Análise de Variância

15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

Estatística Aplicada

I

Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes

Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica

15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses

Capítulo VIII

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Análise de Variância

Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica

15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses



Introdução



Planejamento aleatorizado por níveis



Introdução



Planejamento aleatorizado por níveis

15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses

• Análise de Variância (ANOVA) é um método estatístico, desenvolvido por Fisher, que por meio de testes de igualdade de médias, verifica se fatores propostos produzem mudanças sistemáticas em alguma variável de interesse (varável dependente).

• Os fatores considerados podem ser variáveis quantitativas ou qualitativas; entretanto, a variável dependente deve ser quantitativa (intervalar) e é observada dentro das classes dos fatores, denominados tratamentos.

15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses

8.1 Introdução

• EXEMPLO: No caso de consumo de combustível dos veículos, pode-se admitir como fatores de influência a marca, a idade e a potência. A análise de variância permite verificar se tais fatores, ou uma combinação deles, produzem efeitos apreciáveis sobre o consumo, ou se concluir que não têm influência alguma.

• Se for considerado somente a marca do veículo, com interesse em apenas duas delas, esse experimento poderia ser planejado e analisado usando os testes t de hipóteses para duas amostras. Nesse caso, tem-se um

único fator de interesse – marca do veículo – e há

somente dois níveis do fator – duas marcas.

15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses • Muitos experimentos com um único fator, no entanto,

requerem que mais de dois níveis do fator sejam considerados.

• Neste caso, a análise de variância poderá ser usada para comparar médias, quando houver mais de dois níveis de um único fator.

• As diversas técnicas de planejamento e análise de experimentos com vários fatores deverão ser estudadas em cursos de pós-graduação.

 Considerações iniciais

• Um experimento completamente aleatorizado com um único fator e quatro níveis (níveis = tratamentos), e cada tratamento com seis observações (ou réplicas) vão gerar 24 corridas.

• Fazendo a aleatoriedade da ordem das 24 corridas, o efeito de qualquer variável perturbadora, que possa influenciar a variável de estudo (variável dependente), é aproximadamente balanceado.

 Aleatoriedade das corridas experimentais

8.1 Introdução

15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses

• EXEMPLO: Se deseja verificar a influência de uma certa condição em uma propriedade do material. Supondo que o aquecimento da máquina de teste possa influenciar nos resultados, quanto mais tempo a máquina ficar ligada, maior será a sua temperatura. Dessa forma, se os testes foram realizadas por níveis do fator, a temperatura da máquina irá aumentar do primeiro ao último nível do fator, e as diferenças observadas nos resultados para cada nível poderão ser também devidas ao efeito de aquecimento.

15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses

 Análise gráfica dos dados de um experimento planejado • Os diagramas de

caixa, por exemplo, permitirão visualizar a variabilidade das observações dentro (within) de um tratamento (nível do fator) e a variabilidade entre (between) os tratamentos.

8.1 Introdução

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 Seja um procedimento experimental onde se realizou ensaios com a diferentes níveis (ou tratamentos) de uma única variável de influência (fator simples), com n réplicas para cada nível, como mostrado a seguir:

Nível

(Tratamento) Observações Totais Médias

1 2 . . . a y11 y12 ... y1n y21 y22 ... y2n . . . . . . . . . y_a1 y_a2 ... y_an y1. y2. . . . y_a. . . . Σ y.. . 1 y . 2 y . a y .. y

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis

 Onde yij é o j-ésimo elemento obtido no tratamento (nível)

i. Esses elementos podem ser definidos pelo modelo

estatístico linear aleatórios erros a devido componente tratamento cada de efeito o define que parâmetro geral média onde n ,..., 2 , 1 j a ..., 2 , 1 i y ij i ij i ij                 

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tratamentos e estimá-los através do teste de hipóteses adequado.

 Para esse teste, assume-se que os erros do modelo são normalmente e independentemente distribuídos com média zero e variância σ².

 Esse modelo é denominado análise de variância de um fator único e, para que a análise seja objetiva é necessário que o procedimento experimental seja completamente aleatorizado.

15/09/2016 13:11

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis

 Análise dos efeitos dos tratamentos pode ser feita de duas maneiras:

• Análise de um modelo de efeitos fixos - Os tratamentos são escolhidos de forma específica e, desta forma, o teste de hipóteses refere-se às médias dos tratamentos, e as conclusões extraídas são aplicáveis somente aos níveis considerados na análise, não podendo ser estendidos a outros níveis não analisados.

• Análise de um modelo de efeitos aleatórios - Os tratamentos analisados representam uma amostra aleatória de uma população de tratamentos, e as conclusões feitas para essa amostra podem se estender para todos os outros tratamentos da população.

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

Análise de um modelo de efeitos fixos

•

Efeitos dos tratamentos τ

_i

são definidos como

desvios a partir da média geral, de modo que:

0 a 1 i i 



 

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

• Da tabela anterior, tem-se que

s observaçõe as todas de geral média y s observaçõe de total número n a N onde N y y y y n y y y y .. a 1 i .. .. n 1 j ij .. . i i n 1 j ij . i        





  

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

Análise de um modelo de efeitos fixos

• A média estimada do i-ésimo tratamento é dada por

) tratamento do efeito do acrescida geral média ( a ,..., 2 , 1 i , ) y ( E 1 i i ij        

• Faz-se o teste de hipóteses para verificar se as médias dos tratamentos são iguais

) ij par um para menos pelo ( : H ... : H j i 1 a 2 1 o          15/09/2016 13:11

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

Se H_o for verdadeira (todos os tratamentos tem média igual a

μ), a mudança nos níveis do fator não tem efeito na resposta

média.

•Para essa verificação, a análise de variância é a que melhor se aplica.

•O termo análise de variância deriva da divisão da variabilidade total em seus componentes.

) i um para menos pelo ( 0 : H 0 ... : H i 1 a 2 1 o          ou

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

Análise de um modelo de efeitos fixos

• A variabilidade total dos resultados é representada pela soma corrigida dos quadrados SQ_T (ou soma quadrática total), mostrada abaixo:



    a 1 i n 1 j 2 .. ij T (y y ) SQ

que pode ser reescrita como





          a 1 i n 1 j 2 . i ij .. . i a 1 i n 1 j 2 .. ij T (y y ) [( y y ) (y y )] SQ

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

ou









                a 1 i n 1 j . i ij .. . i a 1 i n 1 j 2 . i ij 2 .. a 1 i . i a 1 i n 1 j 2 .. ij T ) y y )( y y ( 2 ) y y ( ) y y ( n ) y y ( SQ

• O último termo da expressão é nulo, pois

0 ) n y ( n y y n y ) y y ( _{i. i. i. i.} n 1 j . i ij     





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

Análise de um modelo de efeitos fixos

E s Tratamento T a 1 i n 1 j 2 . i ij 2 .. a 1 i . i a 1 i n 1 j 2 .. ij T SQ SQ SQ ou ) y y ( ) y y ( n ) y y ( SQ        







    

• Como se observa, a soma corrigida dos quadrados (que representa a variabilidade dos dados) é representada pela somatória dos quadrados das diferenças entre as médias dos tratamentos e a média geral de todos os elementos, adicionada à somatória dos quadrados das diferenças entre as observações e as médias dos tratamentos.

• Assim,

15/09/2016 13:11

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

onde SQ_Tratamentos denomina-se soma dos quadrados devidos

aos tratamentos (entre tratamentos) e SQ_E é denominada

soma dos quadrados devidos ao erro (dentro dos tratamentos).

• SQT apresenta N-1 graus de liberdade, SQTratamentos apresenta

a-1, e SQ_E, N-a graus de liberdade.

• A razão MQ_Tratamentos = SQ_Tratamentos/a–1, chamada de média

quadrática dos tratamentos, é uma estimativa da variância entre os tratamentos, e a razão MQ_E = SQ_E/N–a, denominada

média quadrática do erro, é uma estimativa da variância dentro de cada um dos tratamentos.

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

Análise de um modelo de efeitos fixos

2 Den 2 Num E s Tratamento E s Tratamento o ) a N /( SQ ) 1 a /( SQ MQ MQ F       

• Considere agora que cada uma da a populações possa ser modelada como uma distribuição normal.

• Usando essa suposição, pode-se mostrar que se a hipótese nula for verdadeira, isto é, não há diferença entre as médias dos tratamentos, a razão

terá uma distribuição F com a–1 e N–a graus de liberdade.

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

• No caso da hipótese nula ser verdadeira, tanto o numerador quanto o denominador da expressão são estimadores confiáveis de σ². No entanto, se a hipótese for falsa, então o valor esperado do numerador será maior do que σ².

• Por conseguinte, se o valor esperado para o numerador é maior que o valor esperado para o denominador, deve-se rejeitar Ho para valores do teste de hipóteses que sejam

muito grandes, ou seja, a hipótese nula será rejeitada se

a N , 1 a , o F F  _{  }

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

Análise de um modelo de efeitos fixos

• A análise da variância pode ser feita construindo-se a tabela a seguir:

Fonte de

variação quadradosSoma dos liberdade Graus de quadrados Média dos Fo

Entre

tratamentos SQTratamentos a – 1 MQTratamentos

Erro (dentro dos tratamentos) SQE N – a MQE Total SQT N – 1 E s Tratamento MQ MQ 15/09/2016 13:11

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

• Quando o número de observações não pode ser mantido constante em todos os tratamentos, tem-se nessa situação



  a 1 i i n N

onde ni é o tamanho da amostra para cada tratamento i, e as expressões das somas ficam:

N y n y SQ e N y y SQ 2 .. a 1 i i 2 . i s Tratamento 2 .. a 1 i n 1 j 2 ij T               





  

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

Análise de um modelo de efeitos fixos

• Deve-se preferir o uso de tratamentos com amostras do mesmo tamanho, pois a hipótese de que as variâncias sejam iguais para todos os tratamentos é mais facilmente verificada quando ni = n e também porque a capacidade

do teste é maximizada nessa situação.

COMPARAÇÃO DAS MÉDIAS INDIVIDUAIS DOS TRATAMENTOS:

• O método anterior permite verificar se as médias de diversos tratamentos são diferentes ou não, mas não possibilita dizer quais delas divergem.

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

• Para tanto, há necessidade de se comparar as somatórias das observações de cada tratamento (y_i.) ou de suas médias ( ).

• Essas comparações são feitas através dos denominados métodos de comparação múltipla.

• Muitos desses métodos usam o conceito de contraste. Que são comparações de médias de tratamentos ou das somatórias das observações de cada tratamento por G.L. individuais na análise de variância.

. i

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

Análise de um modelo de efeitos fixos

• Contraste é comparação, enquanto ortogonal, neste caso, quer dizer independente. Assim, o contraste ortogonal é uma forma de estudar os tratamentos em uma série de comparações.

• A ortogonalidade indica que a variação de um contraste é inteiramente independente da variação de outro qualquer que lhe seja ortogonal.

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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

• O ponto chave dos contrastes é que se consegue “juntar” todos os tratamentos em apenas dois grupos, e com isto o teste de F já é completamente satisfatório.

• Pode-se fazer tantas comparações quanto se desejar, até o limite de graus de liberdade dos tratamentos, já que este é o máximo de informação que existe sobre os tratamentos.

• A soma dos vetores deve ser nula para ser um contraste. No entanto, para ser ortogonal, deve-se multiplicar um pelo outro e sua soma deve ser zero.

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

Análise de um modelo de efeitos fixos

• Contraste C ou comparação é uma função linear dos totais de tratamentos y_i. (ou de suas médias) do tipo:

se . a a . 2 2 . 1 1 a 1 i . i i

y

c

y

c

y

...

c

y

c

C













 diferentes n com s tratamento para 0 c n iguais n com s tratamento para 0 c a 1 i i i a 1 i i  





 

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

• Os contrastes

são ortogonais (independentes entre si) se





 





a 1 i . i i a 1 i . i i

y

e

B

b

y

c

C

diferentes n com s tratamento para 0 c b n iguais n com s tratamento para 0 c b a 1 i i i i a 1 i i i  





 

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

Análise de um modelo de efeitos fixos

• EXEMPLOS: . 3 . 2 . 1 4 . 3 . 2 . 1 . 3 . 2 . 1 3 . 3 . 1 2 . 2 . 1 1

y

y

y

C

contraste

é

Não

y

2

y

y

y

2

y

y

C

y

y

C

y

y

C

contrastes

São



























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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

• EXEMPLOS:

0

3

)

2

)(

1

(

)

1

)(

0

(

)

1

)(

1

(

pois

,

C

e

C

0

1

)

1

)(

0

(

)

0

)(

1

(

)

1

)(

1

(

pois

,

C

e

C

:

ortogonais

são

Não

0

)

2

)(

1

(

)

1

)(

0

(

)

1

)(

1

(

pois

,

C

e

C

:

ortogonais

São

3 2 2 1 3 1



































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

Análise de um modelo de efeitos fixos

a soma dos quadrados para qualquer contraste é dada por

diferentes n com s tratamento para c n y c SQ iguais n com s tratamento para c n y c SQ a 1 i 2 i i 2 a 1 i . i i C a 1 i 2 i 2 a 1 i . i i C









                 

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

• Um contraste é testado comparando-se SQ_C/1 com SQ_E/(N–a), que deve ser distribuído como F_α,1,N-a caso a hipótese nula seja verdadeira, ou seja, com

) a N /( SQ 1 / SQ F E C o  _ Ho será rejeitada se a N , 1 , o F F  _{ }

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

Análise de um modelo de efeitos fixos

• Exemplo 01: Um engenheiro está interessado em maximizar a resistência à tração de uma nova fibra sintética que será usada na confecção de roupas. Ele conhece de situações anteriores que a resistência à tração é afetada pela porcentagem de algodão na fibra. Além disso, ele suspeita que o aumento do conteúdo de algodão eleva a resistência. Ele também sabe que o conteúdo de algodão deve estar entre 10% e 40% para que as roupas tenham no final uma qualidade desejável. O engenheiro decide testar fibras com cinco níveis de porcentagem de algodão: 15, 20, 25, 30 e 35%. Ele também decide testar cinco corpos de prova para cada nível de conteúdo de algodão.

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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

• Solução: Este é um exemplo de um planejamento de um único fator com a = 5 níveis e n = 5 réplicas. Os 25 ensaios devem ser feitos em ordem aleatória, como por exemplo:

Porcentagem

de algodão Número de ensaios

15 20 25 30 35 1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25

15/09/2016 13:11



Análise de um modelo de efeitos fixos

Sequência

do ensaio ensaioNº do algodão% Sequência do ensaio ensaioNº do

% algodão 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 18 10 23 17 5 14 6 15 20 9 4 12 20 30 20 35 30 15 25 20 25 30 20 15 25 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 - 7 1 24 21 11 2 13 22 16 25 19 3 - 20 15 35 35 25 15 25 35 30 35 30 15 -

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

% de algodão

Tensões de escoamento observadas

(lb/pol²) Totais y_i. Médias y_i 1 2 3 4 5 15 20 25 30 35 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 11 18 19 19 15 9 18 19 23 11 49 77 88 108 54 9,8 15,4 17,6 21,6 10,8 y_.. = 376 . i y 04 , 15 y..

15/09/2016 13:11



Análise de um modelo de efeitos fixos

% de algodão

Tensões de escoamento observadas

(lb/pol²) Totais y_i. Médias y_i. 1 2 3 4 5 15 20 25 30 35 -8 -3 -1 4 -8 -8 2 3 10 -5 0 -3 3 7 -4 -4 3 4 4 0 -6 3 4 8 -4 -26 2 13 33 -21 -5,2 0,4 2,6 6,6 -4,2 y_.. = 1 . i y 04 , 0 y.. 15/09/2016 13:11

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

20 , 161 76 , 475 96 , 636 SQ SQ SQ 76 , 475 25 ) 376 ( 5 ) 54 ( ... ) 49 ( 25 ) 376 ( 5 y N y n y SQ 96 , 636 25 ) 376 ( ) 11 ( ... ) 7 ( ) 7 ( 25 ) 376 ( y N y y SQ s Tratamento T E 2 2 2 2 5 1 i 2 . i 2 .. a 1 i 2 . i s Tratamento 2 2 2 2 2 5 1 i 5 1 j 2 ij 2 .. a 1 i n 1 j 2 ij T                                                  









     

15/09/2016 13:11



Análise de um modelo de efeitos fixos

Fonte da variação Soma dos quadrados Graus de liberdade Média dos quadrados Fo % de algodão Erro Total 475,76 161,20 636,96 4 20 24 118,94 8,06 14,76* * Significativo ao nível de 1% (F0.01,4,20 = 4,43) a N , 1 a , o F F  _{  }

• Uma vez que F_o > F_0,01;4;20, rejeita-se H_o, concluindo-se que ao nível de 1% a porcentagem de algodão na fibra afeta significativamente a sua resistência à tração.

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

5 4 3 2 1 4 5 4 3 1 2 o 5 4 3 2 1 3 3 1 o 5 4 3 2 1 2 5 4 3 1 o 5 4 3 2 1 1 5 4 o y 1 y 1 y 1 y 4 y 1 C 4 : H y 0 y 0 y 1 y 0 y 1 C : H y 1 y 1 y 1 y 0 y 1 C : H y 1 y 1 y 0 y 0 y 0 C : H Contrastes Hipóteses                                           

• Pode-se verificar, pela condição abaixo, que todos os pares de contrastes são ortogonais.



  5 i ic 0 b

15/09/2016 13:11



Análise de um modelo de efeitos fixos

81 , 0 ) 20 ( 5 ) 9 ( SQ 9 ) 54 ( 1 ) 108 ( 1 ) 88 ( 1 ) 77 ( 4 ) 49 ( 1 C 10 , 152 ) 2 ( 5 ) 39 ( SQ 39 ) 54 ( 0 ) 108 ( 0 ) 88 ( 1 ) 77 ( 0 ) 49 ( 1 C 25 , 31 ) 4 ( 5 ) 25 ( SQ 25 ) 54 ( 1 ) 108 ( 1 ) 88 ( 1 ) 77 ( 0 ) 49 ( 1 C 60 , 291 ) 2 ( 5 ) 54 ( SQ 54 ) 54 ( 1 ) 108 ( 1 ) 88 ( 0 ) 77 ( 0 ) 49 ( 0 C 2 4 C 4 2 C 3 2 C 2 2 C 1 3 2 1                                          15/09/2016 13:11

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

Fonte da variação Soma dos

quadrados Graus de liberdade Média dos quadrados Fo % de algodão Contrastes ortogonais C1 :μ4 = μ5 C2 :μ1 + μ3 = μ4 + μ5 C3 :μ1 = μ3 C4 :4μ2 = μ1 + μ3 + μ4 + μ5 Erro Total 475,76 (291,60) (31,25) (152,10) (0,81) 161,20 636,96 4 1 1 1 1 20 24 118,94 291,60 31,25 152,10 0,81 8,06 Fo =14,76 36,18* 3,88 18,87* 0,10 * Significativo ao nível de 1% (F0.01,4,20 = 4,43)

•Conclusão: Há uma significante diferença entre as porcentagens de algodão 4 e 5 e 1 e 3, mas as médias de 1 e 3 não diferem das médias de 4 e 5, e 2 não difere das médias das outras quatro porcentagens.

15/09/2016 13:11



Análise de um modelo de efeitos fixos

• Exemplo 02: Deseja-se verificar se a modificação das condições de tratamento térmico influem na tensão limite de escoamento de uma liga metálica. Foram ensaiadas quatro condições distintas, obtendo-se os resultados mostrados na tabela a seguir:

Condição de

tratamento Tensão limite de escoamento (MPa)

1 2 3 4 312,9 300,0 286,5 289,0 320,0 330,0 297,5 315,0 280,0 290,0 298,5 305,0 260,0 270,0 260,0 276,5

A modificação das condições de tratamento afeta a propriedade mecânica da liga metálica? (use α = 0,05)

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

• Quadro de análise de variâncias

Tratamentos TLE (MPa) Totais Médias 1 2 3 4 312,9 300,0 286,5 289,0 320,0 330,0 297,5 315,0 280,0 290,0 298,5 305,0 260,0 270,0 260,0 276,5 1188,4 1262,5 1173,5 1066,5 297,1 315,6 293,3 266,6 4690,6 293,2 N = n.a = 16 SQT = 6436,5 SQTrat /(a-1) = 1632,5 SQ_Trat = 4897,4 SQ_E /(N-a) = 128,3 SQE =1539,1 Fo = 12,7 F0,05;3;12 = 3,49

15/09/2016 13:11



Análise de um modelo de efeitos fixos

• Como Fo > F0,05;3;12 tem-se que a hipótese nula é rejeitada, ou

seja, ao nível de 5% os tratamentos afetam a tensão limite de escoamento da liga metálica

• Para comparar as médias dos diversos tratamentos serão verificadas as seguintes hipóteses nulas:

4 3 2 1 5 3 1 2 o 4 3 2 1 4 4 2 3 1 o 4 3 2 1 3 4 2 o 4 3 2 1 2 3 1 o 4 3 2 1 1 2 1 o y 0 y 1 y 2 y 1 C 2 : H ) 5 y 1 y 1 y 1 y 1 C : H ) 4 y 1 y 0 y 1 y 0 C : H ) 3 y 0 y 1 y 0 y 1 C : H ) 2 y 0 y 0 y 1 y 1 C : H ) 1                                           15/09/2016 13:11

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

• Verifica-se se a condição abaixo é satisfeita para todos os contrastes



  a 1 i i 0 c 0 0 1 2 1 : C 0 1 1 1 1 : C 0 1 0 1 0 : C 0 0 1 0 1 : C 0 0 0 1 1 : C 5 4 3 2 1                     

Portanto, todos os contrastes propostos satisfazem o critério.

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Análise de um modelo de efeitos fixos

• Dos cinco contrastes propostos, quatro pares são ortogonais, ou seja, independentes entre si.

• Analisando-se a primeira hipótese Ho:μ1 = μ2 , tem-se:

4 3 5 2 4 2 3 2.C ,C .C ,C .C ,C .C C 35 , 686 ) 2 ( 4 ) 1 , 74 ( SQ 1 , 74 ) 5 , 1066 ( 0 ) 5 , 1173 ( 0 ) 5 , 1262 ( 1 ) 4 , 1188 ( 1 C 2 C 1 1         

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

• Portanto, como SQC1 = 686,35 e SQE /(N–a) = 128,3.:

• Como F0,05;1; 12 = 4,75, tem-se que Fo > F0,05; 1; 12 ,

assim, pode-se concluir que, ao nível de 5%, existe diferença significativa entre as médias dos tratamentos 1 e 2. 35 , 5 3 , 128 1 / 35 , 686 ) a N /( SQ 1 / SQ F E C o  _  

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

Análise de um modelo de efeitos fixos

• Exemplo 03: Um fabricante de televisores está interessado no efeito de quatro diferentes tipos de recobrimentos para tubos catódicos sobre a condutividade desses tubos. Após o planejamento experimental, obtiveram-se os seguintes resultados: Tipo de recobrimento Condutividade 1 2 3 4 143 152 134 129 141 149 136 127 150 137 132 132 146 143 127 129 15/09/2016 13:11

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

• a) O tipo de recobrimentos dos tubos afeta a condutividade nos mesmos?

b) Estime a média geral e os efeitos dos tratamentos. c) Determine o intervalo de confiança de 95% ao estimar a média do tipo de recobrimento 4.

d) Assumindo que o tipo 4 está atualmente em uso, quais suas recomendações para o fabricante que deseja reduzir a condutividade?

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

Análise de um modelo de efeitos fixos

•

Solução: Trata-se de um planejamento

aleatorizado por níveis, que apresenta níveis

completos (balanceados), modelo de efeitos

fixos. A variável de influência é o tipo de

recobrimento para tubos catódicos, e a variável

de resposta é a condutividade, não existindo

fontes de variabilidade.

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

Tipo de recobrimento Condutividade y. ȳ. 1 2 3 4 143 152 134 129 141 149 136 127 150 137 132 132 146 143 127 129 580 581 529 517 145,00 145,25 132,25 129,25 y.. = 2207,00 ȳ_.. = 137,94

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Análise de um modelo de efeitos fixos

Tipo de recobrimento Condutividade y. ȳ. 1 2 3 4 3 12 -6 -11 1 9 -4 -13 10 -3 -8 -8 6 3 -13 -11 20 21 -31 -43 5,00 5,25 -7,75 -10,75 y_.. = -33 ȳ_.. = -2,06 15/09/2016 13:11

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis



Análise de um modelo de efeitos fixos

25 , 236 69 , 844 94 , 1080 SQ SQ SQ 69 , 844 16 ) 33 ( 4 ) 43 ( ... ) 20 ( N y n y SQ 94 , 1080 16 ) 33 ( ) 11 ( ... ) 1 ( ) 3 ( N y y SQ s Tratamento T E 2 2 2 2 .. a 1 i 2 . i s Tratamento 2 2 2 2 2 .. a 1 i n 1 j 2 ij T                                    





  

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Análise de um modelo de efeitos fixos

49 , 3 F F 3 , 14 12 / 25 , 236 3 / 69 , 844 ) a N ( SQ ) 1 a ( SQ F 12 ; 3 ; 05 , 0 a N ; 1 a ; E Trat o          

a) Como Fo > F0,05;3;12 , rejeita-se Ho para o nível de

significância de 5%, concluindo-se que o tipo de recobrimento dos tubos afeta a condutividade nos mesmos.

b) ȳ_.. = 137,94 SQ_Tratamentos = 844,69

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis

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Análise de um modelo de efeitos fixos

c) 182 , 3 t n s y t 3 1 4 1 n 062 , 2 s 25 , 129 y 3 ; 025 , 0             95% 2,5% 2,5% ? ? φ = 3 129,25 t 95% 2,5% 2,5% -3,182 t _α/2;φ = 3,182 t

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Análise de um modelo de efeitos fixos

% 95 ) 8 , 132 2 , 126 ( P % 95 182 , 3 4 062 , 2 25 , 129 182 , 3 4 062 , 2 25 , 129 P            _{     }  

Ou seja, o intervalo [126,2; 132,8] contém a verdadeira média do recobrimento 4, com 95% de confiança.





_         _{     }   t 1 n S y t n S y P 1 n ; 2 1 n ; 2 15/09/2016 13:11

8.2 Planejamento aleatorizado por níveis

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Análise de um modelo de efeitos fixos

d) Ho:1 4 C1 1y10y20y31y4 125 , 496 ] ) 1 ( ) 1 [( 4 )] 43 .( 1 20 . 1 [ c n y c SQ _{2 2} 2 a 1 i 2 i 2 a 1 i . i i C _{ }           





  75 , 4 F F 20 , 25 12 / 25 , 236 1 / 12 , 496 ) a N ( SQ 1 SQ F 12 ; 1 ; 05 , 0 a N ; 1 a ; E C o         

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Análise de um modelo de efeitos fixos

• Conclusão: Como Fo > F0,05;1;12 , rejeita-se Ho para o

nível de significância de 5%, concluindo-se que que existe diferença significativa entre as médias dos tratamentos 1 e 4.

FIM