Medição fraca do deslocamento Goos-Hänchen próximo do ângulo crítico para reflexão interna total

INSTITUTO DE FÍSICA GLEB WATAGHIN

DISSERTAÇÃO

MEDIÇÃO FRACA DO DESLOCAMENTO

GOOS-H ¨

ANCHEN PRÓXIMO DO ÂNGULO CRÍTICO

PARA REFLEXÃO INTERNA TOTAL

OCTAVIO JOSÉ SANTOS DE SANTANA

CAMPINAS - SÃO PAULO 2015

PRÓXIMO DO ÂNGULO CRÍTICO PARA REFLEXÃO INTERNA TOTAL

Por

OCTAVIO JOSÉ SANTOS DE SANTANA

Dissertação submetida ao Instituto de Física da Universidade Estadual de Campinas para a obtenção do título de Mestre em Física

Orientador: Prof. Dr. Luís Eduardo Evangelista de Araujo

CAMPINAS - SÃO PAULO 2015

Gostaria de agradecer a Deus por todos os momentos maravilhosos que tenho tido em minha vida. Por todos os momentos felizes e porque não os tristes? Muitas coisas aprendi com eles, muitos valores guardei e muitas vitórias conquistei.

Aos meus pais José (in memoria) e Valdira acreditando sempre em meu potencial e nunca deixando que eu desanimasse nos momentos difíceis em minha vida, em especial minha mãe, minha maior bênção que dos céus eu recebi na minha vida, obrigado por tudo, e principalmente pelo seu amor dedicado!

À minha família.

Ao meu orientador Luís Eduardo Evangelista de Araújo pela oportuni-dade de iniciar um novo trabalho de pesquisa no grupo GLA, pela paciência e pelo otimismo. Por ter me ensinado a ser paciente e persistente, nunca desanimando perante os obstáculos.

A Silvânia e Stefano por ter ajudado com o andamento da pesquisa com discussões cienticas e colaborações.

A todos os professores do IFGW que de alguma forma contribuíram em minha formação

À minha noiva Nathalia pelo constante apoio, pelas palavras de incen-tivo e ações. Dizer obrigado às vezes não é suciente para agradecer a tão amável e gentil pessoa que nos momentos de nossas vidas, aqueles mais difí-ceis, nos estende a mão amiga e nos oferece amparo. Estou agradecido a você e não sei neste instante como retribuir tanto carinho, mas é claro que encontrarei uma maneira de fazê-lo. Obrigado meu anjo.

Aos meus amigos de SERGIPE (minha terrinha querida) que sempre entenderam minha ausência.

pelas conversas no bandeco!

Ao Camilo pela ajuda com a minha chegada a Campinas.

Aos amigos e colegas que conheci durante o mestrado. Citar e agradecer a todos eles constituiria uma lista muito longa de ser editada. Assim, a todos os que de uma forma ou de outra zeram parte nesta jornada, muito obrigado. Ao técnico do grupo João Batista pelo excelente trabalho que desen-volve.

Ao IFGW/DEQ e seus funcionários.

E, nalmente, mas não sendo o menos importante, à CAPES pela ajuda nanceira.

Resumo

Um feixe de luz, após sofrer uma reexão em uma interface plana, é deslo-cado do caminho previsto pela ótica geométrica. Este desvio do feixe é muito pequeno, tipicamente da ordem do comprimento de onda da luz, que é muito menor do que o tamanho do feixe. Portanto, é difícil de se medir. A téc-nica de medição fraca óptica tem sido utilizada com sucesso em investigações de deslocamentos de feixe, tal como o deslocamento Goos-Hänchen (GH) e o deslocamento Imbert-Fedorov (IF) (esses são deslocamentos longitudinal e perpendicular ao plano de incidência, respectivamente). Em uma medição fraca, o sistema de medida é projetado sobre um determinado estado nal (pós-seleção), quase ortogonal ao estado inicial (pré-seleção), dando origem a um valor fraco que pode assumir valores muito grandes (amplicados). Nesta dissertação estudamos experimentalmente o deslocamento Goos-Hänchen de um feixe gaussiano focalizado ao sofrer reexão interna total em um prisma via medida fraca. Investigamos este efeito em torno do ângulo crítico θc para

reexão interna total. Nosso experimento demonstra pela primeira vez que há uma dependência axial do valor fraco que tem que ser levado em conta, além de um fator fenomenológico na equação de correção do valor fraco. Compara-ções entre os dados com e sem o fator fenomenológico foi feita, mostrando que ao utilizar esse fator, nossos resultados experimentais mostram um excelente acordo com a previsão teórica.

Abstract

A beam of light, after reection from a planar interface, is shifted from the path predicted by ray optics. Such a beam shift is very small, typically of the order of the wavelength of light, which is much smaller than the physical size of the beam. Therefore, it is dicult to measure. The optical weak measurement technique has been successfully used in investigations of beam displacements such as the Goos-Hänchen (GH) and the Imbert-Fedorov (IF) shifts (these are longitudinal and perpendicular to the plane of incidence, respectively). In a weak measurement, the measured system is projected onto a certain nal state (postselected), nearly orthogonal to the inicial state (preselected), giv-ing rise to a measured weak value that may take on very large (amplied). In this dissertation, we study experimentally the Goos-Hänchen shift of a focused Gaussian ligth beam undergoing total internal reection in a prism via weak measurement. We investigate this eect near the critical angle θc for total

internal reection. Our experiment demonstrates for the rst time that there is an axial dependence of the weak value that has to be taken into account, plus a phenomenological factor in the correction equation of the weak value. Comparisons between the data with and without the phenomenological factor was made, showing that by using this factor, our experimental results show an excellent agreement with the theoretical predication.

Lista de Figuras

1 Ilustração do deslocamento GH e IF, onde o deslocamento lon-gitudinal e perpendicular ao plano de incidência representa o deslocamento GH e IF, respectivamente. . . 18 1.1 Esquema das direções de uma onda reetida e transmitida numa

interface plana, onde Ei é a amplitude da onda incidente, Er

é a amplitude da onda reetida e Et é a amplitude da onda

transmitida. . . 23 1.2 Reetância para n = 1,515 (Ar-Vidro) em (a) e n−1 _{= 1,515}

(Vidro-Ar) em (b). Curva em azul e preto representa a onda s e onda p, respectivamente. . . 25 1.3 Mudança de fase para a polariação s em azul e polarização p

em preto para ângulos de indicência maiores que o ângulo crítico. 26 1.4 Reetância em (a) e fase em (b) dos coecientes de Fresnel em

função do desvio angular com relação ao ângulo crítico, sendo que em preto representa a onda p e azul a onda s. As curvas tracejadas referem-se ao feixe laser com distribuição gaussiana e as linhas verticais pontilhadas a uma onda plana que incide abaixo do ângulo crítico em verde, no ângulo crítico em vermelho e acima do ângulo crítico em amarelo. . . 27

tinua) é totalmente reetido (linha preta continua) e deslocado com relação a previsão da óptica geométrica (linha preta trace-jada) na interface entre dois meios com índices de refração (n1 e

n2), respectivamente. Há um deslocamento S ao longo da

super-fície que separa os dois meios e D indica o deslocamento medido por Goos-Hänchen [2,5]. O ângulo de incidência é indicado por θ. 28 1.6 Deslocamento GH com polarização s em azul e polarização p

em preto em função do ângulo de incidência. Com λo = 633

nm, n−1 _{= 1,515 e θ}

c= 41,3°. . . 30

1.7 Esquema da propagação do campo elétrico em toda a extensão do prisma. Com ~Einpropagando no espaço livre, ~Elpropagando

no dielétrico, ~Er propagando no dielétrico e após sofre o

deslo-camento GH, ~Eout propagando no espaço livre e após sofre o

deslocamento GH e ~EOG o feixe que seria descrito pela óptica

geométrica. . . 32 1.8 Esquema do diagrama de eixos na prisma. Com z eixo de

en-trada e incidência normal na borda à esquerda (ar-vidro ou 1) z_in, abaixo (vidro-ar ou 2) z_* e à direita (vidro-ar ou 3) z_out. Figura reproduzida de [39]. . . 34 1.9 Diferença entre o deslocamento GH para a onda p e s em função

do ângulo de incidência referente a segunda face do prisma. A curva numérica para wo = 169,4 µm, λ = 633 nm e n−1 =

1,515 está representada pela linha continua em verde, triângulos vermelhos e pontos azuis, para z = 0 cm, z = 15 cm e z = 25 cm, respectivamente. A curva analítica descrita por Artmann é representa pela linha tracejada preta e a linha pontilhada preta é a posição do ângulo crítico. . . 42

do efeito AAV para feixe de partículas de spin 1/2. Figura reproduzida de [54]. . . 52 2.2 (a) Gráco da função ϕ(p; , ∆, λ) em função de P ≡ p/λ com

λ∆ = 0,01 e  = 0,2. Note que a função se assemelha a uma única gaussiana cujo pico, mostrado na gura ampliada em (b), é deslocado para P = 1/ = 5. . . 56 2.3 (a) Gráco da função ϕ(p; , ∆, λ) em função de P ≡ p/λ com

 = λ∆ = 0,01. (b) Distribuição de probabilidade. . . 56 2.4 (a) Gráco da função ϕ(p; , ∆, λ) em função de P ≡ p/λ com

 = 0,0 e λ∆ = 0,01. (b) Distribuição de probabilidade. . . 57 2.5 Montagem experimental retirada da referência [29]. Onde

He-Ne é o laser de comprimento λ = 0.633 nm, T representa o telescópio para colimar o feixe laser, L1 e L2 são as lentes, P1 e

P2 são os polarizadores com ângulo α e β com relação ao eixo

x, respectivamente, Q é a placa de quartzo birrefringente com eixo ótico (OA) alinhado ao longo do eixo x e D é o fotodetector. 58 2.6 Dados experimentais representado em linha sólida e curva

teó-rica da equação 2.36 em linha pontilhada. Em (a) situação onde os polarizadores tem a mesma orientação, em (b) os po-larizadores são quase ortogonais e em (c) os popo-larizadores são ortogonais. Figura retirada de [29] . . . 61 2.7 Montagem experimental da medição fraca do deslocamento GH.

Sendo que os polarizadores (P1 e P2), prisma (PRISM), placa

de um quarto de onda (QWP), placa de meia onda (HWP) e lentes L1 e L2. Figura reproduzida de [28]. . . 62

As curvas em preto, vermelho e azul são para as situações  = 0,0°,  = −0,5° e  = 0,5°, respectivamente. Em (a) para θ = 41,4°, (b) para θ = 42° e (c) para θ = 44°. Com ângulo crítico θc = 41,3. . . 65

2.9 Dados experimentais do deslocamento GH via medição fraca comparado com a curva analítica de Artmann. Figura adaptada de [28]. . . 66 3.1 Arranjo Experimental, em que (HeNe) é o laser de HeNe, (L1,

L2 e L3) lentes com foco 5 cm, 20 cm e 100 cm, respectivamente,

(M) espelhos, (P1 e P2) polarizadores, (PRISM) prisma, (QWP)

placa de um quarto de onda, (HWP) placa de meia onda e (CCD) câmera CCD. A posição do prisma é denido como z = 0 cm. . . 70 3.2 Perl espacial de intensidade do feixe nal observado na câmera

com a diferença entre os ângulos dos polarizadores, α − β = π/2 +  em (a), α − β = π/2 em (b) e α − β = π/2 −  em (c). Em todos os casos,  = 0,5°. . . 71 3.3 Programa que determina as coordenadas da posição média

di-recional do centroide do feixe incidente na câmera. . . 72 3.4 Perl espacial de intensidade do feixe nal observado na câmera

com a diferença entre os ângulos dos polarizadores, (a) α − β = π/2 + , (b) α − β = π/2 e (c) α − β = π/2 − . Em todos os casos,  = 0,5°. . . 73 3.5 Perl espacial de intensidade do feixe nal observado na câmera

com a diferença entre os ângulos dos polarizadores, (a) α − β = π/2 + , (b) α − β = π/2 e (c) α − β = π/2 − . Em todos os casos,  = 0,5°. . . 74

(a) θ = 43, 4°e (b) θ = 44, 0°observado na câmera com a dife-rença entre os ângulos dos polarizadores de α − β = π/2. . . 74 3.7 Perl espacial de intensidade do feixe para o prisma UV com θ =

43, 35° observado na câmera com a diferença entre os ângulos dos polarizadores, (a) α − β = π/2 + , (b) α − β = π/2 e (c) α − β = π/2 − . . . 75

3.8 Deslocamento GH em função do ângulo de incidência na segunda face do prisma. Os dados experimentais são representados pelos pontos, onde os círculos de cor preta representam  = 0,5° e vermelha  = 1,0°, em preto tracejado é o deslocamento GH analítico obtido por Artmann e preto pontilhado indica θc. Com

w0 = 150,0 µm e z = 18,5 cm em (a), w0 = 169,4 µm e z = 25,0

cm em (b) e (d) e w0 = 169,4 µm e z = 20,0 cm em (c) . . . 76

3.9 Perl espacial de intensidade do feixe com polarizadores orto-gonais e θ = 41,7°. A distância entre o prisma e a câmera é de (a) d = 20 cm, (b) d = 25 cm, (c) d = 30 cm e (d) d = 35 cm. . 78 3.10 Deslocamento GH em função da distância entre o prisma e a

câmera com θ = 41, 7°. Em (a) o fator de correção é descrito pela equação 2.44 e em (b) é descrito pela equação 3.1, onde em ambos os grácos a cor preta representa  = 0,5° e vermelho  = 1,0°. A posição do prisma representa z = 0 cm. . . 79

3.11 Ajuste não linear da formula f(z) = a(1 + z2_/b2₎ com os dados

face do prisma, com a distância entre o prisma e a câmera de 20 cm em (a) e (c), e 25 cm em (b) e (d).Em (a) e (b) o fator de correção é descrito pela equação 3.1 e em (c) e (d) é descrito pela equação 3.2, onde em ambos os grácos a cor preta representa  = 0, 5° e vermelho  = 1, 0°. . . 81 3.13 Diferença entre o deslocamento GH para a onda p e s em função

do ângulo de incidência na segunda face do prisma, onde os pontos de cor preta representam  = 0,5° e vermelha  = 1,0°. A curva em azul é resultado numérico do deslocamento GH para um feixe gaussiano com z = 25 cm e em preto pontilhado é o deslocamento GH descrito por Artmann. . . 82

Sumário

Introdução 17

1 Efeito Goos-Hänchen 21

1.1 Introdução . . . 21

1.2 Coecientes de Fresnel . . . 22

1.3 Deslocamento Goos-Hänchen: Descrição de Artmann . . . 28

1.4 Deslocamento GH de um feixe gaussiano . . . 31

1.4.1 Propagação do feixe livre . . . 32

1.4.2 A fase espacial do feixe de saída . . . 34

1.4.3 Coeciente de transmissão . . . 37

1.5 Considerações nais . . . 43

2 Medição Fraca em Mecânica Quântica e Analogia com Óptica 44 2.1 Introdução . . . 44

2.2 Medição Fraca . . . 47

2.3 Exemplo envolvendo partículas de spin 1/2 . . . 52

2.4 Analogia em Óptica . . . 57

2.5 Aplicando ao deslocamento GH . . . 61

2.6 Considerações nais . . . 67

3 Medição Fraca do deslocamento Goos-Hänchen 68

3.1.1 Montagem experimental . . . 69 3.1.2 Procedimento experimental . . . 70 3.2 Diculdades Experimentais . . . 72 3.3 Resultados e Discussão . . . 75 3.4 Considerações nais . . . 82 4 Conclusões e Perspectivas 84 Referências Bibliográcas 87

Introdução

No século 17 Newton foi o primeiro a supor que o centro de um feixe reetido deve apresentar um pequeno deslocamento no plano de incidência em relação à sua posição descrita pela óptica geométrica [1]. Mais de dois séculos depois, em 1947 Goos e Hänchen (GH) [2] foram capazes de medir quantitativamente esse deslocamento. O deslocamento GH ocorre quando uma onda com seção transversal nita é totalmente reetida internamente em uma interface de dois meios com índices de refração diferentes (n1 > n2), ou seja, de um meio

op-ticamente mais denso para um menos denso. Este deslocamento lateral pode ser explicado no sentido mais simples, como o resultado da propagação de uma onda evanescente paralela à interface, ou como um deslocamento da onda de um intervalo de tempo que pode ser interpretado como o tempo de retardo associado com o processo de espalhamento [3].

Logo depois de Goos e Hänchen terem terminado o seu primeiro trabalho, Art-mann [4] propôs uma teoria do fenômeno. Partindo das equações de Fresnel-Maxwell, ele considerou apenas a expressão matemática para o feixe incidente e totalmente reetido. A partir da fase obtida dos coecientes de reexão na situação de reexão interna total, ele foi capaz de explicar o deslocamento ob-servado. Com esta teoria, ele previu duas expressões para o deslocamento da luz: uma para quando a polarização da luz é paralela ao plano de incidência (onda p) e outra para quando a polarização é perpendicular ao plano de inci-dência (onda s). Com os resultados previstos por Artmann, Goos e Hänchen

zeram novas medições [5] e conrmaram o fato de que havia uma dependência do deslocamento com a polarização da luz.

Figura 1: Ilustração do deslocamento GH e IF, onde o deslocamento longitu-dinal e perpendicular ao plano de incidência representa o deslocamento GH e IF, respectivamente.

Além do deslocamento GH, existe o deslocamento Imbert-Fedorov (IF) [6, 7] que trata-se de um deslocamento na direção perpendicular ao plano de inci-dência. A Figura 1 ilustra o deslocamento GH e IF, onde o plano de incidência é xy. Analogias com o deslocamento angular GH [8] e IF foram observadas recentemente, bem como o efeito spin hall da luz (SHEL) [911]. Este último é conectado ao deslocamento IF sendo uma separação ortogonal ao plano de in-cidência das duas componentes de spin para um feixe reetido ou transmitido. Dualidade entre o deslocamento espacial e angular da luz reetida também já foi observado e surge quando uma das interfaces apresenta perdas [12].

Os dois efeitos (GH e IF) dependem da polarização da luz incidente. Enquanto que o efeito GH é observado para luz linearmente polarizada (ondas s e p), o efeito IF ocorre para ondas polarizadas circularmente (ou elipticamente). Um

tutorial descrevendo os efeitos GH e IF em uma interface dielétrica é apresen-tado na referência [13]. Estes efeitos também foram observados ou previstos para cristais fotônicos, guias de onda e ressonadores [1416]. Também foram observados para feixes com um grau parcial de coerência espacial [17, 18], luz com momento angular orbital [1921], além de terem sido observadas em on-das de matéria [22, 23]. Aplicações do efeito GH, são encontrados em guias de onda óptico [24], microscopia óptica [25], sensor de temperatura de alta sensibilidade [26,27] e detecção de vapores químicos com alta sensibilidade. Medidas de deslocamento GH são desaantes por causa do efeito ser muito pequeno (comparável ao comprimento de onda ótico), fazendo com que sua detecção seja muito difícil. Recentemente uma abordagem baseada em medi-ção fraca foi utilizada pela primeira vez para medir o deslocamento GH [28]. A técnica descrita em [28] é uma analogia óptica [29] ao conceito de medição fraca quântica introduzida em [30] com o propósito de amplicar e detectar fenômenos muito pequenos. O resultado de uma medição fraca é chamado de valor fraco e surge após um procedimento de pré-seleção de estados, interação fraca entre o sistema quântico e a medida e uma pós-seleção de estados. Apli-cações experimentais da teoria têm atraído bastante atenção dos físicos pelos seus resultados surpreendentes. A medida direta da função de onda [31] e a obtenção da trajetória do fóton simples em um interferômetro de Young [32] são exemplos em Teoria Quântica. Em óptica, o efeito de medida fraca foi ob-servado no deslocamento GH [28], efeito Imbert-Fedorov (IF) [33], efeito spin hall da luz (SHEL) [10,34], desvio angular do feixe reetido [35,36].

O deslocamento GH já foi observado utilizando outros métodos de medida como, o detector de quadrante sensível à posição usado para achar a posição do centroide do feixe (método mais popular). Vantagens: medida direta, pre-ciso e insensível a utuação de intensidade. Desvantagem: trabalhoso e mede

o desvio para um ponto (centroide) [8, 37]. Método interferométrico usa a in-terferência entre feixe de ondas s e p. Mede o deslocamento GH ao longo de todo o feixe, pode ser adaptado para incluir reexões múltiplas para aumen-tar o deslocamento GH quando pequeno, simples de monaumen-tar, muito preciso [38]. Esta dissertação está dividida da seguinte forma: No capítulo 1 apresenta-remos uma revisão básica dos coecientes de Fresnel, exemplicando os casos de reexão parcial e reexão total; em seguida discutiremos o cálculo feito por Artmann do deslocamento GH e o deslocamento GH de uma distribuição gaussiana, que é o caso de um feixe laser realístico. No capítulo 2 vamos des-crever o efeito de medição fraca, apresentando o conceito de medida fraca e valor fraco. Faremos uma descrição geral do modelo e depois o aplicaremos para o caso de partículas de spin 1/2 e faremos a analogia com a óptica, en-fatizando no primeiro experimento de medição fraca em óptica e por m para o caso do deslocamento GH. No capítulo 3 apresentaremos a nossa montagem experimental, as diculdades observadas, as limitações da técnica de medição fraca e os resultados obtidos. Por m, o capítulo 4 aborda as conclusões do nosso trabalho, assim como perspectivas futuras.

Capítulo 1

Efeito Goos-Hänchen

Esta Capítulo aborda o efeito Goos-Hänchen (GH) de forma geral. Iniciare-mos com uma breve introdução dos primeiros resultados do deslocamento GH experimentais e teóricos. Faremos um resumo dos coecientes de Fresnel. Em seguida vamos descrever de forma geral os resultados obtidos de Artmann [4] que explica os resultados obtidos por Goos-Hänchen, além de mostrar a de-pendência com a polarização da luz incidente. Por m descreveremos o deslo-camento GH de um feixe realístico modelado por uma distribuição gaussiana. Este modelo feito em [39] considera os efeitos de transmissão e reexão em toda a extensão de um prisma.

1.1 Introdução

O efeito Goos-Hänchen refere-se ao deslocamento lateral que uma onda tendo secção transversal nita sofre ao ser totalmente reetida em uma interface de índices de refração mais denso para menos denso. Este deslocamento não é previsto pela óptica geométrica e foi detectado pela primeira vez em 1947 por Goos e Hänchen [2]. Newton já suspeitava [1] que mesmo em reexão interna total, o feixe incidente penetrava no meio oticamente menos denso mas em seguida ressurge no meio oticamente mais denso.

Logo depois que Goos e Hänchen terminaram o seu primeiro trabalho, Art-mann [4] propôs uma teoria do fenômeno. Partindo das equações de Fresnel-Maxwell, ele considerou a expressão matemática para o feixe incidente e to-talmente reetido. A partir da diferença de fase entre os dois feixes, ele foi capaz de explicar o deslocamento observado. Com esta teoria, ele previu duas expressões para o deslocamento do feixe, uma para quando a polarização da luz é paralela ao plano de incidência e outra para quando a polarização é per-pendicular ao plano de incidência. Goos e Hänchen zeram novas medições [5] e conrmaram o fato de que havia uma dependência do efeito com a polariza-ção da luz. Vários meses depois, Fragstein [40] publicou outra teoria baseada no trabalho muito importante de Picht [41, 42] e de Schaefer e Pich [43]. Eles zeram todo o tratamento por uxo de energia e consideraram uma onda plana nita de largura arbitrária. Ao fazer as aproximações contidas na teoria da Schaefer e Pich, Fragstein encontrou as mesmas duas expressões para o des-locamento que haviam sido encontradas por Artmann. Hora [44] aplicou o tratamento desenvolvido por Artmann em Mecânica Quântica para um feixe de partículas totalmente reetido em uma barreira de potencial e obteve uma expressão para o deslocamento com a mesma aproximação e posteriormente Renard [45] ampliou o tratamento de Hora com o princípio de conservação de partículas e obteve a expressão geral descrita por Artmann.

1.2 Coecientes de Fresnel

A luz (onda eletromagnética) é reetida e refratada (ou transmitida) ao se deparar com uma superfície plana que apresenta dois meios com índices de refração diferentes. A reexão é denida quando parte da onda retorna para o meio de onde partiu; e deni-se transmissão quando uma parcela desta onda passa para o outro meio, sofrendo eventualmente uma mudança na sua

veloci-dade de propagação.

A Figura 1.1 ilustra o caso em que uma onda eletromagnética incidente (Ei)

que passa de um meio de índice de refração n1 para n2 com ângulo de

inci-dência θi referente à normal da interface. Parte desta onda é reetida (Er)

com ângulo θr e parte é transmitida (Et) com ângulo θt. Sendo que a taxa de

reexão e transmissão da onda é denida, respectivamente, por: r ≡ Er

Ei

e t ≡ Et

Ei

(1.1)

Figura 1.1: Esquema das direções de uma onda reetida e transmitida numa interface plana, onde Ei é a amplitude da onda incidente, Er é a amplitude da

onda reetida e Et é a amplitude da onda transmitida.

Dois casos distintos necessitam ser considerados, a polarização do campo elé-trico perpendicular ao plano de incidência (modo TE ou onda s) e a polariza-ção paralela ao plano de incidência (modo TM ou onda p)(utilizaremos nesta dissertação a nomenclatura onda s e onda p ). Aplicando as condições de con-torno na interface, obtém-se as equações de Fresnel padrão para transmissão

e reexão numa interface [46,47]. Assumindo-se que a constante de permeabi-lidade magnética de cada meio é aproximadamente igual, então os coecientes de reexão de Fresnel são:

rs(θ) = cos θ −pn2_{− sin}2_θ cos θ +pn2_{− sin}2_θ, (1.2) rp(θ) = −n2_{cos θ +}p_n2_{− sin}2_θ n2_{cos θ +}p_n2_{− sin}2_θ . (1.3)

A equação 1.2 refere-se ao coeciente de reexão para onda s e a equação 1.3 para onda p; θ é o ângulo de incidência e n = n2/n1 é a razão entre o índice

de refração do meio 2 e o índice de refração meio 1.

Outra forma de escrever os coecientes de Fresnel é considerando um termo de amplitude e um termo de fase,

r(s,p)(θ) = R(s,p)(θ)eiφ(s,p)(θ), (1.4)

sendo R(s,p)(θ) = |r(s,p)(θ)|é a amplitude do coeciente de Fresnel e φ(s,p)(θ) =

argr(s,p)(θ)



é a fase do coeciente de Fresnel. A Figura 1.2 apresenta a reetância (R2

(s,p)) do campo elétrico para s em azul

e onda p em preto em função do ângulo de incidência, para interface Ar-Vidro na Figura 1.2(a) e Vidro-Ar na Figura 1.2(b). Nestas guras podemos notar que a luz pode ser parcialmente reetida (R2 _{< 1}) ou totalmente reetida

(R2 _{= 1). O caso de reexão parcial ocorre para qualquer valor do ângulo de}

incidência quando n > 1 ou para um ângulo de incidência menor que o ângulo crítico (θc = sin−1n) quando n < 1. Neste caso o coeciente de Fresnel é

0 20 40 60 80 θ(graus) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 |r( θ)| 2 (a) 0 20 40 60 80 θ(graus) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 |r( θ)| 2 θ c (b)

Figura 1.2: Reetância para n = 1,515 (Ar-Vidro) em (a) e n−1

= 1,515 (Vidro-Ar) em (b). Curva em azul e preto representa a onda s e onda p, respectivamente.

é total. Porém, os coecientes de Fresnel, embora tenham o módulo da am-plitude unitário, estes apresentam um termo da fase representado na equação 1.4 diferente de zero. Essa fase difere para onda s e onda p, o que implica que pode haver uma mudança de estado de polarização do campo elétrico reetido com relação ao campo elétrico incidente.

A forma explicita do termo de fase do coeciente de Fresnel é descrita como: φs(θ) = 2 tan−1 p sin2(θi) − n2 cos(θi) ! , (1.5) φp(θ) = 2 tan−1 p sin2(θi) − n2 n2_cos(θ i) ! , (1.6)

onde a equação 1.5 refere-se a onda s e a equação 1.6 para onda p.

Na Figura 1.3 mostra o gráco da mudança de fase da onda s em azul e onda p em preto em função do ângulo de incidência. Note que a fase para ambas polarizações é nula abaixo do ângulo crítico que representa a situação em que os coecientes de reexão de Fresnel são puramente reais.

30 40 50 60 70 80 90 θ(graus) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 φ( θ)/ π

Figura 1.3: Mudança de fase para a polariação s em azul e polarização p em preto para ângulos de indicência maiores que o ângulo crítico.

Quando consideramos um feixe laser cintura nita, temos então que este feixe pode ser descrito como uma combinação linear de onda planas, onde cada onda plana tem associada a ela um vetor de onda ligeiramente diferente, distribuí-dos em torno de um vetor de onda central com amplitude gaussiana. Nessa situação, cada vetor de onda contido no feixe laser sente um coeciente de Fresnel diferente. A Figura 1.4 mostra a reetância e a fase dos coecientes de Fresnel em função do desvio angular (medido em relação ao ângulo crítico) para onda s em azul contínuo e onda p em preto contínuo. As curvas trace-jadas representam feixe laser com distribuição gaussiana de vetores de onda e as linhas verticais pontilhadas correspondem a ondas planas incidentes, em ambos os casos, a um ângulo abaixo do ângulo crítico (linha verde), no ângulo crítico (linha vermelha) e acima do ângulo crítico (linha amarela).

A partir das Figuras 1.4 nota-se que a distribuição gaussiana em verde tem em toda sua distribuição a mesma contribuição do termo de fase dos coecientes de Fresnel e a distribuição gaussiana em amarelo tem a mesma contribuição em toda sua distribuição do termo de amplitude dos coecientes de Fresnel. O contrário acontece na distribuição gaussiana em verde para o termo de

ampli-tude e amarelo para o termo de fase. Nestas situações temos que cada vetor de

-0,4 -0,2 0 0,2 0,4

Desvio angular (graus)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 |r( ∆θ )| 2 (a) -0,4 -0,2 0 0,2 0,4

Desvio angular (graus)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 φ( ∆θ )/ π (b)

Figura 1.4: Reetância em (a) e fase em (b) dos coecientes de Fresnel em função do desvio angular com relação ao ângulo crítico, sendo que em preto representa a onda p e azul a onda s. As curvas tracejadas referem-se ao feixe laser com distribuição gaussiana e as linhas verticais pontilhadas a uma onda plana que incide abaixo do ângulo crítico em verde, no ângulo crítico em ver-melho e acima do ângulo crítico em amarelo.

onda contido na distribuição gaussiana sente contribuições distintas dos coe-cientes de Fresnel. Já a distribuição gaussiana em vermelho apresenta os dois casos, ou seja, parte da distribuição gaussiana tem a mesma contribuição e en-quanto a outra parte sente contribuições distintas dos coecientes de Fresnel tanto para o termo de amplitude e fase. Veremos nas próximas seções que a situação em que apresenta contribuição distinta dos coecientes de Fresnel em toda a distribuição gaussiana para o termo de fase está relacionado com o des-locamento GH longitudinal e para o termo de amplitude o desdes-locamento GH angular da luz, como também o efeito dual do deslocamento GH longitudinal e angular quando temos a contribuição dos dois efeitos simultaneamente.

1.3 Deslocamento Goos-Hänchen: Descrição de

Artmann

O deslocamento GH foi discutido pela primeira vez no contexto de reexão interna total da radiação eletromagnética. O deslocamento GH pode ser re-lacionado com a fase do coeciente de reexão de amplitude calculado para ondas planas incidente sobre uma interface com um ângulo de incidência igual a θ. A gura 1.5 ilustra o que ocorre com o feixe quando a condição de reexão total é satisfeita. A seta em preto pontilhado é a previsão da óptica geométrica e a seta preta continua é o feixe deslocado. A magnitude do deslocamento é representada por S e corresponde ao deslocamento ao longo da superfície da interface, enquanto que D é o deslocamento medido por Goos-Hänchen [2, 5]. Note-se que D = S cos θ.

Figura 1.5: Um feixe de radiação eletromagnética incidente (linha azul conti-nua) é totalmente reetido (linha preta conticonti-nua) e deslocado com relação a previsão da óptica geométrica (linha preta tracejada) na interface entre dois meios com índices de refração (n1 e n2), respectivamente. Há um deslocamento

S ao longo da superfície que separa os dois meios e D indica o deslocamento medido por Goos-Hänchen [2,5]. O ângulo de incidência é indicado por θ. Considerando a denição dos eixos na Figura 1.5, o número de onda em y é dado como k1y = k1sin(θ), onde k1 = 2π/λ1 é o numero de onda total no

expressão do deslocamento da luz a partir dos coecientes de Fresnel, que é descrito como: S(θ) = −∂φ(s,p) ∂k1y = − 1 k1cos(θ) dφ(s,p) dθ . (1.7)

Em resumo, o MFS signica obter a posição do máximo de alguma função descrita na forma F = feg_{, tal que sua posição máxima é obtida simplesmente}

derivando a função g. O tratamento rigoroso e detalhado do método de fase estacionária (MFS) pode ser encontrado em [48] e aplicado para o caso de um prisma de formato retangular no artigo [49].

Lembrando que as equações 1.5 e 1.6 representam a fase para onda s e onda p, respectivamente, temos que o deslocamento GH correspondente a onda s e onda p é dado, respectivamente, como:

Ds(θ) = S(θ) cos(θ) = − 1 k1 dφs dθ = λ1 π sin(θ) p sin2(θ) − n2, (1.8) Dp(θ) = S(θ) cos(θ) = − 1 k1 dφp dθ = n2 sin2(θ)(1 + n2_{) − n}2Ds(θ). (1.9)

Estas equações foram obtidas primeiramente por Artmann em [4], sendo θ o ângulo de incidência, n = n2/n1 a razão entre os índices de refração do meio 2

com o meio 1 e λ1 comprimento de onda no meio 1. A relação do comprimento

de onda no meio 1 com o do vácuo é dada por λ1 = λo/n1.

A Figura 1.6 apresenta o comportamento do deslocamento GH para onda s em azul e onda p em preto em função do ângulo de incidência. A linha

trace-41,25 41,5 41,75 42 42,25 42,5 42,75 43 θ (graus) 0 1 2 3 4 5 6 7 Deslocamento GH ( µ m) θ C

Figura 1.6: Deslocamento GH com polarização s em azul e polarização p em preto em função do ângulo de incidência. Com λo = 633 nm, n−1 = 1,515 e

θc= 41,3°.

jada representa a posição do ângulo crítico para reexão interna total. Para este gráco foi considerado o comprimento de onda λo = 633 nm na interface

Vidro-Ar(nvidro = 1,515 e nAr = 1,0). Note que quando θ ≈ θc as equações

analíticas 1.8 e 1.9 divergem. Isto vem do fato que quando θ ≈ θc temos que

o termo sin2_{(θ) ≈ n}2_{. Por muitos anos acreditava-se que o deslocamento GH}

somente poderia ocorrer para ângulos de incidência acima do ângulo crítico. Após algumas décadas outros autores estudaram o mesmo problema estudado por Artmann, mas considerando um feixe laser realístico modelado por uma distribuição gaussiana, observando que o deslocamento GH também ocorre em torno do ângulo crítico e que além disso existe um ângulo de incidência em que o deslocamento é máximo [39,50].

Além do deslocamento longitudinal da luz, existe o deslocamento angular que surge quando a luz é parcialmente reetida. Este desvio foi observado experi-mentalmente por [8] na interface Ar-Vidro. Em meios com perdas é possível observar o efeito dual entre o deslocamento GH longitudinal e angular após a luz ser reetida e foi observado por [12] utilizando uma interface Ar-Metal.

A partir dos coecientes de Fresnel é possível determinar o deslocamento GH longitudinal e angular [12]. Dτ(θ) = ∂ ln rτ ∂θ = 1 Rτ ∂Rτ ∂θ +i ∂φτ ∂θ , (1.10) onde DR

τ ≡Re[Dτ] e DτI ≡Im[Dτ] fornece o deslocamento GH angular e

late-ral, respectivamente, e o índice τ indica a polarização da luz incidente, sendo τ = onda s ou onda p. A demonstração rigorosa da equação 1.10 usando o formalismo de óptica clássica e considerando que a onda incidente é focalizada pode ser vista na referência [51].

1.4 Deslocamento GH de um feixe gaussiano

Aqui descreveremos a abordagem feita em [39] do deslocamento GH de um feixe modelado por uma distribuição gaussiana. A descrição deste trabalho é o mais próximo do nosso experimento, pois os autores tiveram todo o rigor de tratar a propagação do feixe em toda a extensão de um prisma, considerando os efeitos de transmissão e reexão do feixe em cada interface.

A Figura 1.7 ilustra a propagação do campo elétrico em toda a extensão do prisma, tal que ~Ein representa o campo elétrico de entrada ou feixe de

en-trada propagando no espaço livre, ~El e ~Er representa a propagação do campo

elétrico no Vidro antes e após o deslocamento GH, respectivamente, ~Eout

re-presenta o campo elétrico de saída ou feixe de saída no espaço livre após sofrer o deslocamento GH e ~EOG o feixe que seria descrito pela óptica geométrica.

calcu-Figura 1.7: Esquema da propagação do campo elétrico em toda a extensão do prisma. Com ~Ein propagando no espaço livre, ~Elpropagando no dielétrico, ~Er

propagando no dielétrico e após sofre o deslocamento GH, ~Eout propagando no

espaço livre e após sofre o deslocamento GH e ~EOG o feixe que seria descrito

pela óptica geométrica.

lado fazendo a diferença entre a posição do máximo de intensidade do feixe realístico de saída com a posição do máximo do feixe de saída previsto pela óptica geométrica. Uma expressão analítica é obtida utilizando (MFS) para onda s e onda p e corresponde a expressão 1.8 e 1.9 obtida por Artmann, respectivamente, abordada na Seção 1.3. Além de obter o resultado numérico por integração numérica do feixe realístico na saída do prisma.

1.4.1 Propagação do feixe livre

Vamos considerar inicialmente um feixe gaussiano propagando pelo espaço li-vre. Um feixe gaussiano pode ser descrito como sendo formado pela superposi-ção de um número innito de ondas planas, constituídas por diferentes vetores de onda ~k. A amplitude das componentes espectrais do campo elétrico é dada pela distribuição escalar:

G(~k) = exp  −(k 2 x+ ky2)ω2o 4  δ kz− (k2− kx2− k 2 y) 1/2
_{, (1.11)}

onde ωo é o raio da cintura do feixe e k = 2π/λ é o número de onda

corres-pondente ao vetor de onda central em torno do qual as diversas componentes ~k estão distribuídas. A amplitude do campo elétrico é então dada por:

E_in(~r) = Eo ω2 o 4π Z d~k G(~k) exp[i~k · ~r], = Eo ω2_o 4π Z dkxdkyexp  −(k 2 x+ ky2)ω2o 4  Ö exp i kxx + kyy + (k2− k2x− k 2 y) 1/2_z
 (1.12)

com Eo = E(~r = 0). Considerando a aproximação paraxial, o campo elétrico

representado na equação 1.13 descreve o feixe gaussiano propagando na dire-ção de z. E_in(~r) ≈ Eo ω2 o 4πexp(ikz) Z dkxdkyexp  −(k 2 x+ ky2)ωo2 4  Ö expikxx + kyy − k2 x+ ky2 2k z  , ≈ Eo ω2 o ω2 o + 2i(z/k)

exp(ikz) exp  − x 2_{+ y}2 ω2 o + 2i(z/k)  . (1.13)

A intensidade, I(~r) = |E(~r)|2 _{para o campo elétrico entrada é então dado por:}

I_in(~r) ≈ Io  ωo ω(z) 2 exp  −2x 2_{+ y}2 ω2_(z)  , (1.14) onde ω(z) = ωo " 1 + λz πω2 o 2#1/2 . (1.15)

A equação 1.15 representa o raio da cintura do feixe no plano z, tal que ωo é

a cintura mínima do feixe e λ é o comprimento de onda.

1.4.2 A fase espacial do feixe de saída

A fase espacial do campo elétrico de saída é determinada pela direção de pro-pagação do campo elétrico (ϕout = ~k · ~r). Por conveniência são denidos novos

eixos de coordenadas, como é visto na Figura 1.8. O plano de incidência é y − z onde z é a direção de propagação do feixe de entrada e os novos eixos representam uma rotação no plano y − z onde os eixos zin, z* e zout

represen-tam a normal na interface (ar-vidro ou 1), normal a interface (vidro-ar ou 2) e normal a interface (vidro-ar ou 3), respectivamente.

Figura 1.8: Esquema do diagrama de eixos na prisma. Com z eixo de entrada e incidência normal na borda à esquerda (ar-vidro ou 1) zin, abaixo (vidro-ar

ou 2) z* e à direita (vidro-ar ou 3) zout. Figura reproduzida de [39].

Denindo θ como o ângulo de incidência e usando R(θ) como a matriz rotação:

R(θ) =   cos θ − sin θ sin θ cos θ  , (1.16)

coordenadas por:   y_out z_out   = R  3π 4    y_* z_*  = R π 2    y_in z_in   = Rπ 2 − θ    y z  . (1.17)

Contudo, podemos determinar a fase espacial em cada interface com relação ao ângulo de incidência. Para o feixe de entrada a fase espacial é denida como:

ϕ_in = ~k · ~r = ~k_in· ~r_in, (1.18)

onde ~rin = (x, yin, zin) é obtido a partir da equação 1.17 e ~kin é dado por:

k_in= kx_in e   kyin kz_in  = R (−θ)   ky kz  , (1.19)

levando em conta que a descontinuidade é ao longo do eixo zin (esta

descon-tinuidade vem do fato que o feixe esta passando de um meio para outro, tal que k = nq onde n representa o índice de refração do vidro e q o número de onda total no vidro), as componentes xin = xe yin do número de onda não se

alteram quando o feixe atravessa a primeira interface. (qx, qy_in) = (kx, ky_in) ⇒ qz_in = n2k2− kx2− k

2 y_in

1/2

, (1.20)

ϕ_l= ~q_in· ~r_in= ~q∗· ~r∗, (1.21)

onde ~r∗ = (x, y∗, z∗)e ~q∗ é dado por:

qx∗ = qx e   qy∗ qz∗  = R  −π 4    qy_in qz_in  . (1.22)

A fase espacial do feixe reetido na segunda interface, ou seja, após o desloca-mento GH, é dada pela equação 1.21, mas mudando z∗ por −z∗, temos:

ϕ_r= qx∗x∗+ qy∗y∗− qz∗z∗ = ~qout· ~rout, (1.23)

onde ~rout = (x, yout, zout)e ~qout é dado por:

qxout = qx e   qy_out qzout  = R  3π 4    qy∗ −qz∗  =   −qy_in qz_in  . (1.24)

Em resumo, a equação 1.25 apresenta as componentes do número de onda re-ferente às coordenadas denidas na equação 1.17.

(kx, kyout) = (kx, qyout) = (kx, −qyin) = (kx, −kyin)

kzout = kzin. (1.25)

ϕ_out = ~k_out· ~r_out = kxx − ky_inyout+ kz_inzout

= kxx + (kzcos 2θ − kysin 2θ) y + (kycos 2θ − kzsin 2θ) z.(1.26)

Consequentemente, o vetor de onda de saída no sistema de coordenadas (x, y, z) é: [∇ϕ_out]_(k x=0,ky=0) = (0, k cos 2θ, k sin 2θ) =          (0, 0, k) para θ = π/4, (0, k, 0) para θ = 0, (0, 0, −k) para θ = −π/4, (1.27)

Note que o feixe de saída propaga paralelamente ao feixe de entrada para θ = ±π/4 e perpendicular ao feixe de entrada para θ = 0.

1.4.3 Coeciente de transmissão

A fórmula de Fresnel para os coecientes de reexão e transmissão para a onda s do feixe pode também ser obtida usando analogia entre óptica e mecânica quântica [52].

r [α, β] = α − β

α + β e t [α, β] = 2α

α + β , (1.28)

sendo α e β os vetores de onda normal em cada interface do prisma.

coecientes de reexão e transmissão para a onda s do feixe para cada inter-face do prisma são dados por:

r_in(s) = r [kz_in, qz_in] exp [2ikz_inain] ,

t(s)_in = t [kz_in, qz_in] exp [i(kz_in − qz_in)ain] ,

r_∗(s) = r [qz∗, kz∗] exp [2iqz∗a∗] ,

t(s)_∗ = t [qz∗, kz∗] exp [i(qz∗− kz∗)a∗] ,

r_out(s) = r [qzout, kzout] exp [2iqzoutaout] ,

t(s)_out = t [qzout, kzout] exp [i(qzout − kzout)aout] . (1.29)

Escolhendo o eixo ain = 0 (isto implica a∗ = a/21/2 e a_out = b − a) e sabendo

que qzout = qz_in e kzout = kz_in da equação 1.25, obtemos a expressão para o

coeciente de transmissão total:

t(s)= t(s)_in r_∗(s)t(s)_out = 4kzinqzin (kz_in + qz_in)2

qz∗− kz∗

qz∗+ kz∗

exp [iψ_out] , (1.30)

onde

ψ_out = 21/2qz∗a + (qz_in − kz_in)(b − a), (1.31)

é a fase do coeciente de transmissão total, que depende da geometria do prisma.

O coeciente de transmissão total para a onda p é obtido pela regra de subs-tituição:

kz_in,∗, qz_in,∗ → n nkz_in,∗, qz_in,∗ n o , (1.32) portanto, t(p) = 4n 2_k z_inqz_in (n2_k z_in + qz_in)2 qz∗− n 2_k z∗ qz∗+ n2kz∗

exp [iψ_out] . (1.33)

A amplitude do campo elétrico de saída é dada por:

E_out(s,p)(~r) = Eo ω2_o 4π Z dkxdkyt(s,p)exp  −(k 2 x+ ky2)ω2o 4 

× exph−i~k_out· ~r_outi. (1.34)

Conhecendo a fase espacial e a fase do coeciente de transmissão total, pode-mos calcular o caminho geométrico usando o MFS. Ao impor que a derivada da fase seja zero no centro da distribuição gaussiana do feixe de entrada, obtemos que:  ∂ϕ_in ∂kx ,∂ϕin ∂ky  (kx=0,ky=0) = {0, 0} ⇒ {x_max, y_max}_in = {0, 0} . (1.35)

Para o feixe de saída, a fase do campo é dada pela fase espacial ϕout e pela

fase ψout do coeciente de transmissão total. Usando MFS encontramos:

 ∂(ϕ_out+ ψ_out) ∂kx  (0,0) = 0 ⇒ x_maxout = 0, (1.36)  ∂(ϕ_out+ ψ_out) ∂ky  (0,0)

onde

d = a (cos θ + sin θ) + b sin θ _p cos θ

n2_{− sin}2_θ − 1

!

. (1.38)

A equação 1.37 apresenta a posição da intensidade máxima do feixe de saída descrito pela óptica geométrica.

No artigo [39] os autores deixam explícito o termo de fase que surge do coe-ciente de reexão na interface (vidro-ar ou 2) para a onda s e onda p. Essa fase, não é prevista pela óptica geométrica e surge quando a reexão é total, é escrita como: n φ(s)_GH, φ(p)_GHo =  Arg qz∗− kz∗ qz∗+ kz∗  ,Arg qz∗ − n 2_k z∗ qz∗ + n2kz∗  , = −2  tan−1 |kz∗| qz∗  , tan−1 n 2_|k z∗| qz∗  . (1.39)

Este termo de fase é o mesmo mencionado na seção 1.2 e ao fazer a sua derivada, ( ∂φ(s)_GH ∂ky ,∂φ (p) GH ∂ky ) (0,0) = 2 |kz∗| ∂qz∗ ∂ky  1, n 2_k2 k2_{+ (n}2_{+ 1)|k} z∗|2  , (1.40)

leva à expressão analítica do deslocamento GH para o mesmo resultado obtido por Artmann descrito nas equações 1.9 e 1.8.

{Ds, Dp} = − ( ∂φ(s)_GH ∂ky ,∂φ (p) GH ∂ky ) (0,0) . (1.41)

A curva numérica do deslocamento GH, é obtida a partir da diferença entre a posição da intensidade máxima do feixe de saída da equação 1.42 com a in-tensidade máxima do feixe de saída descrito pela óptica geométrica da mesma equação, mas sem considerar o termo φ(s,p)

out , em função do ângulo de incidência.

I_out(s,p)(~r) =   E (s,p) out (~r)    2 , = Io     ω_o2 4π Z dkxdky|t(s,p)| exp  −(k 2 x+ ky2)ωo2 4 +i ϕ_out+ ψ_out+ φ(s,p)_out i



2

. (1.42)

A Figura 1.9 apresenta o comportamento da diferença entre o deslocamento GH para a onda p e onda s (∆yGH = Dp − Ds) em função do ângulo de

in-cidência referente a segunda interface do prisma. As curvas referentes à linha continua em verde, triângulos em vermelho e pontos em azul, representam cur-vas numéricas para os parâmetros wo = 169,4 µm, λ = 633 nm e n−1 = 1,515,

onde z indica a posição na qual está sendo feita a medida na qual z = 0 refere-se a posição onde ocorre o deslocamento GH, ou refere-seja, na refere-segunda interface do prisma. A linha tracejada preta representa a curva analítica descrita por Artmann e pontilhado preto a posição do ângulo crítico.

A Figura 1.9 mostra que, ao contrário da curva analítica de Artmann, os re-sultados numéricos próximo do ângulo crítico para reexão interna total não divergem, além de que existe um ângulo para o qual o deslocamento GH é máximo. Vale mencionar que tanto o ângulo e a magnitude do deslocamento GH máximo depende da propagação do feixe de saída, ou seja, do tamanho da cintura do feixe na posição onde está sendo detectado o deslocamento GH.

41,2 41,3 41,4 41,5 41,6 41,7

θ (graus)

0 2 4 6 8 10 12 14 16

∆

y

GH

(

µ

m)

Artmann z=0 cm z=15 cm z=25 cm

Figura 1.9: Diferença entre o deslocamento GH para a onda p e s em função do ângulo de incidência referente a segunda face do prisma. A curva numérica para wo = 169,4 µm, λ = 633 nm e n−1 = 1,515 está representada pela linha

continua em verde, triângulos vermelhos e pontos azuis, para z = 0 cm, z = 15 cm e z = 25 cm, respectivamente. A curva analítica descrita por Artmann é representa pela linha tracejada preta e a linha pontilhada preta é a posição do ângulo crítico.

Para ângulos maiores do ângulo crítico (θ∗ ≈ 41,45°> θc) os resultados

nu-méricos e analítico convergem para o mesmo valor do deslocamento GH. Isso mostra que o deslocamento GH para um feixe de entrada com raio mínimo de wo = 169,4 µm não depende da propagação do feixe para ângulos que seja

maior ou igual à θ∗.

Em torno do ângulo crítico nota-se o efeito de amplicação do deslocamento GH com relação a propagação do feixe, ou seja, o deslocamento depende da posição de onde está sendo feita a medida. Essa amplicação pode ser ex-plicada por causa do efeito GH assimétrico [53], ou seja, quando uma parte do pacote gaussiano sofre reexão interna total, enquanto a outra parte sofre reexão parcial. Essa situação o pacote gaussiano é deformado induzindo um

deslocamento na posição do máximo do feixe à medida que z aumenta.

1.5 Considerações nais

Aqui apresentamos uma breve introdução de alguns resultados importantes e pioneiros, tanto experimental e teórico do deslocamento GH. Fizemos uma revisão dos coecientes de Fresnel mostrando que estes dependem da polari-zação e do meio de propagação. Mencionamos em quais condições a reexão é parcial ou total, mostrando que na condição de reexão total os coecientes de Fresnel apresentam uma fase diferente de zero. Esta fase difere para cada estado de polarização podendo haver uma mudança na polarização da onda re-etida. Em seguida, apresentamos a descrição feita por Artmann [4] do efeito Goos-Hänchen e a obtenção das equações do deslocamento GH para onda s e onda p dada pelas equações 1.8 e 1.9, respectivamente. Por m, descrevemos com um certo formalismo o modelo descrito em [39], no qual os autores tive-ram todo o rigor de descrever a propagação do feixe em toda a extensão de um prisma, além de considerar um feixe realístico. Os resultados numéricos do descolamento GH obtido por [39] é comparado com a equação obtida por Artmann [4], mostrando que em torno do ângulo crítico existe o deslocamento GH ao contrário do resultado de Artmann, além da existência de um ângulo em que o deslocamento é máximo, que por sua vez depende do tamanho da cintura do feixe na posição onde está sendo detectado o deslocamento GH. Por m, a amplicação do deslocamento GH em torno do ângulo crítico com relação a posição do feixe, pode ser explicada por causa que o efeito GH é assimétrico neste região [53], ou seja, quando parte do feixe sofre reexão total e a outra parte do feixe sofre reexão parcial.

Capítulo 2

Medição Fraca em Mecânica

Quântica e Analogia com Óptica

Neste capítulo apresentaremos o conceito de medida fraca e valor fraco e o procedimento de medição fraca desenvolvido por Aharonov, Albert e Vaid-man (AAV) [30]. Para tanto, começaremos descrevendo o que é uma medida fraca e qual o procedimento para obter o valor fraco de um observável. Em seguida, apresentaremos a descrição geral em que AAV descreveu como obter o valor fraco de uma medição fraca com as correções feitas por Duck e seus colaboradores [54]. Por m, aplicaremos a descrição geral do efeito AAV no experimento de partículas de spin 1/2 [54], discutiremos a analogia em Óptica com o primeiro experimento do efeito de medição fraca em Óptica [29] e apli-caremos o modelo para o deslocamento GH [28].

2.1 Introdução

No artigo [30], Aharonov, Albert e Vaidman (AAV) introduziram o conceito de uma medida fraca. Uma medida fraca é representada por um acopla-mento fraco entre o dispositivo de medição e o observável a ser medido. Este

acoplamento é tão fraco que a incerteza em uma única medida é grande em comparação com a distância entre os valores próprios do observável. Portanto, os autovalores não são resolvidos por um dispositivo de medição. Na prática, há necessariamente algum grau de incerteza em qualquer medida. A força de uma medida pode ser caracterizado por uma escala contínua, que se estende a partir da medida ideal até a medida fraca, dependendo da incerteza de medi-ção em relamedi-ção à separamedi-ção dos autovalores.

Em uma medida ideal de um observável ˆA temos as seguintes armações [55]: ˆ Ela sempre produz um autovalor an;

ˆ A probabilidade do resultado an é |an|2;

ˆ O sistema é deixado em um autoestado de ˆA depois da medição.

Por outro lado, em uma medida fraca, os autovalores não estão totalmente resolvidos e o sistema não é deixado em um autoestado de ˆA, mas sim em uma superposição de autoestados. Se uma pós-seleção é feita, esta super-posição de autoestados pode interferir de forma coerente de modo a produzir uma medição que resulte em um valor fraco Aw podendo estar fora da gama

dos autovalores de ˆA. A pós-seleção pode ser realizada através de uma forte medição de algum outro observável ˆB e de modo a escolher um resultado par-ticular. Assim, o estado nal é um autoestado de ˆB que pode ser expresso como uma combinação linear dos autoestados de ˆA.

Resumindo, a medição fraca de um observável ˆA inclui tipicamente: ˆ Pré-seleção do estado inicial do sistema |Ψii, onde |Ψii =

P

nan|ani,

sendo ˆA|ani = an|ani, |ani autoestado e an autovalor;

ˆ Pós-seleção do estado nal do sistema |Ψfi, onde |Ψfi =|bi =

P

na

0

n|ani;

ˆ Leitura do dispositivo de medida.

AAV mostraram que em certas circunstâncias, uma medição fraca de um obser-vável ˆApode produzir resultados surpreendentes. O resultado de uma medição fraca foi denominado pelos autores de valor fraco, que pode ser interpretado como uma generalização do valor esperado de um observável. Se antes da me-dida fraca o sistema é preparado num estado |ψiie depois da medida o sistema

é pós-selecionado para outro estado |ψfi, então o valor fraco de ˆA é denido

como:

Aw =

hψf| ˆA|ψii

hψf|ψii

, (2.1)

onde Aw pode ser muito maior que qualquer um dos autovalores de ˆA, se |ψfi

for quase ortogonal que |ψii. O interesse fundamental do procedimento de

medição fraca é que este pode ser útil para a amplicação e detecção de efeitos fracos.

Este efeito ainda é um tema de pesquisa em aberto, onde muitos cientistas discordam da validade deste efeito ou de sua descrição. Em um artigo re-cente [56] os autores mostram que o efeito não se limita à Teoria Quântica. Este fenômeno se manifesta no mais simples sistema clássico e o efeito nada mais é que um artefato de brincar com as estatísticas clássicas e pertubações ao invés de um fenômeno sicamente observável [56]. Em [57, 58], o autor ar-gumenta que o valor fraco de um observável ˆA, por si só, não pode fornecer nenhuma informação útil sobre ˆA. Isso porque qualquer informação contida em um valor fraco está fortemente relacionada ao procedimento de medida utilizado para obter o valor fraco. O foco desta dissertação não é descrever temas em aberto, mas, somente apresentar uma ferramenta de amplicação da

medida, de modo que não abordaremos estas polêmicas.

2.2 Medição Fraca

O ponto de partida da discussão feita por AAV é o modelo padrão de Von Neumann do processo de medida. O sistema quântico, cujo observável ˆAa ser medido, é acoplado a um dispositivo de medição por um acoplamento hamil-toniano:

ˆ

H = −g(t)ˆq ˆA, (2.2)

onde ˆq é a variável canônica do dispositivo de medida (com momento ˆp) e g(t) é uma função com suporte compacto perto da hora de medição (normalizado tal que o integrante do tempo é unitário). Um dispositivo de medição ideal tem bem denido os valores iniciais e nais de ˆp e a diferença pf − pi é o ponteiro

de leitura do dispositivo que registra o valor de ˆA. Considere um estado inicial denido por:

|Φii =    R dqφi(q)|qi (representação-q), R dp ˜φi(p)|pi (representação-p), (2.3) onde φi(q) ≡ hq|Φii = exp  − q 2 4∆2  , ˜ φi(p) ≡ hp|Φii = exp (−∆2p2) , ∆q · ∆p = ~/2, (2.4)

prepa-rado em algum estado inicial denido |Ψii e que este seja escrito como uma

combinação linear de autoestados de ˆA: |Ψii =

X

n

αn|ani. (2.5)

O hamiltoniano total é escrito como o hamiltoniano do sistema físico, hamil-toniano do aparato de medida e o hamilhamil-toniano de acoplamento 2.2. Como o acoplamento entre o observável e o dispositivo de medida tem uma curta du-ração, podemos assumir que o hamiltoniano de acoplamento é dominante com relação aos outros termos do hamiltoniano, tal que todo o sistema (sistema quântico mais dispositivo de medição) irá evoluir para:

exp  −i Z ˆ Hdt  |Ψii|Φii = X n αn Z dq eiqan_exp  − q 2 4∆2  |ani|qi. (2.6)

Inserindo ˆ1 = R dp|pihp|, podemos reescrever a equação (2.6) na representação de momentos: X n αn Z dp exp −∆2_{(p − a} n)2
|ani|pi. (2.7)

Assim, se ∆p é pequeno comparado com o intervalo entre os autovalores an, o

dispositivo de medida é deixado em um estado que consiste em picos ampla-mente separados, onde cada centro dos picos corresponde a um dos autovalores an. Portanto, no limite ∆p → 0, as propriedades de uma medida ideal são

sa-tisfeitas.

No entanto, vamos considerar o limite oposto, em que ∆p é muito maior do que o intervalo entre os autovalores an. AAV refere-se a este caso como uma

medida fraca. A probabilidade após o acoplamento é então uma superposição de gaussianas largas e centradas em seus respectivos autovalores:

℘(p) =X

n

|αn|2exp−2∆2(p − an)2 . (2.8)

Neste caso (grande ∆p e pequeno ∆), isto irá aproximar a uma única gaussiana larga com pico no valor médio de ˆA, que é h ˆAi =P

n|αn| 2

an. É claro que uma

única medida fraca dá quase nenhuma informação, uma vez que ∆p  h ˆAi. Porém, repetindo a medida muitas vezes pode-se mapear toda a distribuição e então determinar o centroide h ˆAicom qualquer precisão desejada. Uma crítica a este procedimento, é justamente a necessidade de disponibilidade de um nú-mero arbitrário de cópias do estado inicial |Ψiipara se repetir a medida várias

vezes. Para dimensões nitas, um estado reprodutível pode ser considerado conhecido [57,58]. Logo, se |Ψiié conhecido a priori, h ˆAi também deve ser

co-nhecido. Então por que fazer uma medida fraca para medir algo já conhecido? O ponto mais interessante deste efeito surge quando se faz uma pós-seleção do estado do sistema quântico. Isto é, imediatamente após a interação fraca de ˆA, se faz uma medida de algum outro observável ˆB e seleciona um único resultado B = b. Isso coloca o sistema quântico em um determinado autoes-tado nal:

|Ψfi =|bi =

X

n

α_n0|ani. (2.9)

O procedimento é exatamente análogo à preparação (ou pré-seleção) do estado inicial |Ψii. Depois do procedimento de pós-seleção, o estado nal é escrito na

|Φfi = hΨf| exp  −i Z ˆ Hdt  |Ψii|Φii, = hΨf|eiˆq ˆA|Ψii|Φii. (2.10)

Esta expressão pode ser diretamente avaliada usando as expansões de |Ψii e

|Ψfi. Na representação-q, |Φfi = X n αnα 0_∗ n Z

dqeiqan_exp

 − q 2 4∆2  |qi, (2.11) e na representação-p, |Φfi = X n αnα 0_∗ n Z dp exp −∆2_{(p − a} n)2|pi. (2.12)

O valor fraco do observável de ˆA surge quando expandimos o termo eiˆq ˆA da equação 2.10; |Φfi = hΨf|eiˆq ˆA|Ψii|Φii, (2.13) ' hΨf|Ψii + iˆqhΨf| ˆA|Ψii + ...  |Φii, (2.14) ' hΨf|Ψii  1 + iˆq ˆAw+ ...  |Φii, (2.15) |Φfi ' hΨf|Ψii Z

dqeiqAw_exp

 − q 2 4∆2  |qi. (2.16)

Note que a passagem da equação 2.14 para 2.15 mostra como a denição do valor fraco apresentado na equação 2.1 surge.

Na representação de momento, o estado nal |Φfi da equação 2.16 torna-se:

|Φfi ' hΨf|Ψii

Z

dp exp −∆2_{(p − A}

w)2|pi. (2.17)

Obviamente este é um único vetor de estado com distribuição gaussiana cen-trada em Aw. O que torna este resultado desconcertante é que Aw pode estar

fora, muito fora, do intervalo dos autovalores de an quando o estado inicial

|Ψii e o estado nal |Ψfi são quase ortogonais.

Vale notar que em 2.14 os termos de ordem superior da expansão exigem que; |qn_hΨ

f| ˆAn|Ψii|  |hΨf|Ψii| , (2.18)

|qn_hΨ

f| ˆAn|Ψii|  |qhΨf| ˆA|Ψii|, (2.19)

para todo n ≥ 2. Mas para que a manipulação da equação 2.15 para a equação 2.16 tenha validade, temos que assumir que |qAw|  1, tal que as condições

em 2.18 e 2.19 também são satisfeitas.

Em resumo, a validade do cálculo feito por AAV requer:

∆  1/Aw e ∆  minn=2,3,...      hΨf| ˆA|Ψii hΨf| ˆAn|Ψii      1/(n−1) . (2.20)

2.3 Exemplo envolvendo partículas de spin 1/2

AAV ilustra a sua discussão geral com o seguinte experimento de um feixe de partículas de spin 1/2, movendo na direção y e com velocidade bem denida é apresentado na Figura 2.1. O feixe é preparado de tal modo que os spins estão orientados no plano xz formando um ângulo α com o eixo x. A medida da componente z do spin é realizada de maneira usual, fazendo o feixe de partí-culas passar por um ímã de Stern-Gerlach, produzindo assim um acoplamento entre o operador de spin ˆσz e a coordenada z, descrito através do hamiltoniano

de acoplamento.

ˆ

H = −λg(t)ˆz ˆσz, (2.21)

onde λ é proporcional ao momento magnético da partícula e a função g(t) (a qual surge a partir da passagem do feixe de partículas através da região que localiza o campo magnético não homogêneo) é normalizada. Utilizando a terminologia da Seção 2.2, o estado |Ψi corresponde ao estado do spin da par-tícula e |Φi ao estado translacional. Iremos considerar uma medida fraca de λˆσz, em que a divisão do feixe δpz, induzido pelo primeiro ímã Stern-Gerlach

na Figura 2.1 é pequeno comparado com ∆pz = 1/(2∆), onde ∆ é a cintura

do feixe.

Figura 2.1: Ilustração do arranjo experimental proposto para observação do efeito AAV para feixe de partículas de spin 1/2. Figura reproduzida de [54].

Assim, as componentes σz = +1 e σz = −1 do feixe continuam a

sobrepor-se fortemente e não estão claramente sobrepor-separados como sobrepor-seria em uma medida forte. Uma pós-seleção do estado é feita pela passagem do feixe através de um segundo ímã Stern-Gerlach com forte campo alinhado na direção x. Isto divide o feixe em dois feixes bem separados espacialmente e o σx = +1 é

sele-cionado e fotografado em uma tela distante.

O estado inicial é o autoestado +1 de (cos α)σx + (sin α)σz. Escrevendo na

base dos autoestados de σz temos que,

|Ψii = 1 √ 2   cos(α/2) + sin(α/2) cos(α/2) − sin(α/2)  , (2.22)

e o estado nal é o autoestado +1 de σx.

|Ψfi = 1 √ 2   1 1  . (2.23) De modo que hΨf|Ψii = cos(α/2), hΨf|ˆσz|Ψii = sin(α/2). (2.24)

O valor fraco da componente de spin σz é:

Aw = (λσz)w = λ tan

α 2



A descrição da função de onda espacial inicial é representada a seguir: φi(q) ≡ hq|Φii = exp  − z 2 4∆2  f (x, y). (2.26)

A dependência de x e y da equação 2.26 é irrelevante e vamos ignorá-la daqui por diante. Substituindo os resultados descritos acima na equação 2.17, temos que a função de onda na representação de momento é dada por:

˜ φf(p) ≡ hp|Φfi ' cos α 2  exp  −∆2_p z− λ tan α 2 2 . (2.27)

Assim, o resultado mostra que a distribuição observada será gaussiana, cen-trada no valor tan(α/2) (numa escala onde σz = +1corresponde ao valor +1).

O surpreendente é que, quando α se aproxima de π, tan(α/2) pode ser muito maior que a unidade. Para este exemplo o resultado é válido, desde que:

∆  λ−1min h tan α 2  , cot α 2 i . (2.28)

Para melhor entendimento, vamos considerar o caso onde α = π − 2, com   1. A equação 2.27 se reduz a: ˜ φf(p) '  exp " −∆2  pz−  λ  2# , (2.29) e é válida se, λ∆    1.

˜

φf(p) = ϕ(pz; , ∆, λ), (2.30)

onde ϕ é uma função de p, com parâmetros , ∆ e λ denidos por:

ϕ(pz; , ∆, λ) = 1/2(1 + ) exp −∆2(p − λ)2 − (1 − ) exp −∆2(p + λ)2 .

(2.31) Note que λ pode ser eliminado por uma relação de escala

ϕ(p; , ∆, λ) = ϕ(p/λ; , λ∆, 1). (2.32)

A equação 2.31 torna evidente que a função de onda nal é uma superposi-ção de duas gaussianas centradas em p =±λ, correspondendo aos autoestados σz =±1. O truque da amplicação consiste em um cancelamento nas

proximi-dades dos dois termos da equação 2.31, quando   1, deixando assim apenas uma pequena parcela no resultado nal que é aproximadamente uma gaussiana centrada em p = λ/. Esta situação está representada na Figura 2.2, onde o centro da função de onda é deslocada por um valor amplicado P = 1/ = 5, com P ≡ p/λ. A Figura 2.2(b) é a gura amplicada de 2.2(a), em que a linha vertical tracejada vermelha está localizada em P = 0.

O efeito de amplicação torna-se mais evidente cada vez que  é feito menor (para ∆ xo). O deslocamento para a direita do pico aumenta proporcional à 1/ até que a condição λ∆    1 seja quebrada, que acontece quando  torna-se da ordem λ∆.

-300 -200 -100 0 100 200 300 P 0 0,05 0,1 0,15 0,2 φ (P) (a) -10 -5 0 5 10 15 20 25 P 0,195 0,196 0,197 0,198 0,199 0,2 0,201 φ (P) (b)

Figura 2.2: (a) Gráco da função ϕ(p; , ∆, λ) em função de P ≡ p/λ com λ∆ = 0,01 e  = 0,2. Note que a função se assemelha a uma única gaussiana cujo pico, mostrado na gura ampliada em (b), é deslocado para P = 1/ = 5.

-300 -200 -100 0 100 200 300 P -0,005 0 0,005 0,01 0,015 φ (P) (a) -300 -200 -100 0 100 200 300 P 0 0,5 1 1,5 2 2,5 |φ (P)| 2 /10 -4 (b)

Figura 2.3: (a) Gráco da função ϕ(p; , ∆, λ) em função de P ≡ p/λ com  = λ∆ = 0,01. (b) Distribuição de probabilidade.

como pode ser visto na Figura 2.3. Note que na Figura 2.3(a), a função de onda não apresenta uma distribuição gaussiana como foi visto na Figura 2.2(a) e isto torna-se mais evidente quando  diminui ainda mais. Em termos de dis-tribuição de probabilidade surge um segundo pico pequeno como pode ser visto na Figura 2.3(b).

Finalmente, se  é igual à zero, obtém-se uma função de onda antissimétrica na Figura 2.4(a), que produz dois picos de mesma magnitude na distribuição de probabilidade 2.4(b). É claro que nesta situação, a condição de medida fraca é

-300 -200 -100 0 100 200 300 P -0,005 0 0,005 φ (P) (a) -300 -200 -100 0 100 200 300 P 0 2 4 6 8 |φ (P)| 2 /10 -5 (b)

Figura 2.4: (a) Gráco da função ϕ(p; , ∆, λ) em função de P ≡ p/λ com  = 0,0 e λ∆ = 0,01. (b) Distribuição de probabilidade.

quebrada, contudo o efeito de medida fraca é ainda um tanto impressionante, pois os dois picos estão localizados em p '±70/∆ e não em ±λ (de modo que P/λ =±70 em vez de ±1). No entanto, esta distribuição surge a partir da superposição da função de onda das componentes σz =±1, apenas.

2.4 Analogia em Óptica

Nesta Seção apresentaremos uma analogia em Óptica do experimento de Stern-Gerlach descrito na Seção 2.3. Aqui o feixe de partículas de spin 1/2 é substi-tuído por um feixe laser com modo Gaussiano e a pré-seleção e pós-seleção do magneto Stern-Gerlach são substituídos por polarizadores ópticos. A mon-tagem experimental é apresentada na Figura 2.5 que foi retirada da referên-cia [29]. O feixe laser de He-Ne é colimado e focalizado por um telescópio T e lente L1, respectivamente, em seguida é polarizado por um ângulo α com

relação ao eixo x ao passar pelo polarizador P1. Uma placa de quartzo

bir-refringente Q com eixo ótico (OA) alinhado ao longo do eixo x é localizado próximo da posição do raio mínimo do feixe. O polarizador P2 com ângulo β

expande o feixe que detecta a intensidade do feixe ao longo do eixo y com um fotodetector D. Os autores foram os primeiros a realizar um experimento do efeito de medição fraca em Óptica, utilizando uma placa de cristal de quartzo birrefringente que separa espacialmente as duas polarizações da radiação laser por uma distância que é muito menor que o raio do feixe laser, correspondendo assim a uma medida fraca.

Figura 2.5: Montagem experimental retirada da referência [29]. Onde He-Ne é o laser de comprimento λ = 0.633 nm, T representa o telescópio para colimar o feixe laser, L1 e L2 são as lentes, P1 e P2 são os polarizadores com ângulo α e

βcom relação ao eixo x, respectivamente, Q é a placa de quartzo birrefringente com eixo ótico (OA) alinhado ao longo do eixo x e D é o fotodetector.

Assumindo que o feixe de luz propaga na direção z e após ser pré-selecionado pelo polarizador P1, seu campo elétrico é linearmente polarizado com ângulo

α com respeito ao eixo x. O vetor campo elétrico após ser pré-selecionado é descrito por: ~ Ei = Eoexp  −x 2_{+ y}2 w2 o    cos(α) sin(α)  , (2.33)