EAE 5706: Microeconomia II: Teoria dos Jogos

EAE 5706: Microeconomia II: Teoria dos Jogos

Estratégias Dominantes e Dominadas

Marcos Y. Nakaguma

14/08/2017

1

Revisão

Na aula passada, vimos como representar os jogos nasformas extensivaenormal:

Γ_{E = fI , X , A, p( ), α( ), H, H( ), ı ( ) , ρ ( ) , ug} e

Γ_{N = fI , fSig , fuigg}

Vimos que uma estratégia purasi :H_i ! A, é um plano contingente

completoque especi…ca como um jogador atua em cada um dos seus conjuntos de informação.

Oconjunto de estratégias purasdisponíveis para um jogador i é dado por:

Si = H2HiC(H),

onde C (H) é o conjunto de possíveis ações no conjunto de informação H.

2

Revisão

De…nimos também umaestratégia mistacomo uma função

σi :S_i ! [0, 1] que atribui probabilidade σ_i(s_i) 0 para cada estratégia pura si 2 Si, com ∑si2Siσi(si) = 1.

Por exemplo, seja Si = fs1i, ...,sMig o conjunto de estratégias puras

do jogador i, então oconjunto de estratégias mistasdisponíveis para ele é dado pelo seguinte simplex:

∆ (Si) =

n

(σ1i, ..., σMi) 2 RM :_σmi 0 para m = 1, ..., M e ∑M

m=1σmi = 1

O jogo na forma normal ΓN = [I , f∆ (Si)g , fui( )g] inclui tanto

ao caso de um modelo de competição imperfeita com as seguintes características:

i . Duas …rmas, 1 e 2;

ii . Demanda de mercado, Q(P), com Q : R+!R+;

iii . Demanda inversa, P(Q), com P : R+ !R+;

iv . Cada …rma produz uma quantidade não-negativa, q_i; v . Custo de produção, c_i(q_i), com ci(0) =0.

Note que, neste caso, oconjunto de ações é in…nito, pois o espaço de possíveis quantidades e preços estão em um contínuo.

4

Exemplos Econômicos

Exemplo 1: Modelo de Cournot

I Neste caso, cada …rma escolhe simultaneamente uma quantidade, q₁e

q₂, e o preço de mercado é determinado por P(q₁+q₂).

I Na forma normal, esse jogo é caracterizado pelos seguintes elementos:

i . Conjunto de estratégias: Si = R+, com si = qi;

ii . Funções de payo¤: ui(si,s i) = siP(s1+ s2) c(si) .

5

Exemplos Econômicos

Exemplo 2: Modelo de Bertrand

I Neste caso, cada …rmas escolhe simultaneamente um preço, p

1 e p2, e

a quantidade de mercado é determinada por Q(minfp₁,p2g).

I Na forma normal, esse jogo é caracterizado pelos seguintes elementos:

i . Conjunto de estratégias: Si = R+, com si = pi;

ii . Funções de payo¤: ui(si,s i) = 8 < : Q(si) si c(Q (si)) se si <s i 1 2Q(si) si c(₂1Q(si)) se si = s i 0 se si >s i 6

Exemplos Econômicos

Exemplo 3: Modelo de Stackelberg

I Neste caso, as …rmas escolhem sequencialmente as suas quantidades,

de maneira que a …rma 2 observa a quantidade escolhida da …rma 1. I Na forma normal, esse jogo é caracterizado pelos seguintes elementos:

i . Conjunto de estratégias: S1= R+, com s1= q1; S2= ffunções f : R+! R+g, com s2: R₊! R₊ ii . Funções de payo¤: u₁(s1,s₂) = s1P(s1+ s2(s1)) c1(s1) u₂(s1,s₂) = s2(s1)P (s1+ s2(s1)) c1(s2(s1)) 7

Jogos Simultâneos

Jogos Simultâneos

Nesta seção, estudaremos os chamadosjogos estáticos, em que os agentes atuam ao mesmo tempo e uma única vez.

A análise desses jogos nos permitirá introduzir alguns conceitos básicos de teoria dos jogos, os quais serão gradualmente generalizados à medida que considerarmos jogos mais complexos.

O nosso objetivo principal é realizarprevisõessobre os resultados desses jogos.

10

Estratégias Dominantes e Dominadas

Considere o jogodilema dos prisioneirosrepresentado abaixo: Prisioneiro 2

Prisioneiro 1

DC C

DC -2,-2 -10,-1 C -1,-10 -5,-5

Observe que o resultado(C , C )é o mais plausível, pois "C " é a melhor estratégia de cada jogador paraqualquerescolha de seu oponente.

Uma estratégia como essa é denominadaestratégia estritamente dominante.

11

Estratégias Dominantes e Dominadas

De…nição: Uma estratégia si 2 Si é uma estritamente dominantepara

o jogador i se para todo s_i06= si, tem-se que:

ui(si,s i) > ui(s 0

i,s i), para todo s i 2 S i

Intuitivamente, uma estratégia é estritamente dominante para um jogador se ela maximiza unicamente o seu payo¤ paraqualquer

estratégia que os seus oponentes possam adotar.

Estratégias Dominantes e Dominadas

Note que o resultado (C , C ) éPareto-dominadopor (NC , NC ).

Ambos os jogadores estariam melhor se pudessem se comprometer a não confessar.

Observe que, neste caso, o comportamento auto-interessado não gera um resultado socialmente ótimo, pois as ações de cada agente geram umaexternalidade negativasobre o seu oponente.

13

Estratégias Dominantes e Dominadas

É natural esperar que um jogador utilize a sua estratégia estritamente dominante, caso ela exista. Mas o que ocorre quando ela não existir?

Jogador 2 Jogador 1

a b c

A 5, 5 0, 10 3, 4 B 3, 0 2, 2 4, 5

Observe que, no jogo acima, não há estratégias estritamente

dominantes. Porém, o jogador 2 obtém payo¤ estritamente maior ao escolherb ao invés dea, independentemente da decisão do jogador 1.

Neste caso, diz-se que a estratégia a éestritamente dominada por b.

14

Estratégias Dominantes e Dominadas

De…nição: Uma estratégia si 2 Si éestritamente dominada para um

jogador i se existir outra estratégia s_i0 2 Si tal que:

ui(s 0

i,s i) > ui(si,s i), para todo s i 2 S i.

Neste caso, dizemos que a estratégia s0

i domina estritamentesi.

Note que podemos reescrever a de…nição de dominância estrita da seguinte forma: uma estratégia si 2 Si é estritamente dominantese

De…nição: Uma estratégia si 2 Si éfracamente dominada para um

jogador i se existir outra estratégia s_i0 2 Si tal que:

ui(s 0 i,s i) ui(si,s i), para todo s i 2 S i e ui(s 0

i,s i) > ui(si,s i), para pelo menos um s i 2 S i

Neste caso, dizemos que a estratégia s_i0 domina fracamentesi.

16

Estratégias Dominantes e Dominadas

Exemplo: Observe que, no jogo abaixo, o jogador 1 possui duas estratégias fracamente dominadas, U e M.

Jogador 2 Jogador 1 L R U 5, 1 4, 0 M 6, 0 3, 1 D 6, 4 4, 4

Uma estratégia fracamente dominada não pode ser excluída somente com base no princípio da racionalidade dos agentes.

Por exemplo, o jogador 1 pode escolher M se tiver certeza de que o jogador 2 escolherá L. Caso contrário, M não será uma escolha racional para o jogador 1.

17

Eliminção Iterada das Estratégias Estritamente Dominadas

A lógica da eliminação das estratégias estritamente dominadas pode ser aplicada iteradamente desde que se assuma que aracionalidade

dos agentes écommon knowledge.

Exemplo: Considere, novamente, o seguinte jogo: Jogador 2 Jogador 1

a b c

A 5, 5 0, 10 3, 4 B 3, 0 2, 2 4, 5

i . Se ojogador 2 é racional, então ele nunca escolherá a estratégia a, pois

aé estritamente dominada por b )eliminar a.

ii . Se ojogador 1 é racionalesabe que o jogador 2 é racional, então ele nunca escolherá a estratégia A, pois A é estritamente dominada por B

)eliminar A.

Eliminção Iterada das Estratégias Estritamente Dominadas

(Cont.)

iii . Se ojogador 2 sabe que o jogador 1 é racionalesabe que o jogador 1

sabe que ele é racional, então o jogador 2 nunca escolherá a estratégia b, pois b é estritamente dominada por c ) eliminar b.

iv . Assim, através do processo de eliminação iterada das estratégias estritamente dominadas, obtemos que asoluçãodo jogo é(B, c).

Note que cada iteração adicional requer que o conhecimento dos jogadores sobre aracionalidadede seus oponentes se aprofunde um nível a mais.

19

Eliminção Iterada das Estratégias Estritamente Dominadas

De…nição: Um jogo é pode ser resolvido por dominância estrita ("strict-dominance solvable") se o processo de eliminação iterada das estratégias estritamente dominadas resultar em umúnicoper…l de estratégias.

Uma importante propriedade do processo de eliminação das estratégias estritamente dominadas é que aordem das eliminações

não altera o conjunto de estratégias que permanecem no …nal.

Essa propriedade não é válida para o caso da eliminação das

estratégias fracamente dominadas. Neste caso, a ordem das eliminações é relevante e pode alterar o resultado.

20

Eliminção Iterada das Estratégias Estritamente Dominadas

Exemplo: Considere, novamente, o seguinte jogo: Jogador 2 Jogador 1 L R U 5, 1 4, 0 M 6, 0 3, 1 D 6, 4 4, 4

I Se começarmos eliminando as estratégias U e M do jogador 1,

obtemos como resultado(D, R)ou(D, L).

I Se começarmos eliminando a estratégia U do jogador 1, obtemos como

resultado(D, R).

I Se começarmos eliminando a estratégia M do jogador 1, obtemos como

Os conceitos de estratégias dominantes e dominadas podem ser generalizadas para o caso dasestratégias mistas.

De…nição: Uma estratégia σi 2 ∆(Si) é estritamente dominadapara

um jogador i se existir outra estratégia σ0_i 2 ∆(Si) tal que:

ui(σ

0

i, σ i) > ui(σi, σ i), para todo σ i 2 Πj6=i∆ (Sj) .

Neste caso, dizemos que a estratégia σ0

i domina estritamenteσi.

Uma estratégia σi 2 ∆(Si) éestritamente dominantepara um jogador

i se ela dominar estritamente qualquer outra estratégia em ∆(Si).

22

Estratégias Dominantes e Dominadas

Comooperacionalizar o teste para identi…car as estratégias estritamente dominadas no jogo ΓN = [I , ∆ (Si) , fui( )g]?

I Da de…nição anterior, segue que σ

i 2∆(Si)é estritamente dominada se: u_i(σ 0 i, σ i) >ui(σi, σ i), para todo σ i ou seja: u_i(σ 0 i, σ i) ui(σi, σ i) >0, para todo σ i

I Note que podemos re-escrever a expressão acima como:

u_i(σ 0 i, σ i) ui(σi, σ i) =

∑

∏

Estratégias Dominantes e Dominadas

(Cont.)

I Observe que a expressão acima é positiva para todo σ

i se, e somente

se:

u_i(σ

0

i,s i) ui(σi,s i) >0, para todo s i

I Assim, temos que:

u_i(σ

0

i, σ i) >ui(σi, σ i), para todo σ i

se, e somente se:

u_i(σ0_i,s _i) >u_i(σi,s i), para todo s i

Estratégias Dominantes e Dominadas

Da discussão anterior, segue, como caso particular, o seguinte teste para veri…car se umaestratégia puraé estritamente dominada.

Proposição: Uma estratégia pura si 2 Si éestritamente dominada

para um jogador i se existir outra estratégia σ0i 2 ∆(Si) tal que:

ui(σ

0

i,s i) > ui(si,s i), para todo s i 2 S i.

Desta forma, para testar se uma estratégia pura si é estritamente

dominada em um jogo ΓN = [I , ∆ (Si) , fui( )g], basta considerarmos per…s de estratégias puras s i 2 S i para os demais jogadores.

25

Estratégias Dominantes e Dominadas

Exemplo: Note que existem casos em que uma estratégia pura si

pode ser dominada apenas por uma estratégia mista: Jogador 2 Jogador 1 L R U 10, 1 0, 4 M 4, 2 4, 3 D 0, 5 10, 2

I Nenhuma das três estratégias puras do jogador 1 é estritamente

dominada por outra estratégia pura.

I Porém, a estratégia M é estritamente dominada por uma estratégia

mista que atribui probabilidade 1₂ à estratégia U e 1₂ à estratégia D.

26

Estratégias Dominantes e Dominadas

(Cont.)

I Na verdade, existe um continuum de estratégias mistas que dominam

de um jogador i, deve-se estabelecer quais estratégias mistas são não dominadas.

Proposição: Se uma estratégia pura si é estritamente dominada para

um jogador i, então todaestratégia mistaque atribui probabilidade positiva a esta estratégia também é estritamente dominada. Observe, porém, que as estratégias mistas descritas na proposição acima não são as únicas que podem ser estritamente dominadas. Uma estratégia mista que atribui probabilidade positiva a estratégias puras não dominadas pode ser ela mesma dominada! (Construa um exemplo.)

28

Estratégias Dominantes e Dominadas

Os dois resultados anteriores sugerem o seguinte procedimento:

i . Primeiro, eliminar iterativamente todas as estratégias puras

estritamente dominadas.

ii . Segundo, sejam Su1, ...,Su_I os conjuntos das estratégias puras não dominadas, eliminar as estratégias mistas estritamente dominadas pertencentes aos conjuntos ∆(Su₁), ..., ∆(Su_I).

29

Estratégias Dominantes e Dominadas:

Aplicações

Estratégias Dominantes e Dominadas: Aplicações

I Função demanda inversa:

p(Q) =a bQ I Função custo: c(q_i) =cq_i I Funções payo¤: u_i(q_i,q _i) = [a b(q_i+q _i)]q_i cq_i = (a c)q_i bq_i2 bq_iq _i

I Vamos mostrar que este jogo pode ser resolvido através daeliminação

iterada das estratégias estritamente dominadas.

31

Estratégias Dominantes e Dominadas: Aplicações

(Cont.)

I De…na as funções dereaçãooumelhor resposta_r

i :[0, ∞) ! [0, ∞) como a produção ótima da …rma i dado o nível de produção da sua rival.

I Essas funções podem ser computadas através dascondições de primeira

ordemdo problema de maximização de lucro das …rmas:

a c 2bqi bq i =0 ) r(q i) =

a c

2b

q _i 2 Note que r( )é uma funçãoestritamente decrescente, i.e. quanto maior a produção do concorrente, menos a …rma deseja produzir. I O espaço de estratégias inicial de cada …rma éS0

i = [0, ∞), mas note que produzir uma quantidade "muito" elevada pode não ser ótimo para as …rmas.

32

Estratégias Dominantes e Dominadas: Aplicações

(Cont.)

I De fato, qualquer produção acima de r(0) = a c

2b <∞ (nível de

produção de monopólio) é estritamente dominada, pois a menor quantidade produzida pelo seu concorrente é zero.

I Assim, eliminando as estratégias dominadas do conjunto de estratégias possíveis, obtemosS1_i = [0,r(0)].

I Note que, como agora o concorrente nunca produz uma quantidade

maior do que r(0), então qualquer produção menor do que r2(0) =

r(r(0)) = a c_4b >0 é estritamente dominada para a …rma i.

I Assim, eliminando iteradamente as estratégias dominadas do conjunto

(Cont.)

I Procedendo analogamente, sabemos que a concorrente nunca produzirá

uma quantidade menor do que r2(0), de forma que qualquer produção acima de r3(0) = 3(a c )_8b é estritamente dominada para a …rma i.

I Assim, eliminando iteradamente as estratégias dominadas do conjunto

de estratégias possíveis, obtemosS3_i = [r2(0),r3(0)].E assim por diante, ad in…nitum...

I Note que os limites inferiores desses intervalos formam uma sequência r2n(0)enquanto que os limites superiores formam uma sequência r2n+1(0), com n=1, 2, ... .

34

Estratégias Dominantes e Dominadas: Aplicações

(Cont.)

I Em particular, temos que:

rn(0) = a c b n

∑

é umasérie convergente, de forma que a sequência de intervalos Sn i

converge para um único ponto, i.e. lim

n!∞r

n_{(0) =} a c 3b .

I Portanto, oúnico per…l de estratégiasque sobrevive a eliminação iterada das estratégias estritamente dominadas é(a c_3b ,a c_3b ).