UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO – ´ AREA II MA129 (c´ alculo diferencial e integral 4) – 2012.2 – Q3 e Q6

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO – ´ AREA II MA129 (c´ alculo diferencial e integral 4) – 2012.2 – Q3 e Q6

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EXERC´ICIO ESCOLAR – 10/04/2013

Orienta¸ c˜ ao: O exame ´e estritamente individual, sem consulta ou calculadora. A ordem das quest˜ oes n˜ ao ´e importante. Apenas solu¸c˜oes leg´ıveis e justificadas re- ceber˜ ao pontos. Circular as respostas ! Responder a caneta preta ou azul, ou a l´ apis. O valor de cada item est´ a entre parˆenteses. Ex.: “1.a (2,0)”. A nota m´a- xima ´e 10,0 (dos 11,0 pontos dispon´ıveis). A tabela de transformadas de Laplace pode ser empregada, indicando-se o n´ umero de cada regra no passo em que ´e usada.

Dura¸ c˜ ao: 120 minutos.

Quest˜ ao 1. Calcular solu¸c˜ oes expl´ıcitas para os problemas abaixo.

1.a (2,0). y

(t) + 4 y(t) = 12 δ(t − 4π) − 8 u

(t); y(0) = 0, y

(0) = 2;

1.b (1,5). y

(t) + y(t) −

0

sen (t − v) y(v) dv = − sen (t) ; y(0) = 1.

Quest˜ ao 2. Seja a fun¸c˜ ao peri´ odica f de per´ıodo 4 determinada em [ − 2, 2] por:

f (x) =







− 1, se − 2 < x < − 1;

2, se − 1 < x < 1;

− 1, se 1 < x < 2. f n˜ ao est´ a definida em ± 1 e ± 2.

2.a (2,0). Calcular a s´erie de Fourier associada a f ;

2.b (0,5). A s´erie converge em x = 1 ? E em x = 2 ? Para quais valores ? 2.c (1,0). Calcular F (s), a transformada de Laplace de f (t) (com t = x).

Quest˜ ao 3. Considere-se a EDP abaixo submetida `as condi¸c˜oes dadas:







u

(x, t) = 4 u

(x, t) para 0 < x < 1 e t > 0, u(0, t) = 0 = u(1, t) para t > 0,

u(x, 0) = 32 sen(5 π x) − 4 sen(2 π x), u

(x, 0) = 12 sen(3 π x) para 0 ≤ x ≤ 1.

3.a (1,0). Pelo m´etodo da separa¸c˜ ao de vari´ aveis, reescrever a EDP e as condi¸c˜oes homogˆeneas como dois problemas com EDOs, um em x e um t;

3.b (1,5). Calcular a solu¸c˜ ao formal da EDP com as condi¸c˜oes homogˆeneas, expressando-a como uma s´erie formal (as dicas abaixo podem ser usadas);

3.c (1,5). Assumindo a convergˆencia da s´erie, calcular os coeficientes de u(x, t) submetida a todas as condi¸c˜ oes do problema dado.

Dicas. Abaixo, damos uma base para as autofun¸c˜oes de X

(x) = −λ X(x) (0 < x < L) submetida ` as respectivas condi¸c˜ oes de contorno (n ´e inteiro):

Caso X

(0) = 0 = X

(L): X

(x) = cos n π x L

e −λ

= − n π

L

para n > 0;

X

(x) = 1 e −λ

= 0;

Caso X(0) = 0 = X(L): X

(x) = sen n π x L

e − λ

= − n π

L

para n > 0.