f )4( xf )(

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III PRIMEIRA ETAPA LETIVA / 2009

PROVA DE MATEMÁTICA II – 2ª SÉRIE – MANHÃ COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

PROFESSOR: ___________________________ DATA: ____________

NOTA:

NOME: GABARITO Nº: ______ TURMA: _______

ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.

NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

QUESTÃO 1 (Valor: 0,5)

Num programa de condicionamento físico, um atleta corre sempre 200m a mais do que correu no dia anterior. Sabe-se que, no 3

^o

dia, ele correu 1300m. Quanto correrá no 9

^o

dia?

Solução. De acordo com as informações temos ²⁰⁰ ₁₃₀₀

3



 a

r . Repare que o nono dia pode ser

expresso em função do terceiro como ^a

9

 ^a

3

 ^{6 r} . Substituindo os termos pelos valores temos:

m a

r a

a

₉



₃

 6 

₉

 1300  6 ( 200 )  1300  1200  2500 .

QUESTÃO 2 (Valor: 1,0)

Dada a função

5 6 ) 2

( 

  x x x

f , com x ≠ 5, determine:

a) ^f

^1

^{( x )}

Solução. A função pode ser expressa como

5 6 2



  x

y x

.

Seguindo os passos para o cálculo da

inversa temos:

i) troca de “y” por “x”:

5 6 2



  y x y

ii) Expressando novamente “y” em função de “x”:

2 6 6 5

5 2 6

2 5 5

6 2



 

















 

 

x y x x

y xy y

x y xy

x y . Logo,

2 6 ) 5

1

(



 



x x x f

b) f

^1

( 4 )

Solução. Utilizando o cálculo da inversa no ponto x = 4, temos:

2 13 6 20 2 ) 4 (

6 ) 4 ( ) 5 4 2 (

6 ) 5

(

¹

1

  



 

 

 

^



f

x x x f

QUESTÃO 3 (Valor: 1,0)

1

Dadas as funções g ( x )  x

²

 5 x  6 e ^{f ( x )  x  1} de domínio real, determine o valor de )

3 )(

( ) 1 )(

( g  f   f  g .

Solução. Calculando as compostas separadamente temos:

i) ( )( 1 ) ( ( 1 )) ( 0 ) ( 0 ) 5 ( 0 ) 6 6 0

1 1 ) 1 ( 1 )

(

2

  



























g f

g f

g

f x

x f



ii) ( )( 3 ) ( ( 3 )) ( 0 ) 0 1 1

0 6 15 9 6 ) 3 ( 5 ) 3 ( ) 3 ( 6 5 )

(

^{2 2}

































f g

f g

f

g x

x x g



Logo, o valor pedido é ( g  f )(  1 )  ( f  g )( 3 )  6  1  5

QUESTÃO 4 (Valor: 1,0)

Um agricultor estava perdendo a sua plantação, em virtude da ação de uma praga. Ao consultar um especialista, foi orientado para que pulverizasse, uma vez ao dia, uma determinada quantidade de um certo produto, todos os dias, da seguinte maneira:

primeiro dia → 10 litros;

segundo dia → 12 litros;

terceiro dia → 14 litros; e assim sucessivamente.

Sabendo-se que o total de produto pulverizado foi de 630 litros, determine o número de dias de duração deste tratamento nesta plantação.

(Use, se precisar: 17² = 289, 29² = 841, 41² = 1681, 45² = 2025, 51² = 2601, 57² = 3249)

Solução. As informações dos produtos nos três primeiros días formam uma progressão aritmética de razão 2 (12 – 10 = 14 – 12). O valor de 630 litros representa a soma dessa PA.

Aplicando a fórmula da soma vem:

na n n

a S

n a S a

n n

n

n

n 1260 10 .

2 ).

630 10(

630 2

).

( ₁





 



 

 





 

A expressão do termo geral será ^a

n

 ^a

₁

 ( ⁿ  1 ). ^r  ^a

n

 10  ( ⁿ  1 ). 2  10  2 ⁿ  2  8  2 ⁿ Substituindo na expressão da soma, temos:

2

0 630 9 18

2 1260 ).

2 8(

10 2 1260

8

. 10

1260 _{2 2}





















 

 







 n nn n n n n

n a

n a n

n

n . Calculando a raíz positiva vem:

2 21 51 9 2

2601 9

2

2520 81 9 )

1 ( 2

) 630 )(

1 ( 4 ) 9 (

9

²

 

 

 

 





 







  n

n

3