Aula Modelagem Actividade recente do site Portal Virtual de Matemática IFPR Prof°. Giancarlo de França Aguiar Aula Modelagem

(1)

PROGRAMAÇÃO LINEAR – CONTINUAÇÃO

Modelo Geral de Problemas de Programação Linear – PL

0 ,

...

,

}

,

{

...

}

,

{

...

}

,

{

...

:.

.

...

}

,

{

2 1

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

2 2 1 1



























n

m n

mn m

m

n n

x

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

s

x

c

x

c

x

c

Z

Min

Máx



restrições das

es coeficient b

a

objetivo função

da es coeficient c

problema do

s estruturai iáveis

x

ij ij i i

  

, var

Função Objetivo – F. O. Meta {Max ou Min}

Restrições Limitações

 Igualdade =

 Desigualdade estrita < ou >

 Desigualdade não-estrita <= ou >=

(2)

Ex. Saldo Bancário: Saldo Positivo, Saldo Negativo

Em programação linear substituímos as variáveis irrestritas seguindo o modelo:

Seja x3 uma variável irrestrita

Substituímos ''

3 ' 3

3 x x

x   onde 0 '' 0

3 '

3  e x 

x Teremos então:

0 0

3 '' 3 ' 3

  

  

x x x Se

Na programação linear todas as variáveis devem assumir valores ou quantidades reais.

Técnicas de Modelagem

Existe uma demanda na formação de equipes de profissionais de diferentes áreas na modelagem de problemas reais complexos.

Na construção de um modelo as bibliografias sugerem a seguinte metodologia facilitadora:

 Dividir um problema abordado em problemas menores;

 Identificar as variáveis para o problema proposto;

 Identificar o objetivo do problema (em programação linear construímos uma Função Objetivo);

 Identificar os fatores restritivos ou limitantes para o problema;

 Não esquecer relacionamentos entre variáveis do problema e

 Descartar aspectos que não comprometem o ótimo do problema.

Construção de Modelos Lineares

Exemplo 1: Planejamento da Produção Agrícola

(3)

Descrição Prod. 1 Prod. 2 Prod. 3

Produção em sacas/are 4 5 7,5

Homens-hora de trabalho/are 0,45 0,6 0,5

Custo produt. Equip. e insumos/are 17 19,5 25,6

Receita por saca 22 24 16

O custo da mão-de-obra é de 20 u.m. por homem-hora e será pago com recursos disponíveis do produtor, o qual dispões de até 5.400 homens-hora de trabalho que podem ser usados durante o período produtivo. A remuneração é proporcional às horas de trabalho consumidas.

Para cobrir os custos de produção devido ao uso de equipamentos e de insumos, será necessário captar recursos através de um empréstimo bancário de valor limite de 180.000 u.m., e que deverá ser saldado após o produtor comercializar a sua produção, mediante o pagamento do principal mais os juros capitalizados à taxa de 4% ao mês. O tempo entre contrair o empréstimo no início do plantio até saldar a dívida é de 4 meses. Para conseguir o empréstimo, o produtor ainda necessita assumir o compromisso de produzir um mínimo de 10% do produto 1, em sacas, sobre toda a sua produção.

Os produtos 2 e 3 possuem demanda máxima garantida de 25.000 e 30.000 sacas, respectivamente. Pelo fato de serem produtos perecíveis, deseja-se limitar sua produção a estes valores. Deseja-se, com a programação obter o maior lucro possível após pagar o empréstimo.

Modelagem Matemática

Passo 1: Variáveis do Problema

3 )

(

2 )

(

1 )

(

3 2 1

cereal do

plantio o

para ares

em área x

cereal do

plantio o

para ares

em área x

cereal do

plantio o

para ares

em área x

  

Passo 2: Função Objetivo

 Receita

3 2

1

3 2

1

120 120

88

16 . . 5 , 7 24 . . 5 22 . . 4 Re

x x

x

x x

x ceita

 



 



 Custos

(4)

3 2 1 3 2 1 10 12 9 20 . . 5 , 0 20 . . 6 , 0 20 . . 45 , 0 x x x x x x       o Equipamentos: empréstimo juros x empréstimo juros x empréstimo juros

x. 19,5. . 25,6. .

.

17 1  2  3



Onde os juros do empréstimo são:

4% mês durante 4 meses = 1,044_{= 1,16986. Portanto}

3 2 1 3 2 1 3 2 1 948 , 29 812 , 22 888 , 19 16986 , 1 . . 6 , 25 16986 , 1 . . 5 , 19 16986 , 1 . . 17 . . 6 , 25 . . 5 , 19 . . 17 x x x x x x empréstimo juros x empréstimo juros x empréstimo juros x         

Logo temos que o Lucro pode ser expresso por:



 



3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 052 , 80 188 , 85 112 , 59 948 , 29 812 , 22 888 , 19 10 12 9 120 120 88 x x x x x x x x x x x x Lucro            

Portanto concluindo o passo 2, teremos que a função objetivo pode ser representada por:

3 2

1 85,188 80,052

112 ,

59 x x x

L

Máx   

Passo 3: Restrições ou Limitações para o problema

 Área destinada para o plantio

000 . 10

3 2

1x x 

x  Mão-de-obra 400 . 5 5 , 0 6 , 0 45 ,

(5)

 Financiamento

000 . 180 6

, 25 5

, 19

17x1 x2 x3 

 Produto tipo 1

) (

% 10 ) 1 (

Produto  númerototal desacas , então:









0 75 , 0 5 , 0 6 , 3

0 75 , 0 5 , 0 4 , 0 4

75 , 0 5 , 0 4 , 0 4

5 , 7 5 4 . 1 , 0 4

3 2

1

3 2

1 1

3 2

1 1

3 2

1 1

 



 

 

 



  

x x

x

x x

 Produto tipo 2

000 . 25 5x₂ 

 Produto tipo 3

000 . 30 5

, 7 x3 

Organizando a função objetivo e as restrições teremos como Modelo Matemático Completo:

(6)

0 , ,

000 . 30 5

, 7

000 . 25 5

0 75

, 0 5

, 0 6

, 3

000 . 180 6

, 25 5

, 19 17

400 . 5 5

, 0 6

, 0 45

, 0

000 . 10 :

. .

052 , 80 188

, 85 112

, 59

3 2 1

3 2

1

3 2

1

3 2

1

3 2

1

3 2

1



   



 



 



 



 



x x x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x a

s

x x

x L

Máx

“Um homem sábio pode considerar a vida uma

comédia, uma tragédia ou uma farsa, e ainda assim

gozá-la”.