tP  )2.(200000)( 814 

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III SEGUNDA ETAPA LETIVA / 2009

PROVA DE MATEMÁTICA II – 2ª SÉRIE – MANHÃ COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

PROFESSOR: ___________________________ DATA: ____________

NOTA:

NOME: GABARITO

ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.

NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

QUESTÃO 1 (Valor: 0,5)

Resolva, em lR, a inequação exponencial abaixo:

8 4

^2x1

 1

Solução. Escrevendo as bases em potências de base 2, temos:

   

4 5 5

4 3 2 4

) 1 (

2 2 2

2 1 8

4

^{2 1}

1

^{2 2 1} ₃ ^{4 2 3}



































^{  }



x x

x

x

base

x x

. S =

 



 

    4 / x 5 IR x

QUESTÃO 2 (Valor: 1,0)

A população atual de certa cidade é de 200 mil habitantes. Estudos mostram que ela vem decrescendo segundo a lei P ( t )  200000 .( 2

^0,1t

) , onde P(t) representa o número de habitantes nessa cidade daqui a t anos, a partir de agora.

a) Determine o número de habitantes dessa cidade daqui a 10 anos.

Solução. O valor da função daqui a 10 anos é calculado por P(10):

100000 2

. 1 200000 )

2 .(

200000 )

2 .(

200000 )

10

( 

^0,1(10)



^1

 

P

Logo, o número de habitantes será de 100000.

b) Quantos anos se passarão até que a população se reduza à quarta parte da população atual?

Solução. A população atual é P ^{( 0 )}  ^{200000 .( 2}

^0,1(0)

⁾  ^{200000 . 1}  ²⁰⁰⁰⁰⁰ .

Pede-se:

1 20 , 0 2 2

1 , 0 2

4 2 2 1

) 2 .(

200000 4

200000 )

2 .(

200000 4

) 0 (

2 1 , 0 1

, 0

1 , 0 1

, 0

 

 



































t t

P

t t

t t

A população se reduz à quarta parte em 20 anos.

QUESTÃO 3 (Valor: 1,0)

Resolva, em lR, a equação exponencial ²

^x3

^{ 2}

^x1

^{ 2}

^x2

^{ 82} .

Solução. Separando as operações nos expoentes e colocando em evidência os termos em comum, temos:

1

 

3 2

2 8 41 2

. 4 82 2 4 82

. 41 2 4 82

2 1 8 . 2

82 2 2 2 . 2 82 2 . 2 2 . 2 2 . 2 82 2 2 2

3 2 3

1 3

2 1 3

















 



 



 

 



 



  

























^{   }



x

x

x x

x x

x x

x x x

x x

QUESTÃO 4 (Valor: 1,0)

O gráfico abaixo representa a função f x a b

x

 



 



  3 . 1 )

( :

a) Determine os valores de a e de b.

Solução. Observando os pontos marcados no gráfico, temos (0, 3) e (-1, 7). Substituindo cada um na função, temos:

i) 3

3 )0(

3 . 1 )0(

0





 



 









 



 



 

b a f

b a b a

f

ii) 3 7

7 )1 (

3 3 . 1 )1 (

1





 



 











 



 



 





b a f

b a b a f

Resolvendo o sistema, vem:

 





 

 





 

 







123 42 2 73

3 73

)1(3

b a a ba

ba ba ba

b) Calcule f(2).

Solução. A função é portanto ¹

3 . 1 2 )

(  



 



 

x

x

f . Logo,

9 1 11 9 . 1 2 3 1

. 1 2 ) 2 (

2







 



 



 

f

2

3