MateMática
financeira
Um produto foi anunciado por R$ 1.000,00 e pode ser pago por uma das seguintes formas:
À vista, com 10% de desconto.
A prazo, em duas parcelas iguais de R$ 500,00, sendo uma no ato da compra e outra para 30 dias.
Pergunta-se: A opção a prazo é com juros?
Juros(J)
O Juro é a remuneração do capital, paga pelo tomador de empréstimo. É o valor a ser pago ao credor, dono do capital, como compensação pelo uso do dinheiro.
Taxa de juros (percentual)Valor percentual que indica a proporção entre os juros e o capital inicial. Indica os que se paga em cada 100 partes do capital.
Exemplo: 18% ao ano (a.a)
Taxa unitária(𝒊𝒊):É igual à percentual, dividida por 100. Indica o que se paga por unidade de capital.
Obs: Nas fórmulas da matemática financeira, utilizaremos apenas taxas unitárias.
Exemplo: 18% a.a corresponde a 𝑖𝑖 = 0,18 a. a Termos principais
Capital (C)É o valor em dinheiro disponibilizado na operação financeira. No início da operação é chamado de principal ou capital inicial.
Prazo (𝒕𝒕)
É o tempo decorrido durante o qual o principal ficará aplicado na operação financeira.
Prazo comercial: Cada mês é de 30 dias e o ano comercial é de 360 dias.
Prazo exato: Os dias são contados pelo calendário
Montante (𝐌𝐌)
É o valor futuro. Corresponde ao capital(C) acrescido dos juros(J) obtidos.
𝑴𝑴 = 𝑪𝑪 + 𝑱𝑱
Regime de capitalização é o processo de formação de capital, indicando como os juros são gerados e incorporados ao capital no decorrer do tempo. Há dois regimes de capitalização: • Capitalização Simples (juros simples)
• Capitalização composta (juros compostos) Regime de Capitalização
Regime de juros simples é o sistema de capitalização em que a taxa de juros incide apenas sobre o capital inicial da operação (aplicação ou empréstimo), de modo que os juros e o montante variam ao longo do tempo conforme uma progressão aritmética. Os juros obtidos periodicamente não são remunerados, e o montante é calculado apenas no final da operação.
Os juros simples são diretamente proporcionais ao capital (C), à taxa de juros(i), e ao prazo(t) da aplicação.
•
𝐽𝐽 = 𝐶𝐶 · 𝑖𝑖 · 𝑡𝑡
•
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 · (1 + 𝑖𝑖 · 𝑡𝑡)Obs: taxa(i) e prazo(t) na mesma unidade de tempo Cálculo do Juros Simples
(FCC/2017) João emprestou a quantia de R$ 23.500,00 a seu filho Roberto. Trataram que Roberto pagaria juros simples de 4% ao ano.
Roberto pagou esse empréstimo para seu pai após 3 anos. O valor total dos juros pagos por Roberto foi
(A) R$ 3.410,00. (B) R$ 2.820,00. (C) R$ 2.640,00. (D) R$ 3.120,00. (E) R$ 1.880,00. Gab.: B Exercício exemplo 1
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financeira
(FCC/2017) Uma geladeira está sendo vendida nas seguintes condições: − Preço à vista = R$ 1.900,00;
− Condições a prazo = entrada de R$ 500,00 e pagamento de uma parcela de R$ 1.484,00 após 60 dias da data da compra.
A taxa de juros simples mensal cobrada na venda a prazo é de (A) 1,06% a.m. (B) 2,96% a.m. (C) 0,53% a.m. (D) 3,00% a.m. (E) 6,00% a.m. Gab.: D Exercício exemplo 2
Regime de juros compostos é o sistema de capitalização em que a taxa de juros incide sobre o capital principal e sobre os juros acumulados nos períodos anteriores.
O montante é crescente segundo uma progressão geométrica.
Os juros são acrescidos ao capital a cada período, chamado período de capitalização, formando o montante parcial que, por sua vez, passará a render juros para o período seguinte.
Tabela da evolução de um capital de R$ 1.000,00 por 3 anos a 10% ao ano.
Montante simples x composto
Período
ano simples Juros Montante simples compostos Juros Montante composto
1 10% x 1000 =100 1100 10% x 1000 =100 1100 2 10% x 1000 =100 1200 10% x 1100 =110 1210 3 10% x 1000 =100 1300 10% x 1210 =121 1331
• Montante
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 ∙ (1 + 𝑖𝑖)𝑡𝑡
O termo (1 + 𝑖𝑖)𝑡𝑡 é chamado fator de acumulação de capital,
para pagamento único, podendo ser tabelado. • Juros
𝐽𝐽 = 𝑀𝑀 − 𝐶𝐶
(FCC) A Cia. Escocesa, não tendo recursos para pagar um empréstimo de R$ 150.000,00 na data do vencimento, fez um acordo com a instituição financeira credora para pagá-la 90 dias após a data do vencimento. Sabendo que a taxa de juros compostos cobrada pela instituição financeira foi 3% ao mês, o valor pago pela empresa, desprezando-se os centavos, foi, em reais, (A) 163.909,00. (B) 163.500,00. (C) 154.500,00. (D) 159.135,00. (E) 159.000,00. Gab.: A Exercício exemplo 3
Determine o valor dos juros e do montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado por 12 meses, a uma taxa de juros compostos de 5% ao mês.
(FCC) A aplicação de um capital (C), sob o regime de capitalização simples a uma taxa de 10,5% ao ano, permitiu que fosse resgatado no final do período de aplicação de 16 meses um montante igual a R$ 14.250,00. Caso este capital (C) fosse aplicado durante 1 ano, sob o regime de capitalização composta a uma taxa de 6% ao semestre, o valor dos juros no final de 1 ano, em R$, seria de (A) 1.545,00. (B) 1.483,20. (C) 1.606,80. (D) 1.500,00. (E) 1.575,90. Exercício exemplo 5
Para períodos de tempo não inteiros, teremos dois casos: a) Convenção Exponencial
O prazo não inteiro deve ser considerado para efeitos de cálculo e utilizado na fórmula, aplicando o conceito de produto de potências.
Para períodos de tempo não inteiros, teremos dois casos: a) Convenção Exponencial
O prazo não inteiro deve ser considerado para efeitos de cálculo e utilizado na fórmula, aplicando o conceito de produto de potências.
Exemplo:
Um capital de R$ 10.000,00, aplicado no regime de juros compostos, por um período de 2 anos e 6 meses, a uma taxa de juros de 15% ao ano, adotando a convenção exponencial.
𝑀𝑀 = 10000(1 + 0,15)2+12
𝑀𝑀 = 10000(1,15)2 ∙ (1,15)12
𝑀𝑀 = 10000 ∙ 1,3225 ∙ 1,0724
M = 14.182,49
b) Convenção Linear
A convenção linear admite a formação de juros compostos para a parte inteira do prazo e de juros simples para a parte fracionária. O montante total é calculado em duas etapas:
• Calcula-se, primeiramente, o montante composto para a parte inteira do prazo.
• Remunera-se a juros simples o montante apurado anteriormente, utilizando-se como prazo a parte fracionária restante do período.
• O montante total será a soma do montante composto inicialmente calculado, com os juros simples obtidos na segunda etapa.
Exemplo:
U
m capital de R$ 10.000,00, aplicado no regime de juros compostos, por um período de 2 anos e 6 meses, a uma taxa de juros de 15% ao ano, adotando a convenção linear.𝑀𝑀 = 10000(1,15)2 → 𝑀𝑀 = 13.225,00
𝐽𝐽𝑠𝑠 = 13225 ∙ 0,15 ∙ 12 → 𝐽𝐽𝑠𝑠 = 991,88
𝑀𝑀𝑡𝑡 = 𝑀𝑀 + 𝐽𝐽𝑠𝑠 → 𝑀𝑀 = 13.225 + 991,88 = 𝑀𝑀 = 14.216,88
Duas taxa são proporcionais quando a razão entre as taxas é igual à razão entre os tempos das taxas, na mesma unidade.
Exemplo: A taxa de 18% ao semestre é proporcional a 3% ao mês. Obs: No regime de juros simples, taxas proporcionais são equivalentes.
Duas taxas são equivalentes se produzirem os mesmos montantes (ou juros) quando aplicadas sobre um mesmo capital, no mesmo prazo.
Exemplo: A taxa de 10% ao mês é equivalente a 21% ao bimestre. (juros compostos)
Escala de equivalência das taxas:
1 + 𝑖𝑖𝑖𝑖 = (1 + 𝑖𝑖𝑖𝑖)2= (1 + 𝑖𝑖𝑖𝑖)3= (1 + 𝑖𝑖𝑡𝑡)4= (1 + 𝑖𝑖𝑖𝑖)6= (1 + 𝑖𝑖𝑖𝑖)12= (1 + 𝑖𝑖𝑖𝑖)360
a) A taxa de 20% ao semestre equivale a que taxa anual?
b) A taxa de 5 % ao mês, corresponde a qual taxa semestral? c) A taxa de 69% ao ano equivale a que taxa semestral?
Uma taxa é nominal se o período de tempo da taxa é diferente do período de capitalização.
Exemplo: 18% ao semestre, capitalizados mensalmente.
Obs: taxas nominais não podem ser utilizadas nas fórmulas da matemática financeira.
Uma taxa é efetiva se o período de tempo da taxa é igual ao período de capitalização. Exemplo: 3% ao mês, capitalizados mensalmente.
Obs: Nas fórmulas da matemática financeira, devemos utilizar somente as taxas efetivas.
a) Taxas nominais em efetivas: Utiliza-se o conceito de taxas proporcionais (fazer regra de três).
b) Taxas efetivas em efetivas: Utiliza-se o conceito de taxas equivalentes (escala de equivalência).
(ESAF/AFRF) A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal é equivalente a uma taxa trimestral de:
a) 60% b) 66,6% c) 68,9% d) 72,8% e) 84,4% Exercício Exemplo 6
É Taxa de juros que considera a taxa de inflação para aferir o ganho real. Fórmula: “RIA” (1 + 𝐼𝐼𝐼𝐼) ∙ 1 + 𝐼𝐼𝑖𝑖 = (1 + 𝐼𝐼𝑖𝑖) 𝐼𝐼𝐼𝐼 = taxa real 𝐼𝐼𝑖𝑖 = taxa de inflação
𝐼𝐼𝑖𝑖 = taxa aparente (efetiva)
(FCC) Um investimento rendeu 68% em um período, no qual a inflação foi de 40%. O ganho real nesse período foi de:
a) 20% b) 22% c) 24% d) 26% e) 28% Exercício exemplo 6
