FIZIKA
Mozgások
•Energiaváltozások
Hundidac ’97 Arany-díj
V. Budapesti Nemzetközi Könyvfesztivál Budai Könyvdíja Szép Magyar Könyv '97. ‘98 Oklevél
Szép Magyar Könyv ’98 Különdíj Hundidac ’99 Arany-díj
Hundidac 2001 Arany-díj Szép Magyar Könyv 2001 Díj Hundidac 2003 Arany-díj
FIZIKA
Mozgások
Energiaváltozások
13., ÁTDOLGOZOTT KIADAS
M OZA IK KIADÓ - SZEGED, 2012
c. fő is k o la i iíinár
Bírálók:
D R . M O L N Á R M IK L Ó S
eg yetem i (Un ens
D R . S Z E G E D ! E R V IN vezeiőranár B O N IF E R T D O M O N K O S N É D R . fő isko U ii (Ufcens
Kirendelt szakértők:
H O R V Á T H N É S Z O M B A T H E L Y I K A T A L IN K IR Á L Y IL D IK Ó D R . Z S Ú D E L L Á S Z L ÓF elelő s szerkesztő: Tóth K atalin
B orítőterv, tipográfia: D eák Ferenc, Rem ényfy Tamás
F otók: Vadász Sándor, Szaniódy Z so lt, képiigynökségek
A >
Á b rá k : A hrahám István, Szentirm ai P é te r
M űszaki szerkesztő: H orváth P é te r
KERETTANTERVI
O M Kcrcttiuitcn' 1 7/2004 (V. 2 0 .) O M rendelet 3. sz . inellcklet
M inden jo g fen n lailva. b c ic c ilv e ii so k szo ro sítá s, a m ű bevitelt, ill. rövidített változata kiadásiínak Jogát is . A kiitdó ínlsbcli hozz<<jái'ulúsa nélkül sem a teljes mű. sem ann;ik része se m m ifé le formában
(fotok óp ia. m ikrofilm v agy m ás hordozó) n em sokszorosítható.
Kiadja a M ozaik K iadó. 6 7 2 3 S zeged . D ebreceni u. 3 /B • Telefon: (6 2 ) 470-101
E-m ail: k iado@ m ozaik.info.hu • Honlap; w w w .m ozaik .in fo.h u • F elelő s kiadó: T örök Zoltán K észült a Dürer N yom dii K ft.-ben. GyuKin • F e le lő s vezető: K oviícs János
Terjedelem : 14.3 (A /5 ) ív • 2 0 1 2 . m ájus • T öm eg: 3 2 0 g • Raktiiri szitm: M S -2 6 1 5 T
Í B i a g y a r
n r * B d « t « i n i k
K N G E D É L Y S Z Á M : T K \7 3 1 9 -2 2 /2 0 U ISB N 9 7 « 963 697 332 2
\ ■Wi’: - -
■-%-.-i
II. fejezet
A TÖMEG ÉS AZ ERŐ
III. fejezet
ENERGIA, MUNK.V
A T E S T E K M O Z G Á S A 1. K n ilc k e z lc lo ... ....10 2 . E g y e n e s v o n a lú eg y en lete.v m o z g á s ... 13 3 . V á lto z ó m o z g á s ... 21 3 . 1. A v álto zó m o z g ást v é g z ő test se b e ssé g e ... 21 3.2. A g y o rsu lá s fo g a lm a ... .... 25 3.3. A sza b a d o n c s ő test m o z g á s a ... .... 30 3.4. A z e g y e n le te s k ö n n o z g á s ... .... 35 3.5. A k ö rm o z g á s é s fo rg ó m o z g á s s z ö g je lle m z ő i... .... 41 3.6. A v álto zó fo i^ ó m o z g á s (kiegészítő a n y ag )... 45 Ö s s z e fo g la lá s ... .... 48 A T Ö M E G É S A Z E R Ő 1. K m lé k c z lc tő ... .... 50 2 . A le h e te tle n s é g tö r v é n y e és a z i n e r c ia r e n d s z e r ... 52 3 . A tö m e g f o g a l m a ... .... 55 4 . A s ű r ű s é g ... .... 5S 5 . L e n d ü le t, l e n d ü l e t n i e g m a r a d á s ... ....60 6 . E r o lia lá s , e r ő ... 65 6 .1 . A z e r ő f o g a l m a ... 65 6 .2 . E rő -e lle n e iő . A m e ch an ik a i k ö lc sö n h a tá s ... 71 6.3. T ö b b e rő h a tá s e g y ü tte s e re d m é n y e ... 73 7 . K ü lö n fé le m o z g á s o k d i n a m ik a i f e lté te le ... 77 8 . K é n y s z e r e r ő k é s m e g h a t á r o z á s u k ... xo 9 . T e h e te tle n s é g i e r ő k (kicgcsv.ílo anyag) ... .... 82
10. K ü lö n fé le e r ő li a tá s o k é s e r ő t ö r v é n v e i k ... .... 85
10.1. R u g alm as e rő . L in e á ris e r ő tö n 'é n y ... .... 85
10.2. S ú rló d ás. K ö z e g e lle n á llá s ... 88
10.3. A n e h é z sé g i e rő é s a g ra v itá c ió s e r ő t ö n e n y ... 94
Tartalom
11. A b o ly g ó k m o / g á s a ... 99 12. A f o r g ó m o z g á s d iiia n iík a í v i / . s g á l a t a ... 103 12.1. A te h e te tle n sé g i n y o m a ték (kiegészílíS ;my;tg) ... 103 12.2. A p e id ü le t (kiegészíti anyag) ... 11K> 12.3. A fo rg a tó n y o m a té k ... 109 13. M e r e v te s te k e g y e n s ú l y a ... 114 13.1. A párhuzamos hatásvonalú eit^k e re d ő je ... 114 13.2. T ö m e g k ö z é p p o n t é s s ú ly p o n t. E g y e n sú ly i h e ly z e te k ... IIS ()ss7 x T o g lalá s ... 121 E N E R G I A , M U N K A 1. F j i i l é k e z l e t ő ... 124 2. K n e r g ia v á llo / á s m u n k a v é g z é s k ö / h e n ... 126 2 .1. A munka kisztímítúsa ... 126 2 .2 . A m o zg ási e n e rg ia k isz á m ítá sa . A m u n k a téte l ... 131 2 .3 . F eszítési m u n k a. R u g a lm a s e n e r g i a ... 135 2 .4 . A z e m e lé si m u n k a é s a h ely zeti (m a g a ssá g i) e n e r g i a 138 2 .5 . A m e ch an ik a i e n e rg ia fo g alm aé s m egm aradiisi té tele ... ... 142 3. T e lje s ítm é n y , h a t á s f o k ... 145 Ö s s z e fo g la lá s ... 14H M E G O L D Á S O K ... 149 T Á B L Á Z A T O K F o n to s fizik ai m e n n y iség ek ... 157 N é h á n y sz a b á ly o s a lak ú , h o m o g é n test te h e te tle n s é g i n y o m a té k a ... 157 ID Ő T É R K É P ... 15« ÚJ S Z A K S Z A V A K J E G Y Z É K E ... 160
Sárga m ezébe a lcgfontf>sabb szabá lyokat, lÖTN'ényekel é s a m ennyiségi fogalm ak m cghatározásál. illetve kiszám ítási mcSdjál teltük.
\ ‘aslHg iK iű k k c l a fon tos mcgáliapí* (ásókat c s ;íz új fogalmiík nevet iiluk. A k özép * é s e m e lt szin tű érettségi követelm ényben szereplő fogalmakat **giJ jelöltük m eg. A csak em elt színtű ér e ttsé g i k ö v etelm én y b en található fogalm ak je le
Bal o ld a li pirosas árnyalatú Siív- val hívjuk fel a figyelm et a kisebb betűkkel íil kísérletekre, am elyek m eg ism erése é s m e g é ile sc nélkül nem lehet feld olgozn i a tananya got.
A z e g y e s fe je z ete k e t e lm é ly ítő kisebb teijedelm ű kiegészítő anya go t «t bal oldali szürke sávról é s a k iseb b jnéretű betűkről ism er hetjük fel.
A z ábrúk a szö v eg b en leíitak köny- n y e b b é s jo b b m egéilését segítik elő. E zéil cciszen ií együtt kezelni a sz ö veget é s a m ellette, előtte, alatta levő. hozzá tiiilo z ó ábiákat.
TO A M e g je g y zé se k olyan g o n d o latok, am elyek nem tiuloznak k ö zvetlen ü l a tananyag logikai rendjébe, de fontos kiegészítői, értelm ezői, elm élyítői iuinak.
A (JoiuU tikottlaló k én lé se k való jában szi'tmolils nélkül megoldható
feladatok.
m A FehtdtU ok megoldcb;áv<tl e lm é lyíthetjük. job b an m egéithetjU k é s alkalmazhatjuk az elm életi tan- any<igot.
A z O lvasm án yh an olyan érde k e ssé g e k találhatók, iunelyek a z ad ott történelm i korba e lh e ly e z v e m utatják be a fiz ik a i fe lfe d e z é s e k e t, valam int a z o kat a fizik u sok at, akik koruk- Hiik é s a fizika tudom ányának sz e lle m i óriásai voltak.
A z ált<ilános iskolában m indenki tanult fizikát. így e z a tantárgy nem ism eretlen a 9. tanévet m ost k ezd ő k szám ára.
M ind en eddig tanult részletre term észetes, hogy nein em lé k ezik m in d e n k i. A z a la p o t je le n tő lé n y e g e t a z o n b a n b iz to s nem felejtette el senki. Ennek ellenére érd em es elgondolkodni az „E m lékeztető” cím ű részben ö.sszefoglaltakról. M egem síteni, felfrissíten i az olyan felism erések et is cé lsz e m . m int például: „V áltozás csiik kölcsönhatiís közben jö h e t létre.” . .A z anyagnak két fajtája van. a lészecske szerkezetű és «iz elsősorban folytonos m e z ő k .” , „A te s te k , a n y a g o k , fo ly a m a to k tu l a j d o n s á g a i t m e n n v is é ^ c k k e l is lehet jellem ezni, pl. a test tehetetlenscgcnck m érték e, m ennyiségi jellem ző je a tö m eg ,” stb.
A f l/ik a alap lu d o iiiáiiy , mert saját alapelvei és saját fogalom rendszere van. ezt a többi ten nészettudo m án y é s az egész tái'sa- dalom átveszi. É n e építi saját ism eretrendszerét. A ki m egism eri pl. a töm eg, a z energia, a hő. a m unka, a z égés. a halm aziíllapot- változíisok. az atom . «iz elektron, a gravitáció, <iz elektm m ágneses hullám o k stb. fogalm át, az nem csak fizik át tanul. A fizika tanu lásáh oz tehát jó . ha tudjuk: a íl /ik a a la p ja in a k is m e re te n é lk ü l n e m le h e t é rte lm e s e n í'o g lalk o /.n i a tö b b i te rm é s x e ttu d o - m á n n v a l sem . íg y nein lehet m egérteni é s m egvédeni a körülöt tünk lev ő term észetet. N em lehet alkalm uzni a technikát, b ekap csolódni iiz in fo nnációiüam lásba. d e a társadalom ban sem lehet tájék o zó d n i, tehát nem lehet m eg ism ern i a világot, am elyben elünk.
A fizik a gondolatvilágát, m ódszereit nem csak annak célszerű m egisinem i és megéiteni. akinek ez a tudom ány jövendő élethivatá- siUioz szakm ai iilapot biztosít, hanem m inden törekvő, gondolkodó, értelm es em bernek is. A li/ik a ta n u lá s a ugy a n is m in d e n k it fel készít a / é le tre , m e rt a fizikai jelenség ek, fogalm ak, töivények, m ódszerek m egism erése, m egértése, rendszerbe foglalása sem m i vel n em pótolható. K/. u g y a n is le h ető ség et b izto sít a z élet m in d e n te rü le té n a lk a lm a z h a tó k észség ek , ké|>ességek, ta n u lá s i te c h n ik á k , je lle m b e li tu la jd o n s á g o k stl>. k ia la k ítá s á r a , m eg e rő s íté sé re .
A ki ebből a tankönyvből okosan tanul, az tehát neitKsak isme retet szerezh et, hanem elsősorban p ozitív szem élyiségjegyeit is m egem sítheti. é s sok m ás olyan általánosan alkalm azható értékre tehet szert, am ellyel könnyebbé, sikeresebbé, boldogabbá teheti az életét.
E h h ez kíván sok sikert
I . fejezet
A TESTEK
MOZGÁSA
I//
km/h
///
140
1BO
1 Emlékeztető
10.].
tőből
M in d e n m o z g á s vugy h;il;id(S v ag y fo rg ó - v ü g y n kct* ö s s z e te h e tő m o z g ú s
M inden test bárm ely pillanatbün m ás-m ás helyet foglalhat el valahol a léib en . E gy test h ely zete is m e g v á lto z h a t a n é lk ü l, h o g y h e ly é t e lh a g y n á (például elbillen vagy elford ul). A testek helye, helyzete gyakian változik, ilyenkor a te ste k m(í- zo g n ak .
A testek m ozgása lehet h a la d ó f'or-góm ozf’á s ’^ vagy a h a la d ó és for};óm o/.^áshól
m«Zí»ás*.
H alad ó m o zg ásn ál a testek m ind en p on tja iizonos m ódon, p árhu zam o s eltolás foiiíiájában m ozog. Ilyenkor a m o zg ás leírásiíhoz eleg end ő a test egyetlen pontján<ik m ozgásiit isinem i vagy ineghatározni.
H aladó m ozgásnál, valam int abban az eset* ben, ha a test m éietei elh an y ag o lh ató an kicsik az elm ozdulás n ag y ság áh o z vagy a közte é s m ás testek között levő távolsághoz viszonyítva, a tes tet pontszerűnek tekinthetjük . H a ezek a felté te le k te lje s ü ln e k , a te s te t a n y a g i p o n l n a k ’*’ nevezzük.
A z az egyenes vagy g ö rb e vonal, am elyen az anyagi pont (pl. a haladó m o zgást végző test egy kiválíLsztott pontja) m o zgás közben végighalad, a test p á ly á ja * . A test által m egtett a bejáil p<ílyarész hosszával eg y en lő (ha a test m ozgásá ban nincs foidulópont).
A pályán bm hol kijelölhetünk egy v o iialk o z- tatá.si iMUitof*, am elyhez viszonyítva m ennyisé gekkel p on tosan m eg ad h atju k az ad o tt pályán levő anyagi pontok pillanatnyi helyét, és így azok m ozgását.
10.2. A iMÍlya le h et e g y e n e s v ag y g ö ib e v o n alú , á ltó l fü g - 10.3. A le st által m eg tett út a p á ly a b e já il ré sz é n e k hosszií-g ö e n . h o hosszií-g y m e n c já r a test vul e g y e n lő , h a a m o z g á sb a n n in c s fo rd u ló p o n t
I I .] . A m ozgás viszonylitgos. M ié n nunuUuujuk a fo ió (tiopján <i csiUagos égrnf. hogy etfonhif?
E g y testre v on atkozóan a lent, fent. előtte, m ögötte; inozog. nyugszik: gyoi>»ul. lassul, kanya rodik fogalm ak csiik m<ls testekhez viszonyítva h a sz n á lh a tó k e g y értelm ű en . E zek a fo g alm ak tehát v iszo ny lago s* (relatív) fogalm ak.
A z t a te s te t v ag y te s tre n d s z e it, a m e ly h e z v isz o n y ítv a m eg ad ju k a tö bb i te st p illa n a tn y i helyét, h elyzetét é s m o zgását, v o n a tk o /.ta tá s i rciulszcT iick* nevezzük.
A vonatkoztatási rendszert úgy célszeiii ineg- v álasztan i, hogy hozz<» v iszonyítva m inél eg y szerűbben lehessen m egadni az általunk vizsgált testre vo n atk o zó inform ációkat. E zéit le g tö b b ször a F öldel vagy a Földhöz viszonyítva nyugvó
11..'. A hely viszonylagos. A<fjiink iiuigyarázoiol <>Z óhra alapjdnf
testeket, esetleg egy m ozgó ji'uiuű belsejét szoktuk vonatkoztatiisi ren d szem ek kijelölni.
A m ikor eg y test h elye, helyzete - a kivála.sz- tott vonatkoztatási rendszei hez viszonyítva - vál tozik, ak ko r ez a te st a h b a n a v o n a tk o z ta tá s i r e n d s z e rb e n niozo}*.
11.2. R áiinely test lehet vomitkoztalási rendszer, ha a töb bi test helyei, helyzetét és mozgását hozzá viszonyítjuk
11.4. A vonalkozlaUisi rendszerhez tetszés szerint rögzít hető kooidinálU'iendszer. M iért c é h z fr ű ez?
X
o
1212.1. E gy pont helyét a leiben húmm. a M'kb;in két ;idut hat;íioz2ui meg. Ugyananniik a pontnak a helyéi különböző kooidimila>rer>dszeiben különböző adatokkal íihiiljuk te
12.2. M i (Uinii ei. ki ^y*'z ti versenyen?
12.3. A testek m ozgásilánya ineg\'áUozhiJt
A testek helyét, h ely zetet és m ozgását vonat- koztcitásí retid szer s e g ítsé g é v e l csak k ö iü líin í lehet. Például: .JK mi hiizunk a tem plom m elletti utcában balról a m ásodik” . Ezért a vonatkoztatási rendszerhez gondolatban k<M >r(lináta-rcndsxcrt’'‘ is k ap cso lu n k . A k (N > rd ín á ta-ri‘iid s/A 'rck b eii ugyanis poiil vagv' e g j' test - b á rm e ly pilla- n a th a ii nic}»levő - h ely e, h ely zete é s m o /4*ása, m e n n y iség ek seg ítsé g év el, e g y é rte lm ű e n m eg- lia tá r o /h a tó .
U gyanannitk a p o n tn ak a helyét különböző k o o rd in á ta -re n d s z e re k b e n nem u g y an az o k k al a m en n y iség ek k el a d h a tju k m eg. E z azo nb an nem a leírás bizo n y talan ság át vagy p o n tatlan ság át je le n ti, hanem a n n a k v iszo n y lag o sság á t inutatja.
A sokféle m o /g á s m in d eg y ik éh ez id ó kell. A g y orsab ban m ozgó te strő l azt m ondjuk, n a gyobb a sebesség e*.
.A n n ak a te s t n e k n a g y o b b a s e b e s s é g e , a m ely ik : - u g y a n a n n y i id ő a l a t t h o s sz a b b u ta l j á r végig, vagy - u g y a n a k k o r a u ta t r ö v id e b b id ő a l a tt te sz m eg.
A testek sebessége so k sz o r változik. A m ikor eg y test seb esség e nő . a te st g y o rs u l, am ik or csökken, a le st lassu l. K anyarodás közben a test m o z g á sá n a k ir á n y a v á lto z ik . A m ozgás tehát leh et e g y e n e s v ag y g ö rb e v o n alú , e g y e n le te s vagy változó.
2 Egyenes vonalú egyenletes mozgás
A SEBESSEG FOGALMA
A nyílt pályán egyenletesen huladó vonat ab lak á ból kin ézv e m egfigyelhető, hogy az egym ástól e g y en lő távolságra levő telefonoszlopok eg y en lő időközökben m aiadnak el <iz ablak előtt. K ísér lettel m egvizsgálható, hogy a z ilyen m ozgásokra m ilyen k ö zö s szabály vagy törvény jellem ző .
M ik o la S á n d o r m agyar fizikatanár h asznált e l ő sz ö r a tnozgilsok tanulmiinyoz<lsára olyan — m ind- kel végen bedugaszolt - hosszú ü v eg csö v et, iunely e g y kis légbuboréktól eltek in tve v ízz el v olt m eg tö ltv e.
A M ik o la -féle c s ő egyik vegét m e g e m e lv e a e s ő ben lev ő buborék mindig felfelé m ozog. Ha példáiul a ii>elionóm kattanásainak m egfelelően mi'isodpcr- cenkéni m egjelöljük a csö v ö n , hogy m ikor hol van b en n e a buborék, akkor a z időpillanatok é s a hoz- Ziíjuk tiutozö tá\'olságadatok ismeretében inegx’izs- gálhatjuk a buborék m ozgását.
K ís é rle tte l m e g á lla p íth a tó : fe rd e h e ly z e tű M ikolii-csőben a buborék vagy pl. a vízszintesre b e á llíto tt lé g p árn ás sín en e llö k ö tt sz á n k ó úgy m o zo g, hogy eg yen lő időtailam ok alatt egy enlő utakat f u t be. A z o ly a n m o /g á s t, am ely s o rá n a lest e g y en lő id ő ta r ta m o k a l a tt eg y en lő u ta k a t j á r he - b á r m i ly e n k ic sik v a ^ v nag,vok is c / e k a z id ő ta r ta m o k c$>ycnlctcs m o z g á sn a k * n c v c /z ü k .
13.2. LégpitináN sínen m ozgó szánkó
K ísérleteinkben a bu bo rék vagy a légpiirnás sz<ínkó m ozgása tehát eg yen letes. íg y ahányszor hosszabb ideig m ozog nak, ann yiszo r hosszabb utat jctinak végig.
E z a z t je le n ti, h o g y a z á lta lu k m e g te tt iit eg y en e se n a r á n y o s a z ú t m e g té te lé h e z s z ü k séges idővel, vagyis A.v - A/, tehát hányadosuk állandó.
—
á l
V '' ' '
rr,
14.1. A incrcdekcbb esőben (45*-50*-os hujlússzogig) ;i buborék gyoixibbim iTK>zog
A m eredek eb b helyzetű M ikola-csőben a bu borék vagy a vízszintes légpárnás sínen erősebben m eg lö kö tt szíínkó gyorsabban, de egyenletesen m ozog.
M in d en e g y e n le te se n m o zg ó te stn é l a A s A/ hányados éiléke állandó, é s anniU nagyobb, minél
A s
gyorsabban m ozog a test, E zéil a — hányados A/
alkalm as m ennyiség a te stek egyenletes m ozgá sának jellem zésére.
E m ennyiség neve: se b c ssc g , jele: v.
A z c}»>'cnlclcscn m o z ^ ó te st seb esség e tehát a következő m ódon szám íth ató ki:
út
v=
az út m eg tételének időtailam a A.V
A/
A seb esség m é rték eg y ség e az út é s az idő m értékegységének hányadosaként alkotható meg. T eh át a s e b e s s é g S l- b e li m é rté k e g y s é g e : — s (kim ondva: m étei-p e i-m áso d p erc). A sebesség km
h gyakorlatban használt m értékegysége m ég a
14.2. M i kor tneredekehh a z tU • i<l<y g ra jih n i ?
(kim ondva: kilom éter-per-óra).
Egyenletes m ozgás esetében a sebesség sziím- éiléke m egegyezik a z egységnyi idő alatt megtett út sz<imértékével. K /é ii a selH'ssé;; i i i e ^ i u t u t j a , m e k k o r a a z c};yscgnyi íd o a la U m e g te tt ú t. A z egy ségn yi idő alatt m e g tett út ism eretében pedig könnyen m eg adh ató a sebesség.
A SEBESSEGVEKTOR
E g y te st mozgásainak leírásáh o z nem e lé g , ha csiik a m ozgás időt<utamát és az út hossziít vagy a seb esség nagyságát ism cijük. E zekből u g y an is nem tudhatjuk m eg. hogy a test mikor. m eri« j<Ul. A m ozgás pontos leírásiihoz olyan m ennyiségekre van tehát szükség, am elyek a m ozgás irányám i is felv ilág o sítást adnak.
A z o k a t a m en ny iségek et, m e ly ek n ek nem - csiik nag y ság u k , hanem irányuk is van, v c k to r- nic n iiy isc g ck n ck , röviden v e k to ro k n a k ’’' nevez* zük. A sclK‘ssé{» tehát v c k lo n n c n n y is é g . A test
sebességvektorának nagysága a már inegismeil
sebesség nagys<iga, é s ir á n y a m iiiclcii p illa n a t b a n mcge}0'c>^ik a le st m o z g á sá n a k ir á n y á v a l. K ét ellentétes irányú vektor, pl. két ellen tétes irányban egy en es pályán m ozgó test sebesség- vek to ra között előjellel tehetünk leg eg yszerű b ben különbséget. Ez azt je len ti, hogy valam elyik test sebességét pozitívnak, a vele ellentétes irány ban m o z g ó testét p edig n egatívnak választjuk, íg y az előjelekkel inegadhatjuk, hogy a test az egyik vagy a m ásik irányban m ozog-c ugyeinazon az eg y en e s pályán.
A v e k to ro k a t r a jz b a n irá n y íto tt sz ak asszal, „ n y í l l a r ' á b r á z o lju k . A n yíl ir á n y a a vcktc»r- n ie n n y is é g ir á n y á l, h o ssz a pedi}> a n a g y s á g á t m u ta tja .
A v ektorok at « ; />; r stb. vagy a \ h , r stb. m ódon szokás jelölni. A sebe.sségvektor je le tehát
V v ag y V. (M ilsként: v s v, ahol a s je len té se :
azonosan egyenlő.)
A vektorok nagyságának je le . pl.: |<ir| s |T | s r szokott lenni.
15.2. A ^2 kclszcicsc a r,-nak. és irányuk is különböző
Egy rajzon belül az azo n o s fizikai m ennyisé geket ábriízoló vektorok közül a nagyobb vektoil aii'uiyosan hosszabb, a k iseb b et <uányos<m iövi- debb iiányított szakassz^il ábrázoljuk. A hányszor nagyobb az egyik vektor a m ásiknál, annyiszor hoss2Uibb az ő t ábriízoló n y íl is a m ásik nyílnál. E zzel a m ódszerrel n em csak <iz egy egyenesbe eső, hanem a te tsző leg e s irányú é s k ülön bö ző nagyságú vektorokat is m eg tudjuk adni.
A z anyagi pont h ely et, m ozgását h e ly v e k to r r a l’^ és annak változá.sával is leírhatjuk. H ely vektornak azt a vektort nevezzü k, am ely a koor- dináta-rendszei ongójából indul, é s az anyagi pont pillanatnyi helyéig tait. A helyvektor végpontja tehát pillanatról pillanatra nyom on követi a m o z gó anyagi p o n to t. A p o n to k h ely ét m egad ó é s Tj h ely v ek to ro k at ism e rv e az / \ , kiin du lási p o n tb ó l a A / id ő v e l k é s ő b b i A2 ta rtó z k o d á s i
pontba m u tató vektor m e g ad ja a z anyagi pont e lm o z d u lá s á n a k * irányú t é s nagy ság át. E zéil ennek a vektorniik e lm o z d u lá sv e k lo r* a neve. és ?2 “ ^1 ” a jele.
A.V
15.1. A scbcvNcgnek nctixNiik niigysígit, hioictn ii<íny<i is wm. I 5 J . M ilyen fe lié ie l eseíéhen ef^yenh7 a z líiuil a z ehnoz- M ilyen m ennyiség a sebesség? tluhisvekutr hossza?
B
s>
16.1. A buborék cgyidőbcn itt két cgyinúiyú inozgást végez
AZ EGYENES VONALÚ EGYENLETES MOZGÁSOK ÖSSZEGZŐDÉSE
Á llítsunk eg y M ikohí-csövet fü g g ő le g e s h elyzetb e eg y liíbiii e lé úgy, hogy a buboi ék a c ső alján leg)'en. M ik özb en a buborék a csőb en felfelé m o zo g , m oz- giLssuk a csö v et is egyenletesen, fü g g ő leg esen fö l fe lé . íg y a buborék e g y sz e ir c kétféle m ozgásban v e s z lészt. M o z o g a cső b e n a c ső h ö z viszo n y ítv a , é s in o z o g a cső v e l együtt is.
A buborék m ozgása közben:
<i) a z eg y ik m e g fig y e lő m ásodpercenként jelölje m eg a c s ő a lsó végének helyét a táblán. h } e g y m ásik tn e g fig y e lő a buborék h ely et a c s ő
h öz viszon yítva,
c ) a harmadik pedig a buborék h elyét a táblához viszon yítva.
A fen t leíil kísérletben {16.1. ábra) h a a cső n em m o z o g n a , a k k o r a b u b o rék a c s ő ■aljáról (A p o n t) a cső tetejéig ( li pont) ju tn a el. A cső m o z g á s a m ia tt a li p o n t a C -b e m o z d u l cl. akáicsiik a buboiék, tehát a buborék két m ozgása ö sszeadódik.
Ism ételjük m eg <iz elő ző kísérletet úgy. hogy a csö v et inost lefelé m ozgatjuk. A bu bo rék így nem j u t olyan m agasra, m intha a c s ő n y u g alo m ban volna, m eit a két elm ozdulás m ost .Jcivonó- dik*’ egym ásból. A z eg y egyenes m entén lö ilén ő e llen tétes irányú elm ozdulásokat ezéi1 célszerű elő jellel m egkülönböztetni.
H a egy test egy eg yen es m entén, egyidejűleg két elm ozdulást végez, ak k o r annak közös e re d m énye, az ún. e r e d ő c lm o /d iilá s ”', a k c t elm o z d u lá s elő jele s összege:
T
A buboréknak a tá b láh o z viszonyított sebes- sége egyenlő a cső tábláho z é s a buboiék csőhöz viszo n y íto tt seb esség én ek e lő je le s összeg év el. Ez az ún. e re d ő sebessé^**:
E gy 2 0 seb e ssé g g e l m o z g ó vonatban a kalauz
III s ^
2 sebességgel sétál. Ha a vonat menetirányában s
m o z g ó testek s e b e s s é g e t választjuk pozitívnak, akkor ott az előre halad ó kalauz se b essé g e + 2 —, a v issz a felé sétálóé p ed ig - 2 lesz.
K önnyen belátható, h o g y a vonatban ácsorgó kalauz seb essége a pálya menti telcfonoszlopokhoz viszonyítva eg y en lő a vonat sebes.ségével. 20 "**<^1- A vonalban sétáló k alau zé pedig a vonat é s a ka lauz vonatbeli seb e sség én ek ö ssz e g e lesz. íg y az elő r e h alad ó k a la u z s e b e s s é g e a z o s z lo p o k h o z
v isz o n y ítv a 2 0 + ^+2 = 2 2 a hátrafelé
sétálóé pedig 2 0 + - 2 = IS —. s V s / s
H a e g j' te si eg>' eg y en e s n ie n té ii e g y id e jű leg k é t mo7.gást vége/^ a k k o r a m ozgásaíiiH k seb esség e elő jele se n a d ó d ik össze, így az eredő sebessége:
16.2. A kalauz inozgása a vonuthoz viszonyítxa séta. a táj hoz viszonyítva sziiguldiís. M ié n ?
A'
17.1. A buboiék <i tábliíhoz viszonyítva a léglaliip <íll6Ja menten m ozog
" Á llítsu k ism ét fü g g ő le g e s h e ly z e tb e a M ik olu - csö v e t úgy. hogy a buboiék a c ső alján legyen . M i k ö zb en a buborék a cső b en rclfelé m o z o g , a c s ö vet m ozgassuk egyen letesen v ízszin te s irányban. A b u b oiék egyid ejű leg m ost is k étféle m ozgásban v e s z részt, d e a két m o zg á s m ost nem e s ik e g y e g y e n e sb e , hanem egym ásra m erőleges irányú.
A bu bo rék két egyidejű, egym ásra m erőleges egyenletes m ozgása közben a cső egyik alsó pont* ján ak » táblához é s a buboréknak a csőhöz viszo* nyitott elm ozdulásveklonj egy téglalapot hatiíroz m eg. A buboréknak a táblához viszonyított m oz gása en n ek a téglalapniik <iz átlója m en tén m egy végbe. Ilyen esetben a buborék e ie d ő elirozdu* h'isvektorának nagysága tehát nem a két elmoz* dulás .^tlgebrai összege” , hanem kisebb annál.
A kísérletet elvégezhetjük úgy is, hogy a bubo rék m ozgásii közben a cső tetszőleges helyzetű, és tetsző leg es irányú egyenes m enten m ozgatjuk egyenletesen. Ekkoi a közös pontból induló két
17.2. A z egy >>kbim levő. de nem egy egyenesbe eső \’eklo- lok |xirale]ogr>unma módszerrel összegezhetők. M i a ixm i- M o ^ ro m m t nuHhzer?
elm ozdulásvektor paralelogram m át határoz meg. Ilyen esetb en a buborék ered ő m ozgása en nek a paralelogram m ának az iítiója m entén jö n létie. így a buborék táblához v iszon yíto tt elm ozdulás* vektorát a paralelogram m a átlója határozzál meg.
M érések alapján inegcíllapítható. hogy ha egy test két eg yidejű m o zg ást végez, iikkor ugy an annyival m ozdul el. m intha az egyes m ozgásokat külön-külön. egym ástól Függetlenül, tetszőleges so rre n d b e n v é g e z n é . T e rm é sz e te se n m in d k ét esetben a test az eredeti sebességével ugyanannyi ideig m ozogna, m int am ed d ig «iz együttes m o z gása tiulott. E z csak iikkor lehet, ha:
K{;y te s t e g y id e jű le g v c g / e tt k ü lö n íe lc m o z g á s a i n e m b e f o ly á s o l já k e g y m á s t, egviim stól fü g g e tle n ü l já ts z ó d n a k le.
Ezt a jelenséget szokás a m ozgások független ségeként m egnevezni.
lí iM EG JEG Y ZESEK
1. A v e U n ita s - latin szó. jelen tése: gy orsaság, fürgeség. Ebből sz<'u*mazik a v jelölés.
2. A légpiirnás sín olyan négyzetes vagy három szög keresztm etszetű cső, am elynek felső oldalán nagyon sok kicsi lyuk van. A cső az egyik végén zárt, a m ásik végén pedig levegőt lehet belefúj tatni. A légpiirnás sin alakjaihoz jól illes2dcedő szánkót a kicsiny lyukakon kiái'amló levegő megemeli, é s iiz a „levegőpiímán” csúszva, gyakorlatilag súrlódi».stól m entesen siklik a légpiirnás sín felett. 3 . A A.v - A /-ből az is következik, hogy — = állandó. Ez a hányados azonbitn nem célszerű
A.9
a test m ozgásíinak je llem zésére, m e il annál kisebb, m inél gyoi^abban m ozog a test.
4 . A sebesség viszonylagos m ennyiség, m eit nagysiiga attól függ, hogy a test m ozgásiit m ilyen vonatkoztatiisi rendszerben írjuk le. A sebcs.segváltozás azonU m fü g g etlen az inerciaiendszer megváliLsztiisától.
5. A m ozgást úgy a legcélszeiííbb leírni, hogy a vonatkoztütási pontot a pálya azon pontjához rög- zítjük, ahonnun kezdve a m ozgást vizsgáljuk. Ebben <iz esetben = 0, így a A s = .Vj - .Vj = .V2» te h át nincs szükség az indexszel tö rtén ő m egkülönböztetésre. így A s a s is írható. H a az idő m érését ak ko r kezdjük, am ikor az an y ag i pont elindul vagy áthalad a vonatkoztatási ponton, ak k o r A i helyett / is írható. A v = — képlet tehát olyan egyenletes m o z g ás esetén
használ-I
ható, ha a test m ozgását attól a pillanattól vizsgáljuk, am ikor az áthalad a vonatkoztatási pon to n vagy onnan indul el.
6. A közös megegyezé.ssel létiehozott és S l-vel je lö lt nem zetközi m éilék eg y ség ren d szer alkal- mazá.s<U törvény íija elő. Ebben a rendszerben a hosszúsiigot, az időt, a töm eget és m ég n ég y m ásik m ennyiséget a la p n ic n n y lsé g iic k választották. Ezek m értékegységében (m éter, m áso dp erc, kilogriunm stb.) sziibadon lehetett m egállapodni.
A sebe.sség fogalm át a távolság (ú t) é s az idő fogalm ára visszavezetve, azok felh aszn álásá val értelm eztük. A sebességet ilyen értelem ben s / á n i i a / t a t o t t m e n n y isé g n e k tekinthetjük. A szárm aztatott m ennyiségek m értékegységei m ás m ennyiségek m értékegységeivel alkotha to k meg.
7. K é t s k a lá rm e n n y is é g — a m e ly e k n e k c s a k n ag y sá g a v an . Irán y a n in c se n - ö s sz e a d á s a iilg eb rai m ű v elet. K ét v ek to r ö s sz e g é t é s k ü lö n b ség ét, m e g k ü lö n b ö z te te n d ő a sk aláro k ös.szegétől, v c k to ri összegnek^ illetv e v c k lo ri k ü lö n b s é g n e k sz o k á s nevezni. V ektorok összeadásiit m ost m ég csak szerkesztéssel, a paralelogram m a szabály szerint tudjuk elvégezni. K éső bb m ás lehetőséget is m egism erünk m ajd a vektorokkal kap cso lato s m űveletek elv ég zésére.
8. Á ltalában h elyes eljiíiás. hogy két eg y m ást m etsző irányú v ektor vektori összege, a z ú g y nev ezett ered ő vektor, piu alelo grain m a m ódszerrel m egszerkeszthető. A k é l, u g y a n a b b a n a p o n tb a n kexd őd ő v e k to r á lta l m e g h a tá ro z o tt p a ra le lo g ra m m a (a vckton>k köxös k ezdő p o n tjá b ó l in d u ló ) á tló ja m e g a d ja a z e re d ő v e k to r nag>.ságál és ir á n y á t.
y. A fizikai m ennyiségeket jelö lő b etűk a .számértéket (m éi'ősaim ot) é s a m értékegységet együtt je len tik . Form ailag:
fiz ik a i m e n n y isé g = szám érték-.szc)rozva>m ér(ékeg>'séggel, pl. v = 5 • —. s
E b ből következik, hogy például az .v = v ■ / m e n n y isé g e g y e n le í két o ld alán nem csak a szám - értékn ek , hanem a m értékegységeknek is m eg kell egyezni. íg y a felírt eg y en let m atem atikai átalakításainak helyességét is kön ny en ellenőrizhetjük.
A m en ny iség eg yen letek kel szem b en a m atem atikában haszn ált szá m é r té k c g y e n le te k h e n a betűk csak sziím értéket jelen ten ek . A fizikában a sziím értékegyenletek használatát célszerű elk erü ln i.
10. A m atem atikai egyenletek sokkal általáno sab b gondolatot fejeznek ki, m in t az eg y-egy terü leten alkalm azott fizikai képlet. A z s = v • í és a téglalap teiületének kiszám ítási m ódját m eg fogalm azó T ' h képletre az a jellem ző, hogy m indkét esetben hiüom különböző m ennyiség k ö zö tt azonos kapc.solatot fejeznek ki (/\ = /í • O - A két egyenlet m ennyiségegyenletként különböző, de sziim értékegyenletként m egegyező. Ezért m ondhatjuk azt, hogy a sebes.ség-idő g r a tlk o n a la tti m e g fe lelő te rü le t s z á m é rté k ile g eg y en lő a test á lta l m e g te tt ú tta l. E z ter m észetesen nem azt je len ti, hogy a teililet egyenlő <iz úttal!
GONDOLKODTATÓ KÉRDÉSEK lei
1. E g y autó 72 sebességgel hiilad. M it tudunk az autó m ozgásiiról? h
2. A g rafik on két test m ozgására vonatkozik. E n nek alapján állapítsuk m eg, hogy: - M elyik testnek nagyobb a seb esség e? - M ennyi utat tesznek m eg két m ásodperc
alatt?
- M ennyi utat tesznek m eg a h a n n a d ik m á sodpercben?
X K ét kerékpiu'os közül az egyik ;i-szer nagyobb utat tett m eg ugyanannyi idő alatt, m int a m ásik. H asonlítsuk össze a két k erékpáros sebességét!
4. A z egyenletesen m ozgó két test k özül a z egyik hosszabb idő alatt hossziibb utat tett m eg, m int a m ásik. L ehetett-e eg y en lő a két te st sebessége? H a igen, mi ennek a feltétele?
5 . E g y j ó labdiuúgó-játékos az eg ész m érk ő zés alatt kb. 12 km -t fut. M ire je lle m z ő e z a m enn yi ség : a já té k o s által m egtett útra vagy a já té k o s elm ozdulásának nagysiígáia?
(>. A z autóbuszok kllom éter-szíím lálójának állását reggelenként, indulás e lő tt bejegyzik a g arázs naplóba. A z egyik autóbuszra v onatkozóan a következő két bejegyzés olvasható:
ja n u á r 5.: 96 534 km ; ja n u á r 6.: 9 6 7 0 1 km .
M ilyen nagyságú volt az autóbusz elm o zdu lása egy nap alatt? M ekkora u tat tett m eg ez az autó b u sz egy n ap alatt?
7. A k ö v etk ező esetek közül m elyikben tekinthető a test anyagi pontnak? a ) E gy tányért m osogatás közben forgatnak.
h ) E gy diszkoszt 62 m éterre dobnak.
c) E gy diák iskolába m enet 500 m -t gyalogol. d ) E gy diák a g y ű iű n tornázik.
8. F ügg-e a helyvektor é s az elm ozdulásvektor attól, hogy a vonatkoztatási rendszerben hol vettük fel a koordináta-rendszer origóját? In do ko ljuk a váhtszt!
9 . A szabadon v á l a s z t o t t v o n a t k o z t a t á s i r e n d s z e r e k b e n a . j T í o z g á s t ” g)'aki<m s z o k a t l a n módon fogalm;»z-
h a t j u k meg. p é l d á u l : M it á l l í t h a t u n k a víz és a pait i n o z g á s i ü ó l a folyólxí dobott l a b d á i h o z v i s z o n y í t v a ?
10. L eh et-e eg y te.stről <izt m ondani, h o g y abszolút nyugalom ban van? 11. M it jelen t az, hogy a m ozgás v iszo nylagos?
12. K ét város között hajó közlekedik eg y folyón oda-vissza. M egváltozna-e u m enetidő, ha ugyanez a h ajó nem folyón, hanem tavon te n n é m eg a két város közötti utat o d a-v issza?
^ ___ FELADATOK
1. E g y vasúti szeiclvén y 20 m ásodpercig egyenes vonalú egyenletes m ozgással halad, é s közben 6 0 métei utat tesz m eg. M ennyi a sebessége? R ajzoljuk m eg a m ozgás sebesség-ido grafikonját!
km
2. M ek k o ra utat tesz m eg 10 m áso dp erc alatt egy m adár, ha 36 seb esség gel repül? R ajzoljuk m e g a m ozgás út-ido é s seb esség-ido gnifikonját! **
3 . M en ny i idő alatt tesz m eg egy autó 2 0 változatlan sebességgel 36 k m hosszú utat? $
4. E g y m otoros 3 km utat 150 m ásod perc alatt lett meg. M ennyi volt a seb essége? 5. A z em beri haj négy hét alatt 10 m m -t nő. M ennyi a haj növekedési seb esség e? 6. M ennyi utal tesz m eg 10 perc alatt e g y autó, ha sebessége 25 **'?
s
7. M enn yi idő alatt pusztít végig egy 100 km hosszú sávot a z a vihiu. iunelynek változatlan sebes-seg c 42 —?
^ s
8. M ilyen m esszire ju t el a levegőben 5 m ásodperc alatt a hang, ha terjedési sebe.ssége ott 340 ? I s K11) 9 . E g y futó a 100 m -es versenyt 10.1 m ásodperces eiedm énnyei nyeri. E g y kerékpiiios 20 .se
bességgel halad. M elyiknek nagyobb a sebessége? *
l( Dl le Itl
10. E g y m éhecske teher nélkül 8 . m ézzel és v irág p o n al m egriikodva 6.5 sebességgel repül.
h , . Ji
M ilyen m essziről hozhat m ézet 10 p erc alatt, ha a .j'akodási időtől” eltek in tü n k ?
k Ili
11. E gy .személyvonat 72 sebességgel halad. A szom szédos pályán egy 100 m hosszú
tehervo-kin
n a t 36 sebességgel jö n a szem élyvonattal ellen tétes irányban, h
a ) M ekkora a szem élyvonat seb essége a tehervonathoz viszonyítva?
b ) M ekkora a tehervonat sebessége a szem élyvonathoz rögzített vonatkoztatási rendszerben? c) M ennyi ideig látja a szem élyvonat ablakán m erőlegesen kinéző utits n tehervonatot? íl) M ennyi ideig látja önm aga m ellett a tehervonat vezetője a 200 m ho sszú szeinélyvonatot? e) M ennyi ideig látja a szem élyvonatban ülő m egfigyelő a teheivonatot. ha az a szem
élyvonat-km
tál eg y irányba halad 36 seb ességgel? h
12. E g y m otorcsónak a folyó sodiúsának irányában 10 —. az m am lással szem ben 6 sebességgel
s s
k é p e s haladni a p arth oz viszonyítva.
(t) M ekkora a folyó vizének seb essége a parthoz viszonyítva? h ) M ekkora a csónak .sebessége a fo ly ó vizéhez viszonyítva?
c) M ennyi idő alatt teszi m eg a motorc.sónak két város között az utat o d a-vissza, ha azok a folyó m entén, egym ástól 30 km tá v o lság ra vannak?
13. A fo ly ó p attján egym ilstól 5 0 km táv olság ra levő két vm os között hajó közlekedik. A folyó sod rásának irányában 2 óra, az áramlásscil szem be 3 ó ra a m enetidő. H atározzuk m eg
ít) a fo ly ó vizének a palihoz, és
h ) a hajónak a vízhez viszonyított sebességét!
14. E gy halász csónakjával a folyón felfelé halad. A folyót átívelő híd alatt a vízbe ejti a tailalck eve ző jét. ezt azonban csak fél ó ra m úlva veszi észre. E kko r visszafordul, é s a híd után 5 km -rel éri utol az evezőt. M ekkoni a folyó sebesség e, ha a csó nak vízhez v iszon yított sebessége m indkét irányban ugyanakkora?
15. E gy m otorcsónak a folyó sodrára m erőlegesen, hozzií képest 4 .sebességgel halad a 3 sebes*
s s
ség g el áram ló folyó n. M ek k o ra se b e ssé g g e l h alad n a ez a csó n ak e g y tavo n, ha a m otorja ugy anúgy m űk öd ne? M ekkora a p arth o z viszonyított sebessége a fo ly ó b an ?
3
Változó mozgás
31 A változó mozgást végző test sebessége
A term észetben és a gyakorlatban lezajló m o zg á sok többsége nem egyenletes m ozgás. E g y autó iTiozgiisa a Viuosi foigalombiui látszólag összevissza változik. A z ilyen m ozgást nehezebb leírni, m int az egyenleteset. Ezért inost keresünk többféle m eg o ldást iirni, hogy a sebesség fogahnát a változó m ozgások jellem zésére is alkalm assií tegyük.
ATLAGSEBESSEG
A te s te k m o z g á sa á lta lá b a n v á lto z ó m o z g á s. P éldául egy vonat a 200 km -es utat 2,5 ó ra alatt teszi m eg. E közben egy es szakaszokon gyoiNul, m ajd egyenletesen halad, néhol IílssuK és m eg is áll.
H a a v á lto z ó m o z g á s e s e té n u g y a n o ly a n m ó d o n sz<imítjuk ki a sebességet, m int ahogy egy enletes m ozgás esetén tettük, ak ko r az ö sszes út é s ii m egtételéhez szü k ség es ö ssz es id ő há» n y ad o sa az atlH^^scbi'sscgct* adja m eg. iimínek je le
átlagsebesség = ö sszes m egtett út közben eltelt idő
Á fla g s c h c s s c g c ii a / t a s e b e ssé g e t é r t j ü k , am elly el a test egyenletesen n io z o g \a iig v an azt a / iila f u g y a n a n n y i i d o a l a t l te n n é m e g , m in t v á l to /ó nio/.gással.
21.2. JeUenu'ZZiiÍ! <i kél test niozgŐMl ti grdjihm
A z átlagsebesség iizonban nem ad felvilágo- sítíist arról, hogy a test útkö zb en m ikor hol volt, hogyan m ozgott, é s m ely ik pillanatban m ekkora volt a sebessége. Ezek k özlésére m ás m ennyiség m egalkotására van szükség.
PILLANATNYI SEBESSÉG
E gyenletes m ozgásnál a seb esség tartósan v álto zatlan. A z autó seb esség e gyoi'suiás vagy lassu- lils közben pillanatról pillanatra változik. A z autó iTiozgásáiöl a sebességm éi'ő ad tájékoztatást, m eil inindig a sebesség pillanatnyi értékét, a p illa n a t nyi seb esség ei* m utatja.
22 .]. A kocsi iiddig gyorsul, iuneddig van gyorsító hatás (stroboszkopikusfelvétel: lásd 23.old;il ..M efyt'gyz^sek" 7. pont)
E g y légpárnás sín en le v ő szán k ót v a g y e g y jó l c sap ágyazott k isk ocsit inozgassunk c sig á n átve tett z sin eg végére ei'ósített nehezék seg ítsé g é v e l. Ilyenkor a sz<mkó. illetve a kiskocsi addig gyorsu l, atní^ a nehezék húzza. Aintkor a nehezék pl. eg y alá h e ly ezett asztalkán fennakad, a gyorsító crőhatiis m eg szű n ik , é s a .JáiTHŰ" (m ivel a súrlódc'is e lh a n yagolh ató) változatlan se b e ssé g g e l halad tovább. Ez <1 sebesség m egegyezik itzzal a pillanatnyi seb es sé g g e l. am ellyel a kísérleti já n n ű a gyoiNÍtó erőha- tiis m egszű n ésén ek pillanatában rendelkezett.
A p illan atn y i sch essc^ 'ii a / t a scIkssv^cI é r t j ü k , sím cllye! a te st eg y en lete sen n io x o g n a
továl)!), h a ax a d o tt p illa n a tb a n n ieg s/ű nn é* n e k a s c h e ssé g v á lto /iíst o k o /ó h a tá s o k .
A pillanatnyi sebesség fogalm ához a z átlag sebesség felhíLsználásiival is eljuthatunk. Jelöljük ki a v izsgált test változó tnozgilsániik iizt a / idő p illanatát é s ezzel együtt a pillanatnyi hely ét is, a m ely b en m eg akarjuk h atározn i a pilh in atn yi seb esség et. V álasszunk ki olyan, e g y ie kisebb A/ időtartam okat (pl. 10 s; 5 s; I s: 0.5 m stb.). am elyek tiu1aliTiazz<ík a l időpillanatot. A z ilyen röv id ülő id őtailam ok alatt a test által in eg tett út egyre kisebb lesz. és a sebesség is eg y ie keveseb bel változik. K épezzük rendie ezen egym ásh oz tiu lo zó útszakaszok é s ido taitam ok hányadosait, tehát a z átlagsebességek soroziitát!
H a e zt az eljíiiást - g on do latb an - nagy on sok lépésben folytatjuk, akk or iiz egyre kisebb útszakaszokból és időtartam okból képezett átlag- seb ességek értéke egyre inkább azt m u tatja meg. h o g y a k iv á la s z to tt id ő p illa n a tb a n é s h e ly e n
m ekkora sebességgel fut a test. A nagyon m vid időtartam alatt ugyanis a test sebessége alig vál tozik. A kijelölt időpillaniitot tartalm azó nag>’on rö v id id ő t a r ta n i h o /. t a r t o / ó á tla g s e b e s s é g n a ^ 's á g a k ö /e l eg y en lő a p illa n a tn y i seb esség n a g y s á g á v a l. S z e m lé le te se n m eg fo g alm azv a: ha a A/ idő tartam k ö z e lít a nulláh oz, az á tla g sebesség nagysága kö zelít a pillanatnyi sebesség nagyságához.
A PILLANATNYI SEBESSÉG M IN T VEKTOR
A pillanatnyi sebesség n agy ság a a n a jellem ző, hogy iiz anyagi pont m ekkora sebességgel hidad ál egy ad o tt pillanatban egy ad o tt ponton. A zt nem m utatja m eg, hogy m erről jö tt és m erre megy. pedig a tix>zgási<i ez is jellem ző. A pillanatnyi .se- be.sséghez ezért a m o zgás irányát is hozzá kell kapcsolni valam ilyen m ódon. A z így kapott vek- to il p illa n a tn y i s e b e s s é g v e k to rn a k * nevezzük.
A pálya két k ülön bö ző pontjába m utató hely vektor (Fj; í^ ) különbsége ( A r ) a kél pont közötti d m o x d u lásv ck to r* ( A r = r , ). A z elmozdulás- vektor tehát az f h ely vektor A f idő alatt b ek ö vetkezett A r változ«ísa. A vektonnennyiség. n agysága (am it A r
A/
A/
-vei je lö lü n k ) sebesség je l legű. iránya pedig a A r elm o zd ulásv ek to r irá nyával egyezik meg.
A pillanatnyi sebességvektort «iz elm ozdulás vektorból és az időből ugy an azzal a m ódszeirel sziínnaztathatjuk. m int a sebesség nagyságát az
A r útból é s a z időből. A Al vektoiokból alkotott Z á ^ / í . / ’,:ap<*oih«5yc Y r„ r: a helyvektorok
AF- a F,F; íwn mozgó tcsi cinM»dul&<>a
22.2. A hclyvektoi végpontja mindig a z anyagi pont pil lanatnyi helyével esik egylic
soioziit elem einek nagysága annál jobban m egkö- m ekkora sebességgel és m iiyen irányba m ozdul el zelíti <1 p illanatny i sebesség n ag yságát, iránya az anyagi pont.
pedig a m ozgás pillanatnyi irányát, m inél kisebb íg y a iiag>on rö v id íd ő la ii a n ili o / t a r t o / ó A/,, ido tailiun ot veszünk figyelem be. e l m o / d u l á s v e k t o r cs a z id ő h á n y a d o s á n a k
A z egy re kisebb elm o zd u lásv ek to ro k b ó l é s a n a ^ s á ^ a kö/x‘l q>ycnlo a p illaiialn y i sebesség időtiutiunokból képezett hányadosok itzl mutatji'tk n a g y s á g á v a l. A z e l m o / d u l á s v e k t o r i r á n y a meg. hogy a kiválasztott időpillanatban é s helyen a m o /g á s p illa n a tn y i ir á n y á v a l c g y c /ik m eg.
M EG JEG Y ZESEK
m
1. A z átlagsebesség fogalm ából k öv etkezik, hogy m enet közben a p illanatnyi sebesség nagy sá g a az átlagsebességnél kisebb, nag y o b b és vele eg yen lő is lehet.
2. A z átlagsebesség általában nem azon os a sebességek átlagával, hiszen a m ozgás leírása szem pon tjából nem m indegy, hogy a test m ilyen sebességgel, m ennyi ideig m ozgott.
3 . E zután, ha sebességet m ondunk v ag y írnnk. akkor pillanatnyi seb ességre (v). esetleg pillanat ny i sebességvektorra ( v ) gondolunk.
4 . A sebességvektorok - m int m inden m ás v ektor (pl. az elm ozdulások) - a paralelogram m a sziibály szerint összegezhetők.
5. A sebességvektor m egváltozik, akár a nagys«»ga, ak ár az iránya, ak ár eg y szeire m indkettő vál to z ik is meg.
6. A pillanatnyi sebességet egy m atem atikai fogalom , a határélték segítségével lehet pontosan definiálni. Például az —; —; —; -Í-;... végtelen sorozíit hati'uéitéke 0 (nulla), vagyis a sorozat
2 3 4 n
tetsző leg es pontoss<iggal inegközelíti a 0-t. M ásképpen ez azt je len ti, hogy: B ánn ilyen kicsi sziim ot ad u n k m eg, a so ro zatn ak c s a k v éges sok o ly an e lem e v an, am ely n ek 0 -tó l vett táv o lság a nagyobb, m int a m egad ott szám .
E n n ek a g on dolatnak m egfelelően: a változó m ozgás eg yes p illan ataira jellem ző pillanatnyi seb esség et a kiszem elt idő pillanatho z kapcsolódó átlagsebességek sorozatának határéiléke ad ja, ha az átlagsebességek sorozatút úgy alkotjuk m eg, hogy az idő taitam ok m inden hatá ron túl közeledjenek a nullához.
A z ilyen je lle g ű feladatok k isz á m ítá sá h o z N ew ton é s L eib n iz [lejb n ic] k id o lg o zo tt eg y m atem atikai m űveletet, a differenciálszám ítást.
7. A stroboszkopikus felvételeknél eg y sötétben m ozgó testet néhány m ásodpercig világítanak m e g e g y m á st g y o rs a n é s e g y e n le te s e n k ö v e tő fé n y fe lv illa n á s o k k a l. K ö zb en a n y ito tt zárszerk ezetű fényk épezőg ép m ind en felv illanáskor (ug yan am i a felvételre) egy-egy képet rö g zít a m ozgó. így m indig m áshol levő testről. E k ép so r elem zésév el a testek m ozgása m egvizsgálható.
.ÉJ
G O N D O L K O D T A T Ó K ÉR D ÉSEK1. M ib ől vehető észre, hogy egy test m ozgása nem egyenes vonalú eg y en lete s m ozgás?
2. L eh et-e egy test sebessége m inden pillanatban kisebb, m int az átlag seb esség e? Lehet-e eg y v ál tozó m ozgást végző te.st pillanatnyi sebessége nulla? Lehet-e egy változó m ozgási végző test átlag- seb esség én ek és az egyik pillanatnyi sebe.sségének a nagysága eg yen lő ?
3 . M it tudunk a z egyenes vonalú eg y en letes m ozgást v égző test p illanatnyi sebességciól és átlag sebességérő l?
4 . M eghatározhatjuk>e egy adott id ő taitam ra vonatkozó átlagsebesség Ism eretében a test eimozdu* lását ezen id őtailam bárm ely kisebb része alatt? Indokoljuk a választ!
1. Hasúinkban 1846>ban indult m eg a v asúti forgalom . A Pest é s V ác közötti 35 km h osszú utat 59 p erc alatt tette m eg ek k o r a vonat. M ekkora volt az átlagsebessége? N ézzünk utána, m ennyi id ő alatt teszi m eg a vonat ugyanezt a távot napjainkban!
2. A z ábrán egy anyagi pont sebesség-idő grafi- konjct látható. M ekk ora a teljes időre szám í
tott átlagsebessége? ( - h i‘
72-36
O
3 . E g y gépkocsi sebessége 10 percig 20 azután 15 percig 36
s li
2/, /(s)
a) M enn yi az összes m egtett út? h) M enn yi <iz átlagsebesség?
c ) R ajzoljuk m eg a sebesség-idő giaflk o n t! (h R ajzoljuk m eg az út-idő grafikont!
4 . E g y vonat útjának e lső felét l,5>szei' nag y o b b sebességgel tette m eg, m int a m ásodik felét. A z eg ész úti<i vonatkozi
illetve m ásodik részén?
km
A z eg ész úti<i vonatkozó átlagsebessége 43 ,2 . M ekkora volt a vonat seb esség e útjának első, li
kiii
5. E gy gépkocsi a céljához vezető út felén 40 állandó sebességgel halad. M ekkora legyen a
sebes-1)
sé g e az út m ásodik felén, ha azt ak arja a vezető, hogy a z egész utat figy elein be véve az átlag-seb esség e 5 0 legyen?
kni km
6. E g y teherautó elő szö r 3 órán át 80 ^ , azután 2 ó rán át 50 ^ sebességgel halad. a) M ekkora az átlagsebessége?
h) H ol van a teherautó az indulás u tán 4 ó ráv al? M ekkora eddig az átlag sebessége? c) M ik o r van az autó a z indulás helyétől 310 km távolságban?
3
2
A gyorsulás fogalma
I
A k ö v etk ez ő tiíbh'tzsit e g y g y o rsu ló m ozgiíst végz<> k isk ocsi m e g fig y e lé se alapján készült, é s öt inérés áthigát tiulahrtazzii.25.1. A lejtőn guruló golyó sebessége egyenletesen vúl* lozik (siroboszkopikus felvétel)
AZ EGYENLETESEN VÁLTOZÓ MOZGÁS
A lejtő n ieg u iu ló g o ly ó vagy a csigán átv etett fo n á lo n lóg ó n e h e z é k k e l v íz sz in te s fe lü le te n m ozgatott kiskocsi vagy a légpiim ás sínen haladó szánkó egyenlő időtailam ok alatt egyre hosszabb ut<ikat te sz m eg. Ez azt jelen ti, hogy sebességük p illanatról pillanatra változik.
“ Ha a k isk ocsit gyorsító nehezék alá - m e g fe le lő h e ly r e - fe lf o g ó asztalkát h ely e zü n k , e lé r h e tő , h o g y tetsző leg es id eig (pl. I; 2; 3; 4 id ő e g y sé g ig ) tartó gyorsulási szakasz után a kísérleti ján*nű egy* s é g n y í id ő ta ila in ig e g y e n le te s e n m o z o g jo n az ü tközőig. A gyorsítás utolsó pillanatáig elért seb es s é g a z e g y sé g n y i időtailam alatt eg y en letesen be* futott üt hos.sZiíból kisziím ítható. A m érés p on to sab b lehet, ha fénykapukkal vezérelt kapcsolóórát é s sziu n ítógcp et alkalm azunk.
K özelítően h ely es eredm ényt kaphatunk a pil- laniitnyi seb ességre, ha a lejtőn lefutó g o ly ó v íz sz in te s kifutóban halad tovább, é s ott m éijü k m eg a z e g y sé g n y i időim lam alatt egy en letesen m egtett út hossziít. G alilei (1 5 6 4 -1 6 4 2 ) is lejtőn lefu tó go- ■i ly ó k m eg fig y elé sc v el vizsgálta a változó m ozgást.
A gyorsulás időtartama A gyorsulási követő s alatt, cjyr'cnlclcsen megtelt üt gy orsulás alatt elért pillanatnyi sebesség 0 .5 s 15.2 c m 3 0 .4 ^ I.O s 3 0 ,5 c m 6 1 .0 í— 1.5 s 4 6 ,3 c m 9 2 ,6
M érésekkel m egállapítható, hogy a változat lan fe lté te le k k ö z ö tt g y o r s u ló te st se b e s s é g e eg y en lő id ő tartam o k a la tt u g y an an n y iv al v á l tozik.
U h (est p illa iia liiy í sch csscg cn ck n a g y sága cg>'cnlő íd ő ta rta m o n k c n l u g > anann yi- val válto /.ík - b á r h o g y v á la s z tju k Ls m eg c /c k c t ax eg y en lő id ő ta r ta m o k a t a k k o r a m o /g á s e g y e n le te se n válto//> m o /^ á s .
AZ EGYENLETESEN VALTOZO MOZGÁS GYORSULÁSA
Egy induló teherautó é s e g y versenyautó seb es ség e k ü lö n b ö z ő m ód on v álto zik . A te h e ra u tó hosszabb idő alatt, a versenyautó ham arabb éri el ugyanazt a sebességet. A sebes.ségváUoziís g y o r sasága tehát különböző lehet.
25.2. A nehezekkel voníatoll kiskocsi egyenletesen vál tozó m ozgást végez
2 5 J . A z induló vei-scnyauló sebessége gyorsim változik, tehál nagy a gyorsulása
A nnak a teltn ek változik gyorsabban a sC'
b csscg c, a m e ly ik n e k :
- u g y a n a n n y i id ő a la tt n ag > o b b a s e b e s s é g v á lto z á s a (A/, = A / j és Av, > Av'
2
>. viígy- u ^ v a n a k k o r a sebcsséí»\ált<)záshoz rö v i- d f b b id ő re v a n sz ü k sé g e (Av, = A i ’j és A /, < A íj).
E g y e n le te s e n v á lto z ó m o z g á sn á l e g y e n lő időtaitcimok alatt m indig ugyanannyival változik a sebesség. Ez azt jelenti, hogy ahányszor hosszabb
a váltazás időtaitaina (A/), annyiszor nagyobb
a sebességváltoziLs (AiO. tehát a sebességváltoziís nag ysága egyenesen iuányos a közben eltelt idő vel: A r - Al.
E b ből következik, hogy:
A l
H a k ís é rle tü n k b e n a le jtő t in e re d e k e b b re állítjuk, vagy a kiskocsit nag yobb tö m eg ű nehc* zékkel gyorsítjuk, akk or az eg yen lő időtailam ok alatt b ek ö v etk ező sebességv áltozás is n ag y o b b
Av
lesz. Ilyen esetben term észetesen a — hányados A t
is nagyobb. M ivel e z a hán yad os annál nagyobb, m in é l g y o rs a b b a n v á lto z ik a te st s e b e s s é g e , ezé rt a lk a lm a s az eg y en lete sen v álto zó n io /^ á s g><>rstilásának je lle m z é sé re . Al* A — hányados neve gy o rs u lá s * , je le : a. A l gyo rsu lás = a = sebességviUtozás a változiís időtaitam a A l' Aí
A gyoiNulás m értékegysége a sebességváltoziis m éilékegy.ségének és az idő m értékegységének hányadosaként adható m eg. (A sebességváltozás és a s e b e s s é g m é rté k e g y s é g e te rm é s z e te se n ug yanaz: —.) íg y a g y o rs u lá s S í ren d szerb eli
s méilékegy.sége:
in
s m
M ivel a z e g y sé g n y i idő alatt b e k ö v e tk e z ő s e b e s s é g v á lto z á s é s a g y o r s u lá s s z á m é rté k e egyenlő: a g y o rs u lá s m e g m u ta tja , h o g y m e k k o r a a z eg y en lete sen g y o rs u ló te st egységnyi Idő a la tt b e k ö v e tk e z ő s e b e ssé g v á lto z á sa .
A sebesség vektorm ennyiség. így a változá.sa (A r ) is az. A A r-t az — skalán ncnn yiségg el
A /
^ A v
szorozva is vektort kapunk. A z a = — gyo rsulás tehát v ek torm ennyiség, iritnya a sebességváltoziis
Af iíVmyával egyezik meg. nagysága pedig a =
A í M in d e n o ly a n nu»zgást, am ely n él a g y o rs u lá s v e k to r n em n u lla , teh át a sebességvektornak akiír a nagysága, ak ár az iránya, ak ár m indkettő változik, g y o rs u ló m o z g á sn a k * n e v e z ü n k .
A PILLANATNYI SEBESSEG ES AZ UT KISZÁMÍTÁSA
A z au tó b an <i pillanatnyi sebesség nag y ság át és a iTiegfigyclés időtiutaina alatt megtett u tat egy m űszer m utatja. A m iko r a mozgilst előre szerel nénk m eg tervezni, a sebesség és a z út közvetlen m érésére legtöbbször nincs lehetőség. Ily en ko r a p illan atn y i seb esség et é s az utat szám ítással határozzuk meg.
A z á lló h e ly z e tb ő l, te h át »’q = 0 k e z d ő s e b ességgel induló é s egyenletesen válto zó m o z gással haladó test pillanatnyi sebessége eg y en lő
az adott pillanatig bekövetkező sebességváltó-
zá.ssal. íg y ilyen e.setben a pillanatnyi sebesség a g y o rsu lás és a közben eltelt idő szoiz<it<iként szám íth ató ki:
a — A l
H a a kezdősebesség nem nulla (»'q ^ 0). akkor
a sebesség v álto zás hozzáadódik a kezdősebes* séghez:
V = Vq +Ü'l.
Á lta lá b a n igaz, hogy a seb esség -id ő g ra fi kon g ö rb éje alatti m egfelelő terület sziunéitéke eg y en lő a m egtett út szíim éilékével. A z eg y en le tesen változó m ozgást végző testnél, ha = 0. ez a terület egy három szög területe, így
.2
V I 0-1 l
K ísérlettel is m egállapítható, hogy az e g y e n letesen gy orsu ló m ozgásnál <iz út nem a z idővel, hanem az idő négyzetével arányos. A z arányos- siigi tén y ező a gyorsu lás fele.
H a az egyenletesen változó m ozgásnál a kez d ő se b e ssé g nem n u lla ^ 0), tikkor a görbe alatti m e g fe lelő terület eg y három szö g é s egy té g lalap területének az összege. így az eg y en le tesen v álto zó m ozgás közben m egtett út;
tí-t
A z egyenletesen változó m ozgást v ég ző lest út-idő fü g g v én y ét m eghati'uozó képletet ncj»yzc- tc s ú ttö r v é n y n e k * .szokás nevezni.
27.1. A scbesscgváltoziís a kczdőscbcsscghcz adódik; Ar s V ha = 0. akkor Ar = v és
Ar = / Iq. ha Iq - 0. akkor A/ = /
27.2. M ivel azonos triódon lehet kisziuní(;ini a területet és a megtett utat. így szátnéilékiik egyenlő
2S.1. Ihtstm liisuk össze o 21.2. óbróvoi! Jellem ezzük u két lesi m ozgását az áhru alapján!
A NEM EGYENLETESEN VÁLTOZÓ MOZGÁS
A S2«ibálylalan felületű hegyoldalon legörd ü lő kő. iiz u ta k o n m o z g ó a u tó é s a te ste k t ö b b s é g é nek m ozgása legtöbbször nein e g y e n le te se n vál to z ó m ozgás. Ezért érdem es m egalkotni íiz ilyen
m ozgásokat je lle m z ő m ennyiségeket is. Ehhez cél* szerű a már ed d ig U használt gnndAlatineneteket újra alkalm azni.
Ha a z anyagi pont inozgilsa egyenlőtlenül vál* tozik, akkor a seb ességváltozás nagysitga é s a köz* ben eltelt idő hiínyadosii a z átla{^v<»iMilHst adja:
Ar ■
A z á lla g g v o r s u lá s * * a m in k a/, c g v c n ic lfs c n
vh IIo 7 /» rii4>/4*Hsl \vfí/.ő Icsliiek » ^yorsulásávH l egyen lő, H inclyiknck h sc h c ssc g e iiK>anHnnyi id ő Hlatt u g y a n a n n y iv a l v á lt o /n a , m in t h v á lt o /ó {^vorsiilá.ssai n i» /4>ó te s te .
A z átlaggyorsulás annál Jobban m egk özelíti a pillaiiHtiiyl gyotM ilásl’*'*^, minél m videbb - az <»dott időpillanatot m agába f o g la ló - azo n időtartam , am elyre vonatkozóan a z átlaggyoisulá.st sziímítjuk. S zem léletesen m egfogalm azva: ha e z a z időtailiun közeled ik a nullához, akkor az átiaggyorsuhlsok c ile k e tiirt a pillanatnyi gyorsu lásh oz.
E gy adott időpillanatbim a sebes.ségvektor vái- toziísának gyorsasiígát. tehát a gyorsulásvektort annál pontosab b an je lle m e z h e tjü k (n a g y sá g é s
irány szerint) a — vektorral, m inél k isebb a A/.
A/
W i
M EG JEG Y ZESEK
1. A z acceleruíu) ~ latin szó, je len té se : siettetés, gyorsítás. Ebból száiirtuzik az a jelö lés. 2. A sebességváltoziíssiil járó , valóban lejátszódó folyam atot és jellem ző m ennyiségét is gyorsu-
liisnuk nevezzük. H ogy m ikor m it értü n k a gyorsulás szó jelen tésén , a zt a szövegkörnyezet teszi egyértelm űvé.
3 . A lassuló líiozgás sebesscgviiltozilsának gyorsaságát jellem ző iiwnnyiség n eve is gyoisulás. Las> suliísnál a gyorsulás azonban n eg atív előjelű, ha a m ozgásirányt v álasztottuk pozitívnak: pl. V. = 20 —, = 12 és A/ = 2 s, a k k o r a = - 4
' S S S-^
4 . A pillanatnyi gyoi^sulásvektor m in d ig a pálya „belseje” (hom orú o ld ala) felé m utat, kivéve, hit a pálya egyenes, illetve, akkor ha a z adott pillanatban az anyagi pont a pálya olyan pontján fu t át, am elyben a pályagörbe a hom oriiból d om b o m b a vagy d om b orúb ól hom o níb a m egy át. 5. Á ltalános esetben, am ikor a sebességvektor
nak m ind a nagysága, m ind az iránya váltó* zik , a gyorsulásvektort (a kétféle változást külö n-kü lön vév e figyelem be) felbonthat* j u k a p á ly á h o z é rin tő le g e s , ú g y n e v e z e tt h o s s z g y o r s u lá s ra (</jj) é s a rra m e rő leg es ir á iiy g y o r s u lá s r a (^|).
A sebesség nagyságának változá.sát jellem ző hosszgyorsulást a szak n y elv pályam enti vagy tan g en ciális gyorsulásnak nevezi. A sebesség irányváltozásiit je lle m z ő irán yg yo rsu lást pedig cen trip etális gyorsulásn<ik hívjiik.
.fi
GONDOLKODTATÓ KÉRDÉSEK1. M i je lle m z ő az egyenes vonalú eg y enletesen változó m ozgásokra?
2. S oro lju nk fel környezetünkben elő fo rd u ló egyenletesen változó m ozgásokat!
3 . ViUtozik-e a köihinta egy .Jcos<uiinak" sebessége, miközben a hinta egyenletesen forog? Van-e gyor su lása az így forgó ko sárnak? M iéit?
4 . M iv el eg yenlő az egyenes vonalú egy enletesen változó m ozgást v égző test átlagsebessége, ha a kezdő seb esség e nulla, é s ha a kezdő seb esség e nem nulla?
5. Lehetségesbe, hogy egy test kelet felé m ozog és gyorsulása abban a pillanatban ész«iki irányú? 6. L eh et-e egy test gyorsulása k ü lö n b ö ző nullától, am ikor sebessége nulla?
FELADATOK
Egy álló helyzetből induló teherautó 10 m ásodperc alatt éri cl a 8 *** sebességet. M ennyi a
gyor-S k IH
sulilsa? M ennyi ideig kellene g y o rsu ln ia ennek <iz autónak, hogy sebessége 36 ^ legyen? M enn yi ideig m ozgott a lejtőn az a nyugalom ból induló és 3 ^ gy orsu lással m ozgó golyó,
• • • II l ^
am ely ik a lejtő aljára 6 sebességgel érk ezett? M ekkora utat lett m eg ek ö zb en ? s
k ii)
E g y autó 72 sebességről 10 m áso d p erc alatt lassult le é s állt m eg. Egy m otorkerékpáios
h III
5 s alatt érte el a 15 sebességet. M ely iknek nag yo bb a gyorsulá.sa? s
Egy eredetileg .36 " sebességgel haladó autó I gyorsulá.ssal m ozgott 10 m ásodpercig. M ek-
ii
kora sebességet ért el?
M e n n y i id e ig fé k e z e tt az a z au tó , a m e ly n e k se b e s s é g e - 0 . 5 ^ „ g y o rs u lá s s a l" csö k k e n t
km .1 e , km «
72 -rol 54 -ra?
. kin
Egy álló helyzetből induló veisenyautó 10 m ásodpeic alatt 120 ^ sebességre gyorsult fel. M ek k o ra utat tett m eg ekö zben?
N yugalom ból induló és egyenletesen g y o isu ló test m ozgásiinak nyolcadik m ásodpercében 60 cm utat tett m eg. M ekkora utat futott be n kilencedik m ásodperc alatt?
E g y 45 gyorsulással m ozgó rakétii egy bizonyos időpontig 900 seb esség et ér el. M ennyi utat lesz meg az azt köN^ető 2,5 ir»ásodpeicben?
A z áb rán h áro m m o zg ó te st s e b e ssé g -íd ő g ra fik o n ja látható. M it á lla p íth a tu n k m eg ezekn ek a testeknek a m ozgilsáról és iiz A és l i po nto kkal m egadott seb esség érő l? H atá rozzuk m eg az eg yes testek gyorsulását! A z áb rán h áro m m o zg ó te st s e b e ssé g -id ő g rafik o n ja látható. E grafikonok alapján: a ) Á lla p íts u k m eg, m in ek fe le ln e k m eg
a k o o rd in átate n g ely ek e n le v ő ( ) A \ ( ) l í \ O C sziíkaszok!
b ) H atározzuk m eg a testek gyoi-sulásiit! <■) Jellem ezzük é s hasonlítsuk össze a z egyes
testek m ozgásiití
