universidade federal de pernambuco – ´ area ii – 2013.1 MA129 (c´ alculo diferencial e integral 4) – turmas Q1 e Q7

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universidade federal de pernambuco – ´ area ii – 2013.1 MA129 (c´ alculo diferencial e integral 4) – turmas Q1 e Q7

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^o

EXERC´ICIO ESCOLAR – 16/09/2013

Orienta¸ c˜ ao: O exame ´ e estritamente individual, sem consulta ou calculadora. A ordem das quest˜ oes n˜ ao ´ e importante. Apenas solu¸c˜ oes leg´ıveis e justificadas rece- ber˜ ao pontos: escrever os passos, detalhes e propriedades relevantes. Ao usar a ta- bela de transformadas de Laplace, indicar o n´ umero de cada regra no passo em que

´

e utilizada. Responder a caneta preta ou azul, ou a l´ apis. Circular as respostas ! O valor de cada item est´ a entre parˆ enteses. Dura¸ c˜ ao: 120 minutos.

Quest˜ ao 1. Calcular e simplificar as solu¸c˜ oes expl´ıcitas dos problemas abaixo.

1.a (1,5). y

^′′

(t) − 2 Z

t

0

sen (t − v) y(v) dv = 6 δ(t − 1); y(0) = 0, y

^′

(0) = 6;

1.b (1,5). t y

^′′

(t) + (1 − 2t) y

^′

(t) − 2 y(t) = 0; y(0) = 1, y

^′

(0) = 2;

1.c (1,0 bˆonus). y

^′′

(x) + y(x) = 0, y(0) = 1 = y(2π);

Quest˜ ao 2. Seja a fun¸c˜ao h de per´ıodo 8 determinada em [−4, 4] por:

h(x) =







−6, se − 4 < x < −3;

0, se − 3 < x < 3;

6, se 3 < x < 4. h n˜ao est´a definida em ±4 e ±3.

2.a (1,5). Calcular a s´erie de Fourier associada a h;

2.b (0,5). A s´erie converge em x = 3 ? Em caso afirmativo, para quanto ?

Quest˜ ao 3 (2,0). Resolver o PVI abaixo assumindo que a solu¸cão se de- compõe como u(x, t) = A(x + 2t) + B(x − 2t) para fun¸cões A(ψ) e B(η) convenientes:

u

tt

(x, t) = 4 u

xx

(x, t) para x ∈ R , t > 0,

u(x, 0) = x, u

t

(x, 0) = x para x ∈ R .

(2)

Quest˜ ao 4 . Considere-se a EDP do calor com as condi¸c˜oes dadas abaixo:







u

t

(x, t) = u

xx

(x, t) para 0 < x < 2 e t > 0, u

x

(0, t) = 0 = u

x

(2, t) para t > 0,

u(x, 0) = cos(6 π x) para 0 ≤ x ≤ 2.

4.a (2,0). Expressar a solu¸cão u(x, t) da EDP submetida às condi¸cões homo- gêneas como uma série formal (as dicas abaixo podem ser usadas);

4.b (1,0). Assumindo a convergˆencia da s´erie, calcular seus coeficientes.

Dicas sobre problemas de contorno para EDPs. Seguem-se bases para as autofun¸c˜oes de Z

^′′

(z) = −λ Z (z) com 0 ≤ z ≤ L (logo, o autovalor é −λ) submetidas às respectivas condi¸cões de contorno (abaixo, n é inteiro).

Caso Z

^′

(0) = 0 = Z

^′

(L): Z

n

(z) = cos n π z L

, λ

n

= n π L

2

para n > 0; e Z

0

(z) = 1, λ

0

= 0;

Caso Z (0) = 0 = Z(L): Z

n

(z) = sen n π z L

, λ

n

= n π L

2

para n > 0.

(3)

Regra f (t) = L

⁻¹

{F (s)}(t) Const. s ∈ F (s) = L{f(t)}(s)

01 e

^at

a ∈ R (a, +∞) 1/(s − a)

02 cos (ωt) ω ∈ R (0, +∞) s/(s

²

+ ω

²

)

03 sen(ωt) ω ∈ R (0, +∞) ω/(s

²

+ ω

²

)

04 cosh (ωt) ω ∈ R (|ω|, +∞) s/(s

²

− ω

²

)

05 senh(ωt) ω ∈ R (|ω|, +∞) ω/(s

²

− ω

²

)

06 t

ⁿ

n ∈ N (0, +∞) n! / s

ⁿ⁺¹

07 t

^r

r ∈ (−1, +∞) (0, +∞) Γ(r + 1) / s

^r+1

08 δ(t − c) c ∈ [0, +∞) R e

⁻^cs

Regra f(t) = L

⁻¹

{F (s)}(t) Const. F (s) = L{f(t)}(s) 09 a f (t) + b g(t) a, b ∈ R a F (s) + b G(s)

10 f (a t) a ∈ (0, +∞) F (s/a) / a

11 e

^at

f (t) a ∈ R F (s − a)

12 t

ⁿ

f (t) n ∈ N (−1)

ⁿ

F

⁽ⁿ⁾

(s)

13 f (t)

t se h´a lim

t→0

f(t) t

Z

+∞ s

F (v ) dv

14 f

^(k)

(t) k ∈ N s

^k

F (s) −

k−1

X

=0

f

^()

(0) s

^k⁻¹⁻^

15 Z

t 0

f(u) du F (s)

s

16 u

c

(t) f (t) c ∈ [0, +∞) e

⁻^cs

L{f(t + c)}(s) 17 u

c

(t) f (t − c) c ∈ [0, +∞) e

⁻^cs

F (s) 18 Se f (t + P ) = f (t) P ∈ (0, +∞) 1

1 − e

⁻^sP

Z

P

0

e

⁻^st

f(t) dt

19 (f ∗ g )(t) F (s) G(s)

Regra 20 lim

s→+∞

F (s) = 0

21 lim

s→+∞

s F (s) = lim

t→0⁺

f(t)

22 lim

s→0⁺

s F (s) = lim

t→+∞

f(t)