========================================================================= 1) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir:
a) Determinante da matriz A = (aij)2X2, em que aij = -i2- j. b) Determinante da matriz B = (bij)2X2, em que bij = ( i – j)2.
c) Determinante da matriz C = (cij)2X2, em que cij = i – j , se i for par e cij = i + j, se i for ímpar. d) Determinante da matriz I2 (identidade de ordem 2).
e) Determinante da matriz D = 3 4 5 3 . 2) Se m = 2 4
1 5 e n = 3 04 4, calcule o valor da expressão m2 – n2. 3) Se p = 4
e q = 3 43 3 , calcule x tal que p = q. 4) Se a = 2 1 1 0 , b = 2 41 5 e c = 2 71 5 , resolva a equação ax2 + bx + c = 0. 5) Se p = 8 4 4 4 e q = 3 5 1 , calcule log q p.
6) Use a Regra de Cramer para resolver cada sistema a seguir:
a) 3 – 5
2 5 9 c) 5 2 7 5 17 b) – 4 3
2 2 4 d) 3 – 7 5 6 7) Use a Regra de Cramer para resolver cada problema a seguir:
a) Num quintal há porcos e patos, num total de 56 animais e 156 pés. Quantos são os patos e quantos são os porcos?
b) Num estacionamento há 48 veículos (somente motos e carros) num total de 118 rodas. Quantos veículos de cada tipo há no estacionamento?
c) Um caixa eletrônico só trabalha com notas de 10 e de 25 reais. Se alguém saca 260 reais e leva 11 notas, quantas notas de cada espécie ele leva?
d) Um grupo de amigos foi comemorar o aniversário de um deles em um bar. Entre salgados e sucos, foram consumidos 96 itens e a conta ficou por R4 176,00. Se cada suco custa R$ 1,50 e cada salgado custa R$ 2,00, quantos sucos e quantos salgados foram consumidos?
8) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir:
EXERCÍCIOS DE REVISÃO – MATEMÁTICA
2
aSÉRIE – ENSINO MÉDIO
a) Determinante da matriz A = (aij)3X3, em que aij = -2i2+ j. b) Determinante da matriz B = (bij)3X3, em que bij = - ( i + j)2.
c) Determinante da matriz C = (cij)3X3, em que cij = 2i – j , se i for par e cij = i +2 j, se i for ímpar. d) Determinante da matriz I3 (identidade de ordem 3).
e) Determinante da matriz 2 1 20 5 1 4 4 1. 9) Se m = 3 3 21 0 1 1 4 1. e n = 5 1 2 4 5 1
0 4 1., calcule o valor da expressão m + n 2.
10) Se p = 60 0
4 4 4. e q =
2 1 2 0 5 1
4 2 4. , calcule x tal que p = q.
11) Se a = 1 0 00 5 1 4 4 1 , b = 1 1 0 0 1 1 4 1 2 e c = 1 1 2 0 5 1 5 2 9 , resolva a equação ax 2 + bx + c = 0. 12) Use a Regra de Cramer para resolver cada problema a seguir:
a) Num cofre há apenas moedas de 10, 25 e 50 centavos totalizando 16 moedas e R$ 4,45. Se o número de moedas de 50 centavos é o dobro do número de moedas de 25 centavos, quantas moedas de cada espécie há no cofre?
b) Num estacionamento, há 22 veículos, contando apenas com motos, triciclos e carros. Contando-se o número de rodas, encontra-se 69. Sabe-se ainda que o número de rodas de carros é o triplo do número de rodas de motos. Quantos veículos de cada tipo há no estacionamento?
13) No plano cartesiano, três pontos A(xA , yA), B(xB , yB) e C(xC , yC) estarão alinhados, ou seja, serão de uma mesma reta, se, e somente se
11 1
= 0
a) Verifique se os pontos A(1, -3), B(5, 1) e C(0, -4) estão alinhados.
b) Determine a coordenada k de modo que os pontos P(k, 3), Q(1, 5) e C(0, 1) pertençam a uma mesma reta.
c) Determine o real m de modo que os pontos R(m, 5), S(-1, -2m) e T(0, -1) sejam vértices de um triângulo.
14) Se ! "# $ %
& ' ( = 2, determine o valor de cada determinante a seguir:
a) 2! "# 2$ % & 2' ( b) " ! % $ # ( ' & c) 3& 3' 3( # $ % ! " d) # & ! $ ' " % ( e) 2! 2" 2 $ % # 3' 3( 3&
15) Sabendo que m = ! "# $ %
& ' ( , d = 2a , e = 2b e f = 2c, determine os valores de x tais que m = = 11
.
16) Calcule o valor de cada determinante a seguir:
a) 1 1 12 3 5 4 9 25 b) 1 3 2 14 2 10 7 1 5 c) 2 2 1 3 0 3 5 2 0 2 4 1 0 2 1 8 − − −
17) Sabendo-se que det A significa “determinante da matriz A”, At significa “transposta da matriz
A”e A-1 significa “inversa da matriz A” , calcule o valor da expressão E a seguir, sendo A = 2 1
1 2. E = *+,- ./0*+,- 01+,- 2
+,- 1
.
18) Se A = 4 12 3 , calcule o valor da expressão det(At) + 2. det(A-1) – det A. 19) Usando o escalonamento resolva cada sistema a seguir :
a) = − − = + 5 2 3 2 4 2 y x y x b) = − − = + − 4 5 7 4 3 5 y x y x c) = − = − 18 5 2 30 7 y x y x d) − = − = + 11 5 2 3 2 y x y x e) = + − = + − = + + 12 3 2 5 5 2 1 z y x z y x z y x f) = + − = + − = − + 26 2 5 3 3 8 3 2 z y x z y x z y x g) − = − + − = + − − = + − 2 3 7 9 3 2 8 3 3 z y x z y x z y x h) = + − = + + − = + + 0 3 2 3 7 2 8 2 5 z y x z y x z y x
20) Qual é o valor de m para que o sistema = − = + 10 4 12 3 y x y mx
tenha solução única ? 21) Classificar e resolver cada sistema a seguir:
a) = + = + 13 y 5 x 3 5 y 2 x b) = + − = + − = + + 1 z y 3 x 10 z 4 y 2 x 3 9 z 3 y x 2 c) = + + = + + = + + 4 z 6 y 4 x 2 3 z 5 y 4 x 2 2 z 3 y 2 x d) − = + − = − 12 4 6 6 2 3 y x y x
22) Discuta cada sistema a seguir, em função dos parâmetros a e b: a) = + = + 13 5 3 5 2 y ax b y x b) = + = − 13 3 2 5 5 by x y ax c) − = + − = − + = + + 2 4 3 3 2 3 2 b z y x z y x z ay x
23) Determine os valores de m e n para os quais o sistema abaixo é impossível.
24) Quais são as relações entre os parâmetros m, n e p que tornam o sistema abaixo a) possível determinado? b) possível indeterminado? c) impossível? = + + = + + = + + 4 5 3 5 4 5 2 2 nz y x p z y x z my x
25) Usando a Regra de Cramer ou o Escalonamento, resolva cada Problema a seguir:
a) Um consumidor dispõe de certa importância para fazer compras. Se comprar 1 blusa, 1 tênis e 1 calça, faltarão R$ 30,00. Se comprar 1 tênis e 1 calça, sobrarão R$ 10,00 e se comprar 1 blusa e 1 calça, sobrarão R$ 20,00. Com base nessas informações, determine o preço da blusa, em reais
b) Uma herança de R$ 165.000,00 deve ser dividida entre três herdeiros: Álvaro, Beatriz e Carmem. O valor que caberá a Beatriz corresponde à metade da soma do que receberão Álvaro e Carmem. Além disso, a diferença entre o que receberá Carmem e o que receberá Álvaro é de R$ 20.000,00. Quanto receberá Carmem?
c) Em três tipos de temperos verificou-se que , para cada tablete de 10 gramas ,
a) O tempero I tem 2 gramas de sal , 2 gramas de pimenta e 8 gramas de essência de carne. b) O tempero II tem 2 gramas de sal , 1 grama de pimenta e 5 gramas de essência de carne. c) O tempero III tem 3 gramas de sal , não contém pimenta e tem 3 gramas de essência de carne. Ache todas as possíveis quantidades dos temperos I , II e III que contenham , simultaneamente , 11 gramas de sal , 3 gramas de pimenta e 20 gramas de essência de carne. .
QUESTÕES DE VESTIBULARES :
1) (CEFET– MG) – Sendo = "34 4$5
64$5 6 = = 4$5 1 2"34 0 , então, para todo x ≠ π 7 8. π , k∈Z, o valor de α é a) tg 2 x b) sec 2 x c) cos 2 x d) sen 2 x e) 2.sen x
2) (CEFET– MG) – Considere a matriz A = 6 3
6 2 e o sistema linear 6 – 10 14: 5 7. Se det A = = m + 1 e o sistema possui infinitas soluções, então o valor de α é
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
3) (CEFET– MG) – O(s) valor(es) de x para que 1 2 0 1
2 3 = -8 é (são) a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3
4)(CEFET– MG) – Para que o sistema ; 2 – 4< 5 – 3< 2 : 5< 0
tenha infinitas soluções, o valor de m + n é igual a a) –2 b) 0 c) 2 d) 4 e) 8 5)(CEFET– MG) – Sendo x, y ∈ [0 , π = e 0 1 1 "34 4$5 0 4$5 "34 1 = 0, a relação entre x e y é a) x + y = 0
b) x + y = π c) x – y = π d) 2x – y = π e) 2x + y = π
6)(CEFET– MG) – Sendo A = (aij), uma matriz quadrada de ordem 3 onde aij = i2 – 2ij + j2, então, o
determinante de A é a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
7) (CEFET– MG) – Seja A = (aij), a matriz quadrada de ordem 3 onde aij = ;
21 – 3 4$ ( > ? ( – ? 4$ ( ? ( ? 4$ ( @ ?
. O valor do determinante de A é igual a
a) -57 b) -19 c) 0 d) 19 e) 57
8) (UF – PI) – Sejam M e N matrizes quadradas tais que M.N = 1 40 1 00
4 12 1 e M = -N.. Se det M < 0, o valor do det N é igual a
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
9) (UE – CE) – Se o determinante da matriz A = A 3 √: √: √2 C é
√
, então o determinante da matriz
B = 11 :1 1 22 1 1 : 2 é a) D 7 b) D c) E 7 d) E
10) (UFV – MG) – Seja A uma matriz inversível de ordem 2. Se det(2A) = det (A2), então o valor de det A é
a) 3 b) 4 c) 2 d) 0 e) 1
11) (U.F.MG) – Determine todos os valores de a e b de modo que o sistema linear a seguir tenha a) solução única ; b) infinitas soluções ; c) nenhuma solução . = − + = + + = + + 1 3 2 2 4 3 2 z y x b z y x az y x
12) (U.F.MG) - Determine todos os valores de x , y e z que satisfazem o sistema
= = = − 4 1 4 . 16 . 4 4 2 . 2 2 1 3 . 3 . 3 z y x z y x z y x
. 13) (U.F.MG) – Ache os valores de m para os quais o sistema = − + = + − = − + 2 6 2 6 2 3 4 3 1 3 2 m z y x m z y x z y x tenha soluções.
14) (U.F.MG) - Em três tipos de alimentos verificou-se que , para cada grama ,
a) O alimento I tem 2 unidades de vitamina A , 2 unidades de vitamina B e 8 unidades de vitami- na C .
b) O alimento II tem 2 unidades de vitamina A , 1 unidade de vitamina B e 5 unidades de vitami- na C .
c) O alimento III tem 3 unidades de vitamina A , não contém vitamina B e tem 3 unidades de vitamina C .
Ache todas as possíveis quantidades dos alimentos I , II e III que forneçam , simultaneamente , 11 unidades de vitamina A , 3 de vitamina B e 20 de vitamina C .
15) (U.F.BA) – No sistema = + = + − = + + 0 z 2x 8 3 3 1 3 2 z y x z y x , determine o valor de z – xy .
16) (U.F.PA) – Qual é o valor de m para que o sistema = − = + 10 4 12 3 y x y mx
tenha solução única ?
17) (PUC-SP) – Determine a relação entre a e b para que o sistema = + = − 5 4 1 2 y bx y ax tenha solução determinada .
18) (CESCEM) – Determine os valores de a e b que tornam o sistema = + − = − b y x a y x 4 6 2 3 indetermi – nado .
19) (PUC-RS) – Determine a relação entre a e b de modo que o sistema = − = − 2 4 1 2 y bx y ax seja inde- terminado .
20) (PUC-SP) – Determine os valores de k de modo que o sistema
= + + = + + = − 1 3 0 3 1 z ky x z y kx z x tenha solução única .
21) (U.F.PE) – Determine todos os valores de λ de modo que o sistema
= + + = + + = + + 0 3 3 0 2 0 2 z y x z y x z y x
λ
λ
tenha solução única.22) (PUC-SP) – Verifique quantas soluções tem o sistema abaixo .
= + − = + − − = − + 2 2 1 0 4 z y x z y x z y x
23) (U.F.BA) - Discutir o sistema = + = + 5 4 1 3 2 ay x y x em função do parâmetro a .
24) (CESCEA) – Discutir o sistema = + + = + + = + + 3 3 3 2 2 2 2 1 mz y x z y x z y x em função do parâmetro m . 25) (F.G.V. –SP) – Discutir o sistema = − + = − − = + + k z y x k z y x k z y x em função do parâmetro k .
26) (MACK –SP) – Discutir o sistema
= − = + = + m y x y mx y x 1 2 em função do parâmetro m .
27) (PUC – SP) – Para que valores de b o sistema
= + = + = + b by x y x y x 0 5 3 4 tem solução ?
28) (ITA – SP) - Qual deve ser a relação que a , b e c devem satisfazer para que o sistema abaixo tenha pelo menos uma solução ?
= + + = − + = − + c z y x b z y x a z y x 7 2 11 6 2 3 2 29) (CESGRANRIO) – Se o sistema = + = + − = − + b y x z ay x z y ax 1 0
tem uma infinidade de soluções , determine
a e b . 30) (U.F.CE) – Se o sistema = + + = + + = + + 1 1 2 2 1 2 mz y x z y x z y x
não admite solução , calcule o valor de log 2m32 .
31) (CESGRANRIO) - Que condição deve satisfazer os parâmetros α e β para que o sistema
= + = + + = +
β
α
α
α
z x z y x z x 3 4 4 3 1 2não tenha solução ?
