SegundoTrabalho

(1)

REVISÃO

1. SISTEMA COM EQUAÇÕES IDÊNTICASQ Ç

P_i_i(D)y( )y_i_i são equações diferenciais idênticas, em estrutura algébrica, porém,q g p com diferentes parâmetros e valores iniciais.

P (D) E ( ) P_i(D)y_i = E_i(t) E (t) y (t) (Forma matricial) P(D)y = [E(t)] P₁(D)y₁ E₁(t) y₁(t) E₁(t) P(D)y [E(t)]

≡

E₂(t) P₂(D)y₂ y₂(t) E₂(t) y(t) E₃(t) y₃(t) _E 3(t) P (D)y 3( ) P₃(D)y₃ y₃( ) _E 3(t)

(2)

REVISÃO

2. SISTEMA EM CASCATA

P_i(D)y_i são equações diferenciais idênticas, em estrutura algébrica, porém, com diferentes parâmetros e valores iniciais.p

P₁(D)y₁ = E(t) P (D)y = r y (t) P(D)y = [E(t) r₁.y₁(t) r₂.y₂(t)]T E₁(t) P₂(D)y₂ r₁.y₁(t) P₃(D)y₃ = r₂.y₂(t) 1( ) r y (t) y(t) y (t) E(t) r₁.y₁(t) P (D)y y(t) y₁(t) E(t) P₁(D)y₁

≡

r₂.y₂(t) y₂(t) r₁.y₁(t) P₂(D)y₂ r₁ y₃(t) 2( )y2 1 [r₁ r₂ 1] y₃(t) P₃(D)y₃ r₂.y₂(t) r₂

(3)

REVISÃO

3. VALOR MÁXIMO (Exemplo)( p )

Um sistema dinâmico, modelado pelo sistema equações diferenciais y₁"(t) + 2.y₁'(t) + 17.y₁(t) = E(t) e y₂"(t) + 4.y₂'(t) + 29.y₂(t) = 5.y₁(t), está y₁ (t) y₁ (t) y₁(t) (t) e y₂ (t) y₂ (t) 9 y₂(t) 5 y₁(t), es em repouso até o instante t < t₀. A fonte de entrada é dada por E(t). E(t) = 34, t < t₀; E(t) = 68, t₀ ≤ t < t₀+ t_p; E(t) = 42, t ≥ t₀ + t_p; t₀ = 4s, t_p = 2,5s.

Pede-se:

( )

[ ]

y t =

[

y₁

( )

t y₂

( )

t

]

1. O diagrama de blocos completo;

2. Valor final de E(t) e y(t) no diagrama de blocos;

4. O tempo t_m, no diagrama de blocos, que ocorre o valor máximo de y(t); 3. O valor máximo de y(t) no diagrama de blocos;

6. Os gráficos das funções E(t) e y(t).

5. O gráfico da função derivada y_max´(t), no subsistema – 2, junto com y(t);

E(t) y₁(t) y₂(t)

y₁”(t) + 2.y₁’(t) + 17.y₁(t) 5 y₂”(t) + 4.y₂’(t) + 29.y₂(t)

(4)

REVISÃO

3. VALOR MÁXIMO (Exemplo)( p )

E(t) y₁(t) 5.y₁(t) y₂(t)

y₁”(t) + 2.y₁’(t) + 17.y₁(t) 5 y₂”(t) + 4.y₂’(t) + 29.y₂(t)

( )

[ ]

y t =

[

y₁

( )

t y₂

( )

t

]

[ ] [

b = 2 4

]

[ ] [

c = 17 29

]

[ ]

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 1 I [y(t)] E(t)

[y”(t)]T _{+ [b].[I].[y’(t)]}T _{+ [c].[I].[y(t)]}T

[y( )] 5.y₁(t)

y₂(t)

(5)

REVISÃO

3. VALOR MÁXIMO (Solução)( ç )

VALOR MÁXIMO

Item 1 Item - 1 tn1, Valor máx1 tn2, Valor máx2 [Item 4 Item 3] Valor final Item 2 Osciloscópio Item 6 E(t) 2.935 4.76 [Item 4 Item 3] 42 2.464 Item 6 E(t) E(t) [y1(t) y2(t)] 3.083 0.9215 0.4242 Valor final Item 2 [y ( ) y ( )] Item 2

yi(t) tni, ymáxi(tn)

E(t) yi(t)

E(t) [y1(t) y2(t)] [[tn1 yma1]

E(t) = 34 t < t0 Timer SubSistema - 2 MÁXIMO SubSistema - 1 ( ) [y ( ) y ( )] [[ y ] [tn2 yma2]] E(t) = 34, t < t0 E(t) = 68, t0 <= t < t0 + tp, t0 = 2

(6)

REVISÃO

SubSistema - 1 SubSistema 1 Item - 1 [2 4] [2.y1'(t) y2'(t)] y1(t <= 2) = 2 y2(t <= 2) = 10/29 1 1 [2 4] Ganho 1 E(t) E(t) [y1(t) y2(t)] 1 yi(t) 1 s Integrador 1 s Integrador 5.y1(t) [E(t) 5.y(t)] [y1(t) y2(t)] yi"(t) [y1'(t) y2'(t)]

[17 29] [17.y1(t) 29.y2(t)]

[y1(t) y2(t)] Ganho

5*u[1]

5.y1(t) [y1(t) y2(t)]

-1 + 4.j e -1 - 4.j -2 + 5.j e -2 - 5.j

y1"(t) + 2.y1'(t) + 17.y1(t) = E(t) y2"(t) + 4.y2'(t) + 29.y2(t) = 5.y1(t)

(7)

REVISÃO

SubSistema - 2 SubSistema 2 Item - 1 Chave t t [t y1(t)] [t y1(t)] Tempo [y1(t) y2(t)] _t [t y1(t)] [t y1(t)] yma1'(t) y1(t) y1(t) y2(t) y2(t) [t y2(t)] 1 tni, ymáxi(tn) max Memória (20 20) Chave 1 yi(t)

[y1(t) y2(t)] [yma1(t) yma2(t)] [yma1'(t) yma2'(t)] [tn1 yma1(tn1)] [t y2(t)] _{[tn2 yma2(tn2)]} [[tn1 yma1(tn1)] [tn2 yma2(tn2)]] MinMax 1 Ganho M ó i yi(t) [yma1'(t) yma2'(t)] yma2'(t) Memória s Integrador Memória [y1(t) y2(t)] yma1'(t) yma2'(t) Osciloscópio [y1(t) y2(t)]

(8)

REVISÃO

(9)

REVISÃO

(10)

REVISÃO

4. VALOR MÍNIMO (Exemplo)( p )

Um sistema dinâmico, modelado pelo sistema equações diferenciais y₁"(t) + 2.y₁'(t) + 17.y₁(t) = E(t) e y₂"(t) + 4.y₂'(t) + 29.y₂(t) = 5.y₁(t), está y₁ (t) y₁ (t) y₁(t) (t) e y₂ (t) y₂ (t) 9 y₂(t) 5 y₁(t), es em repouso até o instante t ≤ t₀. A fonte de entrada é dada por E(t). E(t) = 68, t < t₀; E(t) = 34, t₀ ≤ t < t₀ + t_p; E(t) = 50, t ≥ t₀ + t_p; t₀ = 4s, t_p = 2,5s

Pede-se:

( )

[ ]

y t =

[

y₁

( )

t y₂

( )

t

]

2. Valor final de E(t) e y(t) no diagrama de blocos; 1. O diagrama de blocos completo;

4. O tempo t_m, no diagrama de blocos, que ocorre o valor mínimo de y(t); 3. Valor mínimo de y(t) no diagrama de blocos;

6. Os gráficos das funções E(t) e y(t).

5. O gráfico da função derivada y_max´(t), no subsistema – 2, junto com y(t);

E(t) y₁(t) y₂(t)

y₁”(t) + 2.y₁’(t) + 17.y₁(t) 5 y₂”(t) + 4.y₂’(t) + 29.y₂(t)

(11)

REVISÃO

4. VALOR MÍNIMO (Exemplo)( p )

E(t) y₁(t) 5.y₁(t) y₂(t)

y₁”(t) + 2.y₁’(t) + 17.y₁(t) 5 y₂”(t) + 4.y₂’(t) + 29.y₂(t)

( )

[ ]

y t =

[

y₁

( )

t y₂

( )

t

]

[ ] [

b = 2 4

]

[ ] [

c = 17 29

]

[ ]

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 1 I [y(t)] E(t)

[y”(t)]T _{+ [b].[I].[y’(t)]}T _{+ [c].[I].[y(t)]}T

[y( )] 5.y₁(t)

y₂(t)

(12)

REVISÃO

4. VALOR MÍNIMO (Solução)( ç )

VALOR MÍNIMO

Item - 1 tn1, Valor mín1 tn2, Valor mín2 Valor final Item 2 Osciloscópio 3.02 1 427 [Item 4 Item 3] 50 Item 2 2 946 p Item 6 E(t) E(t) [y1(t) y2(t)] 1.427 3.089 0.1145 2.946 0.5083 Valor final [y1(t) y2(t)] Item 2

yi(t) tni, ymíni(tn)

E(t) yi(t)

E(t) [y1(t) y2(t)] [[tn1 ymí1]

Timer

SubSistema - 2 MÍNIMO SubSistema - 1

E(t) [y1(t) y2(t)] [[tn1 ymí1]

[tn2 ymí2]]

E(t) = 68, t < t0

E(t) = 34, t0 <= t < t0 + tp, t0 = 2 E(t) = 50, t => t0 + tp, tp = 2,5

(13)

REVISÃO

SubSistema - 1 It 1 Item - 1 [2 4] [2.y1'(t) y2'(t)] E(t) y1(t <= 2) = 4 y2(t <= 2) = 20/29 1 1 1 Ganho 1 E(t) E(t) [y1(t) y2(t)] 1 yi(t) s Integrador s Integrador 5.y1(t)

[E(t) 5.y(t)] yi"(t) [y1'(t) y2'(t)]

[17 29] Ganho [17.y1(t) 29.y2(t)] [y1(t) y2(t)] 1 4 j 1 4 j Ganho 5*u[1] F

5.y1(t) [y1(t) y2(t)]

-1 + 4.j e -1 - 4.j -2 + 5.j e -2 - 5.j

y1"(t) + 2.y1'(t) + 17.y1(t) = E(t) y2"(t) + 4.y2'(t) + 29.y2(t) = 5.y1(t)

(14)

REVISÃO

SubSistema - 2 Item 1 Item - 1 1 s [ymi1'(t) ymi2'(t)] min MinMax Memória Memória s Integrador1 (20 20) 1 yi(t) [y1(t) y2(t)]

[ i1(t) [ i1'(t) [t 1(t)] [tn1 ymi1(tn1)]

ymi1'(t) [[tn1 ymi1(tn1)] [t 2 i2(t 2)]] 1 tni, ymíni(tn) Tempo (20 20) Ganho Chave 1 [y ( ) y ( )] [ymi1(t) ymi2(t)] [ymi1'(t) ymi2'(t)] t t [t y1(t)] [tn2 ymi2(tn2)] [tn2 ymi2(tn2)]] Chave Memória [y1(t) y2(t)] t [t y1(t)] y1(t) y1(t) y2(t)

y2(t) _{[t y2(t)]} _{[t y2(t)]}

O il ó i Chave [y1(t) y2(t)] ymi1'(t) ymi2'(t) [ y ( )] [ y ( )] Osciloscópio item 5

(15)

REVISÃO

(16)

REVISÃO

(17)

TRABALHO INDIVIDUAL

1 INICIAL

Data da proposição – 19/05/2010

1. INICIAL

Data da entrega – 23/06/2010

Usando o MATLAB simular o sistema proposto, conforme proposição anexa. Não pode usar a função de transferência s (derivada).

É obrigatório o uso do sistema vetorial como mostrado no exemplo É obrigatório o uso do sistema vetorial, como mostrado no exemplo.

2. REATÓRIOS SOLICITADOS

G áfi

l

li i d

Diagrama de blocos, após o processamento

Dúvidas? Dúvidas?

Gráficos com os valores solicitados no anexo

(18)

3. ANEXO

Um fluxo de água f_e(t) entra em um sistema de tanques, cujos níveis, y(t), do interior de cada um, mantém-se estável até o tempo t = tp _n_n. No fundo de cada tanque tem um furo circular de raio r, através do qual, a água escoa sob influência da gravidade. O sistema de equações diferencias e os parâmetro estão definidos em cada diagrama

estão definidos em cada diagrama.

Pede-se:

( )

[ ]

y t =

[

y₁

( )

t y₂

( )

t

]

Pede se:

2. Valor final de f_e(t) e y(t) no diagrama de blocos; 1. O diagrama de blocos completo;

4. O tempo t_m, no diagrama de blocos, que ocorre o valor máximo ou mínimo de y(t); 3. Valor máximo ou mínimo de y(t) no diagrama de blocos;

5 O gráfico da função derivada y ´(t) ou y _i ´(t) no subsistema – 2 junto com y(t); 6. Os gráficos das funções f_e(t) e y(t).

Considerar: π = 3,1416, e g = 9,81 m/s2

5. O gráfico da função derivada y_max (t) ou y_min (t) , no subsistema 2, junto com y(t);

Os alunos estão identificados pelos 6º, 7º. e 8º. dígitos do CPF como indica os dígitos substituídos pela letra N, abaixo. xxx.xxN.NNx/dd.

(19)

4. ANEXO – a1 _{f (t)}

4. ANEXO a1

Tanques esféricos de raios R₁ = 10 m, R₂ = 5 m e r₁ =

f_e(t) r₂ = 20mm. _y 1(t) ( ) 2 _{( )} t y r t f_e ₋ ( ) 2 ( ) 2 t y r t y r f₁(t) (t) ( ) _{( )} _{( )}( )₂ 1 1 1 1 1 1 . . 2 . . 2 . . . 2 ' t y R t y t y r g g t y − = π ( ) _{( )}( ) _{( )}( )2 2 2 2 2 2 1 1 2 . . 2 . . . . 2 ' t y R t y t y r t y r g t y − − = t t se min m 0 7 3 ⎧ < máximo y2(t) f (t) ( ) , t 10h 17 t t se , min m 0,6 t t 17 t se , min m 0,8 t t se , min m 0,7 n n 3 n n 3 n ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≥ ≥ > + < = h h t f_e

006

f₂(t) ⎧ mínimo ( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ = < = h h t f 0,65m min, se t 16 t t ,t 11 t t se , min m 0,75 3 n 3

009

(20)

4. ANEXO – a2 _{f (t)}

4. ANEXO a2 _f

e(t)

y₁(t) Tanques esféricos de raios R₁ = 5 m, R₂ = 10 m e r₁ =

20 f₁(t) r₂ = 20mm. ( ) _{( )} 1 2 1 . y t r t f_e ₋

( )

r2 y

( )

t −r2 y

( )

t y₂(t) ( ) _{( )} _{( )}( )₂ 1 1 1 1 1 1 . . 2 . 2 . . . 2 ' t y R t y y g g t y − = π

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

2 2 2 2 2 2 1 1 2 . . 2 . . . . 2 ' t y R t y t y r t y r g t y − = t t se min m 0 7 3 ⎧ < máximo f₂(t) ( ) , t 10h 17 t t se , min m 0,6 t t 17 t se , min m 0,8 t t se , min m 0,7 n n 3 n n 3 n ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≥ ≥ > + < = h h t f_e

₀₂₁

2( ) ⎧ mínimo ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≥ ≥ > + < = h h h t f_e ,t 11 16 t t se , min m 0,80 t t 16 t se , min m 0,65 t t se , min m 0,75 n 3 n n 3 n 3

064

⎩ , ,

(21)

4. ANEXO – a3 _{f (t)}

4. ANEXO a3

Tanques esféricos de raios R₁ = R₂ = 10 m, r₁ = 18mm 20 f_e(t) e r₂ = 20mm. y₁(t) ( ) _{( )} 1 2 1 . y t r t f_e ₋

( )

r2 y

( )

t −r2 y

( )

t f₁(t) ( ) _{( )} _{( )}( )₂ 1 1 1 1 1 1 . . 2 . 2 . . . 2 ' t y R t y y g g t y − = π

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

2 2 2 2 2 2 1 1 2 . . 2 . . . . 2 ' t y R t y t y r t y r g t y − = t t se min m 0 7 3 ⎧ < máximo y₂(t) ( ) , t 11h 27 t t se , min m 0,6 t t 27 t se , min m 0,8 t t se , min m 0,7 n n 3 n n 3 n ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≥ ≥ > + < = h h t f_e

₁₀₆

110

(22)

4. ANEXO – a4 _{f (t)}

4. ANEXO a4

Tanques esféricos de raios R₁ = R₂ = 10 m, r₁ = 20mm 18 f_e(t) e r₂ = 18mm. y₁(t) ( ) _{( )} 1 2 1 . y t r t f_e ₋

( )

r2 y

( )

t −r2 y

( )

t f₁(t) ( ) _{( )} _{( )}( )₂ 1 1 1 1 1 1 . . 2 . 2 . . . 2 ' t y R t y y g g t y − = π

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

₂₀₄

f₂(t) ⎧ mínimo ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≥ ≥ > + < = h h h t f_e ,t 11 26 t t se , min m 0,80 t t 26 t se , min m 0,65 t t se , min m 0,75 n 3 n n 3 n 3

220

⎩ , ,

(23)

4. ANEXO – a5 _{f (t)}

4. ANEXO a5

Tanques esféricos de raios R₁ = R₂ = 10 m, r₁ = r₂ = 20 f_e(t) 20mm. y₁(t) ( ) _{( )} 1 2 1 . y t r t f_e ₋

( )

r2 y

( )

t −r2 y

( )

t f₁(t) ( ) _{( )} _{( )}( )₂ 1 1 1 1 1 1 . . 2 . 2 . . . 2 ' t y R t y y g g t y − = π

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

₂₉₉

342

(24)

4. ANEXO – b1 _{f (t)}

Tanque cônico com vértice no solo e base do cone em uma estrutura horizontal. Altura H₁= H₂ = 10 m, raio

f_e(t) uma estrutura horizontal. Altura H₁ H₂ 10 m, raio

das bases são R₁ = 5m, R₂ = 2,5m e r₁ = r₂ = 20mm. y1(t)

( ) 2 _{( )} t y r t f_e ( ) 2 ( ) 2 f₁(t) ( ) ( ) _{( )} ( ) 2 1 1 1 1 1 . . . 2 . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = H t y R t y r g g t y e π ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . . . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = H t y R t y r t y r g t y máximo y2(t) 1 ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ H ⎝ 2 ⎠ ( ) , t 5h 12 t t se min m 0 5 t t 12 t se , min m 0,8 t t se , min m 0,7 n 3 n n 3 n 3 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≥ ≥ > + < = h h t f_e

₃₅₀

f2(t) 12 t t se , min m 0,5 _n ⎩ ≥ + h ⎧ mínimo ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≥ ≥ > + < = h h h t f_e , t 3 3 t t se , min m 0,80 t t 3 t se , min m 0,60 t t se , min m 0,75 n 3 n n 3 n 3

376

⎩ , ,

(25)

4. ANEXO – b2 _{f (t)}_f

e(t)

(t) Tanque cônico com vértice no solo e base do cone em

uma estrutura horizontal. Altura H₁= H₂ = 10 m, raio

f ( ) y₁(t)

uma estrutura horizontal. Altura H₁ H₂ 10 m, raio das bases são R₁ = 2,5m, R₂ = 5m e r₁ = r₂ = 20mm.

( ) 2 _{( )} t y r t f_e ( ) 2 ( ) 2 f₁(t) ( ) ( ) _{( )} ( ) 2 1 1 1 1 1 . . . 2 . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = H t y R t y r g g t y e π ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . . . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = H t y R t y r t y r g t y máximo y₂(t) 1 ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ H ⎝ 2 ⎠ ( ) , t 2h 3 t t se min m 0 5 t t 3 t se , min m 0,8 t t se , min m 0,7 n 3 n n 3 n 3 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≥ ≥ > + < = h h t f_e

₃₈₁

f2(t) 3 t t se , min m 0,5 _n ⎩ ≥ + h ⎧ mínimo ( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ = < = h h t f 0,60m min, se t 4 t t , t 6 t t se , min m 0,75 3 n 3

402

(26)

4. ANEXO – b3 _{f (t)}

das bases são R₁ = R₂ = 5m, r₁ = 18mm e r₂ = 20mm. y1(t)

( ) 2 _{( )} t y r t f_e ( ) 2 ( ) 2 f₁(t) ( ) ( ) _{( )} ( ) 2 1 1 1 1 1 . . . 2 . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = H t y R t y r g g t y e π _{( )} ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . . . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = H t y R t y r t y r g t y máximo y₂(t) 1 ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ H ⎝ H2 ⎠ ( ) , t 5h 12 t t se min m 0 5 t t 12 t se , min m 0,8 t t se , min m 0,7 n 3 n n 3 n 3 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≥ ≥ > + < = h h t f_e

430

468

⎩ , ,

(27)

4. ANEXO – b4 _{f (t)}

das bases são R₁ = R₂ = 5m, r₁ = 20mm e r₂ = 18mm. y1(t)

₄₈₅

f2(t) 12 t t se , min m 0,5 _n ⎩ ≥ + h ⎧ mínimo ( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ = < = h h t f 0,60m min, se t 12 t t , t 6 t t se , min m 0,75 3 n 3

508

(28)

4. ANEXO – b5 _{f (t)}

das bases são R₁ = R₂ = 5m, r₁ = r₂ = 20mm. y1(t)

₅₁₃

530

⎩ , ,

(29)

4. ANEXO – c1 _{f (t)}

Tanques cilíndricos com a base em uma estrutura horizontal Altura H = H = 10m raio das bases são

f_e(t) y₁(t) horizontal. Altura H₁= H₂ = 10m, raio das bases são

R₁ = 5m, R₂ = 2,5m e r₁ = r₂ = 20mm. y₁( ) f₁(t) ( )t f f₁(t) y (t) ( ) ( ) _{( )} 2 1 1 2 1 1 . . 2 . . . 2 ' R t y r g t f g t y e − = π ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 . . . . 2 ' R t y r t y r g t y = − máximo i 0 7 3 ⎧ y₂(t) ( ) , t 10h 35 t t se , min m 0,2 t t 35 t se , min m 0,9 t t se , min m 0,7 n n 3 n n 3 n 3 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≥ ≥ > + < = h h t f_e

587

f2(t) mínimo ⎧ ( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ = < = h h t f 0,60m min, se t 30 t t , t 11 t t se , min m 0,75 3 n 3

601

(30)

4. ANEXO – c2 _{f (t)}_f

e(t)

y₁(t) Tanques cilíndricos com a base em uma estrutura

horizontal Altura H = H = 10m raio das bases são y1( )

f₁(t) horizontal. Altura H₁= H₂ = 10m, raio das bases são

R₁ = 2,5m, R₂ = 5m e r₁ = r₂ = 20mm. ( )t f f₁(t) y (t) ( ) ( ) _{( )} 2 1 1 2 1 1 . . 2 . . . 2 ' R t y r g t f g t y e − = π ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 . . . . 2 ' R t y r t y r g t y = − máximo i 0 7 3 ⎧ y₂(t) ( ) , t 5h 15 t t se , min m 0,2 t t 15 t se , min m 0,9 t t se , min m 0,7 n n 3 n n 3 n 3 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≥ ≥ > + < = h h t f_e

₆₃₀

f2(t) mínimo ⎧ ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≥ ≥ > + < = h h h t f_e , t 6 15 t t se , min m 0,80 t t 15 t se , min m 0,60 t t se , min m 0,75 n 3 n n 3 n 3

661

⎩ , ,

(31)

4. ANEXO – c3 _{f (t)}

R₁ = R₂ = 5m, r₁ = 18mm e r₂ = 20mm. y₁( ) f₁(t) ( )t f y (t) f₁(t) ( ) ( ) _{( )} 2 1 1 2 1 1 . . 2 . . . 2 ' R t y r g t f g t y e − = π ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 . . . . 2 ' R t y r t y r g t y = − máximo i 0 7 3 ⎧ y₂(t) ( ) , t 10h 35 t t se , min m 0,2 t t 35 t se , min m 0,9 t t se , min m 0,7 n n 3 n n 3 n 3 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≥ ≥ > + < = h h t f_e

₇₅₀

f2(t) mínimo ⎧ ( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ = < = h h t f 0,60m min, se t 30 t t , t 11 t t se , min m 0,75 3 n 3

805

(32)

4. ANEXO – c4 _{f (t)}

R₁ = R₂ = 5m, r₁ = 20mm e r₂ = 18mm. y₁( ) f₁(t) ( )t f y (t) f₁(t) ( ) ( ) _{( )} 2 1 1 2 1 1 . . 2 . . . 2 ' R t y r g t f g t y e − = π ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 . . . . 2 ' R t y r t y r g t y = − máximo i 0 7 3 ⎧ y₂(t) ( ) , t 10h 35 t t se , min m 0,2 t t 35 t se , min m 0,9 t t se , min m 0,7 n n 3 n n 3 n 3 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≥ ≥ > + < = h h t f_e

927

f2(t) mínimo ⎧ ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≥ ≥ > + < = h h h t f_e , t 11 30 t t se , min m 0,80 t t 30 t se , min m 0,60 t t se , min m 0,75 n 3 n n 3 n 3

999

⎩ , ,