matemática ao conceito de ondas
M. F. Araujo de Resende∗
Instituto de Física, Universidade de São Paulo, 05508-090 São Paulo SP, Brasil (Dated: 10 de novembro de 2020)
I. ALGUMAS PALAVRAS
Se existe uma coisa que, talvez, você já esteja de “saco cheio” é de ouvir falar sobre oscilações, não é mesmo? Afinal de contas, tudo o que nós estudamos até agora foi apenas isso: oscilações simples, amortecidas, forçadas... E do jeito que o nosso curso estava indo, certamente iria chegar o dia em que só nos restaria estudar as oscilações de humor de algum parente nosso ou, então, as oscilações de sistemas que, por exemplo, podem ser cobertos com três bolas de sorvete e com uma calda de caramelo.
Embora a ideia de estudar esses últimos sistemas seja mais do que saborosamente inte-ressante, a partir desta nona aula nós iremos mudar um pouco de assunto: nós iremos voltar as nossas atenções pra um outro tema que é bem interessante pelo ponto de vista físico. E, conforme o próprio título dessas notas já consegue deixar bem claro, esse tema que nós iremos estudar a partir de agora é ondas.
Só que, para que esse novo tema seja introduzido da forma mais intelígivel pra você, nós começaremos a falar sobre ele de um jeito bastante “suave”, com bastante calma. E como nós faremos isso? Nós faremos isso usando esta aula não pra te assustar, mas, sim, apenas pra discutir algumas coisas bastante introdutórias sobre esse tema, explorando, inclusive, algumas informações que você já viu ao longo das aulas anteriores.
Questão 1. Aliás, dado que nós iremos introduzir o conceito de ondas explorando algu-mas informações que você já sabe, você conseguiria elencar alguns exemplos de ondas que é possível identificar no nosso dia a dia?
II. PENSANDO NUMA GENERALIZAÇÃO DAS OSCILAÇÕES
E, pra começar a fazer essa introdução explorando coisas que você já viu, você está lembrado de como nós te introduzimos à descrição matemática das oscilações? Nós fizemos isso pedindo, entre outras coisas, para que você avaliasse algumas informações que surgem de funções como a
x (t) = A cos (ωt) , (1)
onde A e ω são duas constantes reais. Afinal de contas, por mais simples que essa função era, ela também era a solução básica de uma equação diferencial
d2x
dt2 + ω 2x = 0
(2)
que era capaz de descrever o movimento de um sistema oscilante. E o que você percebeu, na ocasião, que estava relacionado a essa função? Você percebeu que, além dela ser uma solução básica dessa equação (2) como nós acabamos de afirmar, todas as constantes que nela apareciam tinham um significado físico. No caso da constante A, por exemplo, ela era interpretável como a amplitude do movimento de oscilação que essa função descrevia, enquanto que ω podia ser interpretada como a frequência angular que caracterizava tal oscilação. Aliás, note que, essa interpretação de ω como uma frequência angular seguiu de uma simples análise dimensional: afinal, como o produto ωt precisava necessariamente corresponder a um ângulo, o simples fato do parâmetro t ter unidade de tempo implicava automaticamente que ω precisava ter uma unidade de frequência angular; ou seja, à luz do sistema internacional de unidades, a situação era
[ωt] = [ω] · [t] ⇒ rad = [ω] · s ⇒ [ω] = rad/s .
Só que e se, ao invés de nós continuarmos insistindo em te pedir pra explorar coisas relacionadas a uma função como essa (1), cujo “miolo” é ωt, nós pedirmos para que você explore algumas coisas que estão relacionadas a uma outra função, como a
y (x, t) = A cos (Kx − ωt) (3)
A. Primeira observação
Bom... Como essa nova função (3) é uma função de duas variáveis, uma das coisas que nós já podemos observar aqui é que, se x e t são duas variáveis independentes, essa função (3) também será uma solução da equação (2). Porém, essa mesma conclusão não procederá caso a variável x possa ser vista como uma função de t: afinal de contas, neste caso nós teremos dy dt = A ω − kdx dt sin (Kx − ωt) e, consequentemente, d2y dt2 = −Ak d2x dt2 sin (Kx − ωt) − A ω − kdx dt 2 cos (Kx − ωt) . B. Segunda observação
É claro que nós podemos discutir melhor essa primeira observação que nós acabamos de fazer. No entanto, uma coisa bem imediata que nós também podemos observar olhando pra essa função (3) é que, quando nós fixamos o valor de x, ela se reduz a uma função que modela um oscilador harmônico: ou seja, pra cada valor de x que nós somos capazes de fixar, essa função (3) se reduz a uma
y (x = cte, t) = A cos (φ − ωt) = A cos (ωt − φ)
que é capaz de descrever um movimento de oscilação harmônica que ocorre ao longo do eixo y com uma frequência angular ω. Aqui, φ = K · cte.
Questão 2. Como essa segunda observação que nós acabamos de fazer, afirmando que a função (3) descreve um movimento de oscilação harmônica em cada ponto x, se encaixa com a primeira que nós havíamos feito?
C. Terceira observação
Aliás, já que nós acabamos de observar que ω continua sendo interpretável como uma frequência angular, uma outra coisa bastante curiosa que também surge, de uma simples análise dimensional dos termos que aparecem no “miolo”
é que K também pode ser interpretado de um jeito bem parecido, como uma espécie de frequência angular “espacial”. Afinal de contas, note que, como esse produto Kx precisa necessariamente corresponder a um ângulo, o fato do parâmetro x ser uma variável de posição já está implicando automaticamente que K precisa ter a unidade dessa espécie de frequência angular “espacial” já que, à luz do sistema internacional de unidades, a situação é
[Kx] = [K] · [x] ⇒ rad = [K] · m ⇒ [K] = rad/m .
Ou seja, do mesmo jeito que a constante ω consegui aferir o quão rápido uma sistema oscila conforme o tempo passa, essa constante K parece que está aferindo o quão rápido uma oscilação está acontecendo conforme o espaço passa. Bem diferente isso, não é mesmo?
Questão 3. Você acha que, devido a essa interpretação que nós acabamos de dar a K como uma frequência angular espacial, é possível criar um relógio cujo parâmetro não é o tempo, mas o espaço? Se sim, dê um exemplo onde tal relógio “espacial” pode ser usado. Se não, explique por quê.
D. Quarta observação
Já uma quarta coisa que também pode ser observada aqui segue de uma simples mani-pulação algébrica que pode ser feita sobre esse “miolo” (4): afinal de contas, como ele pode ser reescrito como
Kx − ω K t
,
não é nada difícil observar que essa razão ω/K, que aparece multiplicando o parâmetro temporal t, precisa possuir necessariamente uma unidade de velocidade uma vez que o produto (ω/K) · t precisa descrever a uma distância.
E. Quinta observação
No entanto, uma quinta coisa que também pode ser observada aqui é aquela que está diretamente relacionada, por exemplo, ao fato da função cosseno, que aparece em (1), ser tal que
Ou seja, a periodicidade dessa função cosseno, quando explorada, nos permite concluir que, do mesmo jeito que é possível associair um período
T = 2π
ω (5)
a essa função y (x, t), também é possível associar a ela uma espécie de período “espacial” que vale
λ = 2π
K . (6)
Note que essa nova observação é bem interessante pois, como esse período “espacial” λ possui uma unidade de comprimento, essa nova observação está reforçando ainda mais a interpretação de ω/k como uma velocidade, uma vez que
T = 2π/ω ⇒ ω = 2π/T λ = 2π/K ⇒ K = 2π/λ ⇒ ω K = λ T .
III. A INTERPRETAÇÃO FRACA DO QUE É UMA ONDA
É claro que nós poderíamos perfeitamene continuar apresentando aqui outras novas ob-servações que podem ser relacionadas não apenas a essa função (3), mas a uma outra
y (x, t) = A cos (Kx + ωt) . (7)
que parece diferir da primeira apenas por causa da troca de um sinal de “menos” por um sinal de “mais”. Porém, um fato extremamente relevante que nós já somos capazes de observar aqui é que essas duas funções (3) e (7) são apenas dois exemplares entre tantas outras que podem ser escritas seja sob a forma
y (x, t) = f (x − vt) (8)
como sob a forma
y (x, t) = g (x + vt) , (9)
onde v é uma constante. E por que nós estamos dizendo que esse fato é extremamente relevante? Porque, como tudo o que nós dissemos anteriormente nos permite afirmar que essa constante v pode ser interpretada como uma velocidade, é exatamente isso que nos permite reconhecer que essas funções descrevem o transporte de alguma “coisa” com uma velocidade cujo módulo é igual a |v|.
Questão 4. Se nós tivéssemos usado essa função (7) ao invés da (3) em tudo o que nós fizemos lá na Seção II, seria possível identificar alguma diferença nas quatro observações que nós fízemos?
Aliás, uma boa maneira de entender o que é esse transporte é olhando para o exemplo que consta na Figura 1 da página seguinte, onde nós temos o gráfico da projeção da função
y1(x, t) = x − 2t
sobre o plano xy em três instantes distintos: em t = 0 s, t = 1 s e t = 2 s. Afinal, note que, se nós levarmos em conta que, no instante inicial t = 0 s, essa projeção se identifica com a função identidade do parâmetro x, o que essa Figura 1 está deixando bem claro é que essa “coisa” que está sendo transportada, pra a direita, é essa própria função identidade, com uma velocidade v = 2 m/s.
Questão 5. De acordo com essa observação que nós acabamos de fazer, é válido afirmar que uma função y2(x, t) = x2 + 3t pode ser interpretada em termos do transporte de uma
parábola, pra esquerda, com uma velocidade v = −3 m/s?
Nestes termos, como isso que nós acabamos de constatar, como a ajuda dessa Figura 1, está deixando bem claro que o comportamento das funções (8) e (9) podem ser interpretados em termos do transporte (sem qualquer deformação) das “silhuetas espaciais” que essas fun-ções possuem, passa a ser válido usar isso pra definir fracamente o que é uma onda. E como nós faremos essa definição? Dizendo que uma uma onda pode ser interpretada fracamente como essa “coisa” que se propaga ao longo de alguma direção e cujo comportamento pode ser modelado por essas funções (8) e (9).
Questão 6. Como que você acha que dá pra conectar o movimento de uma onda do mar, por exemplo, ao dessa interpretação matemática que nós estamos afirmando ser válida? Você acha que essa conexão, se possível, é perfeita? Se sim, por quê? Se não, aponte alguma possível falha.
A. Obtendo a equação da onda
Note que, por mais fraca e estranha que seja essa definição que nós acabamos de dar pra ondas, é essa definição que nos permite obter, por exemplo, uma expressão para a
Figura 1: Projeção (em azul) da função y1(x, t) = x − 2t sobre o plano xy em três instantes diferentes: em t = 0 s (figura superior), t = 1 s (figura do meio) e t = 2 s (figura inferior).
equação diferencial que está associada a um movimento ondulatório. E pra entender como essa equação diferencial pode ser obtida, nós iremos calcular algumas derivadas parciais da função
y (x, t) = f (x − vt) (10)
dando destaque o fato do seu “miolo”
z (x, t) = x − vt
ser uma função de x e t. Afinal de contas, quando nós fazemos isso, esse destaque nos permite observar que, de acordo com a regra da cadeia, a igualdade
∂y ∂x =
∂f ∂x
(que é obtida derivando parcialmente ambos os lados de (10)) pode ser desenvolvida como ∂y ∂x = ∂f ∂x = df dz ∂z ∂x = df dz · 1 = df dz e, consequentemente, ∂2y ∂x2 = ∂ ∂x df dz = d dz df dz · ∂z ∂x = d2f dz2 · 1 = d2f dz2 . (11)
E do mesmo jeito que nós fomos capazes de calcular essas derivadas parciais em relação a x, nós também somos capazes de fazer o mesmo em relação a variável t. Ou seja, nós somos capazes de observar que
∂y ∂t = ∂f ∂t = df dz ∂z ∂t = df dz · (−v) = −v df dz e que, portanto, ∂2y ∂t2 = −v ∂ ∂t df dz = −v d dz df dz ·∂z ∂t = −v d2f dz2 · (−v) = v 2d2f dz2 . (12)
Só que note que, como esses dois resultados (11) e (12) estão, na verdade, nos dizendo que d2f dz2 = ∂2y ∂x2 e d2f dz2 = 1 v2 ∂2y ∂t2 ,
uma coisa que é bastante imediata de ser concluída é que ∂2y ∂x2 = 1 v2 ∂2y ∂t2 ⇒ ∂2y ∂x2 − 1 v2 ∂2y ∂t2 = 0 . (13)
E, por mais idiota que possa ter parecido obter essa nova equação diferencial, assim, desse jeito, o fato é que essa equação (13) também é respeitada, por exemplo, por uma função
y (x, t) = g (x + vt) (14)
e, consequentemente, pela combinação
f (x − vt) + g (x + vt) . (15)
Questão 7. Verifique, por substituição direta, que essas duas funções (10) e (15) são solu-ções da equação diferencial (13). Você acha que (15) pode ser considerada como a solução mais geral que a equação (13) admite?
