Filtros e Redes: 2 - Definições e Resultados Básicos: Filtro: Seja X um conjunto. Tome F P(X), com F. F é dito ser um filtro e X se:

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Filtros e Redes: 1 - Introduc¸˜ao:

Em 1915, um artigo de E.H. Moore apareceu no ”Proceedings of the National Academy of Sciences U.S.A” intitulado Definition of limit in general integral analysis. Esse artigo gerou a teoria de convergência de Moore e H.L. Smith que apareceu no artigo A general theory of lim-its publicado no ”American Journal of Mathematics” em 1922. Em 1937, G. Birkhoff aplicou a teoria de convergência de Moore-Smith em um artigo intitulado Moore-Smith convergence in general topology, o qual apareceu no ”Annals of Mathematica”. Em 1940, J.W. Tukey fez uso extensivo da no¸cão de convergência de Moore-Smith em seu livro intitulado Convergence and uniformity in topology publicado no ”Annals of Mathematics Studies series” Tukey trabal-hou com objetos que são generaliza¸cões de seqüências que são um caso especial do que hoje chamamos de redes.

Uma teoria equivalente de convergência usando objetos chamados filtros surgiu por volta de 1930, desenvolvida pelo grupo Bourbaki, na Fran¸ca. Em- bora a teoria dos filtros seja a teoria de convergência preferida pela maioria dos topólogos, existem situa¸cões em que seu uso se torna extremamente delicado. Por exemplo, no estudo dos superespa¸cos de um espa¸co uniforme, os objetos dos superespa¸cos são subconjuntos do espa¸co original. Dessa forma, filtros, que são cole¸cões de subconjuntos de um espa¸co, se tornam dif´ıceis de serem constru´ıdos em um superespa¸co.

Neste trabalho, vamos estudar ambas as no¸cões de convergência; mais precisamente a no¸cão de rede, ou no¸cão de convergência de Moore-Smith e a no¸cão de filtro ou no¸cão de convergência de Bourbaki. Vamos caracterizar várias no¸cões importantes como a de continuidade e compaci-dade, no contexto de espa¸cos topológicos via ambas as no¸cões de convergência. Nosso projeto culminará com a leitura do artigo [4] de Djamel Deghoul. Nesse artigo, o autor construiu um homomorfismo complexo na álgebra de Fréchet Hb(l2) que se anu- la em todo o polinômio

homogêneo de grau ´ımpar e que é diferente da evalua¸cão no ponto 0. Este resultado é uma resposta (negativa) para uma questão proposta por Aron, Cole e Gamelin em [1]. A constru¸cão do homomorfismo de Deghoul é interessante, e, ao mesmo tempo, surpreendente, pois o que Deghoul de fato constrói é uma base de filtro em l2 consistindo em subconjuntos de sua bola fechada unitária com determinadas propriedades.

2 - Definiç ões e Resultados Básicos: 2.1 - Filtro:

Seja X um conjunto. Tome F ⊂ P(X), com F 6= ∅. F ´e dito ser um filtro e X se:

i) ∅ 6∈ F

ii) F1 e F2 ∈ F ⇒ F1 ∩ F2 ∈ F

iii) F1 ∈ F e F1 ⊂ F2 ⇒ F2 ∈ F

2.2 - Base de Filtro:

Seja X um conjunto. Tome B ⊂ P(X), com B6= ∅. B ´e dito ser uma base de filtro em X se: i) ∅ 6∈ B

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O filtro gerado por B ´e dado por FB = {C ⊂ X: C⊃ F para algum F ∈ B}.

2.3 - Convergˆencia de Filtro:

Seja X um espa¸co topol´ogico, x ∈ X , e seja Nx a cole¸c˜ao de todas as vizinhan¸cas de x.

Seja F um filtro em X.

Dizemos que F converge para x, em s´ımbolos, F → x se F ⊃ Nx, o filtro vizinhan¸ca de

x.

Se F converge para um único ponto x escrevemos limF = x. 2.4 - Seja B uma base de filtro em X e f: X → Y uma fun¸cão. Então:

f(B): = {f(B): B ∈ B } ´e uma base de filtro em Y. 2.5 - Teorema do Ultrafiltro:

Dada uma base de filtro B em X, existe um ultrafiltro U em X tal que B ⊂ U . Um filtro ´e chamado de ultrafiltro, se este ´e um filtro maximal.

2.6 - Seja U um ultrafiltro em X e f: X → Y uma fun¸c˜ao.

Então, f(U ) é uma base de filtro em Y. Mais ainda: f(U ) gera um ultrafiltro em Y. 2.7 - Seja X um espa¸co topológico de Haussdorff e seja U ⊂ X um ultrafiltro.

Se existe A ⊂ U , A compacto, ent˜ao U ´e convergente. Mais ainda, seu limite pertence ao conjunto A.

2.8 - Conjunto Dirigido:

Seja X um conjunto e assuma que uma rela¸cão R é tal que para cada par de pontos x, y de X, a afirma¸cão xRy é verdadeira ou falsa. Assumimos que esta rela¸cão é reflexiva e transitiva. Um conjunto com estas rela¸cões é chamado de conjunto parcialmente ordenado, ou resumidamente poset.

Um conjunto dirigido de X ´e um poset com a seguinte propriedade adicional: para cada x, y ∈ X, existe z ∈ X tal que zRx e zRy.

2.9 - Rede:

Uma rede é uma fun¸cão definida em algum conjunto dirigido. Por exemplo, uma seqüência é um caso especial de rede. Em geral, se X é um conjunto, uma rede em X, ou uma rede de pontos de X, é uma fun¸cão de algum conjunto dirigido D para X. Escreveremos uma rede como (xδ: D).

2.10 - Base de Filtro Associada a uma Rede:

Suponha que B é uma base de filtro em X, e suponha que para cada δ ∈ B, um certo ponto xδ ∈ δ é especificado. Assim (B, ⊂) é um conjunto dirigido, e então (xδ: B) é uma rede em

X. Dada uma base de filtro B, referiremos a alguma rede obtida desta forma como uma rede associada a B.

2.11 - Filtro Associado a uma Rede: Seja (xδ: D) uma rede em X.

Seja F = {A⊂X: xδ ∈ A eventualmente}. Logo F ´e um filtro. F ´e chamado o filtro

associado `a rede (xδ: D).

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2.12 - ´Algebra Complexa:

Uma álgebra complexa é um espa¸co vetorial A sobre o corpo com uma multiplica¸cão que ´

e associativa e distributiva com respeito à adi¸cão e multiplica¸cão por escalar. Isto é: x(yz) = (xy)z;

(x+y)z = xz + yz; x(y+z) = xy + xz; α(xy) = (αx)y = x(αy) para quaisquer x, y, z ∈ A e para todo α ∈ C.

2.13 - Polinˆomio m-homogˆeneo: Seja E um espa¸co de Banach.

Uma aplica¸c˜_{ao P: E → C ´e dita um polinˆ}omio m-homogˆ_{eneo de E em C se existe A ∈} La(mE;C) tal que P(x) = Axm para todo x ∈ E. Escrevemos P = ˆA para expressar que P e A

se correspondem da forma indicada. 2.14 - S´erie de Taylor:

Sejam E, F espa¸cos normados e U um aberto não vazio de E. Dizemos que uma fun¸cão f: U → F tem uma expansão em Série de Taylor em um ponto ξ ∈ U se existe uma série de potências ∞ X m=0 Pm(x - ξ) = ∞ X m=0 Am(x - ξ)m

de E para F centrada em ξ tal que a s´erie de potˆencias converge para f uniformemente na bola Br(ξ) ⊂ U para algum r>0.

2.15 - Fun¸c˜oes Anal´ıticas

Uma fun¸cão f:U→F é dita ser anal´ıtica em U se tem uma expansão em série de Taylor em cada ponto ξ ∈ U.

3 - A ´Algebra de Fr´echet Hb(E)

Seja E um espa¸co de de Banach. Definimos:

Hb(E) = {f: E→ C: f ´e anal´ıtica em E e limitada nas partes limitadas de E}

Temos que Hb(E) é uma álgebra com adi¸cão, multiplica¸cão por escalar e multiplica¸cão

definidas pontualmente.

Topologia em Hb(E)

Para cada s>0 e para cada f ∈ Hb(E), defina

ps(f) = sup |f(x)|

kxk ≤ s

Temos que (ps)s>0 ´e uma fam´ılia de (semi)normas em Hb(E). Mais ainda, (ps)s>0 ´e uma

fam´ılia separante de (semi)normas, ou seja, para cada f 6= 0, existe ps tal que ps(f) 6= 0.

Pelo Teorema 1.37 de [7], a fam´ılia (ps)s>0gera uma topologia localmente convexa em Hb(E),

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V(ps;ε) = {f ∈ Hb(E): ps(f) < ε},

onde ε >0.

3.1 - Pelo que apresentamos acima (Hb(E), τ ) é de fato uma álgebra de Fréchet. A topologia

τ é a topologia da convergência uniforme nas partes limitadas de E. Isto é; seja (fn) uma

seq¨uˆencia em Hb(E) e f ∈ Hb(E). Temos que:

fn τ

−→ f ⇔ Para todo L ⊂ E limitado, fn → f

(Lembre que: fn τ

−→ f significa dizer que para toda vizinhan¸ca V de f, existe n0 ∈ N tal que

fn ∈ V para todo n≥n0).

Chamemos τ ’ `a topologia localmente convexa em Hb(E) dada pela fam`ılia (pn)n∈N. Temos

que τ = τ ’ e portanto (Hb, τ ) ´e metriz´avel (ver [7]).

3.2 - (Hb(E), τ ) é completo. Com isto, (Hb(E), τ ) é uma álgebra de Fréchet.

3.3 - Para todo m ∈ N, P(mE) ⊂ Hb(E).

4 - Problema Proposto:

Tome ϕ: Hb(E) → C homomorfismo cont´ınuo.

Defina,

ϕm := ϕ: P(mE) → C e kϕmk:= sup {|ϕ(P)|: P ∈ P(mE) e kPk ≤ 1}

Em [1], Aron, Cole e Gamelin perguntam se lim

m→∞kϕmk

1/m _{sempre existe.}

A resposta a este problema foi dada por Djamel Deghoul em [4]. Ela é negativa. Neste trabalho vamos apresentar a constru¸cão do contra-exemplo de Deghoul que consiste na con-stru¸cão de um homomorfismo cont´ınuo ϕ: Hb(l2) → C tal que ϕ(P)=0, ∀P ∈ P(nl2) com n

´ımpar e ϕ(Q)=1, onde Q(x) = X

n

x2_n.

5 - Como o Homomorfismo Acima Responde a Pergunta Acima?

Como kϕmk:= sup {|ϕ(P)|: P ∈ P(mE) e kPk ≤ 1} e kPk = 0 para todo P ∈ P(ml2), n

´ıimpar, segue que kϕ2m+1k = 0, para todo m ∈ N .

Agora, como ϕ(Q) = 1, Q ∈ P(2l2) e kQk = 1, n´os temos que kϕ2k ≥ 1.

Da´ı, e pelo fato de ser um homomorfismo segue que kϕ2mk ≥ 1, para todo m ∈ N . Isto

mostra que 6 ∃ lim

m→∞kϕmk 1/m_.

6 - Construc¸˜ao de ϕ

A id´eia consiste na constru¸c˜ao de uma base de filtro B em l2 _{formada por subconjuntos de}

sua bola unit´aria fechada Bl2(0,1) com as seguintes propriedades:

1. Q ≡ 1, Q restrito a B, para todo B ∈ B onde Q(x) =X

n

x2_n.

2. Todo polinômio n-homogêneo, com n ´ımpar, é identicamente nulo em pelo menos um elemento de B. Isto é:

∀n ∈ N , n ´ımpar e ∀P ∈ P(2_l

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7 - Porque a Construc¸˜ao Acima funciona?

Suponhamos que existe tal base de filtro. Por (2.5), n´os podemos consi- derar U um ultra-filtro tal que B ⊂ U .

Tome f ∈ Hb(l2). Considere Ff (U ) o filtro gerado pela base de filtro f(U ) = {f(U): U ∈ U }.

Note que f(U ) ´_{e uma base de filtro em C.} Por (2.6), Ff (U ) ´e um ultrafiltro.

Como B ⊂ P(Bl2(0,1)), onde B_l2(0,1) ∈ U . Da´ı, f(B_l2(0,1)) ∈ f(U ). Como f(B_l2(0,1)) ⊂

∆(0,ps(f)), segue que ∆(0,ps(f)) ∈ Ff (U ).

Por (2.7), Ff (U ) é convergente e seu único limite pertence ao conjunto Ff (U ). Defina, então,

a seguinte fun¸c˜ao,

ϕ: Hb(l2) → C

f 7→ ϕ(f) = lim f(U ) N´os temos que:

a) ϕ está bem definida, já que lim f(U ) existe e é único. b) U é um homomorfismo.

c) ϕ ´e cont´ınua, j´a que |ϕ(f)| ≤ p1(f), para todo f ∈ Hb(l2).

d) ϕ(Q) = 1.

De fato, tome B ∈ B. Ent˜ao Q(B) = {1}

Logo, {1} ∈ Q(U ). Isto implica que o filtro das vizinhan¸cas de {1}, V{1} ´e tal que

V{1} ⊂ filtro gerado por Q(U )

Portanto: Q(U ) → {1}, o que significa que ϕ(Q) = 1.

e) ϕ(P) = 0 para todo polinômio n-homogêneo P, n ´ımpar (o racioc´ınio segue análogo ao item anterior).

Existˆencia de B:

Fixe n ∈ N. Tome P1, ..., Pn polinˆomios homogˆeneos de grau ´ımpar. Defina:

A(P1, ..., Pn) = {x ∈ l2(R): kxk = 1, P1(x) = ... = Pn(x) = 0}.

Se os conjuntos acima são não vazios, então eles formam a base de filtro B desejada. De fato, suponhamos que tais conjuntos são nõ vazios. Coloque:

B = [

n∈N

{A(P₁, ..., Pn): P1, ..., Pn são polinômios homogêneos de grau ´ımpar}.

Temos que B ´e uma base de filtro em l2 _{formada de subconjuntos em B}

l2(0,1) com Q(B) ≡

1 para todo B ∈ B e para todo P ∈ P(k_l

2), k ´ımpar, existe B ∈ B tal que P(B) ≡ 0.

Para provarmos que A(P1, ..., Pn) são conjuntos não-vazios é suficiente mostrarmos que

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s˜ao conjuntos n˜ao-vazios.

Considerando as partes reais e as partes imagin´arias dos polinˆomios Pk, o resultado segue

do lema abaixo cuja demonstra¸c˜ao utiliza um resultado de K. Borsuk: Lema:

Sejam E um espa¸co vetorial real e P1, ..., Pn polinˆomios (reais) homogˆeneos de grau ´ımpar.

Então, se dim E > n, existe um vetor não-nulo em E para o qual todos os polinômios Pk se

anulam.

8 - Referˆencias Bibliogr´aficas:

[1] Aron, R.M, Cole, B.J, Gamelin, T.W., Spectra of algebras of analytic functions on a Banach space,Journal f¨ur die reine angewandre Mathematik, 415 (1991), 51-93

[2] Bourbaki, N.,Topological Vector Spaces, Springer-Verlag, 1987.

[3] Chae, B.S.,Holomorphy and Calculus in Normed Spaces, Marcel Dekker, Inc., 1985. [4] Deghoul, D. Construction de caractères exceptionnels sur une algèbre de Frćhet,C.R. Acad. Sci Paris, 312, Série I (1991), 579-580.

[5] Dineen, S.,Complex Analysis in Locally Convex Spaces, North-Holland Math., 1981. [6] Howes, N.R.,Modern Analysis and Topology, Springer-Verlag, 1995.

[7] Rudin, W.,Functional Analysis, 2 edi¸c˜ao, Mc Graw-Hill International Editions, 1991

Laurent Marcos Prouv´ee

Aluno de gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal Fluminense (UFF) Orientadora: Professora Cec´ılia de Souza Fernandez