UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO – ´AREA II MA129 (c´alculo diferencial e integral 4) – 2011.2 – Q3 e Q4 GABARITO DO 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO – ´ AREA II MA129 (c´ alculo diferencial e integral 4) – 2011.2 – Q3 e Q4

GABARITO DO 2

EXERC´ICIO ESCOLAR (19/10/2011) Orienta¸ c˜ ao: O exame ´e estritamente individual, sem consulta ou calculadora. A ordem das quest˜ oes n˜ ao ´e importante. Apenas solu¸c˜oes leg´ıveis e justificadas rece- ber˜ ao pontos. Circular as respostas ! Responder a caneta preta ou azul, ou a l´apis.

O valor de cada item est´ a entre parˆenteses. Dura¸ c˜ ao: 120 minutos.

Quest˜ ao 1. Para cada EDO abaixo, encontrar a solu¸c˜ao completa expl´ıcita:

1.a (2,0). d

y

dt

+ 8 d

y

dt

+ 16 y = 50e

− 96 sen(2t).

1.b (2,0). d

y

dt

− 2 dy

dt + y = e

t

, t > 0 1.c (1,5). x

d

y

dx

− 3x dy

dx + 13 y = 10 x, x > 0

Quest˜ ao 2. Considere-se o movimento de um sistema tipo massa-mola com massa m = 1 kg, coeficiente de amortecimento γ = 2 kg/s, constante da mola k = 2 N/m, e for¸ca externa F

(t) = 10 cos (2t) N.

2.a (1,5). Calcular a solu¸c˜ ao estado estacion´ ario;

2.b (0,5) Calcular a amplitude da solu¸c˜ ao estado estacion´ario.

Quest˜ ao 3 (1,0). Encontrar, em forma expl´ıcita, a fam´ılia das curvas ortogonais

`

as elipses que admitem equa¸c˜ ao da forma x

+ 5y

= k, onde k > 0.

Quest˜ ao 4 (1,5). Escrever, explicitamente, como fun¸c˜ao de s, a transformada de Laplace Y (s) da (´ unica) solu¸c˜ ao y(t) do PVI abaixo. A tabela no verso pode ser empregada, indicando-se o n´ umero de cada regra no passo em que ´e utilizada:

d

y

dt

+ 9 y = 2 cos (3t) sen (4t) + 2 cosh (3t) senh (4t); y(0) = 1, dy

dt (0) = 2 SUBSCRITOS (empregados nas solu¸c˜ oes y): gh = geral da EDO homogˆenea (sol. complementar); gnh = geral (que ´e a completa) da EDO n˜ao-homogˆenea;

p = particular. SIGLA: T.D.E. = teorema do desvio exponencial.

RESOLU ¸ C ˜ AO COMENTADA

1.a. A EDO tem equa¸c˜ ao caracter´ıstica (auxiliar, reduzida) 0 = r

+ 8r

+ 16 = (r

+ 4)

= ((r − 2i)(r + 2i))

, cujas ra´ızes s˜ ao ± 2i, ambas com multiplicidade 2.

Denotando P (D) = D

+ 8D

+ 16 = (D

+ 4)

, temos que P (D)[y(t)] = 0 tem so- lu¸c˜ao y

(t) = (C

+ C

t) cos (2t) + (C

+ C

t) sen (2t), onde C

, C

, C

, C

∈ R .

b

(t) = 50e

tem anulador D − 1, associado ` a raiz 1, enquanto b

(t) = − 96 sen(2t) tem anulador D

+ 4, associado ` as ra´ızes ± 2i. Logo, ´e conveniente resolvermos as EDOs lineares n˜ ao-homogˆeneas P (D)[y(t)] = b

(t) ( ∈ { 1, 2 } ) separadamente, obtendo solu¸c˜ oes particulares y

(t) para elas pelo m´etodo dos coeficientes inde- terminados e, por linearidade, y

(t) = y

(t) + y

(t) + y

(t) para a EDO dada.

Do anulador de b

(t) e de P(D), sabemos que podemos usar y

(t) = A e

para um ´ unico real A, donde: 50e

= P (D)[A e

] = (por linearidade e T.D.E.) A e

(D + 1)

+ 4

[1] (as derivadas de 1 s˜ ao nulas) = A e

1

+ 4

[1] = 25A e

∴ 25A = 50 ∴ A = 2.

Como b

(t) = − 96 sen(2t) = − 96 ℑ e

, temos que y

(t) = − 96 ℑ (z

(t)), onde z

(t) ´e uma solu¸c˜ ao particular da EDO P(D)[z(t)] = e

. Do fato desta fun¸c˜ ao ter anulador (D − 2i), sabemos

que z

(t) = H t

e

para um ´ unico complexo H, sendo o fator t

´e devido ` a multiplicidade 2 da raiz 2i em P (D).

Da´ı: e

= P (D)[H t

e

] = (por linearidade e T.D.E.) H e

P (D + 2i)[t

] = H e

(D + 2i)

+ 4

[t

] = H e

(D

+ 4iD −6 4+ 6 4

[t

] = H e

− 16D

[t

] (pois D

[t

] = 0 para k ≥ 3) ∴ e

= − 32 H e

∴ H = − 1

32 ∴ y

(t) = − 96 ℑ

− 1 32 t

e

= − 96

− 32 t

ℑ (e

) ∴ y

(t) = 3 t

sen (2t). Em suma:

y

(t) = (C

+ C

t) cos (2t) + C

+ C

t + 3 t

sen (2t) + 2 e

; C

, C

, C

, C

∈ R .

1.b. A EDO tem equa¸c˜ ao caracter´ıstica 0 = r

− 2 r + 1 = (r − 1)

, com raiz

´

unica 1 com multiplicidade 2. Denotando P (D) = D

− 2D + 1 = (D − 1)

, temos que P(D)[y(t)] = 0 fornece um conjunto fundamental de solu¸c˜oes { y

, y

} onde y

(t) = e

e y

(t) = t e

. Para a EDO n˜ao-homogˆenea, como b(t) = t

e

n˜ ao ´e anulado por algum polinˆ omio em D a coeficientes constantes, usaremos o m´etodo da varia¸c˜ ao dos parˆ ametros, propondo y

(t) = v

(t) · e

+ v

(t) · t e

, onde

1Do anulador de b2(t) e de P(D), tamb´em sabemos que, para reais B e C unicos,´ yp2(t) =t²(B cos (2t) +Csen (2t)).

as fun¸c˜ oes v

e v

s˜ ao determinadas pelo sistema de equa¸c˜oes abaixo:

W e

, t e

· v

v

=

e

t e

e

(t + 1)e

· v

v

= 0

t

e

Mas

det W e

, t e

= ((t + 1) − t) e

= e

. Pela regra de Cramer:

v

(t) = 1 e

det

0 t e

t

e

(t + 1)e

= − t

t e

e

= − t

∴ v

(t) = t

; e v

(t) = 1

e

det

e

0 e

t

e

= t

e

e

= t

∴ v

(t) = − 1 2 t

∴ y

(t) = e

t − t e

2t

= e

2t ∴ y

(t) =

C

+ C

t + 1 2t

e

, t > 0; C

, C

∈ R .

1.c. Sendo a EDO dada uma de Cauchy-Euler (equidimensional) com operador diferencial linear L = x

D

− 3xD + 13, D = d

dx , temos a substitui¸c˜ao t = ln (x) (j´ a que x > 0) e o formato de solu¸c˜ ao x

para a EDO homogˆenea L[y(x)] = 0:

0 = L[x

] = x

(r(r − 1) − 3r + 13) ∴ 0 = r

− 4r + 13, cujas ra´ızes s˜ao 2 ± i3 ∴ y

(t) = e

(C

cos (3t) + C

sen (3t)), onde C

, C

∈ R , isto ´e,

y

(x) = x

( C

cos (3 ln (x)) + C

sen (3 ln (x)) ). Mas b(x) = 10 x, ou seja, b(t) = 10 e

∴ y

(t) = A e

para algum A ∈ R , isto ´e, y

(x) = Ax ∴

10x = L[Ax] = x

· 0 − 3xA + 13Ax

= 10Ax ∴ A = 1 ∴ y

(x) = x. Em suma

: y

(x) = x

C

cos (ln (x

)) + C

sen ln (x

) + x, x > 0, onde C

, C

∈ R . 2.a. Sabemos que a solu¸c˜ ao estado estacion´ ario ´e a solu¸c˜ao particular y

da EDO m y

(t) + γ y

(t) + k y(t) = F

(t), t > 0 obtida pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados. Substituindo os dados, temos que: y

(t) + 2 y

(t) + 2 y(t) = 10 cos (2t), cuja equa¸c˜ ao caracter´ıstica 0 = r

+ 2r + 2 tem ra´ızes − 1 ± i.

J´ a o anulador de 10 cos (2t) = 10 ℜ (e

), que ´e D

+ 2, est´a associado `as ra´ı- zes ± 2i. Assim, y

(t) = ℜ (z

(t)), onde z

(t) = H e

para um ´ unico complexo H, obtido por: 10 e

= D

+ 2D + 2

[H e

] = (por linearidade e T.D.E.) H e

(D + 2i)

+ 2(D + 2i) + 2

[1] = (1 ´e constante) H e

(2i)

+ 2(2i) + 2 [1]

= H e

( − 4 + 4i + 2) ∴ H = 10 ( − 2 + 4i)

= − (1 + 2i) ∴

y

(t) = ℜ ( − (1 + 2i) ( cos (2t) + i sen (2t) ) ) ∴ y

(t) = 2 sen (2t) − cos (2t), t ≥ 0.

2Tamb´em poder´ıamos ter usado a express˜ao deLemtao inv´es dex, isto ´e, comDe= d dt, a saber,L=De²−4D+13: 10e e^t= (De²−4D+13)[A ee ^t] = (1−4+13)A e^t= 10Ae^t∴A= 1.

2.b. A amplitude de y

´e A = p

2

+ ( − 1)

∴ A = √ 5.

3. A fam´ılia original ´e dada por x

+ 5y

= k > 0. Diferencia¸c˜ao impl´ıcita resulta numa EDO: 2x + 10yy

= 0 ∴ y

= − x/(5y). Para a fam´ılia ortogonal, tomamos o oposto do inverso: y

= 5y/x ∴ xy

− 5y = 0, EDO equidimensional homogˆenea. Usando o formato de solu¸c˜ ao x

, obtemos

: 0 = (xD − 5)[x

] = x

(r − 5) ∴ r = 5 ∴ y = C x

, onde C ∈ R .

4. Para aplicarmos transformadas de Laplace, precisamos preparar o lado (mem- bro) direito da EDO. Por um lado, temos a identidade trigonom´etrica abaixo:

2 sen (A) cos (B) = sen (A + B ) + sen (A − B) ∴

2 sen (4t) cos (3t) = sen (7t) + sen (t) . Por outro lado: 2 senh (A) cosh (B) = e

− e

e

+ e

/2 =

e

− e

+ e

− e

/2 = senh (A + B) + senh (A − B) ∴ 2 senh (4t) cosh (3t) = senh (7t) + senh (t) .

Portanto, o PVI dado ´e:

y

(t) + 9 y(t) = sen (7t) + sen (t) + senh (7t) + senh (t) ; y(0) = 1, y

(0) = 2 Aplicando a transformada de Laplace pela Regra 18 ao lado esquerdo com n = 2 e os dados inciais acima, e pelas regras 5 e 7 ao lado direito, ambas com a = 7 e a = 1, obtemos, por linearidade:

s

Y (s) − 1s − 2

+ 9Y (s) = 7

s

+ 49 + 1

s

+ 1 + 7

s

− 49 + 1 s

− 1 ∴ Y (s) = 1

s

+ 9

s + 2 + 7

s

+ 49 + 1

s

+ 1 + 7

s

− 49 + 1 s

− 1

3Se resolvermos esta EDO como EDO separ´avel, devemos ter cuidado com dois fatos:

a solu¸c˜ao geral leva `a constanteC 6= 0 devido ao valor absoluto; e a solu¸c˜ao excepcional y(x) = 0 estende a constante a C∈R.