Carga e Energia

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NH2802–Fundamentos da Eletrodinˆ amica

Prof. Jos´e Kenichi Mizukoshi

Aula 14 (vers˜ao 20/01/2014)

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Carga e Energia

Carga e Energia Momento

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A equa¸ c˜ ao da continuidade

■ Antes de discutir a conserva¸cão da energia, momento e momento angular na eletrostática, vamos rever a conserva¸cão da carga elétrica.

■ A conserva¸cão global da carga elétrica afirma que a carga total no universo é constante. Por outro lado, a conserva¸cão local diz que se a carga total

dentro de um volume muda, ent˜ao exatamente a mesma quantidade que mudou deve ter passado atrav´es da superf´ıcie desse volume.

■ Formalmente, a carga em um volume V no instante t ´e

Q(t) = Z

V

ρ(r, t) dτ

e a corrente fluindo para fora da superf´ıcie S que delimita esse volume ´e

I = I

S

J · da

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A equa¸ c˜ ao da continuidade

■ A conserva¸cão local da carga diz que (o sinal negativo é porque a corrente está fluindo para fora da superf´ıcie fechada)

dQ

dt = −I = − I

S

J · da

■ Utilizando a primeira equa¸cão da pág. anterior e o teorema da divergência, obtemos

Z

V

∂ρ

∂t dτ = − Z

V

∇ · J dτ ⇒

Z

V

∂ρ

∂t + ∇ · J

dτ = 0

■ Como a expressão é válida para qualquer volume V, temos que

∂ρ

∂t = −∇ · J que ´e a equa¸c˜ao da continuidade.

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O teorema de Poynting

■ Similarmente à equa¸cão da continuidade para a carga elétrica, podemos escrever equa¸cões correspondentes à conserva¸cão da energia.

■ Na eletrost´atica, verifica-se que o trabalho necess´ario para montar uma

distribui¸cão estática de cargas (contra a repulsão coulombiana de cargas de mesmo sinal) é

W_e = ǫ⁰ 2

Z

E² dτ

onde E é o campo elétrico produzido por essa distribui¸cão de cargas.

■ De forma similar, o trabalho para estabelecer correntes (contra a for¸ca contraeletromotriz) ´e (veja Aula 11, p´ag. 17)

W_m = 1 2µ⁰

Z

B² dτ onde B ´e o campo magn´etico resultante.

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O teorema de Poynting

■ As duas últimas expressões sugerem que a energia armazenada no campo eletromagnético é

U_em = 1 2

Z

ǫ⁰E² + 1

µ⁰B²

dτ

■ Vamos à seguir derivar a expressão acima, de uma forma mais geral, no contexto da lei da conserva¸cão de energia para a eletrodinâmica.

■ Vamos supor que haja uma configura¸c˜ao de cargas e correntes, que a um dado tempo t, produz os campos E e B. Vamos supor que num instante

seguinte dt as se movem um pouco. De acordo com a lei de for¸ca de Lorentz, o trabalho realizado pela for¸ca eletromagn´etica sobre uma carga q ´e

d(δW_q) = F · dl = q(E + v × B) · vdt = qE · vdt

■ Como q = ρdτ e ρv = J, temos que d(δW_q)

dt = ρdτE · v = E · J dτ

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O teorema de Poynting

■ Portanto, a taxa de trabalho sobre todas as cargas no volume V ´e dW

dt = Z

δ

dW_q dt

= Z

(E · J) dτ

■ Temos que E · J é o trabalho realizado por unidade de tempo, por unidade de volume. Vamos expressá-lo somente em termos de campos, com o aux´ılio da lei de Ampère:

E · J = E ·

1

µ⁰∇ × B − ǫ⁰∂E

∂t

= 1

µ⁰E · (∇ × B) − ǫ⁰E · ∂E

∂t

■ Da identidade vetorial ∇ · (A × B) = B· (∇ × A)− A · (∇ × B), temos que

E · (∇ × B) = B · (∇ × E) − ∇ · (E × B)

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O teorema de Poynting

■ Da lei de Faraday, tem-se que ∇ × E = −∂B/∂t. Portanto,

E · J = 1 µ⁰

h

−B · ∂B

∂t − ∇ · (E × B)i

− ǫ⁰E · ∂E

∂t

■ Usando o fato que para um vetor A qualquer

A · ∂A

∂t = 1 2

∂

∂t(A²) obtemos que

E · J = −1 2

∂

∂t

ǫ⁰E² + 1

µ⁰B²

− 1

µ⁰∇ · (E × B)

■ Portanto, a primeira equa¸c˜ao da p´ag. 7 fica dW

dt = − d dt

Z

V

1 2

ǫ⁰E² + 1

µ⁰B²

dτ − 1 µ⁰

Z

V

∇ · (E × B)dτ

(9)

O teorema de Poynting

■ Utilizando o teorema do divergente para o ´ultimo termo, obtemos dW

dt = − d dt

Z

V

1 2

ǫ⁰E² + 1

µ⁰B²

dτ − 1 µ⁰

I

S

(E × B) · da

A expressão acima é conhecida como o teorema de Poynting, que é o teorema trabalho-energia para a eletrodinâmica.

■ De acordo com esse teorema,

“o trabalho realizado sobre cargas pela for¸ca eletromagn´etica ´e igual ao

decr´escimo da energia armazenada no campo, menos a energia que flui para fora atrav´es da superf´ıcie S.”

■ A energia por unidade de tempo, por unidade de ´area, transportada pelos campos ´e chamada de vetor de Poynting:

S ≡ 1

µ⁰(E × B)

(10)

O teorema de Poynting

■ Como S · da é a energia por unidade de tempo passando através de uma área infinitesimal da, interpretamos S como sendo a densidade de fluxo de

energia.

■ Definindo a densidade de energia dos campos como sendo

u_em ≡ 1 2

ǫ⁰E² + 1

µ⁰B²

temos que

dW

dt = − d dt

Z

V

u_em dτ − I

S

S · da

Vamos analisar o lado esquerdo da expressão. O trabalho W realizado sobre as cargas aumentará a sua energia mecânica (cinética, potencial ou outras quaisquer). Denotando u_mec como sendo a densidade de energia mecânica, temos que

dW

dt = d dt

Z

V

u_mec dτ

(11)

O teorema de Poynting

Logo,

d dt

Z

V

(u_mec + u_em)dτ = − I

S

S · da = − Z

V

(∇ · S)dτ Portanto,

∂

∂t(u_mec + u_em) = −∇ · S

Esta é a versão diferencial do teorema de Poynting, que é similar à equa¸cão de continuidade da carga elétrica.

(12)

O teorema de Poynting – exemplo

Ex. 1 Quando uma corrente flui atrav´es de um fio cil´ındrico de raio a e

comprimento L, trabalho ´e realizado. Este trabalho se manifesta como efeito Joule de aquecimento do fio. Embora haja uma forma mais simples, mostre que a

energia por unidade de tempo fornecida para o fio pode ser calculada usando-se o vetor de Poynting.

Solu¸c˜ao

■ Assumindo que o campo el´etrico paralelo ao fio ´e uniforme, temos que

E = V L xˆ

onde V ´e a diferen¸ca de potencial entre as extremidades do fio

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O teorema de Poynting – exemplo

■ O campo magn´etico ´e circular e na superf´ıcie do fio possui o valor

B = µ⁰I 2πa φˆ

■ O vetor de Poynting ´e dado por

S = 1

µ⁰E × B = V I

2πaL (−ˆr)

■ A energia por unidade de tempo passando atrav´es da superf´ıcie do fio ´e

P = Z

S · da = −S(2πaL) = −V I

O sinal negativo indica que a energia flui para dentro do fio.

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Momento

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A terceira lei de Newton na eletrodinˆ amica

■ Considere uma carga q se deslocando ao longo do eixo x com velocidade constante v. Como está em movimento, o campo elétrico não é mais dado pela lei de Coulomb, embora ele aponte radialmente para uma determinada posi¸cão instantânea (veja figura (a) abaixo e a expressão na pág. 13, Aula 3).

Além disto, como não constitui uma corrente estacionária, o campo

magnético não é dado pela lei de Biot-Savart. Apesar disto, B~ ainda circula em torno do eixo correspondente à trajetória da carga (figura (b)).

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A terceira lei de Newton na eletrodinˆ amica

■ Considere duas cargas, q¹ e q² iguais, movendo-se com velocidades v₁ e v₂ ao longo do eixo x e y, respectivamente, cujos módulos são iguais. As for¸cas eletromagnéticas tendem a tirá-las dos seus eixos, mas vamos supor que elas são for¸cadas a mover em seus respectivos eixos, com as mesmas velocidades.

■ A for¸ca el´etrica entre as cargas ´e repulsiva, conforme mostra a figura ao lado.

■ Por outro lado, embora tenham o mesmo m´odulo, a for¸ca magn´etica sobre q² aponta para

`a direita (visto que B~¹ aponto no sentido negativo do eixo z), enquanto que sobre q¹ aponta para cima (B~² est´a no sentido positivo do eixo z).

■ Como as duas for¸cas magnéticas não se encontram na mesma dire¸cão, não podem formar pares de for¸cas do tipo a¸cão e rea¸cão, violando portanto a terceira lei de Newton.

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A terceira lei de Newton na eletrodinˆ amica

■ Na eletrostática e na magnetostática, a terceira lei se mantém. Porém, aparentemente ela não é válida na eletrodinâmica.

■ Caso a terceira lei não seja válida, não haverá o cancelamento entre as for¸cas internas, que leva à conserva¸cão do momento, um princ´ıpio fundamental na f´ısica.

■ Conforme será visto mais adiante, a conserva¸cão do momento é resgatada à partir da constata¸cão de que os próprios campos eletromagnéticos carregam momento.

■ Esta constata¸cão não é surpreendente, visto que acabamos de ver que atribu´ımos energia aos campos eletromagnéticos.

(18)

O tensor das tens˜ oes de Maxwell

■ A for¸ca eletromagnética sobre uma distribui¸cão de cargas em um volume V é dada por

F = Z

V

(E + v × B)ρ dτ = Z

V

(ρE + J × B) dτ

A for¸ca por unidade de volume ´e

f = ρE + J × B

■ Conforme fizemos anteriormente, vamos escrever a express˜ao acima somente em termos de campos. Para isto, vamos usar as equa¸c˜oes de Maxwell para eliminar ρ e J:

f = ǫ⁰(∇ · E)E +

1

µ⁰∇ × B − ǫ⁰∂E

∂t

× B

■ Observa-se que

∂

∂t(E × B) =

∂E

∂t × B

+

E × ∂B

∂t

(19)

O tensor das tens˜ oes de Maxwell

Utilizando a lei de Faraday, ∂B/∂t = −∇ × E, a equa¸c˜ao acima fica

∂E

∂t × B = ∂

∂t(E × B) + E × (∇ × E)

■ Substituindo a express˜ao acima na f´ormula da densidade de for¸ca, temos

f = ǫ⁰[(∇ · E)E − E × (∇ × E)] − 1

µ⁰[B × (∇ × B)] − ǫ⁰ ∂

∂t(E × B)

■ A partir da identidade vetorial`

∇(A · B) = A × (∇ × B) + B × (∇ × A) + (A · ∇)B + (B · ∇)A

obtemos

A × (∇ × A) = 1

2∇(A²) − (A · ∇)A

(20)

O tensor das tens˜ oes de Maxwell

■ Utilizando essa expressão para E e B e acrescentando o termo (∇ · B)B, que é igual a zero, mas para deixar f mais simétrica, encontramos

f = ǫ⁰[(∇ · E)E + (E · ∇)E] + 1

µ⁰[(∇ · B)B + (B · ∇)B]

− 1 2∇

ǫ⁰E² + 1

µ⁰B²

− ǫ⁰ ∂

∂t(E × B)

■ A express˜ao acima pode ser simplificada introduzindo-se o tensor das tens˜oes de Maxwell:

Tij ≡ ǫ⁰

EiEj − 1

2δijE²

+ 1 µ⁰

BiBj − 1

2δijB²

Os ´ındices i e j referecem a x, y e z e δij ´e a fun¸c˜ao delta de Kronecker, definido como

δij =

(1, se i = j 0, se i 6= j

(21)

O tensor das tens˜ oes de Maxwell

■ Temos portanto que

T_xx = 1

2ǫ⁰(E_x² − E_y² − E_z²) + 1

2µ⁰(B_x² − B_y² − B_z²) T_xy = ǫ⁰(E_xE_y) + 1

µ⁰(B_xB_y) e assim por diante.

■ Como T_ij possui dois ´ındices, ´e comum represent´a-lo com uma seta dupla:

←→

T . Pode-se formar o produto escalar com um vetor a:

(a · ←→

T )j = X

i=x,y,z

aiTij

cujo resultado ´e um vetor.

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O tensor das tens˜ oes de Maxwell

Em particular, a j-ésima componente da divergência de ←→ T é

(∇ · ←→

T )_j = ǫ⁰

(∇ · E)E_j + (E · ∇)E_j − 1

2∇_jE²

+ 1 µ⁰

(∇ · B)Bj + (B · ∇)Bj − 1

2∇_jB²

■ Com isto, observa-se que f pode ser escrita em termos do tensor das tens˜oes de Maxwell e do vetor de Poynting:

f = ∇ · ←→

T − ǫ⁰µ⁰∂S

∂t

■ A for¸ca total sobre todas as cargas no volume V ´e

F = Z

V

∇ · ←→

T dτ − ǫ⁰µ⁰ d dt

Z

V

S dτ

(23)

O tensor das tens˜ oes de Maxwell

■ Utilizando o teorema da divergˆencia para o primeiro termo, obtemos

F = I

S

←→

T · da − ǫ⁰µ⁰ d dt

Z

V

S dτ

■ Fisicamente, ←→

T é for¸ca por unidade de área (tensão) agindo sobre uma superf´ıcie. Mais precisamente, T_ij é a for¸ca por unidade de área na i-ésima dire¸cão agindo sobre um elemento de superf´ıcie orientado na j-ésima dire¸cão.

◆ Elementos diagonais Txx, Tyy e Tzz representam as press˜oes e os

elementos fora da diagonal T_xy, T_xz, etc s˜ao tens˜oes de cisalhamento.

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Referˆ encias

■ David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Third Edition, Prentice Hall, 1999.