Geometria Plana 03 Prof. Valdir

www.cursosimbios.com.br 1

Geometria Plana 03

Prof. Valdir

Prof. Valdir

Prof. Valdir

Prof. Valdir

PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO 1. BARICENTRO

É o ponto de equilíbrio ou centro de gravidade do triângulo.

O baricentro coincide com o ponto de intersecção das medianas do triângulo (na figura a seguir = G).

Mediana – é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio

do lado oposto.

AM – mediana relativa ao lado BC BN – mediana relativa ao lado AC CP – mediana relativa ao lado AB

Propriedades:

a) O baricentro divide cada mediana em dois segmentos na razão de

2 para 1.

Justificativa:

Considerando a figura anterior, como M é médio de AB e N é médio de AC, teremos:

MN // AB e AB = 2.MN

De MN // AB, então ∇ MNG ∼∇ABG. Assim:

AG = 2.GM BG = 2.GN CG = 2.GP

b) Uma mediana divide o triângulo em dois triângulos de mesma

área;

Veja: Os triângulos AMC e AMB têm bases iguais (CM = BM) e AH como altura. Assim, eles têm áreas iguais.

c) As três medianas dividem o triângulo em seis triângulos de

mesma área.

Como consequência da propriedade a), temos que: A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6.

2. INCENTRO

É o centro da circunferência inscrita no triângulo.

O incentro coincide com o ponto de intersecção das bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo.

Bissetriz interna – é o segmento de reta que une um vértice com o

lado oposto formando dois ângulos de mesma medida. AM – bissetriz do ângulo Â

BN – bissetriz do ângulo B CP – bissetriz do ângulo C

Teoremas:

1) Teorema das bissetrizes internas:

“A bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina sobre o

lado oposto dois segmentos de reta de medidas proporcionais aos dois lados que formam o referido ângulo.”

Se AM é a bissetriz do ângulo Â, então, pode-se afirmar que:

Demonstração:

Aplicando a lei dos senos nos triângulos ACM e ABM da figura a seguir, teremos: CM BM = AC AB G P _N B M A C H A C _B M A5 A1 A6 A3 A2 A4 A G B C ⇒ I é o incentro do ∇ABC I P N B M A C

www.cursosimbios.com.br 2 No triângulo ACM: α θ CM AC = sen sen (1) No triângulo ABM : β BM AB = senα sen (2)

Como β + θ = 180, temos que senθ = senβ. Assim, dividindo (1) por

(2), vem que: β CM AC senα ₌ senθ BM AB senα sen ⇒ CM=AC BM AB (Provado)

2) Teorema da bissetriz externa

“Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela divide este lado oposto externamente em segmentos proporcionais aos lados adjacentes”. :

Demonstração:

Aplicando a lei dos senos nos triângulos ACP e ABP da figura a seguir, teremos: No triângulo ACM: ) α θ CP AC = sen(180° - sen (1) No triângulo ABM : θ BP AB = senα sen (2)

Como sen(180°-α) = senα, dividindo (1) por (2), teremos:

θ CP AC sen(180° - α) ₌ senθ BP AB senα sen ⇒ CP=AC BP AB (Provado) 3. CIRCUNCENTRO

É o centro da circunferência circunscrita no triângulo.

O circuncentro coincide com o ponto de intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo.

Mediatriz de um segmento de reta – é o lugar geométrico do plano

cujos pontos são equidistantes dos extremos do segmento.

r – é a mediatriz do lado BC s – é a mediatriz do lado AB

O = r ∩ s – Circuncentro do triângulo ABC

Então, AO, BO e CO são segmentos de reta que têm a mesma medida do raio da circunferência que passa por A, B e C.

Observações:

a) Num triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio da

hipotenusa e a mediana relativa à hipotenusa tem o comprimento do raio da circunferência circunscrita. (AO = BO = CO = raio, onde BO é a mediana relativa à hipotenusa).

b) O circuncentro (O) de um triângulo obtusângulo é um ponto

exterior ao triângulo. (0° < α < 180°) O A B C r s A C B O CP BP = AC AB B α α A C M θ B α α A C P 180° - α A C B O α

www.cursosimbios.com.br 3 O A P N C B _M 4. ORTOCENTRO

É o ponto de intersecção das alturas de um triângulo.

AM – é a altura relativa ao lado BC. BN – é a altura relativa ao lado AC.

CP − é a altura relativa ao lado AB.

O – é o ortocentro do triângulo ABC.

Observações:

a) No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e,

no triângulo obtusângulo, é um ponto exterior ao triângulo.

b) O triângulo cujos vértices são os pontos M, N, P é chamado de

triângulo órtico. O ortocentro (O) do triângulo ABC é o incentro do triângulo órtico. Ou seja, a circunferência inscrita no triângulo MNP tem centro no ponto O.

c) Os pontos A, P, M e C pertencem à circunferência de diâmetro

AC. Assim como os pontos A, N, M e B pertencem à circunferência de diâmetro AB e os pontos B, P, N e C pertencem à circunferência de diâmetro BC.

Exercícios resolvidos:

01. Dado o triângulo ABC cujos lados medem AB = 10 cm, AC = 8 cm e

BC = 12. Seja AS o segmento de reta que passa pelo centro da circunferência inscrita no triângulo ABC e AM a mediana relativa ao lado BC. Determine o comprimento do segmento de reta SM.

Resolução:

Pelo texto, AS é bissetriz do ângulo A. Assim, pelo teorema das bissetrizes internas, vem que:

⇒ CS BS CS 12 - CS = = 8 10 4 5 ⇒ 16 CS = 3 ⇒

Como AM é mediana, temos que: CM = 6 cm. Assim, teremos:

SM = CM – CS = 6 –16

3 ⇒ SM =

2

3 cm

Resposta: SM = 2/3 cm

02. Seja o triângulo ABC de lados AB, BC e AC respectivamente iguais

a 9 cm, 8 cm e 10 cm. Sejam CM e CN as bissetrizes interna e externa do triângulo no vértice C com M e N pontos da reta que contém o lado AB. Assim, calcule o comprimento do segmento de reta MN.

Resolução:

Usando os teoremas das bissetrizes, teremos:

MB 9 - MB = 8 10 ⇒ MB = 4 cm NB 9 + NB = 8 10 ⇒ NB = 36 cm Assim, teremos: MN = MB + NB = 40 cm Resposta: MN = 40 cm (Letra E)

03. Na figura a seguir, ABC é um triângulo retângulo no vértice C, AE

é bissetriz do ângulo BÂC e CD é mediana relativa ao lado AB.

Sabendo-se que o ângulo AÊD mede α e o ângulo CDˆ E mede β,

então calcule α + β. O A P N C B M C B A S M C B A S 8 cm 10 cm M 12 cm 12 – CS A B C α _α θ N M 10 θ 8 9 F A C 20° B D E α β

www.cursosimbios.com.br 4 n.b2 + m.c2 = a(m.n + x2)

Resolução:

O triângulo ABC é retângulo em C. Assim, o ponto D, médio de AB, é o circuncentro do triângulo ABC. O que se pode concluir que CD = BD = AD. Como o triângulo BCD é isósceles, o ângulo DCE mede 20° e o ângulo FCA mede 70°(complemento). Sendo AE uma bissetriz, o ângulo CAE mede 35°. Pelo teorema do ângulo externo, nos triângulos CAF e FED, temos que:

α + β = 70° + 35°

Resposta: αααα + ββββ = 105°.

04. Na figura a seguir, ABC é um triângulo retângulo em B sendo AB =

3 cm e BC = 4cm. O segmento BN é uma bissetriz e BM uma mediana. Sendo assim, calcule a medida do segmento de reta MN.

Resolução:

Considerando MN = x, e aplicando o teorema das bissetrizes internas

no ∆ABC, teremos: AN NC = 3 4 ⇒ 2, 5 - x 2, 5 + x = 3 4 ⇒ 7,5 + 3x = 10 – 4x ⇒ 7x = 2,5 ⇒ x = 5/14 Resposta: 5/14 cm Relação de Stewart

Seja um triângulo ABC e a ceviana CD relativa ao lado BC, sendo D um ponto do lado AB, como mostra a figura a seguir.

Sendo:

x: comprimento da ceviana CD

a, b, c: medidas dos lados do triângulo ABC

m, n: medidas dos segmentos AD e BD, partes do lado AB

A relação de Stewart será:

Demonstração:

Aplicando a lei dos cossenos nos triângulo ACD e BCD, teremos:    2 2 2 2 2 2 b = m + x - 2.x.m.cosα c = n + x - 2x.n.cosβ

Como cosα = – cosβ, teremos:

   2 2 2 2 2 2 b = m + x + 2.x.m.cos β c = n + x - 2x.n.cos β

Multiplicando a 1ª equação por n e a 2ª por m, teremos:    2 2 2 2 2 2 b n = m n + x n + 2.x.m.n.cos β c m = n m + x m - 2x.n.mcos β Adicionando as duas equações, teremos:

b2n + c2m = m2n + n2m + x2m + x2n ⇒

b2n + c2m = mn(m+n) + x2(m + n) ⇒

n.b2 + m.c2 = (m + n).(m.n + x2) ⇒

Como m + n = a, vem que:

n.b2 + m.c2 = a(m.n + x2) (Relação de Stewart) Exercícios resolvidos:

01. Seja o triângulo ABC cujos lados AB, BC e AC medem,

respectivamente 8 cm, 9 cm, 10 cm. Determine o comprimento da mediana BM relativa ao lado AC.

Resolução:

Aplicando a relação de Stewart, teremos:

n.b2 + m.c2 = a.(m.n + x2) ⇒ 5.82 + 5.92 = 10.(5.5 + x2) ⇒

320 + 405 = 250 + 10.x2 ⇒ x2 = 47,5 ⇒

Resposta: x ≅≅≅≅ 6,9 cm.

02. Seja o triângulo ABC cujos lados AB, BC e AC medem,

respectivamente 8 cm, 10 cm, 9 cm. Determine o comprimento da bissetriz BS relativa ao vértice B.

Resolução:

Calculando m e n pelo teorema das bissetrizes internas.

m n = 8 10

⇒

⇒

n.b2 + m.c2 = a.(m.n + x2) ⇒ 5.82 + 4.102 = 9.(4.5 + x2) ⇒ 320 + 400 = 405 + 9.x2 ⇒ x2 = 35 ⇒ x ≅ 5,9 cm Resposta: x ≅≅≅≅ 5,9 cm C A α a b D B c β m n x B A 10 8 M C 9 5 5 x B A 9 8 S C 10 m n x α α 3 cm 4 cm B A N M C

www.cursosimbios.com.br 5 i = Si / n

e = S

POLÍGONOS CONVEXOS

Observando o polígono ABCD ... da figura anterior, teremos:

1. ELEMENTOS

⇒ A, B, C, D, ... – vértices do polígono.

⇒ AB, BC, CD, … – lados do polígono.

⇒ AC, AD, BD, ... – diagonais do polígono.

⇒ i1, i2, i3, ... – medidas dos ângulos internos.

⇒ e1, e2, e3, ... – medidas dos ângulos externos.

2. SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS (Se)

Considerando um polígono convexo de n lados, a soma dos seus ângulo externo será dada por:

Demonstração:

Observa-se que e1, e2, e3, ... en, são os desvios angulares, em cada, vértice quando consideramos uma trajetória que coincide com o polígono. Assim, para efetuar uma volta completa em, cominhando pelos lados do polígono, o desvio angular é de 360°. Dessa forma,

e1 + e2 + e3 + ... + en = 360° ⇒ Se = 360° (Provado)

3. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS (Si)

Considerando um polígono convexo de n lados, a soma dos ângulos internos do polígono será dada por:

Demonstração:

Observa-se que, em cada vértice do polígono, a soma das medidas dos ângulos interno e externo é 180°. Então:

Adicionando as n parcelas, teremos:

e1 + e2 + e3 + ... + en + i1 + i2 + i3 + ... in = n.180° ⇒

360° + Si = 180°.n ⇒

Si = 180°.n – 360° ⇒

Si = (n – 2).180° (Provado)

Obs.: Num polígono regular, lados e ângulos são congruentes. Logo,

teremos:

i1 = i2 = i3 = ... = i ⇒

e1 = e2 = e3 = ... = e ⇒

4. NÚMERO DE DIAGONAIS DO POLÍGONO

O número de diagonais (D) de um polígono convexo de n lados é dado por:

Demonstração:

Diagonal é um segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de um polígono convexo. Portanto, (n – 3) é o número de diagonais que saem de cada vértice. Ou seja, de um vértice não sai diagonal para ele mesmo e nem para os dois vértices consecutivos a ele.

Conclui-se, então, que o número total de diagonais de um

polígono convexo de n vértices é dado por n.(n - 3)

2 (Provado)

Obs1.: Se o polígono for regular de n lados, teremos:

a) Se n for par, n/2 diagonais passam pelo seu centro e assim,

teremos n.(n – 4)/2 diagonais que não passam pelo seu centro.

b) Se n for ímpar, então nenhuma diagonal passa pelo centro do

polígono.

Obs. 2.: Todo polígono regular é inscritível e circunscritível em uma

circunferência.

Exercícios resolvidos:

01. Um polígono convexo de 15 lados tem as medidas de seus

ângulos internos em progressão aritmética de razão igual a 2°. Determine o maior ângulo interno desse polígono.

Resolução:

Se os ângulos internos formam uma PA crescente de razão 2º, então,

o termo central (i8) é a média aritmética das medidas dos ângulos

internos. Assim, i o 15 n 8 S S (15 - 2).180 = = = = 156° n 15 15

A medida do maior ângulo interno será: i15 = i8 + 7.r ⇒ i15 = 156° + 7.2° =170° Resposta: 170° Si = (n – 2).180° i1 A e4 i4 i3 i2 e2 e1 e3 D C B . . . Se = 360° e1 + i1 = 180° e2 + i2 = 180° e3 + i3 = 180° ⋮ ⋮ ⋮ en + in = 180° n.(n - 3) D = 2

www.cursosimbios.com.br 6 02. Um polígono convexo tem dois ângulos de 150º e os outros

medem 155º. Determine o número de diagonais desse polígono.

Resolução:

Se i1 = 150º ⇒ e1 = 30º e i2 = 155º ⇒ e2 = 25º. Assim, como a soma

dos ângulos externos é 360°, teremos: 30° + 30° + 25° + 25° + 25° + L = 360° ⇒ 60° + (n – 2).25° = 360º ⇒

(n – 2).25° = 300° ⇒ n – 2 = 12 ⇒ n = 14

Calculando o número de diagonais, teremos: D = n.(n - 3)

2 ⇒ D =

14.(14 - 3)

2 ⇒ D = 77

Resposta: 77 diagonais.

03. No polígono regular ABCDEF... o número de diagonais é o triplo

do número de lados. Sendo assim, determine a medida do ângulo formado pelas diagonais AC e AE desse polígono. (Lembrete: todo polígono regular é inscritível).

Resolução:

Sendo n o número de lados, teremos: n.(n - 3)

= 3.n

2 ⇒ n

2

– 9n = 0 ⇒ n = 9 (eneágono) Inscrevendo o eneágono em um círculo, teremos:

Como o polígono tem 9 lados, vem que:

 360o o

CD = = 40

9 ⇒

 CE = 80°

Como α é um ângulo inscrito, teremos:

 CE α =

2 ⇒ α = 40°

Resposta: 40°

02. Cerâmicas pentagonais regulares foram usadas para compor o

piso de uma sala, como mostra a figura a seguir. Observa-se que, ao compor o piso, entre as peças justapostas aparece um espaço vazio na forma de um estrela de cinco pontas chamada pentagrama. Considerando a figura e as informações do texto, determine:

a) A medida do ângulo θ de cada ponta da estrela.

b) A distância entre duas pontas consecutivas da estrela sabendo-se

que a medida do lado da cerâmica pentagonal é 10 cm e cos 108° = - 0,3.

Resolução:

a) Da soma dos ângulos externos do pentágono regular, teremos: 5.e = 360° ⇒ e = 72° ⇒ i = 108°

Assim, no piso, teremos:

θ + i + i + i = 360° ⇒ θ + 3. 108° = 360° ⇒ θ = 36°

Resposta: θθθθ = 36°

b) A distância entre duas pontas consecutivas da estrela é igual à medida da diagonal AC do pentágono regular. Assim, aplicando a lei dos cossenos no triângulço ABC, teremos:

AC2 = 102 + 102 – 2.10.10.cos 108° ⇒ AC2 = 200 – 200.(-0,3) AC₌ 260 ⇒ AC₌2 65 m Resposta: AC = 2 65 m A B C D G F E α θ e i A C B 10 m 10 m