SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTO SOBRE AEROFÓLIO UTILIZANDO MODELO DE TURBULÊNCIA DE UMA EQUAÇÃO

i

Mestre em Ciências do Programa de Estudos de Mestrado no Curso de Engenharia

Aeronáutica e Mecânica – Área de Aerodinâmica, Propulsão e Energia.

Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza

SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTO SOBRE

AEROFÓLIO UTILIZANDO MODELO DE TURBULÊNCIA DE

UMA EQUAÇÃO

Tese aprovada em sua versão final pelos abaixo assinados

Prof. Dr. Nide Geraldo do Couto Ramos Fico Jr.

Orientador

Prof. Dr. Celso Massaki Hirata

Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa

Campo Montenegro

ii

Simulação numérica de escoamento sobre aerofólio utilizando modelo de turbulência de uma equação / Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza.

São José dos Campos, 2009. 125f.

Tese de mestrado – Curso de Engenharia Aeronáutica e Mecânica, Área de Aerodinâmica, Propulsão e Energia--Instituto Tecnológico de Aeronáutica, 2009. Orientador: Dr. Nide Geraldo do Couto Ramos Fico Júnior.

1. Dinâmica dos Fluidos Computacional. 2. Método de Volumes Finitos. 3. Modelo de Turbulência. I. Comando-Geral de Tecnologia Aeroespacial. Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Divisão de Engenharia Aeronáutica. II. Simulação numérica de escoamento sobre aerofólio utilizando modelo de turbulência de uma equação.

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

SOUZA, Marco Antonio Sampaio Ferraz de. Simulação numérica de escoamento sobre

aerofólio utilizando modelo de turbulência de uma equação. 2009. 125 f. Tese de mestrado,

Área de Aerodinâmica, Propulsão e Energia – Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos.

CESSÃO DE DIREITOS

NOME DO AUTOR: Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza

TÍTULO DO TRABALHO: Simulação numérica de escoamento sobre aerofólio utilizando modelo de

turbulência de uma equação

TIPO DO TRABALHO/ANO: Tese de Mestrado / 2009

_________________________________ Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza Rua Jaime Ribeiro, 84 apto. 01 – Aparecida – SP. marco07@fem.unicamp.br

iii

AEROFÓLIO UTILIZANDO MODELO DE TURBULÊNCIA DE

UMA EQUAÇÃO

Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza

Composição da Banca Examinadora:

Prof. Amilcar Porto Pimenta Presidente - ITA Prof. Nide G. C. R. Fico Jr. Orientador - ITA Prof. Ézio Castejon Garcia Membro Interno - ITA Prof. Breno Moura Castro Membro Externo - IAE

iv

Em primeiro lugar a Deus. Aos meus pais Sonia e José Antonio, minha irmã Soninha, meus sobrinhos Lívia Maria, João Vitor e Luis Otávio e um agradecimento especial a minha tia Wanda que no alto de sua experiência me ajudou a chegar aqui.

v

Eu sou um homem velho atualmente, e quando eu morrer e for para o céu há duas coisas em que eu espero por esclarecimentos. Uma é eletrodinâmica quântica e a outra é o movimento turbulento dos fluidos. E sobre a anterior eu sou mais otimista.

vi

Simulações numéricas foram realizadas utilizando-se um código computacional

vii

viii

Lista de figuras xi

Lista de tabelas xiv

Lista de abreviaturas e siglas xv

Lista de símbolos xvi

1. Introdução 1.1 Objetivo 1.2 Motivação 1.3 Posicionamento do Trabalho 1.4 Organização do Trabalho 2. Formulação Teórica 2.1 Equações fundamentais 2.1.1 Equação da continuidade 2.1.2 Equação de quantidade de movimento

2.1.3 Equação da energia

2.1.4 Equação de estado 2.2 Equações de Navier-Stokes

2.3 Equações de Navier-Stokes na forma conservativa 2.4 Equações de Reynolds para escoamentos turbulentos

2.5 Forma vetorial das equações 2.6 Adimensionalização das equações de Navier-Stokes

3. Implementação Numérica

3.1 Introdução

3.1.1 Formulação do volume de controle

ix

3.3 Cálculo dos volumes e áreas das células 3.4 O esquema de MacCormack 3.5 O esquema de Jameson 3.6 Condições iniciais 3.7 Condições de contorno 3.7.1 Parede 3.7.2 Fronteira remota 3.7.3 Fronteira simétrica 3.8 Termos de viscosidade artificial 3.9 Cálculo das derivadas 3.10 Modelagem da turbulência 3.10.1 Introdução 3.10.2 Modelo de Spalart-Allmaras 3.11 Verificação do código computacional 3.11.1 Escoamentos transônicos sobre o aerofólio NACA 0012 3.11.1.1 Caso 1, Mach=0.63 e α=2.0° 3.11.1.2 Caso 2, Mach=0.8 e α=0° 3.11.1.3 Caso 3, Mach=0.8 e α=1.25° 3.11.1.4 Caso 4, Mach=0.85 e α=1.0°

3.11.2 Influência dos parâmetros numéricos

xi

Figura 1: Vetores de áreas apontando nas direções i e j positivas. Figura 2: As componentes do vetor de área S.



Figura 3: Passo Predictor. Figura 4: Passo Corrector. Figura 5: Update. Figura 6: Vetores de velocidade próximos à parede. Figura 7: Tipos de fronteiras usadas nas condições de contorno. Figura 8: Célula auxiliar usada para cálculo das derivadas. Figura 9: Malha estruturada tipo O em torno do aerofólio NACA 0012. Figura 10: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para M_∞ =0.63 e α =2.0°. 70 Figura 11: Contornos de pressão para M_∞ =0.63 e α=2.0°. Figura 12: Contornos do número de Mach para M∞ =0.63 e α=2.0°. Figura 13: Curva de convergência numérica para M_∞ =0.63 e α=2.0°. Figura 14: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para M_∞ =0.8 e α =0°. Figura 15: Contornos de pressão paraM_∞ =0.8 e α=0°. Figura 16: Contornos do número de Mach paraM_∞ =0.8 e α=0°. Figura 17: Curva de convergência numérica para M∞ =0.8 e α=0°. Figura 18: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para M∞ =0.8 e α=1.25°. 76 Figura 19: Contornos de pressão para M∞ =0.8 e α=1.25°. Figura 20: Contornos de pressão para M∞ =0.8 e α=1.25°. (a) Kudinov

xii

Figura 22: Contornos do número de Mach para M∞ =0.8 e α=1.25°. (a) Kudinov

e (b) Arias Garcia. Figura 23: Curva de convergência numérica para M∞ =0.8 e α=1.25°. Figura 24: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para M∞ =0.85 e α=1.0°. Figura 25: Contornos de pressão para M_∞ =0.85 e α=1.0°. Figura 26: Contornos do número de Mach para M_∞ =0.85 e α=1.0°. Figura 27: Curva de convergência numérica para M_∞ =0.85 e α=1.0°. Figura 28: Influência de K e ₂ K sobre a distribuição de pressão para o caso 4. 4

(a) K₂ =0.25e K4 =0.0117. (b) K2=2.0 e K4 =0.035.

Figura 29: Influência de K₂ e K₄ sobre a convergencia numérica para o caso 4.

(a) K₂ =0.25e K₄ =0.0117. (b) K₂=2.0 e K₄ =0.035. Figura 30: Influência do refinamento da malha sobre a distribuição de pressão

para o caso 3. Figura 31: Influência do refinamento da malha sobre a convergência numérica

para o caso 3. Figura 32: Distribuição de pressão sobre o aerofólio para o caso 3. (a) Jameson

(b) MacCormack. Figura 33: Curva de convergência numérica para o caso 3. (a) Jameson

xiii

Figura 35: Refinamento da malha próximo ao bordo de fuga do aerofólio

NACA 0012. Figura 36: Distribuição do coeficiente de pressão para M_∞=0.3 e

α

=1.86. Figura 37: Contornos de pressão para M_∞=0.3 e

α

=1.86. Figura 38: Contornos do número de Mach para M_∞=0.3 e

α

=1.86. Figura 39: Curva de convergência numérica para M_∞=0.3 e

α

=1.86. Figura 40: Distribuição do coeficiente de pressão M_∞=0.5 e

α

=5.86. Figura 41: Contornos de pressão para M_∞=0.5 e

α

=5.86. Figura 42: Contornos do número de Mach para M_∞=0.5 e

α

=5.86. Figura 43: Curva de convergência numérica para M_∞=0.5 e α=5.86. Figura 44: Distribuição do coeficiente de pressão para M_∞=0.5 e α=3.86. Figura 45: Contornos de pressão para M_∞=0.5 e α=3.86. Figura 46: Contornos do número de Mach para M_∞=0.5 e α=3.86. Figura 47: Curva de convergência numérica para M_∞=0.5 e α=3.86. Figura 48: Distribuição do coeficiente de pressão para M_∞=0.74 e α= -0.14. Figura 49: Contornos de pressão para M_∞=0.74 e α= -0.14. Figura 50: Contornos do número de Mach para M_∞=0.74 e α= -0.14. Figura 51: Curva de convergência numérica para M_∞=0.74 e α=-0.14.

xiv

Tabela 1: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012 – CASO 1 Tabela 2: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012 – CASO 2 Tabela 3: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012 – CASO 3 Tabela 4: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012 – CASO 4

xv NACA National Advisory Committee for Aeronautics MDF Método de Diferenças Finitas

MEF Método de Elementos Finitos MVF Método de Volumes Finitos CFD Computational Fluid Dynamics CFL Courant Friedrichs Lewy

xvi

a Velocidade do som

c Corda do aerofólio

1 b

c , etc. Constantes empíricas no modelo de turbulência

D

C Coeficiente de arrasto

L

C Coeficiente de sustentação

N

C Coeficiente de força normal

P

C Coeficiente de pressão

p

c Calor específico a pressão constante

v

c Calor específico a volume constante d Distância para a parede

d Magnitute do vetor de área Da Termo de viscosidade artificial

i

e Energia interna por unidade de massa

t

E Energia total por unidade de volume E, F Vetores de fluxo nas direções x e y

,

e e

E F Vetores de fluxo não-viscosos nas direções x e y

,

v v

E F Vetores de fluxo viscosos nas direções x e y

2 v

f , etc. Funções empíricas no modelo de turbulência f



xvii

H Entalpia total

k Condutividade térmica

t

k Condutividade térmica turbulenta L Comprimento característico

M∞ Número de Mach na corrente livre

p_∞ Pressão estática

, i j

P Super vetor contendo os fluxos viscosos e não-viscosos

Pr Número de Prandtl

Prt Número de Prandtl turbulento

q Vetor de fluxo de calor por condução

x

q , qy Componentes do vetor de fluxo de calor

Q Vetor das variáveis conservadas, coordenadas cartesianas

Re Número de Reynolds

S Magnitude da vorticidade

, i j

S Superfície do volume elementar t Tempo

, i j

T Fluxo total através dos volumes de volume T Temperatura absoluta

U



Vetor de velocidade

xviii

i

x Coordenadas cartesianas

y+ Medida da resolução na sub-camada viscosa

α Ângulo de ataque

ij

δ Função de Kronecker

t

∆ Intervalo de tempo

γ Razão de calores específicos

µ Coeficiente de viscosidade dinâmica laminar

t

µ Viscosidade turbulenta ν Viscosidade cinemática

t

ν Viscosidade cinemática turbulenta

ν Variável de trabalho do modelo de Spalart e Allmaras

, i j

Ω Tensor de rotação ρ Densidade

τ Tensor de tensões viscosas

xx

τ ,

xy

τ ,

yy

τ Componentes do tensor de tensões viscosas

η, ξ Direções coordenadas curvilíneas generalizadas

1 Introdução

Cada vez mais, o uso de simulações e ferramentas computacionais em aerodinâmica vem reduzindo a quantidade de projetos que utilizam protótipos em situações físicas reais que tendem a ter seus custos elevados como os testes em túnel de vento. O crescente aumento da capacidade de processamento e armazenamento dos computadores nos últimos anos vem possibilitando uma modelagem mais detalhada dos problemas e a utilização de malhas mais refinadas.

A solução numérica, em processos que envolvem escoamentos aerodinâmicos, começa quando as leis que governam tais processos são expressas na forma matemática, em termos de equações diferenciais.

As equações diferenciais expressam princípios de conservação. Cada equação emprega uma quantidade física como sua variável dependente e significa que deve haver um balanço entre os vários fatores que influenciam a variável. As variáveis dependentes destas equações representam normalmente propriedades específicas e os termos em uma equação diferencial deste tipo denotam influência em uma base volumétrica[1].

Uma equação diferencial é uma compilação de tais termos, cada qual representando uma influência em uma base volumétrica e todos os termos juntos significando um balanço ou conservação.

A solução numérica de uma equação diferencial consiste de um conjunto de números a partir dos quais a distribuição da variável dependente pode ser construída. A análise numérica deve conter somente um número finito de valores numéricos como resultado, embora esse número possa ser grande o suficiente para os propósitos práticos.

Representando o comportamento da variável dependente por um polinômio, pode-se empregar um método numérico para encontrar o número finito de coeficientes. Isto permitirá avaliar a variável dependente em qualquer posição.

Dessa forma, um método numérico trata, como sua incógnita básica, os valores da variável dependente em um número finito de posições, chamados de pontos da malha. O método inclui as tarefas de fornecer um conjunto de equações algébricas para estas incógnitas e de prescrever um algoritmo para resolver as equações[1].

As equações numéricas denominadas equações de discretização envolvem os valores desconhecidos da variável dependente nos pontos da malha e são obtidas a partir da equação diferencial relativa a cada variável dependente.

Uma equação de discretização é uma relação algébrica associando os valores da variável dependente para um grupo de pontos da malha. Tal equação é obtida da equação diferencial e, deste modo, expressa a mesma informação física que a equação diferencial original. O valor da variável dependente em um ponto da malha influência a distribuição da variável dependente somente em sua vizinhança. Como o número de pontos da malha torna-se muito grande, espera-se que a solução das equações de discretização espera-se aproxime da solução exata da correspondente equação diferencial.

Os diferentes tipos surgem das diferenças nos perfis de interpolação utilizados e nos métodos de obtenção das mesmas. Existem então diferentes métodos de discretização, sendo os mais conhecidos os Método de Diferenças Finitas (MDF), o Método de Elementos Finitos (MEF) e o Método de Volumes Finitos (MVF).

Historicamente, o MDF foi sempre empregado na área de mecânica dos fluidos, enquanto o MEF o foi para a área estrutural, na solução de problemas de elasticidade. A possibilidade de se associar a interpretação física à matemática influi de modo considerável para que parte dos analistas envolvidos com o MDF passassem a usar o MVF. Esses dois métodos, por serem semelhantes para algumas situações, são muitas vezes confundidos. Deve ficar claro que o MDF é simplesmente a substituição do operador diferencial pelo seu correspondente numérico, enquanto que o MVF, para obter a correspondente equação de discretização, realiza um balanço de conservação da propriedade para cada volume elementar[2].

Portanto, tanto o MDF como o MEF não trabalham com volumes de controle e sim apenas com pontos da malha, e, como conseqüência, não são conservativos em nível discreto.

A distinção entre os métodos resulta dos modos de escolher os perfis e as formas de obtenção das equações de discretização.

1.1

Objetivo

O objetivo principal deste trabalho é a simulação numérica do escoamento compressível turbulento em torno de um aerofólio NACA 0012 utilizando-se o modelo de turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras.

1.2 Motivação

A previsão de resultados de processos que envolvem escoamentos aerodinâmicos pode ser obtida por dois métodos principais: investigação experimental e cálculo teórico que, por sua vez, é formado pelos métodos analíticos e os métodos numéricos.

A informação mais confiável sobre um escoamento aerodinâmico é frequentemente dada por uma medida real obtida em testes em túnel de vento. Uma investigação experimental envolvendo um aerofólio de escala completa pode ser usada para prever como cópias idênticas do aerofólio se comportariam sob as mesmas condições. Na maioria dos casos, testes com aerofólios de escala completa são de alto custo e, frequentemente, impossíveis de se realizar. A alternativa então é realizar experimentos com modelos em escala reduzida. A informação resultante deve ser extrapolada para uma escala completa e a regra geral para se fazer isso, normalmente, não está disponível. Os modelos em escala reduzida nem sempre simulam todas as características do aerofólio de escala completa e características importantes são omitidas. Existem também sérias dificuldades de medidas em muitas situações e os instrumentos de medidas não estão livres de erros.

interesse prático. Essas soluções, via de regra, contêm séries infinitas, funções especiais, equações transcendentais e suas avaliações numéricas demandam grande esforço. Entretanto, algumas características dos métodos numéricos são construídas pelo uso de soluções analíticas simples. Além disso, não há melhor maneira para se verificar a precisão de um método numérico que a comparação com uma solução analítica exata[1].

A principal vantagem de uma previsão computacional é seu baixo custo. Na maioria das aplicações em aerodinâmica, o custo de uma simulação computacional é muitas vezes menor do que o custo de um teste em túnel de vento. Esse fator assume crescente importância em situações físicas mais complexas.

Uma investigação computacional pode dar aos projetistas centenas de diferentes configurações em poucas horas e então pode-se escolher o projeto mais próximo do ótimo. Comparativamente, a correspondente investigação experimental levaria muito mais tempo.

Uma solução computacional pode fornecer informações completas e detalhadas. Ela pode fornecer os valores de todas as variáveis relevantes tais como temperatura e velocidade em todo o domínio de interesse. Diferentemente da situação experimental, há poucos locais inacessíveis em uma análise computacional. Obviamente, em nenhum estudo experimental espera-se medir as distribuições de todas as variáveis de interesse. Por essa razão, mesmo quando um experimento é realizado, há grande valor em obter uma solução computacional para complementar a informação experimental.

Esta breve discussão sobre o mérito relativo da análise computacional em relação à investigação experimental não significa excluir a experimentação.

análises computacionais são frequentemente úteis e a quantidade de experimentos pode ser significativamente reduzida se a investigação for complementada por computação[1].

1.3

Posicionamento do trabalho

A simulação numérica em mecânica dos fluidos e transferência de calor, conhecida como CFD (Computational Fluid Dynamics), teve um desenvolvimento impressionante nos últimos anos. Inicialmente, como uma ferramenta para análise de problemas físicos em nível de investigação científica e, atualmente, como uma ferramenta poderosa para a solução de importantes problemas aplicados à engenharia[2]. CFD complementa tanto a teoria pura quanto a experimentação pura fornecendo uma alternativa para simular escoamentos complexos. É frequentemente usada antes de testes em túnel de vento. Este procedimento faz o ciclo de projeto mais curto e muito mais eficiente[3]. Um dos maiores interesses por CFD em aeronáutica é a necessidade de se obter soluções confiáveis e práticas de modelos aerodinâmicos. Grandes avanços estão sendo alcançados e aplicações de CFD na indústria aeronáutica tornaram-se fundamentais.

O desenvolvimento de métodos de modelagem de escoamentos aerodinâmicos em regime transônico é de suma importância para a engenharia aeronáutica. A maior dificuldade no tratamento desses escoamentos está na sua característica não-linear devido aos efeitos de compressibilidade e formação de ondas de choque. Os projetos aeronáuticos de aeronaves enfrentam grandes dificuldades devido aos efeitos de compressibilidade e o regime transônico é o maior desafio.

equação de Laplace e a equação bi-harmônica. Richardson também desenvolveu a técnica de relaxação para resolver a equação de Laplace.

Algumas vezes o início da análise numérica moderna é atribuído ao famoso paper de Courant, Friedrichs, and Lewy (1928). Prova da importância deste paper é a sua republicação em 1967 no Jornal de Pesquisa e Desenvolvimento da IBM[4].

Desde a invenção do computador digital os métodos numéricos foram usados para resolver problemas em dinâmica dos fluidos. Entretanto, estes eventos sozinhos não revolucionaram a prática de engenharia. A explosão na atividade computacional não começou antes de um terceiro ingrediente, a disponibilidade de computadores de alta velocidade, ocorrido nos anos sessenta.

Os primeiros métodos computacionais começaram a ter impacto significante na análise aerodinâmica, no período de 1965-75, no qual foi introduzido o método dos painéis que permitiu resolver modelos de escoamento linear para geometrias complexas arbitrárias, tanto em escoamentos subsônicos quanto supersônico. Também, apareceu o primeiro método satisfatório para tratamento de equações não lineares para escoamento transônico[5].

A maioria dos trabalhos apresentados para solução de escoamentos em regime transônico durante as décadas de setenta e oitenta utilizou as formulações aerodinâmicas baseadas nas equações de pequenas perturbações ou do potencial completo. No início da década de setenta, Murman e Cole[6] desenvolveram um algoritmo numérico consistente para resolver escoamentos transônicos usando aproximação de pequenas perturbações.

surgiram os primeiros trabalhos para solução das equações de Euler como Kutler e Lomax[10], Beam e Warming[11], Steger e Warming[12]. Nestes trabalhos foram desenvolvidos métodos com abordagens implícitas e explícitas.

Entretanto, soluções invíscidas são aceitáveis enquanto os efeitos viscosos são relativamente pequenos. Quando tais efeitos crescem em importância, como em regiões com escoamento separado, resultados obtidos com semelhante formulação já não apresentam a acurácia desejada[13].

Em 1978, Ballhaus, Jameson e Albert[14] apresentaram resultados de escoamento sobre aerofólios usando um algoritmo de fatorização aproximada implícita com um tempo de processamento otimizado.

Na década de oitenta, novos métodos viscosos foram desenvolvidos, acoplando-se um esquema para a solução de camada limite com um esquema invíscido para a solução do potencial completo, gerando códigos como o GRUMFOIL [15].

A partir do final dos anos oitenta, com o aparecimento dos supercomputadores e o constante aumento da capacidade de armazenamento e velocidade computacional, foi possível o desenvolvimento de códigos capazes de resolver as equações de Navier-Stokes com média de Reynolds.

A maioria dos modelos de turbulência é baseada na hipótese de Boussinesq (1877) na qual o autor sugeriu que as tensões cisalhantes turbulentas podem ser relacionadas à taxa de cisalhamento média por intermédio de uma viscosidade turbulenta aparente.

Os modelos de turbulência podem ser divididos em duas categorias de acordo com o uso ou não da hipótese de Boussinesq. Outra classificação comum dos modelos é de acordo com o número de equações diferenciais suplementares que devem ser resolvidas.

Os modelos algébricos mais simples são considerados modelos de zero equação. A simplicidade e o baixo custo computacional levou a popularização dos modelos algébricos como o de Cebeci e Smith[16] _{onde a viscosidade turbulenta é obtida a partir de uma escala de}

velocidade determinada pelo perfil de velocidade média e de uma escala de comprimento gerada algebricamente. A grande dificuldade desse modelo é a obtenção dessa escala de comprimento em escoamentos mais complexos onde ocorre separação.

Para resolver esse problema foi desenvolvido o modelo de Baldwin e Lomax[17] derivado do modelo de Cebeci e Smith porém exibindo uma grande vantagem do ponto de vista computacional já que ele não exige o cálculo da espessura da camada limite em cada estação.

O modelo de Johnson e King[18] propõe a utilização em escoamentos com camada limite turbulenta com pressão adversa e conseqüente separação. Os efeitos do transporte turbulento são computados através de uma equação diferencial ordinária para a máxima tensão aparente de Reynolds no campo de escoamento. Dessa forma, a tensão máxima é utilizada como escala para a viscosidade turbulenta determinada previamente com um modelo algébrico.

Johnston[23], Baldwin e Barth[24] e Spalart e Allamaras[25], e os modelos de duas equações que acrescentam mais duas equações de transporte, uma para a escala de velocidade e outra para a escala de comprimento, como o q-ω de Coakley[26], e os k-ε de Jones e Launder[27] e Launder e Spalding[28].

Todos os modelos de turbulência conhecidos têm limitações, sendo essa área um grande desafio dentro da Dinâmica dos Fluidos Computacional. Dessa forma, as expectativas de chegar a um modelo de turbulência universal devem ser substituídas pela realidade de que será possível somente criar-se modelos adequados a determinadas condições de escoamento[29].

Os últimos trabalhos desenvolvidos no Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) para simular numericamente escoamentos compressíveis turbulentos sobre aerofólios utilizaram modelos de turbulência algébricos. Menezes[30], em 1994, aplicando um método de diferenças finitas utilizou dois modelos de turbulência algébricos e Arias Garcia[31], em 2006, que desenvolveu um código de CFD baseado no método de volumes finitos, aplicou um modelo de turbulência algébrico. Isto motivou o autor a seguir com o código baseado no método de volumes finitos utilizando os esquemas explícitos de MacCormack[32] e Jameson[33], e implementar o modelo de turbulência de uma equação de Spalart-Allmaras[25],[34] para resolver o sistema de equações de Navier-Stokes com média de Reynolds.

tempo variável no espaço foi utilizado para acelerar a convergência mantendo-se o número de CFL constante em todo o domínio de cálculo.

Um estudo utilizando CFD consiste basicamente de três etapas: geração da malha, desenvolvimento de algoritmo e modelo de turbulência. O autor pretende neste trabalho cumprir todas essas etapas.

1.4

Organização do trabalho

2 Formulação Teórica

2.1

Equações Fundamentais

As equações fundamentais da dinâmica dos fluidos são baseadas nas leis universais de conservação[3]:

1. Conservação de massa,

2. Conservação de quantidade de movimento, 3. Conservação de energia.

A equação resultante da aplicação da lei de conservação de massa a um escoamento de fluido é chamada equação da continuidade. A lei de conservação de quantidade de movimento é nada mais que a segunda lei de Newton. A lei de conservação de energia é idêntica à primeira lei da termodinâmica e a equação da dinâmica dos fluidos resultante é chamada equação da energia. Em adição às equações desenvolvidas para estas leis universais, é necessário estabelecer relações entre as propriedades do fluido de maneira a fechar o sistema de equações.

2.1.1 Equação da continuidade

A lei de conservação de massa aplicada a um fluido passando através de um volume de controle fixo infinitesimal produz a seguinte equação da continuidade:

onde ρé a densidade do fluido e U é a velocidade do fluido. A equação (1) foi derivada usando a aproximação Euleriana em que um volume de controle fixo é utilizado e as variações no fluido são registradas quando o fluido passa através do volume de controle. A aproximação Euleriana é a escolha mais apropriada para Mecânica dos Fluidos[3]. O primeiro termo nesta equação representa a taxa de aumento da densidade no volume de controle e o segundo termo representa a taxa de fluxo de massa atravessando a superfície de controle por unidade de volume. É conveniente usar a derivada substancial:

( )

( )

( )

, D U Dt t ∂ = + ⋅ ∇ ∂


e mudar a equação (1) para a forma:

D ( U) 0. Dt ρ ρ + ∇ ⋅ = 

Para um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional, onde u e v representam as componentes x e y do vetor velocidade, a equação (1) na forma conservativa torna-se:

( )

u

( )

v

0.

t

x

y

ρ

ρ

+

ρ

∂

∂

∂

+

=

∂

∂

∂

2.1.2 Equação de quantidade de movimento

A segunda lei de Newton aplicada a um fluido passando através de um volume de controle fixo infinitesimal produz a seguinte equação de quantidade de movimento:

( )

U . UU f p , t ρ ρ ρ τ ∂ + ∇ = − ∇ + ∇ ⋅ ∂      _

onde f representa as forças de campo por unidade de volume, p é a pressão termodinâmica eτ representa o tensor das tensões viscosas dado por:

(2)

(3)

(4)

2 , 3 j i k ij ij j i k u u u x x x τ =µ_∂ +∂ _− µ∂ δ ∂ ∂ ∂  

onde µ é o coeficiente de viscosidade dinâmica ,δ_ij é função de Kronecker e foi considerada a hipótese de Stokes na qual o segundo coeficiente de viscosidade µ′ é igual a -(2/3) µ .

O primeiro termo da equação (5) representa a taxa de aumento de quantidade de movimento por unidade de volume. O segundo termo representa a taxa de quantidade de movimento perdida por convecção por unidade de volume através da superfície de controle.

Substituindo a equação (6) na equação (5) e utilizando a derivada substancial, a equação de Navier-Stokes é obtida: 2 . 3 j i k ij j j i k u u u DU f p Dt x x x x ρ =ρ − ∇ + ∂ µ_∂ +∂ _− µ∂ δ  ∂ _{ }∂ ∂ _ ∂ _
 

Para um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional, a equação (7) pode ser separada nas seguintes equações de Navier-Stokes escalares:

2 2 , 3 x Du p u v u v f Dt x x x y y y x ρ =ρ −∂ + ∂  µ ∂ −∂ + ∂ µ∂ +∂  ∂ ∂   ∂ ∂  ∂  ∂ ∂  2 2 . 3 y Dv p v u v u f Dt y x x y y y x ρ =ρ −∂ + ∂ µ∂ +∂ + ∂  µ ∂ −∂  ∂ ∂  ∂ ∂  ∂   ∂ ∂ 

Utilizando a equação (5), estas equações podem ser reescritas na forma conservativa como:

onde os componentes do tensor de tensões viscosas são dados por: 2 2 , 3 xx u v x y τ = µ_ ∂ −∂ _ ∂ ∂   2 2 , 3 yy v u y x τ = µ_ ∂ −∂ _ ∂ ∂   . xy yx u v y x τ =µ∂ +∂ =τ ∂ ∂  

2.1.3 Equação da energia

A primeira lei da termodinâmica aplicada a um fluido passando através de um volume de controle fixo infinitesimal produz a seguinte equação da energia:

(

)

. . . , t t E Q E U q f U U q t t ρ τ ∂ ∂ _{ } + ∇ = − ∇ + + ∇ ⋅_ ⋅ − _ ∂ ∂
    _  _{ }

onde Et é a energia total por unidade de volume dada por:

2 1 , 2 t i E =ρ_e + U _  


e e_ié a energia interna por unidade de massa. O primeiro termo do lado esquerdo da equação (15)

representa a taxa de aumento da energia total (por unidade de volume) no volume de controle enquanto o segundo termo representa a taxa de energia total perdida por convecção (por unidade de volume) através da superfície de controle. O primeiro termo no lado direito da equação é a taxa de calor produzido (por unidade de volume) por agentes externos enquanto o segundo termo ( .q∇ ) é a taxa de calor perdida por condução (por unidade de volume) através da superfície de (12)

(14) (13)

(15)

controle. A lei de Fourier para transferência de calor por condução será assumida de forma que a transferência de calor q possa ser representada por:

(

)

,

q= −k ∇T onde k é o coeficiente de condutividade térmica e T é a temperatura. O terceiro termo no lado direito da equação (15) representa o trabalho realizado no volume de controle (por unidade de volume) pelas forças de campo enquanto o quarto termo representa o trabalho realizado no volume de controle (por unidade de volume) pelas forças de superfície. Deve ficar claro que a equação (15) é simplesmente a primeira lei da termodinâmica aplicada a um volume de controle. Para um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional, a equação (15) torna-se:

(

)

(

)

(

)

. t t t x y xx xy x xy yy y E Q E u E v f u f v pu u v q pv u v q t x y t ρ x τ τ y τ τ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + = + + − − − + − − − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Usando a definição de entalpia:

, i p h e ρ = +

e a equação da continuidade (1), a equação (15) pode ser reescrita como:

. Dh Dp Q U q Dt Dt t ρ = +∂ + ∇ ⋅_τ⋅ − _ ∂
   

2.1.4 Equação de estado

Para fechar o sistema de equações da dinâmica dos fluidos é necessário estabelecer relações entre as variáveis termodinâmicas (p, ρ, T, e, h) assim como relacionar as propriedades

de transporte (µ, k) às variáveis termodinâmicas. A equação de estado para um gás perfeito é:

onde R é a constante do gás. Também para um gás caloricamente perfeito, existem as seguintes relações: , i v e =c T h=c T_p , p , v c c γ = , 1 v R c γ = − p 1, R c γ γ = − onde c_v é o calor específico a volume constante, cpé o calor específico a pressão constante e γ é

a razão dos calores específicos. Como foi considerado um gás térmico e caloricamente perfeito, é possível obter as seguintes relações:

(

1

)

_i

,

p

=

ρ

RT

=

γ

−

ρ

e

(

1

)

ei. T R γ − = Os coeficientes de viscosidade e condutividade térmica podem ser relacionados às variáveis usando a teoria cinética. A fórmula de Sutherland para viscosidade é dada por[3]_:

3 2 1 2 , T C T C

µ

= +

onde C e ₁ C são constantes para um dado gás. Para ar em temperaturas moderadas, 2

(

)

6 1/2 1 1, 458 10 / C = × − kg msK e C₂ =110, 4K . O número de Prandtl: Pr cp , k

µ

=

é frequentemente usado para determinar o coeficiente de condutividade térmica k uma vez que µ é conhecido. Para ar em condições padrões Pr = 0.72.

A nomenclatura da Mecânica dos Fluidos clássica refere-se às equações de Navier-Stokes como as equações de quantidade de movimento para um fluido Newtoniano. Entretanto em CFD a terminologia Navier-Stokes inclui todo o sistema de equações diferenciais parciais que modelam o campo de escoamento mais as relações constitutivas necessárias.

(22)

(23)

(24)

2.2 Equações de Navier-Stokes

Para modelar o escoamento compressível turbulento a ser estudado neste trabalho é necessário fazer algumas simplificações nas equações fundamentais. Para um gás perfeito, sem geração de calor e desconsiderando forças de campo, o sistema de equações de Navier-Stokes pode ser escrito como:

equação da continuidade 0, D U Dt ρ ρ + ∇ ⋅ =


equações de quantidade de movimento

2.3 Equações de Navier-Stokes na forma conservativa

Formulações baseadas nas equações diferenciais parciais na forma não-conservativa podem levar a dificuldades numéricas em situações onde os coeficientes podem ser descontínuos como ocorre em escoamentos contendo ondas de choque. Portanto, deve-se desenvolver as equações diferenciais parciais na forma conservativa - ou divergente - que tem a propriedade que os coeficientes são todos constantes ou, se variável, suas derivadas não aparecem na equação[4].

A forma conservativa das equações de Navier-Stokes usando a notação indicial de Einstein pode ser escrita como:

( )

u

0,

i

t

x

i

ρ

ρ

∂

∂

+

=

∂

∂

( )

(

)

j i j p u_i u u_{i j ij} t ρ x ρ x x τ ∂ ∂ ∂ ∂ + = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ,

( )

(

)

e

eu

_j

pu

_j

_{ij i}

u

q

_j

t

x

_j

x

_j

τ

∂

∂

∂

+

=

−

+

−

∂

∂

∂

.

2.4 Equações de Reynolds para escoamentos turbulentos

Apesar das equações de Navier-Stokes modelarem toda a física do problema a ser estudado, capturar todas as escalas de turbulência que ocorrem no escoamento necessitaria de malhas computacionais tão finas que tornaria a solução numérica proibitiva. O que normalmente se faz é abandonar os detalhes e concentrar nos valores médios das propriedades. O resultado desse processo é um sistema de equações conhecidas como equações de Navier-Stokes com (32)

(33)

média de Reynolds - RANS. Dada uma variável genérica

φ

, a definição de um valor médio

φ

sobre o período de integração

∆

T

é: 1

.

t T t T

dt

φ

φ

+∆ = ∆

∫

É necessário que

∆

T

seja pequeno com respeito à escala de tempo das variações das quantidades médias, mas grande comparado ao período das flutuações associadas com a turbulência.

Portanto, pode-se escrever que o valor instantâneo de

φ

é dado por: '.

φ φ φ= +

Deve-se observar que

φ

′

é o valor da flutuação turbulenta cujo valor médio

φ

′

é igual a zero e a restrição que:

0. t φ ∂ = ∂

', i i i q =q +q ', h= +h h

(

)

', h h h ρ =ρ + ρ '. T =T+T

Os termos de flutuações em outras propriedades do fluido tais como viscosidade, condutividade térmica e calor específico são normalmente pequenos e serão desconsiderados. Aplicando a técnica de Reynolds à forma compressível das equações de Navier-Stokes, aparecem novos termos envolvendo produtos de flutuações chamados momentos turbulentos[35]. Para evitar isto, e simplificar a forma final das equações, utiliza-se o conceito de média ponderada pela massa introduzido por Favre[36] onde,

, ρφ φ ρ = 

de forma que as variáveis do escoamento passam a ser escritas como:

, i i u u ρ ρ =  _h ρh, ρ =  _T ρT_. ρ = 

Somente as componentes de velocidade e variáveis térmicas são médias ponderadas pela massa. Propriedades do fluido tais como densidade e pressão são tratadas como antes.

Para substituir nas equações de conservação, é necessário separar as variáveis dependentes outra vez em partes média e flutuação,

,

i i i

u =u +u ′′ _{h= +h} _h′′, _{T =T}_{+T ′′}.

É importante notar que as médias das flutuações u ′′_i e h′′ não são iguais a zero.

(39)

(40)

Finalmente, pode-se substituir cada variável dependente pelas suas duas parcelas nas equações de Navier-Stokes e tirando-se a média de cada equação, resulta o sistema de equações de Navier-Stokes com média de Reynolds:

equação da continuidade

( )

u 0, j j t x ρ ρ ∂ ∂ + = ∂ ∂ 

equações de quantidade de movimento

(

u

_i

)

(

u u

_{i j}

)

p

_ij u u_i'' '' ,_j

t

xj

xi

xj

τ ρ

ρ

ρ

 −   

∂

∂

∂

∂

+

= −

+

∂

∂

∂

∂



 

equação da energia

(

)

'' '' '' '' '' '' _. 2 u ui j j e p u_j u_{i ij} u u_{i j} u_{i ij} u h_j j j

q

e

t

x

_j

x

_j

x

x

ρ

τ

ρ

τ

ρ

 _{ }      _{ }  ₊  _{ − + − − −  }     _{     }  _{ }  

∂

∂

∂

∂

∂

+

=

∂

∂

∂

∂

∂

 

O procedimento de média de Reynolds é tratado de maneira mais detalhada no apêndice A. Comparando com as equações de Navier-Stokes na forma original, os novos termos que aparecem, correspondem à influencia das flutuações turbulentas sobre o escoamento médio. Eles são conhecidos como:

'' '' , u u_{i j}

ρ

− _{termos de tensões de Reynolds;}

'' '' '' _, 2 u u_{i j} ui ijτ ρ    ₋     

termos de dissipação de Reynolds;

, u h_j

ρ

′′ _{termos de fluxo de calor de Reynolds.}

Portanto, é necessário modelar os novos termos para fechar o sistema de equações. A maioria dos modelos de turbulência baseia-se no conceito de viscosidade efetiva de Boussinesq. (42)

(43)

A idéia fundamental é acrescentar à viscosidade molecular um coeficiente de viscosidade turbulenta da seguinte forma:

. l t

µ

=

µ

+

µ

Admite-se que os termos de tensões de Reynolds podem ser relacionados com o escoamento médio da mesma forma que o tensor das tensões viscosas é relacionado com as taxas de deformação de um fluido Newtoniano. Pode-se então, escrever a seguinte relação:

2 . 3 j i k i j t t ij j i k u u u u u x x x ρ ′′ ′′ =µ _∂ +∂ _− µ ∂ δ ∂ ∂ ∂     

Da mesma maneira, acrescenta-se à condutividade térmica molecular um coeficiente de condutividade térmica turbulenta,

.

l t

k =k +k

A condutividade térmica turbulenta, kt, é relacionada com a viscosidade turbulenta, µt, pela

relação: Pr p t , t t c k

µ

=

onde Prt é o número de Prandtl turbulento, que, para ar , tem um valor Prt ≅0,9

[37]_. Normalmente escreve-se, t t p l p t l c c k k k Pr Pr µ µ + = + = .

A viscosidade turbulenta, µt, e a condutividade térmica turbulenta, kt, não são

propriedades do fluido, ao contrário da viscosidade e condutividade térmica molecular. A dependência de µt e kt sobre o escoamento é a grande dificuldade de modelar a turbulência. Os

modelos de turbulência serão discutidos no próximo capítulo.

(46)

(47)

(48)

Introduzindo-se a hipótese de Boussinesq, as equações (42), (43) e (44) podem ser escritas em termos das quantidades médias.

( )

u 0, j j t x ρ ρ ∂ ∂ + = ∂ ∂ 

(

)

(

p _ij

)

0,

ij j u_i u u_{i j} t x δ ρ ρ + −

τ

∂ ∂ + = ∂ ∂   



(

e p u

)

_{j ij i}u q_j

0,

e

t

_{x j}

τ  _{+ − +}   

∂

∂

+

=

∂

∂

    



e o tensor das tensões viscosas e o vetor de fluxo de calor são agora dados por:

(

)

2

(

)

,

3

j i k ij l t l t ij j i k

u

u

u

x

x

x

τ

=

µ

+

µ

_





∂

+

∂



_



−

µ

+

µ

∂

δ

∂

∂

∂













. Pr Pr p l p t j t i c c _T q x

µ

µ

 _{ ∂} = − +  ∂    

2.5 Forma vetorial das equações

Antes de aplicar um algoritmo de volumes finitos às equações da dinâmica dos fluidos é conveniente escrever as equações em uma forma vetorial compacta. Portanto, as equações de Navier-Stokes com média de Reynolds, na forma conservativa, bidimensional em coordenadas cartesianas, podem ser escritas na seguinte forma:

0, Q E F t x y ∂ ∂ ∂ + + = ∂ ∂ ∂

onde Q é o vetor das variáveis conservadas e E e F são os vetores de fluxo nas direções x e y,

respectivamente, dados por:

, u Q v e

ρ

ρ

ρ

=

 

 

 

 

 

 

 

 

(

)

2

,

u

u

p

xx

E

u v

xy

e

p u

u

v

q

xx

xy

x

ρ

ρ

τ

ρ

τ

τ

τ

+

−

=

−

+

−

−

+

































 







(

)

.

2

v

u v

xy

F

v

p

yy

e

p v

v

u

q

yy

xy

y

ρ

ρ

τ

ρ

τ

τ

τ

−

=

+

−

+

−

−

+































 









Costuma-se separar os vetores de fluxo E e F nas partes invíscida e viscosa da seguinte

forma:

,

e v

E=E −E F =Fe−Fv.

Sendo que o subscrito e representa os componentes invíscidos referentes às equações de Euler e o subscrito v representa os componentes viscosos para serem usados nas equações de Navier-Stokes.

(56)

(57)

(58)

2.6 Adimensionalização das equações de Navier-Stokes

As equações da dinâmica dos fluidos são frequentemente colocadas na forma adimensional. A vantagem é que as variáveis do escoamento são normalizadas de forma que seus valores se encontram entre certos limites prescritos tais como zero e um. Do ponto de vista numérico, isso tende a reduzir a propagação de erros, uma vez que todas as variáveis passam a ser da mesma ordem de grandeza. Além disso, os parâmetros característicos tais como número de Mach, número de Reynolds, número de Prandtl, podem ser variados independentemente. Muitos diferentes procedimentos de adimensionalização são possíveis. Neste trabalho as variáveis adimensionais serão definidas como:

* a _, t t L ∞ = * x _, x L = * y _, y L = * u u a∞ = , v* v , a_∞ = * ρ ρ ρ_∞ = , * 2 p p a ρ_{∞ ∞} = , * µ µ µ_∞ = ,

onde a_∞ é a velocidade do som na região de corrente livre, L é o comprimento característico, ρ_∞ e µ_∞ é a densidade e viscosidade dinâmica do fluido na região de corrente livre, respectivamente.

Finalmente, pode-se escrever o sistema de equações de Navier-Stokes com média de Reynolds na forma conservativa, adimensional, em duas dimensões e em coordenadas cartesianas para um escoamento turbulento, compressível na seguinte forma vetorial compacta:

(

) (

)

0 e v e v E E F F Q t x y ∂ − ∂ − ∂ + + = ∂ ∂ ∂ ,

onde os vetores de fluxo E e F foram separados nas suas componentes invíscida e viscosa.

3 Implementação Numérica

3.1 Introdução

Para obter as equações de discretização a partir do sistema de equações diferenciais parciais o método de volumes finitos utiliza a formulação do volume de controle.

3.1.1 Formulação do volume de controle

A idéia básica da formulação de volumes de controle é se utilizar de uma interpretação física direta do fenômeno estudado. O domínio de cálculo é dividido em um número de volumes de controle, não sobrepostos, tal que haja um volume de controle ao redor de cada ponto da malha. A equação diferencial é integrada sobre cada volume de controle. Perfis expressando a variação da variável dependente entre os pontos da malha são usados para avaliar as integrais. O resultado é o conjunto de equações de discretização contendo os valores da variável dependente para os pontos da malha.

A tarefa do método numérico é resolver o sistema de equações diferenciais, substituindo as derivadas existentes por expressões algébricas que envolvem as variáveis dependentes.

3.1.2 O Método de volumes finitos

A equação de discretização obtida pelo método de volumes finitos expressa o princípio de conservação da variável dependente para o volume de controle finito, exatamente como a equação diferencial expressa para um volume de controle infinitesimal.

3.2 Equações de Navier-Stokes na forma integral

Define-se um vetor, P, como:

,

x y

P=Ei +Fi

onde E e F são os vetores de fluxo definidos pelas equações (68) e (69) respectivamente, e ix

 e iy



são os vetores unitários cartesianos. A equação (66) pode, então, ser escrita como:

. 0, Q P t ∂ + ∇ = ∂   onde . x y i i x y ∂ ∂ ∇ ≡ + ∂ ∂   

O desenvolvimento detalhado para a obtenção da equação (73) a partir da equação (71) pode ser encontrado no apêndice B.

Em geral, há duas maneiras de conectar os valores das propriedades e a posição geométrica na malha para o caso de esquemas de volumes finitos. Os valores das propriedades podem ser armazenados nos vértices ou nos centros dos volumes de controle elementares[38]. Neste trabalho será considerado o conceito de célula centrada, isto é, os valores das propriedades serão armazenados no centro de massa de cada célula da malha. Cada célula e seu volume de controle elementar correspondente serão reconhecidos por índices (i, j), como mostrados na figura 1. A equação (73) escrita para todos os volumes de controle elementares é:

(

)

, , , 1 , i j i j S i j Q P n dS t V ∂ = − ⋅ ∂

∫

 

onde V_{i j,} é volume de uma célula e S_{i j,} é a superfície do volume de controle correspondente.

3.3 Cálculo dos volumes e áreas das células

O volume de cada célula é calculado usando a seguinte expressão[38]:

No caso da malha estruturada bidimensional utilizada neste trabalho, as superfícies de controle consistem de quatro segmentos de linha, sendo que cada segmento representando a superfície da célula, tem um vetor de área associado a ela. Conforme a figura 1, os vetores estão apontando nas direções i e j positivas. A vantagem de se fazer isso é que para cada face do volume de controle elementar há somente um vetor de área para armazenar.

Figura 1: Vetores de áreas apontando nas direções i e j positivas.

Conforme mostra a figura 2, o vetor de área

S

Figura 2: As componentes do vetor de área

S

.



As componentes dos vetores de área para as quatro faces da célula são:

( )

S

x _i+1/2,j

=

(

y

i+1, 1j+

−

y

i+1,j

)

,

( )

S

y _i+1/2,j

= −

(

x

i+1, 1j+

−

x

i+1,j

)

,

( )

S

x _i−1/2,j

=

(

y

i j, 1+

−

y

i j,

)

,

( )

S

y _i−1/2,j

= −

(

x

i j, 1+

−

x

i j,

)

,

( )

S

x _{i j, 1/2+}

= −

(

y

i+1, 1j+

−

y

i j, 1+

)

,

( )

S

y _{i j, 1/2+}

=

(

x

i+1, 1j+

−

x

i j, 1+

)

,

( )

S

x _{i j, 1/2−}

= −

(

y

i+1,j

−

y

i j,

)

,

( )

S

y _{i j, 1/2−}

=

(

x

i+1,j

−

x

i j,

)

.

Dessa forma, a equação (74) que representa todos os fluxos nos volumes V é escrita i j,

como:

(

)

(

)

(

)

(

)

, 1_{, ,} 1 1_{, ,} 1 , 2 2 2 2 1 i j i j i j i j i j i j dQ P S P S P S P S dt V + + − −   = − _ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ _  







 .

É conveniente escrever a equação (81) na seguinte forma:

(81) (77)

(78)

(79)

( )

, , , , i j i j i j dQ V T Q dt = −

onde T Q

( )

i j, representa todos os fluxos atravessando as superfícies dos volumes de controle

elementares Vi j, . Substitui-se a equação (82) na equação (81) e obtém-se:

(

,

)

(

)

1_,

(

)

_, 1

(

)

1_,

(

)

_, 1 2 2 2 2 . i j i j i j i j i j T Q P S P S P S P S + + − −   = ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅   









3.4 O esquema de MacCormack

Neste trabalho foi utilizado a versão explícita do esquema de MacCormack[32] que emprega o método de Euler explícito para avançar no tempo. Este esquema é de segunda ordem de precisão tanto no tempo quanto no espaço. O algoritmo explícito de MacCormack usa dois passos para passar do nível de tempo n para o nível (n+1): os passos predictor e corrector. Conforme as figuras 3 e 4, no passo predictor o vetor de fluxo em uma face é calculado usando os valores das propriedades em uma célula à frente relativa à face, enquanto que no passo

corrector os valores das propriedades são relativas a uma célula atrás à face.

As equações de discretização de todos os fluxos atravessando as superfícies dos volumes de controle são dadas por:

e update: 1 1 1 , , , 1 . 2 n n n i j i j i j Q + = _Q + +Q + _

Figura 3: Passo Predictor.

Figura 4: Passo Corrector.

Figura 5: Update.

A figura 5 mostra a atualização dos passos predictor e corrector.

onde Da Q

( )

representa o termo de viscosidade artificial que será analisada no item 3.8.

3.5 O esquema de Jameson

A formulação de volumes finitos de Jameson[33] utilizada neste trabalho usa um esquema de integração de Runge-Kutta de cinco estágios para avançar no tempo. O método é de quarta ordem de precisão no tempo e de segunda ordem no espaço. As propriedades são avaliadas como a média dos valores nas células nos dois lados da face. Dessa forma, o esquema reduz-se a uma aproximação de diferença centrada no espaço em uma malha cartesiana. Como consequência, ele necessita do uso de termos de dissipação numérica para garantir estabilidade[39]_{. Os termos de viscosidade artificial são} avaliados em todos os estágios do esquema de Runge-Kutta para aumentar a estabilidade[31]_{. Assim,} adicionando os termos de viscosidade artificial à equação (74), obtém-se:

( )

( )

, , , , 1 0 i j e i j i j i j dQ T Q Da Q dt V   + _ − _= ,

onde Da Q

( )

_{i j,} representa o termo de viscosidade artificial. Então, para passar do nível de tempo n para o nível (n+1), escreve-se:

( )5 ( )0

_{( )}

( )4

_{( )}

( )4 , , 5 , , , , i j i j e i j i j i j t Q Q T Q Da Q V α ∆   = − _ − _ ( )5 1 , , n i j i j Q + =Q .

Os valores padrões para os coeficientes são ₁ 1 4 α = , ₂ 1 6 α = , ₃ 3 8 α = , ₄ 1 2 α = e α₅= .1[11]

3.6 Condições Iniciais

As condições iniciais precisam ser definidas para começar o processo iterativo. Nesse caso, utilizam-se os valores das propriedades do escoamento não-perturbado em toda a malha computacional.

3.7 Condições de Contorno

Uma das tarefas mais importantes de uma simulação numérica é a implementação correta das condições de contorno. Basicamente, podem ser definidos três tipos de fronteiras para os escoamentos em torno do aerofólio NACA 0012 que serão resolvidos neste trabalho: parede sólida, fronteiras remota e simétrica. Como se trata de casos bidimensionais, quatro condições de contorno em cada fronteira são necessárias para equacionar o problema.

3.7.1 Parede

para a formulação de Euler é a condição de escorregamento, isto é, o escoamento é tangente à parede.

Na figura 6 o vetor de velocidade V₁



na célula (i, 1) próximo à parede é formado pelas componentes V_1t

 e V_1n



tangente e normal à parede, respectivamente. O vetor de velocidade V₀

 da célula fantasma (i, 0) correspondente à célula (i, 1) é formado pelas componentes V_0t



e V_{0 n}



tangente e normal à parede, respectivamente.

Figura 6: Vetores de velocidade próximo à parede.

Um desenvolvimento detalhado para as componentes u e ₀ v do vetor de velocidade ₀ V₀



encontra-se no apêndice C. Assim:

(

2 2

)

,

0 1 y x 1 x y