f )4( 43

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III PRIMEIRA ETAPA LETIVA / 2009

PROVA DE MATEMÁTICA II – 2ª SÉRIE – TARDE COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

PROFESSOR: ___________________________ DATA: ____________

NOTA:

NOME: GABARITO Nº: ______ TURMA: _______

ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.

NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

QUESTÃO 1 (Valor: 0,5)

Determine o primeiro termo e a razão da progressão aritmética em que o quinto termo vale 80 e o vigésimo termo vale 50.

Solução. O vigésimo termo de uma progressão aritmética pode ser expresso em função do quinto termo como a

 a

 15 r . Substituindo os valores indicados temos:

15 2 80 30

50 15 15 80 50

5

15

20

 a  r    r  r    r    

a . Expressando o quinto termo em função

do primeiro e calculando este vem: a

 a

 4 r  80  a

 4 (  2 )  a

 80  8  88 . Logo, a razão vale – 2 e o primeiro termo, 88.

QUESTÃO 2 (Valor: 1,0)

Dada a função

3 4

2 ) 5

( 

  x x x

f , com x ≠

4

3 , calcule:

a) f

( x )

Solução. A função pode ser expressa como

3 4

2 5



  x

y x

Seguindo os passos para o cálculo da inversa temos:

i) troca de “y” por “x”:

3 4

2 5



  y x y

ii) Expressando novamente “y” em função de “x”:

5 4

2 2 3

3 5 4 2 5 3 3 4

4 2 5



 

















 

 

x y x x

y xy y

x y xy

x y _{. Logo,}

5 4

2 ) 3

1

(



 



x x x f

b) ^f

^{( 4 )}

Solução. Utilizando o cálculo da inversa no ponto x = 4, temos:

11 10 5 16

2 12 5 ) 4 ( 4

2 ) 4 ( ) 3 4 5 (

4 2 ) 3

(

1





 



 

 

 



f

x x x f

QUESTÃO 3 (Valor: 1,0)

1

Sabendo que f ( x )  x

 1 e que ^{g ( x )  2 x  1} , qual é o valor da expressão )

1 )(

( ) 1 )(

( f  g   g  f ?

Solução. Calculando as compostas separadamente temos:

i) ( )( 1 ) ( ( 1 )) ( 3 ) ( 3 ) 1 10 3

1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 2 ) (

2

 

































f g

f g

f

g x

x g



ii) ( )( 1 ) ( ( 1 )) ( 2 ) 2 ( 2 ) 1 3 2 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 )

(























g f

g f

g

f x

x f



Logo, o valor pedido é ( f  g )(  1 )  ( g  f )( 1 )  10  3  7

QUESTÃO 4 (Valor: 1,0)

O magnífico craque Romário teve a seguinte performance em um torneio:

- na 1ª rodada fez 1 gol;

- na 2ª rodada fez 2 gols;

- na 3ª rodada fez 3 gols; e assim sucessivamente, até a última rodada.

Quantas rodadas teve esse torneio, sabendo-se que Romário foi o artilheiro com a incrível marca de 136 gols?

(Use, se precisar: 17² = 289, 29² = 841, 33

= 1089, 41² = 1681, 45² = 2025, 51² = 2601)

Solução. As informações dos gols nas três primeiras rodadas formam uma progressão aritmética de razão 1 (2 – 1 = 3 – 2). O valor de 136 gols representa a soma dessa PA. Aplicando a fórmula da soma vem:

na n n

a S

n a S a

n n

n n

n 272 .

2 ).

136 1(

136 2

).

( ₁





 



 

 





 

A expressão do termo geral será a

 a

 ( n  1 ). r  a

 1  ( n  1 ). 1  1  n  1  n Substituindo na expressão da soma, temos:

2

0 272 272

).(

. 272

272 _{2 2}



















 

 





 n nn n n n n

n a

n a n

n

n . Calculando a raíz positiva vem:

2 16 33 1 2

1089 1

2 1088 1

1 )

1 ( 2

) 272 )(

1 ( 4 ) 1 (

1

 

 

 

 





 







  n

n

3