Renato Cardoso Mesquita Departamento de Engenharia Elétrica UFMG

 Renato Cardoso Mesquita

 Departamento de Engenharia Elétrica – UFMG  renato@ufmg.br

 Problemas eletromagnéticos – modelagem

básica;

 Métodos numéricos baseados em malhas;  Introdução aos métodos sem malha.

 Nossos principais trabalhos na área.  Conclusões

Equações de Maxwell:









.

D



0

.







B



t

D

J

H

x







_











t

B

E

x







_









 Sem variação no tempo, só estamos

interessados no campo elétrico:









.

D



0







x

E



0

.







B



J

H

x











Exemplo 1: Eletrostática

 As equações ficam:  Relação entre D e E:









.

D



0







x

E



E

D







 Se  ==>

0







x

E



V

E











 Equação diferencial:   Equação de Poisson   não é constante ◦ Geralmente é descontínuo

 















.



V

 Condição de contorno de Dirichlet;

 Condição de contorno de Neumann:

 Condições de interface (descontinuidade)

g o

em

V

V





em

D

n

V

_

_

























em

n

V

n

V

         em n V n V ₂ 2 1 1

 

Equações de Maxwell:









.

D



0

.







B



t

D

J

H

x







_











t

B

E

x







_









H

B









t

D

H

x





_









t

B

E

x







_









 

t

H

E

x







_









_

E

D









 

t

E

H

x





_









_

 

t

H

E

x







_











 

t

E

H

x





_











 

t

E

H

x





_











t

E

t

H

x

































1

t

E

E

x

x



































Definir Condições de contorno;

Interface entre materiais descontínuos; ...

• Parte-se das equações de Maxwell;

• Consideram-se as condições

específicas do problema;

•  EDPs do problema

•  Condições de contorno

•  Condições de interface (meios com

descontinuidade nas características físicas)

 Métodos analíticos:

◦ Só funcionam para problemas muito simples (geometria simples, materiais lineares, ...)

  Métodos numéricos

◦ Baseados em malha:

 Elementos finitos (FEM) – elementos nodais e de aresta;  Diferenças finitas (FDM) – domínio do tempo - FDTD;  Finite Integration Technique (FIT) ;

 Elementos de contorno (BEM);  Método dos momentos (MoM);

◦ Sem malha

 Boa parte dos métodos numéricos utilizados

(incluindo a maioria dos métodos sem malha) é baseada no método de

Galerkin.

Forma forte

Forma fraca

Discretização pelo

método de Galerkin

Forma Matricial

(S) Dados  e , determinar a função V: ->  que satisfaça: Dirichlet Neumann Interface g

em

V

V





em

D

n

V

_

_









em

n

V

n

V

















 















.



V

 Seja S o espaço das

funções admissíveis

espaço das

funções de teste

S

0, (x,y) g }

U

 H1, espaço de funções com derivada primeira

com quadrado integrável

 Produto interno em H1:









V ,

w

Vwd

 Montamos o resíduo para a equação a ser resolvida

no domínio:

 Efetuamos o produto interno com uma função de

teste, wU. Forçamos a ortogonalidade do resultado, w  U:







V



w

d

w

U

w

R





















0

.

,





















V

R

.

 















.



V

(W) Dados , V₀ e D_n, determinar V  S, tal que

Interpretação fundamental: ortogonalidade do resíduo em relação ao espaço das funções de teste

U

w

d

wD

d

w

d

V

w





























.







V



w

d

w

U

w

R





















0

.

,





 Construir uma aproximação de dimensão finita

para os espaços S e U  Sh _{e U}h_{, onde} Sh _{ S , U}h _{ U} Se uh _{ S}h _{e w}h _{ U}h_{, então:} Vh_{(x,y) = V} 0 ,(x,y) g wh_{(x, y) = 0, }(x,y) _ g

 

x

y

g

d

U

g

S

V

S

V















,

,

,





 

x

y

c

U

w

U

w















,

,

(a não ser por gh, Sh e Uh são

 Reescrever a forma fraca em termos de Vh e wh:

(G) Dados , V₀ e D_n (como em W), determinar Vh ₌ yh_+gh _{, onde g}h_{ S}h _{e y}h _{ U}h_{, tal que:}

h h h h n h h h h

U

w

d

g

w

d

D

w

d

w

d

y

w



































.

.







U

d

y











,

 O método de Galerkin, como apresentado, é

também conhecido como método de

Bubnov-Galerkin

 Se as funções de base de Sh fossem diferentes das

de Uh _{, teríamos o método de}

Petrov-Galerkin

 As funções de Sh precisam satisfazer

explicitamente as condições de contorno de Dirichlet!

 Interpretação fundamental: Resíduo ortogonal ao espaço de aproximação









U

w

d

w

V

w

R





















0

.

,





Para que o método

funcione, a escolha das funções _ deve ser feita de modo que Sh aproxime S de forma consistente.

Como escolher estas funções de maneira sistemática é a questão fundamental que os métodos numéricos tentam responder

 Como determinar as funções de base (_) necessárias

para construir as funções de Uh _{e S}h _?

 No método de elementos finitos, isto é simples:

◦ Criam-se “funções chapéu”, N_A , associadas a cada nó A

da malha.

◦ As funções são iguais a 1 naquele nó e 0 nos demais

(propriedade do delta de Kronecker, _ij ).

◦ Na nomeclatura do MEF estas funções são denominadas

“funções de forma”.  etc ... 1 2 3 1 N₃(x,y)

 Possuem suporte compacto: só são diferentes de zero em

uma pequena parcela do domínio;

 Formam uma partição da unidade:

 Satisfazem o delta de Kronecker: N_i(x_j) = _ij

◦ É fácil impor condições de contorno de Dirichlet (ou seja, é fácil gerar funções que pertençam a Sh_.

 Satisfazem a condição de reprodução de um campo

linear:

◦ Possuem consistência de ordem 1 (conseguem reproduzir polinômios de primeira ordem).

x x N n i i  





 Gera-se a aproximação da solução usando as

funções de forma geradas na malha de elementos finitos:

 Substituindo as expressões das aproximações na

forma de Galerkin, obtém-se o sistema matricial, (M) [K][d] = [f]











d

N

N

.

K



N

d

N

D

d

K

g

f



















 

N

d

y

x

V





,

Observações:

1- K é simétrica, positiva definida e esparsa

2- O processo de cálculo das matrizes e vetores pode ser efetuado elemento por elemento

 Partição (cobertura) do domínio;

Estruturada: adaptação mais

 São mais complexas de serem geradas.

 Malhas de baixa qualidade (triângulos ou

tetraedros distorcidos, muito distantes dos equiláteros) podem gerar grandes erros na solução.

 Gerar uma malha 3D de qualidade para o

método de elementos finitos, para

geometrias

arbitrárias

 Obter as funções de forma para o método de

Galerkin sem usar uma malha.

 Usam apenas nós (pontos) espalhados sobre



Eliminar a malha pode gerar métodos

mais simples para problemas muito

complexos:

◦ Geometrias 3D complexas;

◦ Implementação de adaptatividade;

◦ Problemas envolvendo movimento e geometria variável:

 Máquinas elétricas;

 No caso dos métodos sem malha, a determinação das

funções de forma não é tão simples.

 É desejável que elas satisfaçam as mesmas condições do

MEF:

◦ Suporte compacto (se não satisfizerem, o sistema de equações obtido não será esparso);

◦ Partição da unidade (se não satisfizerem, não serão capazes de reproduzir um termo constante da solução);

◦ Condição de reprodução de campo linear , ou seja, tenham, no mínimo, consistência de ordem 1

◦ Delta de Kronecker (nem sempre satisfazem – neste caso, teremos dificuldades de impor condições de contorno de Dirichlet);

◦ Possam ser obtidas a partir de uma distribuição arbitrária de nós ;

•

Várias estratégias foram desenvolvidas.

•

Já testamos:

◦ Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)

◦ Reproducing Kernel Particle Method (RKPM)

◦ Moving Least Squares (MLS)

◦ Point Interpolation Method (PIM)

◦ Radial Point Interpolation Method (RPIM)

◦ Radial PIM com reprodução polinomial (RPIMp)

◦ Funções de Shepard .

 Desenvolvidos originalmente por matemáticos

para ajuste de superfícies e regressão de dados.

 O método é um dos mais utilizados atualmente

para a construção de funções de forma de métodos sem malha.

 Principais características:

◦ A função de aproximação gerada é contínua e suave em

todo o domínio;

◦ O método é capaz de gerar uma aproximação com a

 Seja

u(x)

Sua aproximação em um ponto

x

u

_(x).

 Aproximação por MLS:

 a(x) :



Note que a(x) varia com x!

 p(x) é o vetor de funções de base

◦ normalmente monômios de baixa ordem

 O vetor de coeficientes a(x) é determinado usando os

valores de u(x) em um conjunto de nós incluídos no

domínio de suporte de x.

 O domínio de suporte de x determina o número de nós

(n) que são usados localmente para aproximar o valor de

 Dado o conjunto dos

n

aproximada nos

n

◦ u₁, u₂,…,u_n, em x₁, x₂,…,x_n

 Pode-se calcular o valor da função aproximada

nestes nós:

 Um funcional de resíduos ponderados é

construído utilizando os valores aproximados da função e os parâmetros nodais :

 Funcional:

 No MLS, em um ponto arbitrário x, a(x) minimiza

o resíduo ponderado.

 A condição de minimização requer que:

 Mas

 Portanto:

 Onde:

 Mas:

 Portanto:

 Mas, como:

 O requisito

n>>m

singularidade da matriz de momentos ponderados, de maneira que A−1 _exista.

 Exemplos de função de forma obtidas por MLS:

 Suas derivadas de primeira ordem:

• OBS: não satisfazem o delta de Kronecker, mas formam uma

 A consistência da aproximação MLS depende da

ordem do polinômio completo utilizado

(p(x)).

◦ Se a ordem é k, as funções de forma do MLS possuem

consistência Ck.

 Propriedade importante: qualquer função que

apareça na base do MLS é reproduzida exatamente

◦ Se soubermos a priori algo sobre o comportamento da

solução, este comportamento poderá ser incluído na aproximação, pela simples adição dele à base do MLS (desde que se garanta que a matriz A continuará

 De posse das funções de forma geradas pelo

MLS, substitui-las na forma fraca.

 Obtém-se sistema matricial semelhante ao do

MEF:

Ku=f

 Obs: necessário integrar em todo domínio

◦ Gerar uma malha de integração;

◦ EFG não é um método “totalmente sem malha”.

     









 Usa uma estratégia diferente da do MLS;

 Número de nós no domínio de suporte igual ao

número de monômios usados na base;

 Vantagem:

◦ Satisfaz delta de Kronecker  imposição de condições de contorno facilitada;

 Desvantagens:

◦ Existem distribuições de nós em que não se consegue determinar as funções de forma (matriz singular)

  usar funções de base radial ao invés de polinômios 

RPIM e RPIMp ;

◦ Descontinuidades das funções de forma (difícil usar uma forma fraca global);

 Se as funções de forma não são contínuas,

melhor usar formas fracas locais;

◦ Os domínios onde as formas fracas são satisfeitas são superpostos e cobrem o domínio global

 Para isso, utiliza-se uma formulação do tipo

Petrov-Galerkin;

◦ Funções de teste diferentes das funções de forma;

 Funções de teste escolhidas de maneira a simplificar e

facilitar a formulação;

 Grande flexibilidade para escolha tanto das funções de

 Domínios das funções de forma podem ser

distintos dos das funções de teste

◦ Integração local  método verdadeiramente sem malha.

 Método sem malha, segue construção

“semelhante” ao do método de elementos finitos

 Porém utiliza uma estratégia diferente para

obter as funções de forma, onde não se usa uma malha.

◦ As funções são computacionalmente mais complicadas;

◦ Algumas não satisfazem as condições do delta de Kronecker.

◦ Diversas maneiras de obter as funções de forma (MLS, PIM, RPIM, RPIMp, SPH, RKPM, Shepard,…).

 O método ainda está em sua

“infância”.

◦ imposição de condições de contorno;

◦ melhoria de desempenho computacional;

◦ quais as melhores formulações para problemas específicos em eletromagnetismo (baixas e altas freqüências / domínio do tempo )?

◦ etc.

 Apresentaremos algumas das soluções

geradas em nosso grupo de pesquisa na UFMG.

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Distribuição de Nós Nó Y(cm) X(cm)

 Viana, Simone A. ; Mesquita, R.C. . Moving least square

reproducing kernel method for electromagnetic field

computation. IEEE Transactions on Magnetics, New York, v. 35, n. 3, p. 1372-1375, 1999.

 PARREIRA, Guilherme F. ; FONSECA, Alexandre R.; LISBOA,

Adriano C. ; SILVA, Elson José da ; MESQUITA, R. C. . Efficient Algorithms and Data Structures for Element-free Galerkin Method. IEEE Transactions on Magnetics, New York, v. 42, n. 4, p. 659-662, 2006.

 Fonseca, Alexandre R. ; Viana, Simone A. ; Silva, Elson J. ;

Mesquita, R.C. . Imposing boundary conditions in the Meshless local Petrov Galerkin method. IET Science Measurement & Technology, v. 2, p. 387, 2008.

Boundary nodes Inner nodes

m

j

Nodes that influence the node m shape-function. Nodes that influence the node j shape-function. j j i k _i 1 _j _k m _m _n _l m l n MLPG

 Guimarães, Frederico G. ; Saldanha, Rodney R. ; Mesquita,

Renato C. ; Lowther, David A. ; Ramirez, Jaime A. . A Meshless Method for Electromagnetic Field Computation Based on the Multiquadric Technique. IEEE Transactions on Magnetics, v. 43, p. 1281-1284, 2007. 0 20 40 60 80 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 25 30 35 40 45 50 55 60 10 15 20 25 30 35 40 45 50

 Coppoli, Eduardo H. R. ;

MESQUITA, R. C. ; Silva, Renato S. Periodic Boundary Conditions in Element Free Galerkin Method.

COMPEL – The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and

Electronic Engineering, vol. 28, p. 922-934, 2009

 E.H.R. Coppoli, R. C. Mesquita, R. S. Silva - Field-Circuit Coupling With Element-Free Galerkin

Method, 14th Biennial IEEE

Conference on Electromagnetic Field Computation – CEFC

(Chicago, maio 2010).

EFG com interpolating moving least squares

 FONSECA, Alexandre R. ; MENDES, Miguel L. ; Mesquita, Renato

C. ; SILVA, Elson J. da . Mesh Free Parallel Programming for Electromagnetic Problems. Journal of Microwaves ,

Optoelectronics and Electromagnetic Applications, vol. 8, p. 101S-113S, 2009. Update Electric Field Thread 1 Join Threads Update Magnetic Field Thread 1 Update Field Thread 2 Magnetic Update Field Thread N Magnetic Initialize nodes Update Electric Field Thread 2 Update Electric Field Thread N Join Threads j

K

f

 Alexandre R. Fonseca, Bruno C.

Corrêa, Elson J. Silva and Renato C. Mesquita - Improving the Mixed Formulation for Meshless Local Petrov–Galerkin Method, IEEE

Transactions on Magnetics (2010), v. 46, p. 2907-2910, 2010.

 Nicomedes, Williams L. ; MOREIRA,

Fernando José da Silva ; MESQUITA, R. C. . Electromagnetic Scattering Problem

Solving by an Integral Meshless-Based Approach. Aceito para publicação no COMPEL – Journal of Computations and Mathematics in Electrical Engineering, 2010 .

 Nicomedes, Williams L. ; MESQUITA,

R.C., Moreira, Fernando J. S. - 2D Scattering Integral Field Equation Solution through an IMLS Meshless-Based Approach, IEEE Transactions on Magnetics, 2010, v. 46, p. 2783-2786, 2010

 Bruno C. Corrêa, Elson J. Silva, Alexandre R. Fonseca, Diogo B. Oliveira

& Renato C. Mesquita - Meshless Local Petrov-Galerkin in Solving Microwave Guide Problems, 14th Biennial IEEE Conference on

Electromagnetic Field Computation – CEFC (Chicago, EUA, maio 2010)

Case Iris RPIMP 2D (GHz) FEM 3D (GHz)

1 a/8 9.255 9.251 2 a/4 9.168 9.169 3 a/2 8.765 8.768 4 7a/8 8.6 7.585 Frequency [Hz] |E | e le ct ric fi el d [V /m ] 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 0.005 0.01 0.015 0.02



2009 SBMO/IEEE MTT International

Microwave & Optoelectronics Conferenc

e

(IMOC 2009 –novembro, 2009):

 Williams L. Nicomedes, Renato C. Mesquita and

Fernando J. S. Moreira - A Local Boundary Integral Equation (LBIE) Method in 2D Electromagnetic Wave Scattering, and a Meshless Discretization Approach (p. 133-137).

 Williams L. Nicomedes, Renato C. Mesquita and

Fernando J. S. Moreira - The Unimoment Method and a Meshless Local Boundary Integral Equation (LBIE) Approach in 2D Electromagnetic Wave

 Williams L. Nicomedes, Renato C. Mesquita, Fernando J. S.

Moreira - A Meshless Local Boundary Integral Equation Method for Three Dimensional Scalar Problems. 14th Biennial IEEE

Conference on Electromagnetic Field Computation – CEFC (Chicago, EUA, maio 2010). Aceito para publicação no IEEE Transactions on Magnetics.

 PARREIRA, Guilherme Fonseca ; SILVA, Elson José da ; FONSECA,

Alexandre Ramos ; MESQUITA, R. C. . The Element-free Galerkin Method in 3-Dimensional Electromagnetic Problems. IEEE

 Luciano C. A. Pimenta, Miguel L. Mendes, Renato C. Mesquita, and Guilherme

A. S. Pereira, Fluids in Electrostatic Fields: An Analogy for Multi-Robot Control, IEEE Transactions on Magnetics, v. 43, 2007.

 Luciano C. A. Pimenta ; Nathan Michael ; MESQUITA, R. C. ; Guilherme A. S.

Pereira ; Vijay Kumar . Control of Swarms Based on Hydrodynamic Models.

Naísses Z. Lima; Renato C. Mesquita; Marcos L. Assis Jr., Framework for meshless methods using generic programming, 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation – CEFC (Chicago, EUA, maio 2010)

 Métodos sem malha são alternativa interessante

aos métodos baseados em malhas;

 Há muito ainda para desenvolver:

◦ Gerar implementações ainda mais eficientes;

◦ Investigar as formulações mais adequadas para os diversos tipos de problemas eletromagnéticos;

◦ Novos tipos de funções de interpolação:

 Por exemplo, seria possível desenvolver o equivalente aos

elementos de aresta (funções de interpolação vetoriais) sem uma malha?

 Estamos trabalhando ativamente nessas

 Ao mesmo tempo, há muitas

questões

matemáticas

◦ Vários dos métodos ainda não têm estimativas teóricas de convergência;

◦ Existem algumas técnicas que desenvolvemos que não temos certeza se funcionariam corretamente em todas situações;

  É um campo vasto de pesquisa para

Engenheiros, Matemáticos, Físicos, ...