Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física Centro de Ciências Exatas Universidade Federal do Espírito Santo

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio

Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson

anderson@npd.ufes.br Última atualização: 21/07/2005 06:28 H

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 1

Capítulo 14 - Equilíbrio de

Corpos Rígidos

Problemas 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Problemas Resolvidos

08. Uma corrente flexível de peso W está suspensa entre dois pontos fixos, A e B, ao mesmo nível,

como mostra a Fig. 21. Encontre (a) a força exercida pela corrente em cada extremidade e (b) a tensão no ponto mais baixo da corrente.

(Pág. 287)

Solução.

(a) Esquema de forças sobre a corda:

T1 T2 W θ x θ y z Forças em y: 0 y F =

∑

1sen 2sen 0 T θ +T θ−W = Como T1 = T2 = T, temos: 2 senT θ =W 2 sen W T θ = (1)

(b) Forças em x na metade esquerda da corda: T1 T3 W/2 θ x y z 0 x F =

∑

3 1cos 0 T −T θ = 3 cos T =T θ (2) Substituindo-se (1) em (2): 3 cos 2 sen W T θ θ =

3 2 tan W T θ = [Início]

10. Uma esfera uniforme de peso w e raio r está suspensa está suspensa por uma corda presa a uma

parede sem atrito; o ponto de suspensão encontra-se à distância L acima do centro da esfera, como na Fig. 23. Encontre (a) a tensão na corda e (b) a força exercida na esfera pela parede.

(Pág. 287)

Solução.

Considere o seguinte esquema:

θ

O

P _r C l L

No triângulo OPC temos: 2 2 l= L +r Portanto: 2 2 sen r L r θ = + (1) 2 2 cos L L r θ = + (2)

(a) Esquema de forças sobre a esfera:

W T x y θ N Forças em y: 0 y F =

∑

cos 0 T θ−W = (3) Substituindo-se (2) em (3): 2 2 W L r T L + = (4) (b) Forças em x: 0 x F =

∑

sen 0 N T− θ = (5) Substituindo-se (1) e (4) em (4): 2 2 2 2 W L r r N L _{L r} + = + r N W L = [Início]

13. Um mergulhador que pesa 582 N está de pé sobre um trampolim uniforme de 4,48 m, cujo peso

é de 142 N. O trampolim está preso por dois pedestais distantes 1,55 m, como mostra a Fig. 24. Encontre a tensão (ou compressão) em cada um dos pedestais.

(Pág. 287)

Solução.

Considere o seguinte esquema:

x y F2 O CM Mg z l L mg F1

Torques em z em relação ao ponto O: 0

z

τ =

2 0 2 L lF − mg−LMg= 2 1.877, 3806 N 2 L mg F Mg l ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟= ⎝ ⎠ " (1) 2 1,89 kN F ≈ Forças em y: 0 y F =

∑

(2) 2 1 0 F − −F mg−Mg= Substituindo-se (1) em (2): 1 0 2 L mg F Mg mg M l ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟− − ⎝ ⎠ g=

(

)

(

)

1 2 1.163,3806 N 2 L l mg L l Mg F l − + − = = " 1 1,16 kN F ≈ [Início]

18. Duas esferas lisas, idênticas e uniformes, cada uma com peso W, estão em repouso no fundo de

um recipiente retangular fixo, como mostra a Fig. 26. A linha que une os centros das esferas faz um ângulo θ com a horizontal. Encontre as forças exercidas sobre as esferas (a) pelo fundo do recipiente, (b) pelas paredes laterais do recipiente, e (c) por uma sobre a outra.

(Pág. 288)

Solução.

Esquema das forças normais:

N3

N1

N2

B A

W FBA x y θ N1 A

Em primeiro lugar vamos analisar as forças que agem sobre a esfera A. Forças em y: 0 y F =

∑

senF_BA θ−W = 0 sen BA W F θ = (1) Forças em x: 0 x F =

∑

1 cos 0 BA F θ−N = (2)

Substituindo-se (1) em (2) e resolvendo-se para N1: 1 tan W N θ =

Agora vamos analisar as forças que agem sobre a esfera B.

W FAB x y θ N2 B N3 Forças em x: 0 x F =

∑

2 ABcos 0 N −F θ = (3)

Substituindo-se (1) em (3) e resolvendo-se para N2 (FAB = FBA):

2 tan W N θ = Forças em y: 0 y F =

∑

3 ABsen 0 N −F θ −W = (4)

Substituindo-se (1) em (4) e resolvendo-se para N3 (FAB = FBA):

3 2 N = W

[Início]

19. Qual é a força mínima F aplicada horizontalmente no eixo da roda da Fig. 27, necessária para

(Pág. 288)

Solução.

Considere o seguinte esquema:

W F P x R - h R O Q x y z

Torques em z em relação ao eixo que passa pelo ponto P: 0 z τ =

∑

( ) xw− R−h F = 0 xw F R h = − (1)

A partir do triângulo OPQ tem-se:

(

)

2 2 2 2 2 2 x= R − R h− = R −R + Rh h− 2 2 x= Rh h− (2) Substituindo-se (2) em (1): 2 2Rh h F w R h − = − [Início]

21. Uma esfera uniforme de massa w está em repouso limitada por dois planos inclinados em

relação à horizontal de θ1 e θ2 respectivamente (Fig. 28). (a) Suponha que não haja atrito e determine as forças (módulos, direções e sentidos) que os planos exercem sobre as esferas. (b) Que diferença faria, em princípio, se o atrito fosse considerado?

(Pág. 288)

Solução.

Considere o seguinte esquema:

W x y N1 θ2 θ1 N2 θ₁ θ2 Forças em x: 0 x F =

∑

1sen 2 2sen 1 0 N θ −N θ = 2 1 2 sen sen N N θ1 θ = (1) Forças em y: 0 y F =

∑

2cos 1 1cos 2 0 N θ −N θ − = w (2) Substituindo-se (1) em (2): 2 1 2 1 2 2 sen cos cos sen N N θ θ θ w θ − =

(

2 1 1 2

)

2 2

sen cos sen cos sen N θ θ θ θ w θ − =

(

2 1

)

2 2 sen sen N θ θ w θ − =

(

2

)

2 2 1 sen sen N θ w θ θ = − (3) Substituindo-se (3) em (1):

(

1

)

1 2 1 sen sen N θ w θ θ = −

[Início]

25. Uma extremidade de uma barra uniforme que pesa 234 N e tem 0,952 m de comprimento é

ligada a uma parede através de uma dobradiça. A outra extremidade é sustentada por um cabo que forma ângulos iguais de 27,0o com a barra e a parede (veja a Fig. 31). (a) Encontre a tração no cabo. (b) Calcule as componentes horizontal e vertical da força sobre a dobradiça.

(Pág. 289)

Solução.

Considere o seguinte esquema de forças que atuam sobre a barra:

P T FN FP π/2 − θ x y z π/2 − 2θ O

(a) Torques em relação ao ponto O na coordenada z: 0 z τ =

∑

cos 2 cos 0 2 2 2 l P ⎛π θ⎞ T ⎛π θ⎞ − _⎜ − _⎟× + _⎜ − _⎟× ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ l= cos 2 2 208, 4955 N 2 cos 2 P T π _θ π θ ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " 209 N T ≈ (b) Forças em x:

0 x F =

∑

senF_N −T θ = 0 senF_N =T θ =94, 6549" N 94, 7 N N F ≈ Forças em y: 0 y F =

∑

cosF_P − +P T θ = 0 cosF_P = −P T θ =48, 2291" N 48, 2 N P F ≈ [Início]

28. Uma barra não uniforme, de peso W, está em repouso na posição horizontal, suspensa por duas

cordas leves, como mostra a Fig. 33; os ângulos das cordas com a vertical são θ e φ, respectivamente. O comprimento da barra é L. Encontre a distância x da extremidade da esquerda até o centro de gravidade.

(Pág. 289)

Solução.

Considere o seguinte esquema das forças que atuam sobre a barra:

x y CG z x L W T1 T2 θ _φ

Torques na coordenada z em relação à extremidade esquerda da barra: 0 z τ =

∑

2cos 0 xW LT φ − + =

2 cos xW T L φ = (1)

Torques na coordenada z em relação à extremidade direita da barra: 0 z τ =

∑

(

)

1cos 0 LT θ L x W − + − =

(

)

1 cos L x W T L θ − = (2) Forças na coordenada x: 0 x F =

∑

1sen 2sen 0 T θ T φ − + = 1sen 2sen T θ =T φ (3) Substituindo-se (1) e (2) em (3):

(

)

sen sen cos cos L x W xW L θ θ L φ φ − =

(

L−x

)

tanθ =xtanφ tan 1 tan L x _φ θ = + [Início] 46. (Pág. 291) Solução.

Considere o seguinte esquema da situação: De acordo com o esquema temos:

1 2 sen l l L θ = Δ − Δ 1 1 2 sen l l L θ ₌ − ⎛Δ − Δ ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ (1)

/ / F A FL E L L A L = = Δ Δ FL L EA Δ = (2)

Utilizando-se a Eq. (2) para o fio de alumínio (fio da esquerda, que chamaremos de 1): 0 1 0 1 2 1 1 ₁ 1 2 2 Mg l T l l E A _d Eπ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Δ = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 1 2 1 1 2Mgl l E d π Δ = (3)

Procedendo-se de maneira idêntica para o fio de aço (fio da esquerda, 2): 0 2 2 2 2 2Mgl l E d π Δ = (4) Substituindo-se (3) e (4) em (1): 0 0 2 2 1 1 1 2 2 1 0 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1

sen sen 1,10905 10 rad

Mgl Mgl Mgl E d E d L L E d E d π π θ π − − ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ _{⎡ ⎛ ⎞⎤} ⎜ ⎟ = = _{⎢ ⎜} − _⎟⎥= ⎜ ⎟ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " 5 − × 5 1,1 10 rad θ _{≈ ×} −

Na solução deste problema, desprezou-se o pequeno ângulo que os fios passam a fazer com a vertical após a colocação da barra.