Grupo I (Cotação: 0 a 3 valores: uma resposta certa vale 1,5 valores e uma errada 0,50 valores)

INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO

Estatística II - Licenciatura em Gestão – Época de Recurso – 25/01/2010 Parte prática (questões de escolha múltipla) – (6 valores)

Nome: _____________________________________________________________ Nº _____________

Espaço reservado para a classificação (não escrever aqui)

Grupo I (Cotação: 0 a 3 valores: uma resposta certa vale 1,5 valores e uma errada – 0,50 valores) a) Admite-se que o número de golos por jogo de futebol seja uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Sabendo que numa amostra de 306 jogos se registaram 758 golos e pretendendo-se estimar um intervalo de confiança a 90% (aproximado) para o número médio de golos por jogo, qual das alternativas abaixo indicadas é a correcta?

1. (2,301 ; 2,653) 2. (2,329 ; 2,625) 3. (2,477 ± 0,05)

4. Os dados fornecidos são insuficientes para calcular o intervalo de confiança pretendido.

b) Num inquérito a empresas industrais pedia-se-lhes que dissessem qual a importância atribuída ao facto de possuirem marcas próprias. As respostas eram dadas numa escala qualitativa de 1 (pouca importância), 2 e 3 (muita importância). Os resultados obtidos na resposta a esta questão foram relacionados com a origem do capital da empresa de forma a analisar a possível associação ou independência entre a origem do capital e a importância atribuída às marcas. No quadro abaixo apresentam-se, entre outros, os resultados brutos obtidos no inquérito. Tendo por base esses resultados, e testando a hipótese de independência, qual das seguintes afirmações está correcta?

1. Rejeita-se a hipótese de independência num teste de dimensão 1%.

2. O valor-p do teste é superior a 10%.

3. Rejeita-se a hipótese de independência num teste de dimensão 5%.

4. Nada se pode concluir pois não se verificam alguns dos pressupostos que garantem a validade do teste.

a) Com dados relativos a 41 anos consecutivos estimou-se um modelo de regressão linear u

t

linvest=β₁ +β₂ +β₃Pr+ , em que se procurou relacionar o (logaritmo) do investimento anual em habitação (linvest) com um termo de tendência (variável t = 1,2,...,41) e o valor do índice de preços da habitação no ano (variável Pr). Apresentam-se abaixo alguns resultados obtidos com o EXCEL:

SUMMARY OUTPUT ANOVA

df SS MS F Significance F

Regression 2 2,58924 1,29462 85,76368 8,17173E-15

Residual 38 0,57362 0,01510

Total 40 3,16285

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%

Intercept 12,92847 0,50258 25,72401 0,00000 11,91104 13,94589

t 0,02967 0,00300 9,90285 0,00000 0,02361 0,03574

Pr -0,02253 0,00611 -3,68800 0,00070 -0,03489 -0,01016

Qual das seguintes afirmações é correcta?

1. A variável explicativa Pr não é estatisticamente relevante pois o seu coeficiente é negativo.

2. Neste ajustamento, o coeficiente de determinação ajustado é superior ao coeficiente de determinação.

3. Neste modelo, os regressores explicam 81,86% da variação total de linvest.

4. O valor do erro padrão da regressão é de 0,01501.

5. A taxa de crescimento anual do investimento em habitação é de cerca de 0,3%.

b) Com os resíduos obtidos na estimação anterior, uˆ_t, estimou-se a regressão uˆ_t =δ₀+δ₁t+δ₂Pr+αuˆ_t−1+ε_t, tendo-se obtido os seguintes resultados com o EXCEL:

Regression Statistics

Multiple R 0,50814

R Square 0,25821

Adjusted R Square 0,19639

Standard Error 0,10831

Observations 40

Atendendo à regressão estimada e aos resultados apresentados, qual das seguintes afirmações é verdadeira?

1. Rejeita-se a hipótese (a 5%) de existir heterocedasticidade no modelo uˆ_t =δ₀+δ₁t+δ₂Pr+αuˆ_t−1+ε_t.

2. Rejeita-se a hipótese (a 5%) de ausência de autocorrelação de ordem 1 no modelo u

t

linvest =β₁ +β₂ +β₃Pr+ .

3. Não se rejeita a hipótese (a 5%) de existir heterocedasticidade no modelo linvest =β₁ +β₂t+β₃Pr+u. 4. Não se rejeita a hipótese (a 5%) de autocorrelação de ordem 1 no modelo uˆ_t =δ₀+δ₁t+δ₂Pr+αuˆ_t−1+ε_t. 5. A regressão estimada não faz sentido para o tipo de dados que estão a ser analisados.

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Estatística II - Licenciatura em Gestão – Época de Recurso – 25/01/2010 Parte prática (questões de desenvolvimento) – (8 valores)

Nome: _____________________________________________________________ Nº ____________

Grupo III (As questões deste grupo são respondidas no espaço para as mesmas reservado. A cotação máxima de cada uma é de 2,0 valores)

1.

a) Pretende-se uma estimativa por intervalos, com 95% de confiança, para o desvio padrão do peso de embalagens de 1000 gramas obtidas por empacotamento mecânico. Admitindo normalidade, e sabendo que numa amostra de 81 pacotes se obteve ⁸¹ ( ) 1725

1

2 =

∑ −

=

i xi x , qual a estimativa para o desvio padrão do peso das embalagens?

b) Na universidade A, numa amostra aleatória de 425 alunos encontraram-se 105 fumadores. Na universidade B, encontrou-se uma frequência relativa de 0,20 fumadores numa amostra aleatória de 275 alunos. Com estes dados, existirá evidência estatística suficiente para concluir que a percentagem de fumadores é diferente nas duas universidades? Justifique com um teste adequado de dimensão 5%.

2 - Estimou-se um modelo de regressão com o objectivo de analisar o salário anual dos presidentes executivos das empresas cotadas na Bolsa. A variável dependente é o logaritmo dos salários, as variáveis explicativas são: o logaritmo das vendas (lnvendas), o rendimento dos capitais próprios (rcp, em %), e três variáveis artificiais que indicam o sector de actuação das empresas (ind=industrial; fin=financeiro; spub=prestação de serviços públicos). O sector não referenciado é o dos bens de consumo. Os resultados da estimação com o EXCEL foram os seguintes:

Regression 5 22,6379 4,5276 29,0984 Residual 201 31,2747 0,1556

Total 206 53,9125

lnvendas 0,26115 0,02753

rcp 0,01195 0,00369

ind -0,09594 0,07339

fin 0,06448 0,08368

spub -0,37303 0,09400

a) – Analise a significância estatística do coeficiente da variável lnvendas e interprete o valor obtido.

b) Existindo dúvidas sobre a relevância estatística das variáveis ind, fin e spub, estimou-se um modelo sem essas variáveis (mas mantendo as restantes) que proporcionou o seguinte quadro:

ANOVA

df SS MS F Significance F

Regression 2 18,55799 9,27899 53,54089 0,00000

Residual 204 35,35456 0,17331

Total 206 53,91254

Essas variáveis devem ser mantidas no modelo? Justifique a sua opção e tire conclusões (use 5% como dimensão do teste).

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Estatística II - Licenciatura em Gestão – Época de Recurso – 25/01/2010 Parte teórica – (6 valores)

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1. Questões de Verdadeiro/Falso (2 valores). Para cada afirmação, assinale se esta é verdadeira (V) ou falsa (F). Uma resposta certa vale 0,25 e uma resposta errada penaliza em idêntico valor.

V F Com a mesma amostra, a amplitude de um intervalo de confiança a 95% é menor que

a amplitude de um intervalo de confiança a 90%.

O estimador da variância,

n X X T

n

i i

n

∑=

−

= ¹

)2

(

, é não enviesado.

No teste de uma hipótese estatística, o valor-p não depende da dimensão, α, do teste.

Num teste de independência, a frequência observada,n_ij, de qualquer célula não deve ser inferior a 5.

No modelo de regressão linear com termo independente a soma dos resíduos é nula.

No modelo y_t =β₁+β₂ x_t2 +β₃x_t3+u_t, seE(u_t |X)≠0 os estimadores dos mínimos quadrados dos coeficientes de regressão são enviesados.

Num modelo de regressão linear, com dados temporais, não pode existir heterocedasticidade.

No modelo y_t =β₁+β₂x_t2+β₃x_t3+u_t, a verificar as hipóteses básicas, se x_t3 é uma variável artificial, entãoE(y_t |X,x_t3 =1)=β₃ +β₂x_t2.

2. Questões de resposta múltipla (2 valores). Escolha a alternativa correcta com um X. Uma resposta certa vale 0,5 valores e uma resposta errada penaliza em 0,25 valores.

a) Sejam T_nⁱe T_nⁱⁱdois estimadores diferentes para θ, a verificar E(T_nⁱ)=θ e E(T_nⁱⁱ)=θ, respectivamente. Nestas condições, pode concluir-se que:

[ ] T_nⁱé relativamente mais eficiente queT_nⁱⁱse Var(T_nⁱ)>Var(T_nⁱⁱ), ∀n.

[ ] ^T_n^{iie T}_nⁱ são estimadores mais eficientes se lim_n→∞Var(T_nⁱ)=0 e lim_n→∞Var(T_nⁱⁱ)=0. [ ] T_nⁱé menos eficiente queT_nⁱⁱse Var(T_nⁱ)>Var(T_nⁱⁱ), ∀n.

b) Num teste de hipótese simples contra alternativa simples, qual das seguintes afirmações é verdadeira ?

[ ] Quanto menor a probabilidade de erro de 2ª espécie, menor é a potência do teste.

[ ] Quanto menor a probabilidade de erro de 1ª espécie, maior é a potência do teste.

[ ] Quanto menor a probabilidade de erro de 1ª espécie, menor é a potência do teste.

c) Seja o modelo de regressão linear ln(y )=β₁+β₂ln(x₂)+β₃x₃ +u . Neste caso, ceteris paribus:

[ ] β₂ representa a variação percentual aproximada dey quando ∆x₂ =1.

[ ] β₃ representa a variação linear aproximada dey quando 1∆x₃ = .

[ ] ^β₃ representa a variação relativa aproximada dey quando 1∆x₃ = .

) ,..., 2 , 1

(t = n e se verificam as restantes. Então,

[ ] Os estimadores MQ dos coeficientes de regressão deixam de ser não enviesados.

[ ] Os testes t e F usuais deixam de ser válidos.

[ ] Existirá autocorrelação nos termos residuais do modelo.

3. Perguntas de desenvolvimento (2 valores) – Cada resposta certa vale 1 valor.

a) Admita que, numa população normal de variância conhecida, pretende testar H₀:µ =µ₀contra

0 1:µ >µ

H e que, recolhida a amostra, obteve x<µ₀. Mostre que, nesse caso, não rejeitaria a hipótese nula, para as dimensões de teste usuais, pois o valor-p do teste é maior que 0.50.

b) Mostre que o modelo de regressão ln(y_t)=β₁+β₂ln(x_t2)+β₃ln(x_t²₂)+u_t, está mal definido e não pode ser estimado pelo método dos mínimos quadrados.