Probabilidade e Estatística
Por que estudar estatística?
“Há apenas quinze anos, o estudante que tivesse um curso de estatística levava vantagem no mercado de trabalho; o estudante de hoje leva uma desvantagem competitiva se não tiver estudado os conceitos básicos da estatística”.
Teoria dos Conjuntos
Qualquer coleção de objetos é chamada de conjunto. Esses objetos podem ser chamados de elementos. A B ou B A B p A p
Dois conjuntos são iguais se cada um deles está contido no outro:
A B e B A B
A
Exemplos de negações:
B A e B A A
p ,
Especificidade de um conjunto particular:
} 7 , 5 , 3 , 1 {
A A é o conjunto formado pelos números 1, 3, 5 e 7.
Especificidade estabelecendo uma propriedade:
xx
B
:{
é um número primo,x
12
}
B é o conjunto dos números primos menores que 12.Obs.: Todos os conjuntos são supostos subconjuntos do conjunto universo (U) a menos que seja afirmado o contrário.
A
B p
C
C é um conjunto vazio () pois não possui elementos.
Noções de intervalos:
Aqui
a
eb são números reais com ab.Intervalo aberto de
a
a b = (a,b){x:axb} Intervalo fechado dea
a b= [a,b]{x:axb}Intervalo aberto-fechado de
a
a b= (a,b]{x:a xb} Intervalo fechado-aberto dea
a b= [a,b){x:axb}Operações com Conjuntos
Conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B:
} :
{x x A ou x B B
A
Conjunto dos elementos que pertencem a A e B:
} :
{x x A e x B B
A
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
Conjunto dos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B (diferença de A e B ou seja A \ B):
A \ B{x:xA e xB}
Conjunto dos elementos que não pertencem a B:
} ,
:
{x x U x B
BC
Leis da Álgebra dos Conjuntos
Leis Idempotentes
a- AAA b- AAA
Leis Associativas
a- (AB)C A(BC) b- (AB)C A(BC)
Leis Comutativas
a- AB BA b- ABBA
Leis Distributivas
a- A(BC)(AB)(AC) b- A(BC)(AB)(AC)
Leis de Identidade
a- AA b- AU A c- AU U d- A
Leis dos Complementos
a- AAC U b- AAC c- AC C A
)
( d- UC ,C U
Conjuntos Finitos e Enumeráveis
Seja S o conjunto dos dias da semana {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo}
O conjunto S é finito
Seja Y o conjunto dos inteiros pares positivos, ié: Y {2,4,6,...}
O conjunto Y é infinito
Produto Cartesiano
Sejam A e B dois conjuntos. O produto cartesiano de A por B, representado por A x B, consiste de todos os pares ordenados (a, b), onde aA e bB:
A x B = {(a,b):aA,bB}
Classes de Conjuntos
Constantemente, os elementos de um conjunto, são eles mesmos conjuntos. Para elucidar estas situações, são usadas a palavra classe ou família para tais conjuntos.
Os elementos da classe {{2, 3}, {2}, {5, 6}} são os conjuntos {2, 3}, {2} e {5, 6}.
Consideremos um conjunto A qualquer. O conjunto das partes de A, representado por P(A), é a classe de todos os subconjuntos de A. Em particular, se A= {a, b, c} então:
P(A) = {A, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, }
Dado um conjunto A= {1, 2, ..., 9}, uma classe de subconjuntos de A é uma partição se cada elemento de A pertence exatamente a uma parte:
a- [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {7, 9}] é uma partição de A
b- [{1, 3, 5}, {2, 6}, {4, 8, 9}] não é uma partição de A (falta o elemento 7)
c- [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {5, 7, 9}] não é uma partição de A (repete o elemento 5)
Atividades:
Lista de exercícios
