q5lado de POlarizayao P'o como esl~ eSQuemalizado na figura lOc. De acordo com a eauatyao 26, islo

e

possivel caso duas condiyoes sejam salisfeilas:

onde C1 e C₂ sao conslanles. Esle caso

e

especial porQlJe

ha

correlatyio

(coeren-ci.) enlre Ex(l) e E",(l) Num experimenlo, a luz monocromalica e a lolalmenle POlari-zada sac indistingulveis.

.l?~

Y

As coorden~das p~r~ 0eDl~do de pol~riza~~o d. luz QU.5.-~ro-malica levam em con\.e 0 seu careter prebabilistico. Trata-se des parametres de

onde (f(l» corresPOnde

a

media t.emporal da f\J09ao f(l). 0 paramelro de St.okes So corresponde a inlen5id~de lolal da enda independenlemenle da su~ pOlariz~y~o. 0

paramet.ro S1 esta relacionado com a polarizayao horizont.al e vertical da enda. Quanlo m~i5 t.empo a ond~ f ic~ em urn dest.es eslados. maier Q 0 valor dB 51 em

mO-dulo. 0 paramet.ro Sa indica preferencia pela polarizayao linear a

±.

45°. A pelari-ZayaO circular

a

eSQuerda e

a

direit.a. per sua vez, referelT •..se ao pararr.et.ro So'

Pede-se escrever est.es paramet.ros como um velar de QUalro

onde 5

e

definido como 0 velor de St.okes da luz Quase-monocromalica sendo valida

a desi9ualdade S~ ~ S~+ S~+ S~.

Para urna onda lot.almenle POlarizada, 0 vet-or- de Slokes S",. assune

a seguint.e forma:

A deduy~o de StP leva em cont.a as eQuaiOea 26 e 27 aplicadas

a

definiy~O de velor de Slokes.

Figlra 11 - As coor-denada. pelaras ( ~, 'JI/2 - Z •., 26 ) no sub __spa~o de 5lokes (5₁,5₂,52)para 0 eslado dlI DOlarizayio P.

A d8lerminayio do velor d8 Slake. para a anda parcial~nle

polari-z.da (5,.,.)" re.Upolari-z.da cornoiderando a seguinla deCOl1lPOSi~io·

onde 5",. • ( 50,S1.5₂.5_{3 )}

5..,.. ( [

50 - ( 5~+ 5~+ 5~)1/2],0,0,0)

5t

,.= ( (

5~+ S~+ 5~)f/2 51 ' 52' 53 )

A enda lolalment.e pelarizada apresent.a ~ c 1. 0 grau de

DOl.riza-yaO Ii! nulo para a enda despelarizada. ADenas para a luz ~cialmenle pelarizada,

~ assume valores fracionarios <0 ~ ~ ~ 1 ). 0 velor de 5lokes 5,.,. PDd8 ser

escrilo em lermos de ~ como

o

sub-espayo de Slakes

e

definido gelos PAramet.ros ( 5₁.5₂,5₃ ) como moslra a figura 11. 0 eslado de polarizayio • dado per-urn penlo de

coorde-~das ( ~, 'J{/2 - 2,,ze ). 0 sub-escayo de 5lokes coincide com a e.far. de Poincaril

Z 2 -

nm.criyao

de coaUJI IOIlles olicos

AB propru~dades fisicas de muilos materiai •• io anah.ada. atra"its de 51sl.mas clicos. 0 funcionamenlo desles se bas~ua naso all •.. ac;:OasQUe a luz

&0-fre ao passar sobre uma amoslra do respeclivo malerial. Na pralica,

e

preferlvel a uliliza,;~C' da luz de laser pela sua coerencia e intensida~. Trat.a-se de uma luz Qua6e-monocromalica, ou seia , 0 seu Rspeclr"o de f'Ntauencia angular" Qsla limit.ado

a UTI peaueno inlervalo .6"'1 em lorno de wo'

A t.eoria desenvolvida nest.e capit.ulo part.e do prmcipio de QUe a luz • monocromalica au QUase-monocromat.ica• Que Qst.a muda seu eslado de polari-zayio ao Dassar per urn comDOO8nleclico. ExisL.m dois liDOS Drincipais de comoonenles clicos: os relardadares Q05 polarizadores. Oeve-se ressallar QU., na

pralica, ~o exisle urn componenle clico ideal.

Urn sislema alico 51 consliluido per varios componenles QUe padem mudar 0 eslado de polarizaryao dOlluz QUese propaga alravRs deles. A sua Cla5l51-ficac;:ao depende do grau de polarizaryao da luz emergent.e ("e) em comparac;:aocom0

incidenle ( ".). Caso "e ~ "., lrala-5eI • de urn sislema alico ~o-desDOlarizanlQ cuja descric;:ao pede ser feila alraves da malriz de Jones Caso"e S "i' 0 sislema clico

e

despolariz,;mle onde a reDresenlayao mais adeauada

e

dada Deia malriz de Mueller".

Em urn sislema alico nao-despolarizanle, a prepagayao dOlluz auase-monocromalica efelua-se como moslra a figuril 12. Caso nao exislam processos Que allerem a freauencia da luz, 0 velor de Jones emergenle (Ee)

e

oblido a pilrlir" do incidenle (Ej) por

onele T R a malriz de Jones do sist.ema cujos elemenlos T_ij sao rUneros complexos;

.

Figlra 12 -Prooaga4j:ao da luz emun sistema olico

nio-deIlDOlari-~ ~

zanle. E_i, velor campo elelrico incidenle; Ee• vet.or

carrc:>oelQlrlCO emergenle; 5. sislema 6t.ico nao-despola-rlzant.e; T. mat.riz de Jones do 5i5lema; (x,•••,z) e (x',•••·,z') sao os sist.emas carlesianos na enlrada e na saida res-pecUvament.e

Os component.e. olicos t.am a sua re&PRcllva malriz de Jones (C).

Ca-1i0 formem urn sist.elY olico nio-desPQlarizant.&, T • fornecida pela.s mat.rizas de

Jones de cada componenl&. Prova-se e5t.a a.firnMl4j:ioconsiderando un 5ist.ema 6t.ico cansliluido per dois componenles como moslra a figura 13a. 0 v.t.or de Jone5 emer-9Qnle Ii dado par

cnd8 Eintl,. • 0 velor de Jonelii da luz int.er-mediaria aos dais component.as. A

genera-liza4j:io para N componenle •• mo.lrada nalii figuras 13b • 130. Nest.. c.so,

T'

fornecida por

Nole Que a ordem das ma.t.rizes deve ser respeit.ada.

A mudanya pela Qual liofra 0 ast.ado d. polarizayio cia luz ao

passar per um sist.ema 6lico DOde se limit.ar apenas aos paramet.ros

e

a c.. Est.e caso foi e.t.~do an\.eriorment.. alravelii da variaval complexa X. Em urn aislema alico nio-desoolarizanle. pode-se definir X para a luz emergent.e (XI> • incident.e

•

••

-

Ej

[7J

S

•

••

-E

_e

Fl9ilTa 13 - PrOPaga~io da luz PIIIDS Oomporwnlas de l6T\ sist.~

0-t.ico: a ) dais ~ lentas; b ) N componentas; c ) sist.e-m~ gen8rico. C;ICii •... ~ SiD malrizes de Jones dos

sist.e-~ ~

mas DUcos; E" velor campo elelrico incidenle; E., vet.cr campo alilt.rico ••••• ogent.eiSil SOil"S." sio os componenlas do sist.ema, T ,malriz de Jones combinada do sislema

oli-ceS

A expressao acima

e

denominada funyio t.ransferencia de oolariza9ao

<PTF). A aUlOPOlariza~io de urn sislema oUco <X_A)corresoonda

a

iQualdade ent.ra X~~ Xi' As aut.epolarizayOes sio definidas como dois aut.oesladas de polariza~io os Quais nao sao allerados QUando urn feix8 de luz 1'8 prepaga palo sistema cUeo. As aulepolarizayoes sao oblidas a parUr das ralzes de urna eauayao do 22.grau.

24-

«

T2Z - T11 )

± [ (

T22 - T11 )2 + 4T12T21 )1/2 )

12

and.:? A_{ci •} E•• ~1 .•X.X;- Q Ace • Epl[' ~ 1 .•

X.X:

siio.~ f~0e5 dii! l,.an~fQ"Qnoi. dQ

amphlude (ATF> para a onda .'lIergenle e inc1denle respecl1varnenle, I, slgniflc.a ODQrilyiiode con1-J~ilyiio.

De acordo com a eQuilyio 46, pede se escraver Ace am lermo. de

1 • !

~r<Xi). ( + XeX, )2 ( Tl2X. +T11 )

1 + X;X~

onde

,nX

j)

e

a funyao t.ransferencia de arnplit.ude-complexa (CATF).

Oblem-lie as aUlovalores d& T (V_u,::)aplicando as aulapolariza'r&u; (X_U,2) do sislema na CATF.

~ ( ( T22 +T11 )

± [ (

T22 - T11 )2+ 4TL2T21]1/2 )

Os elemenlos dQ T sio delernlinados • p.rlir d05 .ulovalores (Vu

e _{Vi2) e aulopolarizayOes (Xi1 e Xi2). A eauil'rio SO eslabelece} urn sislema linear

CU}CI soluyao correspande aos elemenlos Tu e T11' A eciu./yio 51, par sua vez,

pe!""m1leabler T22 a parlir de T11' 0 elemenlo T21 e dildo pelil eQuilyio 47.b .lra~s

da relayao T:H ~ - T 12<XUXi2).Com esses resullados, conclui-se aue os element.os da malriz de Jones pad em ser escrilo5 como

VuXa: - VuXu

"'alXal - Va:zXa:z

Xa1-Xi2

As eauOltyoes52 a-52 d possibilllam classlficoar 0:;; compOnE>nlesOll-COS • oartir das aulooolOlrlzOltyoese aulovalores dOlmalriz de Jones. Por.~,. a

des-criyao do eslado final de oolarlzayio dOl luz nao oode ser raOlltzOldaalr-a·",itsode urna malrlZ de Jones oara sislemas despolOlrlzOlnle5. Islo decorre da interayao

incoerenle enlre a onda

e

0 slslema alico. Torna-se necessario reccrrer ao

formalisomo mais ri~oroso das rnOlt.rizes de Mueller. 0 t.ralamenlo mat.err.i.lico a seguir parle do princicio de Q'J!! 0 !:i!:lema 6lico

e

nao-despolarizanl!!. Nc enlanto,

o resultado lambem

e

valida para sist.emas alicos aue 8xibem dSDolariza'Yio.

o

eslado de polarlzayao dOl luz pode soar expresso pelo velor de

coerencia (3) definido por

onde x indica produlo direlo de d01S velores ou malrizes enlre si.

onde Ji

e

0 vet·or de coerenoia da luz incidenle. Na oblenc;:io da eQUByio:i~,

ut,1li-zou-se da igu81dade malricial [<AB)x(C.D))

-=

(AxCUBxD> com A,

a,

C e D mat.rizrts auailiQuer. A malriz de Jane. nao dependQ do llilmoo pod&ndo aSOSOlmlier raUrada do

onde .A-J

e

_{a malriz in\oo'ef"'S8de .Ai Mea malriz de Mueller e Si e 0 vetor de Slokes}

da luz incidenle.

a

de&envolvimenlo da eauayao 56.c moslra QUe 0& element.os; da

ma-t.riz de Jones delerminam M.

r~E'+.E'+ E,+ E.)

;(£.- EJ- E.+ E.) F ••+ F~I -Ou-G.1

H= ;(E,- EJ+ El- E.) ;(E,+ EJ- E.- E.) Fu - F.1 - Gu+ G.J

F,.+ Fu F ••- Fu

(57)

Fu+ F~ _{- Gu+ G~}

L.G,.+Gu _{G••"7Gu G}u

+

G~ Fu- F~

E.• T.T~ • I T.

fl,

i • 1,2, 3, 4

I 'I •

F..• F ..• Re<T.T~)• Re<T.T~) com i,ia 1, 2, 3, 4 " II " I'

G..• - G..• Im( T~T. ) • - 1m<T!T. ) com i,; • 1, 2, 3, 4

II I' • I J I

Dsve-slil re5soallar QUBa formaHsma daso malrizlilso de Mulilller iii m.1S

geral QUe0 de Jones. A sua apHcacrao esolande-solilper uma variedade ample de

o

polarlZador ~ um componenle ótico cuJa :!salda e um e:!SpecHico

e:!5-t.~do de polariz~çio definido a parlir d~ luz incident.e. 05 hPOJ; m~is comuns da

polarizadores são lineares e circulares. Nest.e capitulo, há in'..eresse apena:!5 em descrever um polarizador linear. Este, par sua v.z, apresent.a dou; .ixos: transmis-sio • .xlinçio.

P~ra um polariz~dor linear ideal, o coeficient.e dê ab~rçio Q infi-mlo par~ o eixo de exl1nçio Q nulo p~ra o de lr~nsmissio. Com .lSto, apenas a

com--+

ponente de E ao longo do eixo de lr~nsmis5io nio se altera oJrant.e a passagem da luz pelo polariz~dor. Pode-Iie comprovar QUe um polilriZildor

é

linear. ~lrav.1i da Lei de Halus.

A figur~ 14 mostra um arranjo experimental QUtt s. utiliza da Lei d.

Halus. A luz nat.ur~l incide num POI~riz~dor linear cujo eixo de t..r~nsmisosoiofaz um ângulo

e

no plano x-y. O analisador corresponde a um segundo D:>larizador linear cuja t.ransmissão soó soe efetua no eixo y. O detectar serve p.r ••.•.edir a intensidade da luz ( I_{d )} dada pela Lei de Halus:

I

_N

LUZ

NATURAL

F"iglTa 14 - Arranjo experimental para comprovar a Lei de Halus. In•

As s.9Uin~ rela90es sio validas Dara as autoDolarlZa90&s e aulo-valores de um Dolarizador ldeal.

).UX:2 • -1 (~9a)

V_u I: 0 e V_u'" 1 (:i9.b)

Os elemenlos da malriz de Jones Dare 0 oolarizacY.:r ideal <Tp)

00-d~m S~r obt.idos a parllr da ~Quaij:ao 52

A eQuaij:ao 60 Dode ser ascrila em lermos de

e

a ~ ~ luz Dolariza-da· em.r~liitnle a parlir da liloua9ao 26 para X em coordenadas carleSla",as:

T11 •••( co~(e)cos2«(.) + sen2(0)sen2«(,.) )

T22 • ( sen2(0)oos2«(,.)+ cos2(e)sen2(t,) )

T21 I: ( cos(E/)cos(L>+ isen<O)sen(£,)X sen<O)cos(,) + icos(9)ser,r.,) )

T12 •••( cos(9}cos{£.) - isen(9)sen{£) )( sen(9)c05(£) - icos(9)sen<&.))

(61.a)

(61.b)

(61.c)

(61.d)

No caso de urn polarizador lintilar ideal, c.Q nulo. Lo~, a malriz de Jones TF

e

dada por

A malriz de Huliitller do polarizador linear id&>al(H_F) Ii! obUdOl a a POlrlir dOl&Quaij:io 57.

1 c05(29) sen(2e) 0

cos(20) cos2(29) sen(20)cos(20) 0

Hp«(l) •

!

(63)

L

sen2₍₂₉₎

sen(ZO) sen<Z9)cos(29} 0

0 0 0 0

A fim de se enlender 0 funclonemenlo de urn relardador, lorna-se necessario disculjr e anisolropja das subslancias crist.alinas. Em urn malerial cu-jas prooriedades oUcas; indeoendem da dlreyio da luz •• sol. 51 caracl.rizado COfTtO 1-solrooico. Caso conlr~rio. oode se afiN1'lar Que se lrala de urn malerial anlsolro:::n-co onde 0 Indice de refrayao nao

e

0 ~~rnO para t.adas 8~ dire~5es de polariZ8

y

ao.

A amsolropia

e

causada pela disposiyao assimQlrica dolO .alomoi> denlro da rede As ligar;:oei>enlre esles podem ssr represenlados por molas CUJas conslanles lSm valores dH'erenles como moslra a figura 1S. Logo. uma arnosolra anisolropica apresenla os indices de ~frayao exlraorinario (ne) e ordin~rio ( no)

corresoondenles 80S eixo& crincioais y e x resoeclivamenle. 0 eixo olico it 8 dl-re)80 segundo a Qual os raios ordinarl0 e exlreordinerio l~m e mesma velocjdaoe Na figura 15, 0 eixo olico corresoonde .a dirliilyaox.

A birrefrigencia ( ~n )

e

definida como a difer'enya enlre as indices ne e no.

Uma amost.ra birrefrigenle de esoe&sura d orovoca urna relardayio

r enlre doiso auloesladoso de polarizayAo de luz Que ss propaga segundo 1ST ••

o.rlicular direyio no crislal. A birrefrigQncia lraduz-se na difRr'8nya ~n _nt.r&Oil dois indices de refrayao 8ssociedos 8QUeles auloeslados. No caso de uma birrefrigencia linear, a relardayao refer-e-se a dois est-ados de polarizayao linea'" segundo 05 eixos principais de uma lamina orislalina. A ret.arda9ao

e

dada por

• elxo

I

(Hico

Fi~a 15 - Lig8yoes enlre as .alomosnum crislal anisolropico. x , y

6

=

kT

=

2),'7t(~n.d) (66)

.

onde ),j e 0 comprunenlo de onda da luz incidenle.

A rElarda~ao pode ser provocada lamberr.oar len&Oe&exislenles no malerial. De&la forma, eXl&lea SQ9uinle rela~ao enlre a ter"\SaoC T aplicada a urn

ma-terial e a relarda~io por ela induzida:

onde Co

e

0 coeficienle alico de lensao caracl~ri5lico do material.

e

retardador modifica 0eslado de polariza9~0 da luz devido

a

bir-refrigencia. As seguinles relayoes sao validas para as auloPOlariza90es e aulova-lores de um retardador:

Ulilizando-se do. eauayao 52, pede-se escrevar a malriz de Jonas TA

do retardador para 0sistema de eixos carlesianos da figura

15

como

Para urn relardador linear, nao hi allera~0e5 na elipcidade da luz incidenle. Desta fenna, (. e nulo 0 Que implica emXu & la~f) pela RQUayio 26. A

LUZ LINEAR

Ex

~:y

LUZ

ELI'PlICA

-.

Flgl!"'A 16 - A limlna ),/4. _{Ex' Ev component-es do ••.•t-or E} nos alxos

A malriz de ~ller

H,.

de urn relardador linear cujo e!xo ollco esleia na direyio x pad. lier obUc:s. a parlir da e~ac;io 57 correspondendo ~ .eguinte aXPressio:

Entre os relerdador'es, dois liPOs devem ser oilados: e lamina V4 e 0 modulador fot.oelaslico (PEM).A lamina ' A / 4 tem a propriedade de produzlr urna

difaranya de faS8 aslaUca de .•/ 2 . ADproduzir urna dHerenc;:a de fase aslalic. de

:!: " ' / 2 , a lamina consegue transformar luz linearmenle polarizada em el!pUca e

vi-ce-versa como moslra a figura 16. Per-em, nao • para QualQuer fr~ncia QUe a lamina eorlSllgu8 produzir eslll efeilo. Huilas VIIZIIS,lorna-se necessario CQnslruir urna lamina para urna freoUencia espec1fica.

o

PEH. par sua \feZ. trala-s. de urna placa prismaliee de guarlzo

cu-ia birrefrigenccu-ia

e

variada mecanicamenle aplicando lensoes uniaxiais. Esla pro-priedade em malaria is t.ransparanles • denomi.nada de efeito foloelaslico. Assim sende, pede-se modular 0 astado de polarizayio c:s. luz induzindo uma diferenya de

f ase It", senoidal no t.empo enlre as duas compenenles lineares Ex e E':j do

calJ1X)e--t

MODULADOR FOTOELASTICO

Fi~a 17 - A modulayio da luz pelo modulader fot.oalasUco <PEM>. 10. int.ensidade da luz incident.e polarizada

o

PEH faz variar periodicament.e 0 est.ado de pelar1zayao da luz

in-cident.. ..em cont.udo modular .ua int.ensidade 10, Per exemplo. permit.. transfer-mar luz linearment.e palarizada a 4 ' = S ° em relayeo aos eixos da lamina fot.oelast.ioa desde

circularment.e polarizada

a

.sQUercia ( - ) at.e

a

direit.a ( + ) como most.ra a figura 17. Entre as suas diversas apl1cayOes, 0 PEH POde funciona,.. como urna lamina ),/4 modulada. Para 1st.o. ba.t.a QUe 4: seja ajust.ado para -../2..

A mat.r1z de Huttller para 0 PEM ~) de.crit.a com relayao a 5eus

eixos princiPais pede sar obUda aplicando a eaua9ao 72. na 71.

1 0 0 0

0 1 0 0

H~I:H • (73)

0 0 C05<411\+(₀₎ 1081"\(4.+4₀₎

0 0 - _{••. n(41ll+40)} C05(41ll+40)

onde 4₀ it a defasagem e.t.alica residual do PEM.

Dave-se ,..•• salt.a,.. QUe a ap11cayio de t.tionioas elipsomet.,..icas ••

fundament.al para 0 .st.udo de pr'0P"'1edades da luz refleUda au transmiUda pela

o

perfil de tensões de filmes finos pode ser oblido a partir de um

arranjo exoerimenlal proposlo por 5hindo [12,13]. Duas configuraçõe. ólicas dist.in-tas foram monladas com o objelivo de medir. rQlar~9~0 da amoslra em um ponlo ( figuras 18 " 19 ). O v.lor da retard.ção é obtido a partir d. razão Wllrli! duas len&Õ9S I!hÍ!lric8s em' 8mb.s ali monlagens No entanto. os dois sislemas precisam ser calibrados par. Que a mci!didaSI!;il feila com ~ boa precisão. O slst.ema pode ser calibrado a partir d. rolação da lâmina ).104. Desla forma. a varação d. razão d.s tensÕ&1iI!lélrica& ao longo da .mostra resulta no perfil de lensã.s para f il-mes finos.

2.3.1 - Hedida da relarda~o pel~ detllCÇio d& dois sinais ac

A figura 18 mostra o primeiro arranJO experimental idealizado oor Shindo [12,13). Incide-s& luz qu.se-monocromálica num POlarizador linear P a + 45·.

O modulador foloeláslico M alua como uma lâmin. ~/4 criando uma defasagem

e~:ili--.

ca enlre a& componenles do campo elélrico E incidenle desde

O

alé ~/2. A amo&lr. S faz com o.Je • luz sofra uma relardação 6. Um polarizador line.r a - 45· serve como analisador A. Finalmenle. a luz incide sobre un delector D com uma inlensida-de I. delermmada pelo uso das malrizes de Mueller.

O

&i&lemade eixos dos diversos comoonenles óticos coincindem com os do laboratório. Dest.a forma, as m.lrizes de Hueller do pel.rizador linear ( eouação 63 ) I! do relardador linear na direção x ( eouação 71 ) são suf icianles para a .nálll;e do sislRm. ótico proposlo. Ali matrizes da Huellar para os respect.ivos componenles ulilizados nesla monlagem encontram-se na Tabela 2. A luz incidenle é cuase-monocromática despolarizada cUJO vetor de Slok~ Í;IlC li dado

LUZ

QUASE

MONOCROMAT ICA

Figu-A 18 - Prunair~ configura'rio para a medida da ,...t.Ar~'rio. P. POlarizadori H. modulador folOQlaslico com aixos M.-M..,;

S. Amosl,.ai A. analisadori D, dawoleri 10. int.en.idacM da luz incidenle; 1

4, inlensidade da luz no det.ect.or

a

valor da in\.ensidade da luz no delllcler it obt.id~ a parUr da .-QUayio 44 • ~s malrizes da labela 2.

A "" A " AA

14 •• DASl'-PJ01"

,.

end. 1_{41 "} 0 Vglor' ~ St.ck •• cia luz incimant. •• obr&l0 dgt.gclor.

a

p~ramet.ro de Sl.oklls 1_{0 p~,.a}

j~

corrtlSQondfil

a

inl.nsid~da de luz

onda P11 a P13 sio al.mentos da m~\.riz de HueUer do dfilt.filClori4₀ it •. defasagel •.

ast.at.ica r8sidu~l do PEH II de component.lIs

NO

ideais Uant.es • gola,.izadoras ).

Deve-se desenvolVllr a eQU~yio 76 11mfunc;:io de cos<4.) e Sen(411'1)' Porem, 411'1deDende do lempo de acordo com a eQuayio 72. Assim !5endo,

e

POssivel .xpandir I.em lfilrmos de fl..lnlj=Oesde Bessel a p~rt.ir daB s8guint.es IIxPNI.SOeS:

onde J_o' J 1 a J .• sio a. f~o.s d. Bessel inl.ira. de zero, primeira II sa~ or-dem ,.asDecli vamenle.

onde K1 a K2 sio cons;lanl.so delerminadas axDerimenlalmenta alr.veso de dois;

lock-in Slnlonizados na freauencia angular Hili e 2H •• do PEMcad a

A r.zao antre esolesodois; s;inauii pOssoibilila a madldia d. defasag.m causada pela amoslra.

K?V( Hili)

6 • -40 + .rct.ag [ ---l K1V(LHtD)

Na maioria da~ aDlic8yoes, 40 Dede ser considerado de~Drezlvel.

Pa,..a angul05 no inte,..valo de 0 a 0,35 radianos, pede se aproxima,.. a l.an~enl.e Delo seu ar~umenlo com urn erro de ~%. Desla forma, conclui-,se Que, pa,..a D8QUenas re-lardayoaso, • valida a seguinl. IIxprasosoio:

Nole a parlir dOlQau.yio 66 Que a medida d. defasag8m • suficienle para &e deler-mina'" a rillardayio desde aue 0 comprimenlo de end. da luz seja fixe e conhecido. A monlagem oropesla tie capaz de medir relardayoliSi em filmllS fineso parQU8 as suas lensOes sao biaxiais 0 Que lorna os SiRUSieixoso princioais coincidllnles com os

ei-xos x e .., do laboraLorio.

1 0 1 0

...

Polarizador linear ( P> _{0 0 0 0}

oom

eiXQde

kansmissaQ

!

2

a + 4S- em relapD ao ei- 1 0 1 0

"0 Xdo labpr'lOrio

1 0 0 0

tW.a1ador

(o\oclas

••

tico ct1) com eix05 _{0 1 0 0}

pr1ncU>ai5

ooinci-dc:'[ltes

com

p;; do 0 0 cos(ct,. +e:to) Een(e:t",+e:to)

labor=alOrio

0 0 - ••• n<e:tIl\+Clo) CO ••(ClII\+Clo)

••

1 0 0 0

Amostca

C5) C?OI!!-i!M

principals coincidenles _{0 1 0 0}

oon

05 do labQrlt.6rio

0 0 cos(6) sem6)

Na figura 19. encontra-se outro arran,o exper.unental proposto por Shmdo (12.13]. A luz QUilse-monocromialica incide em urn palilrizador lineilr horizon-tOll com eixo de lran5mis;&ao a 90' em relayio aos eixo& do laboral6r!0. 0 modulador, por sua vez. esla a .45'. A amos;tra permanece na me&maconfigurayio anterior. Hi. urn oulro polarizao;:,r linear a .45' anles; dR a luz aUn~il1r0 deleclor.

A Tabela 3 forneee as malrizes dos comPOn~les nesla nova confi-gurayio A.sirn aendo. calcula-se a inlen5idiade dil luz no deleclor pelo rTle&mo pro-ced1menlo dia sscyio anlerior. ADOs0 calculo com as malrizes. conclui-se aue a

inlensidiade correspende

a

sRQU1nleexpressio'

A Rxpansao em lermos de funyOes de Bessel mostra Que a t.ensao .-latrica resullanle no delector aoresenlia c~nles dc e ac dada. per

ende G1 R G~ sio conslanles; dRlRrminadias RxperimenlalmenlR alriavvs dv urn micro-amperimelro dc e um lock-in sinlonizado na freQuencia angular wil do PEH.

A defasagem & obtida pela razao entre 8sl.s dois sinai •. Esta

cor-G2 sen(t)

G1 1 - Jo(a~)sen(Q.o)sen(6)

Considerando a defasagem aslallC- r •• idual do modulador • dR outro. corr~enl •• desprezivel _[sen(a.o);: 0), conclui-se QUea eQuayio 83 pode ser escrila como

V(Wm)

- c

Vdc

~sen(6)1

Nol8 ~ p~rlir ~ eau~y~o 66 QUQ a medid~ d~ def.sAg&ffi

&

&uficion-la p~r. 58 d8lllitrmi~r a r8l.rd~y~o desde QUQ 0 comprimenlo de ond~ d. luz 58;.

f ixo e conhecido. Esle sislQm4l6lico t.mbem serva para medir relarday0e5 de f il-mes finos. No enlanlo, a saida do sinal

e

mais vanlajosa por possibililar _uma

rnedi-da dlrela da relardayao.

LUZ QUASE MONOCROMATICA

FigLr. 19 - Se~a confi9urayio para a medida de relardacyao. P, polarizadori H, modulador foloela5licoi 5, .mosLrai A,

8nalisador; 0, deleclor; Jo' intensidade da luz UlCidenlwi

I", inlensidade da luz no delector

1 -1 0 0

-1 1 0 0

PolVizador' horizontal

cP)

!.

2

cqn

eixo de \.r'nsmissao 0 0 0 0

na~y

1 0 0 0

1

l'1cdJ1ador foloe1as- (l _cos(n II.+ 0 , , ' 0 - SE:n(<<••+

"0'

••

Uco a + 45· (H)

com

Ilixos principais coin- 0 0 1 0

cident.es

com

os do

0 sen(Q. •• + Q.o' 0 COS(411\+4o)

laborat.irio

r

1 0 0 0

0 1 0 0

,.

Amostra (5) com eixos p"'inciDais

coincidenLes

com

OS do 1aboraw'io 0 0 c05(6) 5en(6)

0 0 - 5en(S) C05(0)

1 0 1 0

0 0 0 (I

••

₁

Anal1sador linear (A) oem eixo

2

de

t.ransmissao

a +4;).

_ern

_rel

_a- 1 0 1 0

~o aD eixo x do laboralOrio

Esla h?cnlca oblRm rp.~uJlado~ 8xpenmenlal •• parLJr dOl e1.lin'jlao do Slnal no d8leclor. Urn arranjo iluslralivo esla esauemaltzado na figura 20. A luz at.ravessa d01S polarlzadores cruzados PeA ant.es de incidlr no delect.or. Calio f05&Qmpolarlzadores ldeais. 0 sinal no det.eclor serla nulo PoriuTI, islo nio Iii!

obser .•..ado na Priit.ica

o

polaruador linear real aoresenla urna dafasagem eslalica nio nu-la. Isle leva a necessid3de de inserir urna lamina comoensado!"'a V4

<C>

enlre os polarlzadores. Para obler comoensayio da defasagem eslillica e anular 0 sain.l, a

l~mlna A/4 deve ser rolac!onada de urn ~r19ulo

e

8m rel_9ao 010 ~lXOX do

laboralo-rio. Porem, deve 5e ressallar Que0 anulamenlo s6

e

possivel para urn con;unlo de 4

Sn9ulos

<e

1,92.93,(\.),

Figura 20 - ComoenS8,;aoda d'E!fasagempor uma larr,ina } . I 4 . P,

POla-rizador; C, lamina compensadora A / 4 ; 1-..analisador; D,

•.

deteclor, 10, inlensidade da luz incident..e;

e',

angulo do polarizador; 9, angulo da lamina } . I 4 em rel89io 80 eixo

x do lilboral6rio

A defasagern devido

a

rola9ao da lamina } . / 4 silua-se em uma das

oom~n~adDr de blrrefr19êncla~ re~iduai~ depend~ do án9ulo de rotação ~ e da sua correspondente zona da segUlnle forma:

1 O O O

O 1 O O

..

C-

(87)

O O cosl2<e-en») lõent2(0-e_n

»

O O -s80[2<0-6n

»

cos{2<e-en

»

onde n é indice de zona com n= 1. 2. 3 e 4.

A lécnic. de elipsomalri. nu1. pode ser aplicada na ca1ibrac;:io dos sislemas óticos; moslrados nas; fJ.guras 18 • 19 com o objetivo de determinar as oonslantes exoerimentais K_1• K_2, G_1• G_2. Basla apenas colocar a lâmina >.14 sem a-moslr •. O c~lculo com a malriz de Hueller para os &ist.emas das figuras 18 li 19 permanece in.ller.do só que, desla vez., a defasagem introduzida ao s;islema pode ser oblida alrilvés; do ~ngulo

e

pela s;eguinle expressSo:

Os 51na15 V(wm) • V(2wm)da configurac;:ão da figura 18 pedem s;er

a-nalisados pala técnica de elipsomelriil nula. A form. dest.as sinais enconlra-5ie n. f1~. 21.b a 21c A relardac;:âo estende-ae no intervalo de -'R/2 a +')(/2. As;s;1msen-do, V(wrr,)apresenla valores negativos .nauanto V<2wIII)é estritamenta DOsilivo. O

procedimento é o mes;mo p.ra a an~lise da razão entre os sinais V<wlIl)e V<2wlI\)'

Desla form., pode-se determinar QUanlo a razão medi~ .QUivale da relardaçio. Após a calibrl!lr'~ol a lâmina pode ser ajust.ada no ângulo de exlinç:âo para QUe

Zero de zona

Maximo ou m(nimo de zona

b)

+k

l

~ ~

-

_>

-k,

270 360

9(Grou,)

Fi?,"a 21 - A t.ecnica de .UpsOIMt.,..ia nula pa,..a 0 s1.lema 6t.ico QUe me.. ret.ardacrio POf"dois sinai. ac: a ) conf

lVU-,..acrio pa defasagem por zona; b ) forma do .inal V~) em funcrio do Angulo 6 i c ) fClt"'mado sinal V(2w.) em

A elip~rymetria espeotroscooica consisle n8 obtenyao de oarBmetros cUcos de urn malerlal em funyio do comprimenlo de ond~ da luz incltjente

>. .

EsPE!-cificamente, mede-s~ 0 indice de refreyao n e 0 c~fici~te ~ eb~oryao k em

funyio do comprim~nlo de enda. A formulayio leorica d~ elipsomelrla .spect.rosc6-pica lnlcia-se com os coeficienles de Fresnel oblidos ~ parlir d~s condiyoes de fronlelra oara 0 cameo elelromagnelico. A partir da inversio das eauayOes elipso-melricas,

e

p05s1v~1 medlr n e k alraves do sinal proveni~nle de urn eUpsomelro.

o

el~tromagnet.i9mo tern enlre os seus objelivos estudar a natur.za de prepagayio da luz. Define-se classicamente a luz como urna onda plana

const.i.t.ui-....

...•

de peles vetores E e B. No entento, para mei05 materiais

e

mais conveni~te S

uti-...•

...•

lizayao do velor de~locartlti!nlo dieletrico D e intensidads magnetica H. Ao pouosoar pela front.eira de dois mei05 oticament.e di ferent.e5, as IiRguint.es condic;:5eli devem ser obedecidas pelo campo eletromagnelico:

....

a ) Componenle t.angencial de E • cont.inua.

....

b ) Na aU5encia de cargas superi'ioiais, a componente normal d. D

e

continua.

....

c ) Componente normal de B e continua.

d ) Na ausencia de correntes sut:oerf.iciais, a compon~nte tang~cial

....

.

de H e continua.

M~io (0) M~io (J)

f"i••ura 22 -lncidencia obliaua da luz na fronleira de dois meios.

fo' angulo de lnoicsenoiai fl' angulo do ralO refrat.adoi p e 5 eixos paralelo e perpendicular ao plano de inol~ cia; 0 a 1 subser1t.os para meios d. proor-iadadas oUeH diferent.es

A renaxio conslI.t.a no rat.orno da luz ao maio de ori ••••m. A rafra-~ao. POr s~ vez, • a passalil&f1\da luz de un meio para oulro. Considera-se p e 5

como os eixos paralalo e perpendicular ao plano de inciMnoia resoeclivamenle. Na lncidencia

...

obliQua devem sar analisados t.rQs vet.ores camDOeletrieo: incidant.e

E;.

...

...

ran.lido Er, transmilido E\ . Alravits dos crilerios de front.eira para E • H •

po-dllCn•• r provadas as seguint.as rela~Oe. para a. ampUt.udes comDlaxas das comDO-nenlas do valor campo eletrieo:

2 Noco~~o

t., K

---N1COS~O + Nocos~1

onde r e t. sio os coef'iciant.es de amplit.ude de Frasnel oomplexo para a raflaxio e lransmissao respeet.ivarr.ent.ei ~o

e

0 angulo de incidanolai .1 , 0 Angulo do ral0

refraladoi No e N1sao os indice~ de refrayao complexos para 05 meios

0

e

1

Os angulos

to

e

t!

e~l30 relacl0nado~ com os indices de refrsyao

No e N1pela lei de Snell:

onde j

=.[:i

n

e

0 indice de refrsyao usual; k

e

0 coeficienle de sb!loryio do

ma-t.erial.

Os coeficient.es poden ainda indlcar 0 senlido de prOPa~ayio da luz. Para isto, ba.la a ulilizayio de una nomenclatura convenientli!. Per aX8mOlo,0

coeficienle r_01P corresoonde ao coehcienle de reflexio de Frli!linel para a dlN!9io p com a luz se propagando do meio 0 ao 1. Ca.o a propagayio da luz .Ii!ja inver-tida, os novos coeficienles de Fresnel POdem ser oblidos a partir das seguinles

rela-yOes:

A fjgura 23 mostra a jncidencia obliQue de luz em urn si!fteme ambienle-filme-subslralo. Admile-se oU'.? os lres meios seiam homo9~neos e olicarT.en-le isolrOpjcos com indices de refrayao No, N!, N₂ respecUvamenle. A luz linear-mente polarizada de comprimenlo de anda }, incide obliQUamenle em urn filme de

e5-pessura d onde· sofre mult.iplas reflexoe.. Dest.a forma, 0 feixe rli!fl_t.ido Q cons-lituido pelos raios provenientli!s de reflaxio do filme e do substrat.o.

o

coeficient.e de ref'lexio C" pode &er a.crito matemat.icamante da

onde 05 subscrilos 0, 1, 2 correspondem ao ambient.., fHme _ substralo